यदि $(1+x)^{10}$ के द्विपद विस्तार में $a_r$,$x^{10-r}$ का गुणांक है,तो $\sum \limits_{r=1}^{10} r^3\left(\frac{a_r}{a_{r-1}}\right)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{4})^{100}$ के द्विपद विस्तार में परिमेय पदों की संख्या है

$(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में मध्य पद है

माना $\left(\sqrt{x} - \frac{6}{x^{3/2}}\right)^n$,$n \leq 15$ के द्विपद विस्तार में $\alpha$ अचर पद है। यदि विस्तार में शेष पदों के गुणांकों का योग $649$ है और $x^{-n}$ का गुणांक $\lambda \alpha$ है,तो $\lambda$ का मान $..........$ है।

यदि $\left(a x^{2}+\frac{1}{b x}\right)^{13}$ में $x^{8}$ का गुणांक $\left(a x-\frac{1}{b x^{2}}\right)^{13}$ में $x^{-8}$ के गुणांक के बराबर है,तो $a$ और $b$ किस संबंध को संतुष्ट करेंगे?

व्यंजक $(x + x^{\log_{10} x})^5$ में $x$ का मान ज्ञात कीजिए,यदि विस्तार में तीसरा पद $1,000,000$ है।