ધારો કે રેખા $\ell: x = \frac{1-y}{-2} = \frac{z-3}{\lambda}, \lambda \in R$ એ સમતલ $P: x + 2y + 3z = 4$ ને બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માં મળે છે. જો રેખા $\ell$ અને સમતલ $P$ વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)$ હોય,તો $\alpha + 2\beta + 6\gamma$ ની કિંમત શોધો.

જો રેખાઓ $\frac{x - a + d}{\alpha - \delta} = \frac{y - a}{\alpha} = \frac{z - a - d}{\alpha + \delta}$ અને $\frac{x - b + c}{\beta - \gamma} = \frac{y - b}{\beta} = \frac{z - b - c}{\beta + \gamma}$ સમતલીય હોય,તો તેમને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ ......... છે.

$\mathbb{R}^3$ માં,ધારો કે $L$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે. ધારો કે $L$ પરના તમામ બિંદુઓ બે સમતલો $P_1: x+2y-z+1=0$ અને $P_2: 2x-y+z-1=0$ થી સમાન અંતરે છે. ધારો કે $M$ એ $L$ પરના બિંદુઓમાંથી સમતલ $P_1$ પર દોરેલા લંબના પગનો બિંદુગણ છે. નીચેનામાંથી કયા બિંદુઓ $M$ પર આવેલા છે?
$(A) \left(0, -\frac{5}{6}, -\frac{2}{3}\right)$
$(B) \left(-\frac{1}{6}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6}\right)$
$(C) \left(-\frac{5}{6}, 0, \frac{1}{6}\right)$
$(D) \left(-\frac{1}{3}, 0, \frac{2}{3}\right)$

જો $n=2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$,$m=\hat{i}-\hat{j}$,અને $l=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ હોય,તો બે સમતલો $r \cdot n=1$ અને $r \cdot m=-4$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા અને સમતલ $r \cdot l=-8$ ને લંબ હોય તેવા સમતલનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ શોધો.

એક સમતલ $\pi$ જે બિંદુઓ $2 \hat{i}-3 \hat{j}$ અને $3 \hat{i}+4 \hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે,તે સદિશ $2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ ને સમાંતર છે. જો બિંદુઓ $\hat{i}+2 \hat{j}$ અને $\hat{j}-2 \hat{k}$ ને જોડતી રેખા સમતલ $\pi$ ને બિંદુ $a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ માં છેદે,તો $a+b+2c=$

ધારો કે $L$ એ બે સમતલો $x+2y+z=6$ અને $y+2z=4$ ના છેદથી મળતી રેખા છે. જો બિંદુ $P(\alpha, \beta, \gamma)$ એ $(3,2,1)$ માંથી $L$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ હોય,તો $21(\alpha+\beta+\gamma)$ નું મૂલ્ય ...... થાય.