ધારો કે રેખાઓ $l_1: \frac{x+5}{3}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-\alpha}{-2}$ અને $l_2: 3x+2y+z-2=0=x-3y+2z-13$ સમતલીય છે. જો $l_1$ પરનું બિંદુ $P(a, b, c)$ એ બિંદુ $Q(-4, -3, 2)$ ની સૌથી નજીક હોય,તો $|a|+|b|+|c|$ ની કિંમત શોધો.

$1, -1, 2$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી એક રેખા, રેખાઓ $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+1}{3}$ અને $\frac{x+1}{-1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{4}$ ને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ બિંદુઓ પર છેદે છે। જો રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ $\alpha$ હોય, તો $225\alpha^2$ ની કિંમત શોધો:

દર્શાવો કે રેખાઓ $\frac{x+3}{-3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-5}{5}$ અને $\frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-5}{5}$ સમતલીય છે.

જો રેખા $\vec{r} = (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$ એ સમતલ $\vec{r} \cdot (3\hat{i} - 2\hat{j} - m\hat{k}) = 14$ ને સમાંતર હોય,તો $m$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે બિંદુ $P(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ એ રેખાઓ $\frac{x-4}{4}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}$ અને $\frac{x-17}{1}=\frac{y-71}{1}=\frac{z}{0}$ ને લંબ છે. ધારો કે રેખા $L$ એ $yz$-સમતલને બિંદુ $Q$ માં છેદે છે. $L$ ને સમાંતર અને બિંદુ $S(1, 0, -1)$ માંથી પસાર થતી બીજી રેખા $yz$-સમતલને બિંદુ $R$ માં છેદે છે. તો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના ક્ષેત્રફળનો વર્ગ . . . . . . છે.

બિંદુ $(1,1,1)$ માંથી પસાર થતા અને $x+2y-z+1=0$ તથા $3x-y-4z+3=0$ ના છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.