मान लीजिए कि sum_{r=0}^{2023} r cdot ^{2023}C | vedclass

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Question

(A) हम द्विपद गुणांकों के लिए मानक सर्वसमिका जानते हैं: $\sum_{r=0}^{n} r \cdot ^{n}C_r = n \cdot 2^{n-1}$।
दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{r=0}^{2023} r \cd

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$1$

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(A) हम द्विपद गुणांकों के लिए मानक सर्वसमिका जानते हैं: $\sum_{r=0}^{n} r \cdot ^{n}C_r = n \cdot 2^{n-1}$।
दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r$ के लिए,हम सर्वसमिका में $n = 2023$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r = 2023 \cdot 2^{2023-1} = 2023 \cdot 2^{2022}$।
इस परिणाम की तुलना दी गई अभिव्यक्ति $2023 	imes \alpha 	imes 2^{2022}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2023 \cdot 2^{2022} = 2023 \cdot \alpha \cdot 2^{2022}$।
दोनों पक्षों को $2023 \cdot 2^{2022}$ से विभाजित करने पर,हमें $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए कि $\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r = 2023 \times \alpha \times 2^{2022}$ है। तो $\alpha$ का मान $............$ है।

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यदि $C_0, C_1, C_2, \ldots, C_{10}$ द्विपद गुणांक $(1+x)^{10}$ के विस्तार में हैं,तो $C_0 C_6+C_1 C_7+C_2 C_8+C_3 C_9+C_4 C_{10}=$

$\frac{^{100}C_{50}}{51} + \frac{^{100}C_{51}}{52} + \dots + \frac{^{100}C_{100}}{101}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $\sum_{k=1}^{30} k \left({ }^{30} C _k\right)^2 = \frac{\alpha 60 !}{(30 !)^2}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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