मान लीजिए कि वक्र 9x^2 + 16y^2 = 144 की एक स् | vedclass

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Question

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है। दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु $P$ को $(4 \cos 	heta, 3 \sin 	heta)$ के रूप में दर्शाया

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$7$

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(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है। दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु $P$ को $(4 \cos 	heta, 3 \sin 	heta)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है। $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos 	heta}{4} + \frac{y \sin 	heta}{3} = 1$ है। $A$ (जहाँ $y=0$) के निर्देशांक $(4 \sec 	heta, 0)$ और $B$ (जहाँ $x=0$) के निर्देशांक $(0, 3 \operatorname{cosec} 	heta)$ हैं। रेखाखंड $AB$ की लंबाई $L$ के लिए $L^2 = 16 \sec^2 	heta + 9 \operatorname{cosec}^2 	heta$ है। सर्वसमिका $\sec^2 	heta = 1 + 	an^2 	heta$ और $\operatorname{cosec}^2 	heta = 1 + \cot^2 	heta$ का उपयोग करने पर,$L^2 = 16(1 + 	an^2 	heta) + 9(1 + \cot^2 	heta) = 25 + 16 	an^2 	heta + 9 \cot^2 	heta$ प्राप्त होता है। $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$16 	an^2 	heta + 9 \cot^2 	heta \geq 2 \sqrt{16 	an^2 	heta \cdot 9 \cot^2 	heta} = 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24$ है। अतः,$L^2 \geq 25 + 24 = 49$,जिसका अर्थ है कि $L \geq 7$ है। रेखाखंड $AB$ की न्यूनतम लंबाई $7$ है।

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