मान लीजिए S = { alpha : log_2(9^{2alpha-4} + | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $\log_2(9^{2\alpha-4} + 13) - \log_2(\frac{5}{2} \cdot 3^{2\alpha-4} + 1) = 2$। मान लीजिए $y = 3^{2\alpha-4}$। तब $9^{2\alpha-4} = y^2

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$25$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $\log_2(9^{2\alpha-4} + 13) - \log_2(\frac{5}{2} \cdot 3^{2\alpha-4} + 1) = 2$। मान लीजिए $y = 3^{2\alpha-4}$। तब $9^{2\alpha-4} = y^2$। समीकरण $\log_2(\frac{y^2 + 13}{\frac{5}{2}y + 1}) = 2$ बन जाता है। $\frac{y^2 + 13}{\frac{5}{2}y + 1} = 4 \implies y^2 + 13 = 10y + 4$। $y^2 - 10y + 9 = 0 \implies (y-1)(y-9) = 0$। अतः $y = 1$ या $y = 9$। यदि $3^{2\alpha-4} = 1$,तो $2\alpha-4 = 0 \implies \alpha = 2$। यदि $3^{2\alpha-4} = 9$,तो $2\alpha-4 = 2 \implies \alpha = 3$। इस प्रकार,$S = \{2, 3\}$। $\sum_{\alpha \in S} \alpha = 2 + 3 = 5$। $\sum_{\alpha \in S} (\alpha+1)^2 = (2+1)^2 + (3+1)^2 = 9 + 16 = 25$। द्विघात समीकरण $x^2 - 2(5)^2 x + 25\beta = 0$ है,जो $x^2 - 50x + 25\beta = 0$ है। वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$। $D = (-50)^2 - 4(1)(25\beta) = 2500 - 100\beta \geq 0$। $100\beta \leq 2500 \implies \beta \leq 25$। $\beta$ का अधिकतम मान $25$ है।

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