मान लीजिए N वह संख्या है जो एक निष्पक्ष पासा | vedclass

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Question

(C) दी गई समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:$x+y+z=1$$2x+Ny+2z=2$$3x+3y+Nz=3$प्रणाली का अद्वितीय हल तब होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta 
eq 0$ हो

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$20$

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(C) दी गई समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:$x+y+z=1$$2x+Ny+2z=2$$3x+3y+Nz=3$प्रणाली का अद्वितीय हल तब होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta 
eq 0$ हो।$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 2 & N & 2 \ 3 & 3 & N \end{vmatrix}$पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:$\Delta = 1(N^2 - 6) - 1(2N - 6) + 1(6 - 3N)$$\Delta = N^2 - 6 - 2N + 6 + 6 - 3N$$\Delta = N^2 - 5N + 6 = (N-2)(N-3)$अद्वितीय हल के लिए,$\Delta 
eq 0$,जिसका अर्थ है $N 
eq 2$ और $N 
eq 3$।चूंकि $N$ एक निष्पक्ष पासे का परिणाम है,$N \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$।$N$ के वे मान जिनके लिए प्रणाली का अद्वितीय हल है,$\{1, 4, 5, 6\}$ हैं।ऐसे $4$ मान हैं,इसलिए प्रायिकता $\frac{4}{6}$ है,जिससे $k = 4$ प्राप्त होता है।$k$ और $N$ के उन सभी संभावित मानों का योग जिनके लिए प्रणाली का अद्वितीय हल है,$4 + (1 + 4 + 5 + 6) = 4 + 16 = 20$ है।

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यदि $f(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & (x+1)x \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x+1)x(x-1) \end{vmatrix}$ है,तो $f(100)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & x(x+1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x-1)x(x+1) \end{array}\right|$,तो $f(2012)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\left|\begin{array}{ccc}x & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 10 \\ 7 & 21 & 35\end{array}\right|=0$ का हल समुच्चय . . . . . . है।

यदि समीकरणों की प्रणाली $ (k+1)^3 x + (k+2)^3 y = (k+3)^3 $,$ (k+1) x + (k+2) y = k+3 $,और $ x + y = 1 $ सुसंगत है,तो $ k $ का मान ज्ञात कीजिए।

$(2, -6)$,$(5, 4)$ और $(k, 4)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $35$ वर्ग इकाई है,तो $k$ का मान . . . . . . है।

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