कलश $A, B$ और $C$ में क्रमशः $4$ लाल,$6$ काली; $5$ लाल,$5$ काली और $\lambda$ लाल,$4$ काली गेंदें हैं। एक कलश को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और एक गेंद निकाली जाती है। यदि निकाली गई गेंद लाल है और इसके कलश $C$ से निकाले जाने की प्रायिकता $0.4$ है,तो परवलय $y^2 = \lambda x$ में अंतर्निहित सबसे बड़े समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई का वर्ग ज्ञात कीजिए,जिसका एक शीर्ष परवलय का शीर्ष है।

एक दुकानदार तीन निर्माताओं $M_1, M_2$ और $M_3$ से एक विशेष प्रकार के इलेक्ट्रिक बल्ब खरीदता है। वह अपनी आवश्यकता का $25 \%$ $M_1$ से,$45 \%$ $M_2$ से और $30 \%$ $M_3$ से खरीदता है। पिछले अनुभव के आधार पर,उसने पाया कि $M_3$ प्रकार के $2 \%$ बल्ब खराब हैं,जबकि $M_1$ और $M_2$ प्रकार के केवल $1 \%$ बल्ब खराब हैं। यदि उसके द्वारा यादृच्छिक रूप से चुना गया एक बल्ब खराब है,तो इसकी प्रायिकता क्या है कि वह $M_3$ प्रकार का था?

बैग $I$ में $3$ लाल,$4$ काली और $3$ सफेद गेंदें हैं। बैग $II$ में $2$ लाल,$5$ काली और $2$ सफेद गेंदें हैं। बैग $I$ से एक गेंद बैग $II$ में स्थानांतरित की जाती है और फिर बैग $II$ से एक गेंद निकाली जाती है। निकाली गई गेंद काली पाई जाती है। तो स्थानांतरित गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

एक बक्से में $4$ काले,$2$ सफेद और $6$ लाल गेंदें हैं। दूसरे बक्से में $3$ काले और $5$ सफेद गेंदें हैं। एक निष्पक्ष पासा फेंका जाता है। यदि पासे पर $1$ या $2$ आता है,तो पहले बक्से से गेंद निकाली जाती है; अन्यथा,दूसरे बक्से से गेंद निकाली जाती है। यदि निकाली गई गेंद काली है,तो पासे पर $2$ आने की प्रायिकता क्या है?

एक थैली में $6$ गेंदें हैं। यदि एक बार में $4$ गेंदें निकाली जाती हैं और वे सभी लाल पाई जाती हैं,तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि थैली में ठीक $5$ गेंदें लाल हैं?

एक बोल्ट फैक्ट्री में,मशीनें $A, B$ और $C$ क्रमशः कुल बोल्ट का $20 \%$,$30 \%$ और $50 \%$ निर्माण करती हैं। उनके उत्पादन में से क्रमशः $3 \%$,$4 \%$ और $2 \%$ बोल्ट दोषपूर्ण हैं। उत्पादन में से एक बोल्ट यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। यदि चुना गया बोल्ट दोषपूर्ण पाया जाता है,तो इसकी प्रायिकता क्या है कि यह मशीन $C$ द्वारा निर्मित है?