ધારો કે y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2$ અને $Q = f(x)$ છે.કિસ્સો $1$: $x \in [0, 1]$ માટે,$f(x) = 1

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{e^2 - 1}{2e^3}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2$ અને $Q = f(x)$ છે.કિસ્સો $1$: $x \in [0, 1]$ માટે,$f(x) = 1$.$\frac{dy}{dx} + 2y = 1$. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$ છે.ઉકેલ $y \cdot e^{2x} = \int 1 \cdot e^{2x} dx + C_1 = \frac{1}{2}e^{2x} + C_1$ મળે.તેથી,$y(x) = \frac{1}{2} + C_1 e^{-2x}$.$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 = \frac{1}{2} + C_1 \Rightarrow C_1 = -\frac{1}{2}$.આમ,$x \in [0, 1]$ માટે $y(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2x}$ છે.$x = 1$ આગળ,$y(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2} = \frac{e^2 - 1}{2e^2}$.કિસ્સો $2$: $x > 1$ માટે,$f(x) = 0$.$\frac{dy}{dx} + 2y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{y} = -2 dx$.બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln|y| = -2x + C_2 \Rightarrow y = C_3 e^{-2x}$ મળે.$x = 1$ આગળ $y(x)$ ની સાતત્યતાનો ઉપયોગ કરતા,$y(1) = C_3 e^{-2} = \frac{e^2 - 1}{2e^2}$.$C_3 = \frac{e^2 - 1}{2e^2} \cdot e^2 = \frac{e^2 - 1}{2}$.તેથી,$x > 1$ માટે $y(x) = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-2x}$ છે.$x = \frac{3}{2}$ માટે,$y\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-2(\frac{3}{2})} = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-3} = \frac{e^2 - 1}{2e^3}$.

Similar Questions

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે વિકલ સમીકરણ $\cos x \, dy = y(\sin x - y) \, dx$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx} - y \cos x = 1$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) dt = (\tan^{-1} x - t) dx$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module