ધારો કે y=y(x), y0,એ વિકલ સમીકરણ (1+x^2) dy | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+x^2) dy = y(x-y) dx$.$(1+x^2) dx$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy - y^2}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2}y - \frac{1}

Vedclass · Accepted Answer

$e^{3\beta^{-1}} = e(3+2\sqrt{2})$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+x^2) dy = y(x-y) dx$.$(1+x^2) dx$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy - y^2}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2}y - \frac{1}{1+x^2}y^2$.આ બર્નુલી વિકલ સમીકરણ છે. તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x^2}y = -\frac{1}{1+x^2}y^2$.$y^2$ વડે ભાગતા: $y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x^2}y^{-1} = -\frac{1}{1+x^2}$.ધારો કે $t = y^{-1}$,તો $\frac{dt}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$.સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-\frac{dt}{dx} - \frac{x}{1+x^2}t = -\frac{1}{1+x^2} \implies \frac{dt}{dx} + \frac{x}{1+x^2}t = \frac{1}{1+x^2}$.આ સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int \frac{x}{1+x^2} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1+x^2)} = \sqrt{1+x^2}$.ઉકેલ $t \cdot \sqrt{1+x^2} = \int \frac{1}{1+x^2} \cdot \sqrt{1+x^2} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + C$.$t = \frac{1}{y}$ હોવાથી,$\frac{\sqrt{1+x^2}}{y} = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + C$.$y(0)=1$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\sqrt{1}}{1} = \ln(0+1) + C \implies 1 = 0 + C \implies C=1$.તેથી,$\frac{\sqrt{1+x^2}}{y} = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + 1 = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + \ln e = \ln(e(x + \sqrt{1+x^2}))$.$x = 2\sqrt{2}$ માટે,$y = \beta$: $\frac{\sqrt{1+(2\sqrt{2})^2}}{\beta} = \ln(e(2\sqrt{2} + \sqrt{1+8})) = \ln(e(2\sqrt{2} + 3))$.$\frac{3}{\beta} = \ln(e(3+2\sqrt{2})) \implies e^{3\beta^{-1}} = e(3+2\sqrt{2})$.

ધારો કે $y=y(x), y>0$,એ વિકલ સમીકરણ $(1+x^2) dy = y(x-y) dx$ નો ઉકેલ વક્ર છે. જો $y(0)=1$ અને $y(2\sqrt{2})=\beta$ હોય,તો

Similar Questions

જો $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$ હોય,તો $x^3 y^{-3}$ ની કિંમત શું થાય?

જો વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = e^{2x}, x \in (0, \pi)$ નો ઉકેલ $y(x)$ એ $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{6}\right) = $

ધારો કે $y=y(t)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dt}+\alpha y=\gamma e^{-\beta t}$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $\alpha > 0, \beta > 0$ અને $\gamma > 0$ છે. તો $\lim_{t \rightarrow \infty} y(t)$ શું થાય?

વિકલ સમીકરણ $(1-x^2) \frac{dy}{dx} + xy = kx$ માટે $(-1 < x < 1)$ સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module