मान लीजिए S={theta in[0,2 pi): tan (pi cos th | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $	an (\pi \cos 	heta) + 	an (\pi \sin 	heta) = 0$.इसका अर्थ है $	an (\pi \cos 	heta) = -	an (\pi \sin 	heta) = 	an (-\pi \sin

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(D) दिया गया है $	an (\pi \cos 	heta) + 	an (\pi \sin 	heta) = 0$.इसका अर्थ है $	an (\pi \cos 	heta) = -	an (\pi \sin 	heta) = 	an (-\pi \sin 	heta)$.अतः,$\pi \cos 	heta = n\pi - \pi \sin 	heta$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.$\pi$ से भाग देने पर,हमें $\sin 	heta + \cos 	heta = n$ प्राप्त होता है।चूँकि $-\sqrt{2} \leq \sin 	heta + \cos 	heta \leq \sqrt{2}$,$n$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $-1, 0, 1$ हैं।स्थिति $1$: $\sin 	heta + \cos 	heta = 0 \implies 	an 	heta = -1$. $[0, 2\pi)$ में,$	heta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.स्थिति $2$: $\sin 	heta + \cos 	heta = 1 \implies \sin(	heta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $[0, 2\pi)$ में,$	heta = 0, \frac{\pi}{2}$.स्थिति $3$: $\sin 	heta + \cos 	heta = -1 \implies \sin(	heta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. $[0, 2\pi)$ में,$	heta = \pi, \frac{3\pi}{2}$.समुच्चय $S = \{0, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\}$ है।हमें $\sum_{	heta \in S} \sin^2(	heta + \frac{\pi}{4})$ की गणना करनी है।$	heta \in \{0, \frac{\pi}{2}\}$ के लिए,$\sin^2(	heta + \frac{\pi}{4}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$.$	heta \in \{\pi, \frac{3\pi}{2}\}$ के लिए,$\sin^2(	heta + \frac{\pi}{4}) = (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$.$	heta \in \{\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$ के लिए,$\sin^2(	heta + \frac{\pi}{4}) = (0)^2 = 0$.योग $= 4 	imes \frac{1}{2} + 2 	imes 0 = 2$.

मान लीजिए $S=\{\theta \in[0,2 \pi): \tan (\pi \cos \theta)+\tan (\pi \sin \theta)=0\}$ है। तो $\sum_{\theta \in S } \sin ^2\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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