સંકલન int limits_{1 / 2}^2 frac{tan ^{-1} x}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{	an ^{-1} x}{x} dx$ ... $(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(\frac{ab}{x}) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$x

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{2} \log _{ e } 2$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{	an ^{-1} x}{x} dx$ ... $(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(\frac{ab}{x}) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{1}{t}$ લેતા,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ મળે.જ્યારે $x = 1/2, t = 2$ અને જ્યારે $x = 2, t = 1/2$.$I = \int \limits_2^{1 / 2} \frac{	an ^{-1}(1/t)}{1/t} \cdot (-\frac{1}{t^2}) dt = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{	an ^{-1}(1/t)}{t} dt$.કારણ કે $t > 0$ માટે $	an^{-1}(1/t) = \cot^{-1} t$,તેથી $I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\cot ^{-1} t}{t} dt = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\cot ^{-1} x}{x} dx$ ... (ii)$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:$2I = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{	an ^{-1} x + \cot ^{-1} x}{x} dx = \int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\pi / 2}{x} dx$.$2I = \frac{\pi}{2} [\ln x]_{1/2}^2 = \frac{\pi}{2} (\ln 2 - \ln(1/2)) = \frac{\pi}{2} (\ln 2 - (-\ln 2)) = \frac{\pi}{2} (2 \ln 2) = \pi \ln 2$.તેથી,$I = \frac{\pi}{2} \ln 2$.

સંકલન $\int \limits_{1 / 2}^2 \frac{\tan ^{-1} x}{x} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x\right) dx =$

ધારો કે $f$ અને $g$ એ $[0, a]$ પર સતત વિધેયો છે જેથી $f(x)=f(a-x)$ અને $g(x)+g(a-x)=4$ થાય,તો $\int_0^a f(x) g(x) d x$ ની કિંમત શું થાય?

સંકલન $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \log (\sec \theta - \tan \theta) \, d\theta$ ની કિંમત શોધો.

સંકલન $\int_{-1}^{1} \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} \frac{1}{x} \right) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} (x+4)^2 e^{x^2} dx + \int_{\sqrt{3}}^{0} (x-4)^2 e^{x^2} dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module