વક્ર $f(x) = e^{8x} - e^{6x} - 3e^{4x} - e^{2x} + 1$,$x \in R$ જ્યાં $x$-અક્ષને છેદે છે તે બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f$ અને $g$ એ અંતરાલ $(-1, 1)$ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતા વિધેયો છે,જેથી $g^{\prime \prime}(x)$ સતત છે,$g(0) \neq 0$,$g^{\prime}(0) = 0$,$g^{\prime \prime}(0) \neq 0$,અને $f(x) = g(x) \sin x$.
$\text{વિધાન}-1$: $\lim_{x \rightarrow 0} [g(x) \cot x - g(0) \operatorname{cosec} x] = f^{\prime \prime}(0)$.
$\text{વિધાન}-2$: $f^{\prime}(0) = g(0)$.

સ્તંભ $I$ માં આપેલા વિધેયોને સ્તંભ $II$ માં તેમના ગુણધર્મો સાથે જોડો. નીચેનામાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$A$. $x|x|$	$I$. $(-1,1)$ માં ચુસ્ત રીતે વધતું અને સતત
$B$. $\sqrt{|x|}$	$II$. $(-1,1)$ માં સતત પણ વિકલનીય નથી
$C$. $x+[x]$	$III$. $(-1,1)$ માં વિકલનીય
$D$. $|x-1|+|x+1|+|x|$	$IV$. $(-1,0) \cup (0,1)$ માં વિકલનીય
	$V$. $(-1,1)$ માં ચુસ્ત રીતે વધતું અને વિકલનીય નથી

સાચી જોડ છે

ધારો કે $f$ એક વિકલનીય વિધેય છે અને $x = 3$ આગળ $y = f(x)$ ના આલેખના અભિલંબનું સમીકરણ $3y = x + 18$ છે. જો $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( {3 + {{\left( {4{{\tan }^{ - 1}}x - \pi } \right)}^2}} \right) - f\left( {3 + {{\left( {f\left( 3 \right) - x - 6} \right)}^2}} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {x - 1} \right)}}$ હોય,તો:

નીચેનાને જોડો:
નીચે,$[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક દર્શાવે છે.

$(a)$ $x|x|$	$(i)$ $(-1, 1)$ માં સતત છે
$(b)$ $\sqrt{|x|}$	$(ii)$ $(-1, 1)$ માં વિકલનીય છે
$(c)$ $x+[x]$	$(iii)$ $(-1, 1)$ માં ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે
$(d)$ $|x-1|+|x+1|$	$(iv)$ $(-1, 1)$ માં ઓછામાં ઓછા એક બિંદુએ વિકલનીય નથી

ધારો કે $a$ એક ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે જેથી $a^5-a^3+a=2$ થાય. તો,