मान लीजिए f :(0,1) rightarrow R एक फलन है जो | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{1-e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x-1}$.अतः $f(-x) = \frac{1}{1-e^x}$.$g(x) = f(-x) - f(x) = \frac{1}{1-e^x} - \frac{e^x}{e^x-

Vedclass · Accepted Answer

दोनों $(I)$ और $(II)$ सत्य हैं

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{1-e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x-1}$.अतः $f(-x) = \frac{1}{1-e^x}$.$g(x) = f(-x) - f(x) = \frac{1}{1-e^x} - \frac{e^x}{e^x-1} = \frac{1}{1-e^x} + \frac{e^x}{1-e^x} = \frac{1+e^x}{1-e^x}$.अब,$g'(x) = \frac{(1-e^x)(e^x) - (1+e^x)(-e^x)}{(1-e^x)^2} = \frac{e^x - e^{2x} + e^x + e^{2x}}{(1-e^x)^2} = \frac{2e^x}{(1-e^x)^2}$.चूंकि सभी $x \in (0,1)$ के लिए $e^x > 0$ और $(1-e^x)^2 > 0$ है,इसलिए $g'(x) > 0$ है।अतः,$g(x)$ अंतराल $(0,1)$ में एक वर्धमान फलन है।चूंकि $g(x)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह $(0,1)$ में एकैकी फलन भी है।इस प्रकार,दोनों कथन $(I)$ और $(II)$ सत्य हैं।

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