જો f : R rightarrow R એક સતત વિધેય હોય જે int | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int \limits_0^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$. પ્રથમ સંકલનને $\frac

Vedclass · Accepted Answer

$-\sqrt{2}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int \limits_0^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$. પ્રથમ સંકલનને $\frac{\pi}{4}$ પર વિભાજિત કરો: $I = \int \limits_0^{\pi / 4} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \int \limits_{\pi / 4}^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$. પ્રથમ સંકલનમાં,ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરો: $\int_0^{\pi / 4} f(\sin 2x) \sin x \, dx = \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \sin(\frac{\pi}{4}-x) \, dx$. બીજા સંકલનમાં $x = \frac{\pi}{4} + t$ આદેશ લેતા: $\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} f(\sin 2x) \sin x \, dx = \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2t) \sin(\frac{\pi}{4}+t) \, dt$. આ બંનેને જોડતા: $\int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) [\sin(\frac{\pi}{4}-x) + \sin(\frac{\pi}{4}+x) + \alpha \cos x] \, dx = 0$. $\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2 \sin A \cos B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sin(\frac{\pi}{4}-x) + \sin(\frac{\pi}{4}+x) = \sqrt{2} \cos x$. તેથી,$(\sqrt{2} + \alpha) \int_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cos x \, dx = 0$. આમ,$\alpha = -\sqrt{2}$.

જો $f : R \rightarrow R$ એક સતત વિધેય હોય જે $\int \limits_0^{\pi / 2} f(\sin 2x) \cdot \sin x \, dx + \alpha \int \limits_0^{\pi / 4} f(\cos 2x) \cdot \cos x \, dx = 0$ નું સમાધાન કરે,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos ^2 x(\sin x+\cos x) d x=$

$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^{103} x \cdot \cos^{101} x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{\pi /2} \frac{e^{x^2}}{e^{x^2} + e^{(\pi /2 - x)^2}} dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} dx$. તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module