JEE Main 2018 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) લીસા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_s = g \sin \theta$ છે. $s$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. લાગતો સમય $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_r = n t_s$,તેથી $t_r^2 = n^2 t_s^2$.
$\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$.
$\sin \theta - \mu \cos \theta = \frac{\sin \theta}{n^2}$.
$\mu \cos \theta = \sin \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
$\mu = \tan \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$.

(B) ઘનતા $(d)$ નું સૂત્ર: $d = \frac{M}{V} = \frac{M}{L^3}$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $L$ એ ઘનની બાજુની લંબાઈ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ: $\frac{\Delta d}{d} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta L}{L}$ થાય.
અહીં દળમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta M}{M} = 1.5\%$ અને લંબાઈમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} = 1\%$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\Delta d}{d} = 1.5\% + 3(1\%) = 1.5\% + 3\% = 4.5\%$.
તેથી,ઘનતા નક્કી કરવામાં મહત્તમ ત્રુટિ $4.5\%$ છે.

(B) આલેખો દ્વારા વર્ણવેલ ગતિ એ પ્રારંભિક વેગ $u$ અને અચળ પ્રવેગ $a = -2b$ સાથેની સમાન પ્રવેગી ગતિ છે.
સ્થાન-સમયનો સંબંધ $s = ut + \frac{1}{2}at^2 = at - bt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે,જે આલેખ $(C)$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
વેગ-સમયનો સંબંધ $v = u + at = a - 2bt$ છે,જે ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે,જે આલેખ $(D)$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
વેગ-સ્થાન આલેખ માટે,$v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v^2 = a^2 - 4bs$ મળે છે,જે ઋણ સ્થાન અક્ષ તરફ ખુલતો પરવલય દર્શાવે છે,જે આલેખ $(A)$ સાથે સુસંગત છે.
આલેખ $(B)$ અંતર-સમયનો આલેખ દર્શાવે છે. અંતર એ અદિશ રાશિ હોવાથી તે ગતિ કરતા પદાર્થ માટે હંમેશા વધે છે,તે ઘટી શકે નહીં કે અચળ રહી શકે નહીં જો પદાર્થ ગતિમાં હોય. આલેખ $(B)$ માં દર્શાવેલ છે કે અંતર વધે છે અને પછી સ્થિર થઈ જાય છે,જે અન્ય આલેખો દ્વારા વર્ણવેલ ગતિથી વિરોધાભાસી છે જ્યાં પદાર્થ તેની દિશા બદલે છે. આમ,આલેખ $(B)$ ખોટો છે.

(D) દીવાલ સાથે અથડાતા એક અણુના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર દીવાલને લંબ વેગમાનના ઘટકને ધ્યાનમાં લઈને ગણવામાં આવે છે. દીવાલને લંબ પ્રારંભિક વેગમાન ઘટક $p_n = mv \cos(45^\circ)$ છે. અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,દીવાલને લંબ અંતિમ વેગમાન ઘટક $-mv \cos(45^\circ)$ છે.
પ્રતિ અણુ વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = mv \cos(45^\circ) - (-mv \cos(45^\circ)) = 2mv \cos(45^\circ)$.
આપેલ છે કે $m = 3.32 \times 10^{-27} \ kg$,$v = 10^3 \ m/s$,અને $\cos(45^\circ) = 1/\sqrt{2}$,તેથી પ્રતિ અણુ વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = 2 \times (3.32 \times 10^{-27}) \times 10^3 \times (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2} \times 3.32 \times 10^{-24} \ kg \cdot m/s$.
દીવાલ પર લાગતું બળ એ પ્રતિ સેકન્ડ કુલ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે: $F = n \times \Delta p$,જ્યાં $n = 10^{23} \ s^{-1}$.
$F = 10^{23} \times \sqrt{2} \times 3.32 \times 10^{-24} = 3.32 \times \sqrt{2} \times 10^{-1} \ N$.
દબાણ $P = F / A$,જ્યાં $A = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$.
$P = (3.32 \times 1.414 \times 0.1) / (2 \times 10^{-4}) = (4.694 \times 10^{-1}) / (2 \times 10^{-4}) \approx 2.35 \times 10^3 \ N/m^2$.

(A) આપેલ છે: $m_1 = 5 \ kg$,$m_2 = 10 \ kg$,$\mu = 0.15$,$g = 10 \ m/s^2$.
તંત્ર સ્થિર રહે તે માટે,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T$ એ $m_1$ ના વજન બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$T = m_1 g = 5 \times 10 = 50 \ N$.
દળ $m_2$ (જેની ઉપર $m$ દળ મૂકેલ છે) સ્થિર રહે તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ તણાવ બળ $T$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
સમક્ષિતિજ સપાટી પર લાગતું લંબબળ $N = (m_2 + m)g$ છે.
સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu (m_2 + m)g$ થાય.
ગતિ અટકાવવા માટે,$T = f$ હોવું જોઈએ.
$50 = 0.15 \times (10 + m) \times 10$.
$50 = 1.5 \times (10 + m)$.
$50 / 1.5 = 10 + m$.
$33.33 = 10 + m$.
$m = 33.33 - 10 = 23.33 \ kg$.
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ દળ આશરે $23.3 \ kg$ છે.

(D) સ્થિર દળ $m_2$ ધરાવતા કણ સાથે સ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાતા $m_1$ દળના કણ માટે ગતિ ઉર્જાનો આંશિક વ્યય $\frac{\Delta K}{K}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{\Delta K}{K} = \frac{4 m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2}$.
ન્યુટ્રોન $(m_1 = m)$ માટે જે ડ્યુટેરિયમ $(m_2 = 2m)$ સાથે અથડાય છે:
$P_d = \frac{4(m)(2m)}{(m + 2m)^2} = \frac{8m^2}{(3m)^2} = \frac{8}{9} \approx 0.89$.
ન્યુટ્રોન $(m_1 = m)$ માટે જે કાર્બન ન્યુક્લિયસ $(m_2 = 12m)$ સાથે અથડાય છે:
$P_c = \frac{4(m)(12m)}{(m + 12m)^2} = \frac{48m^2}{(13m)^2} = \frac{48}{169} \approx 0.28$.
આમ,મૂલ્યો $P_d = 0.89$ અને $P_c = 0.28$ છે.

(A) ધારો કે બંને કણોનું દળ $m$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = K_i + 0.5K_i = 1.5K_i = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2}mv_0^2 \right) = \frac{3}{4}mv_0^2$ છે.
ધારો કે અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે. ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{3}{4}mv_0^2 \implies v_1^2 + v_2^2 = \frac{3}{2}v_0^2 \quad (i)$
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv_0 = mv_1 + mv_2 \implies v_1 + v_2 = v_0 \quad (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ નો વર્ગ કરતા:
$(v_1 + v_2)^2 = v_0^2 \implies v_1^2 + v_2^2 + 2v_1v_2 = v_0^2$
આમાં $(i)$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{3}{2}v_0^2 + 2v_1v_2 = v_0^2 \implies 2v_1v_2 = v_0^2 - \frac{3}{2}v_0^2 = -\frac{1}{2}v_0^2$
સાપેક્ષ વેગનો વર્ગ:
$(v_1 - v_2)^2 = v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2 = \frac{3}{2}v_0^2 - \left( -\frac{1}{2}v_0^2 \right) = \frac{3}{2}v_0^2 + \frac{1}{2}v_0^2 = 2v_0^2$
તેથી,સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $|v_1 - v_2| = \sqrt{2}v_0$ થાય.

(B) બળ $F$ એ સ્થિતિ ઉર્જા $U$ ના ઋણ વિકલન દ્વારા મળે છે:
$F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr} \left( -\frac{k}{2r^2} \right) = -\frac{k}{r^3}$.
કણ $a$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતો હોવાથી,કેન્દ્રગામી બળનું મૂલ્ય આકર્ષી બળના મૂલ્ય જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{mv^2}{a} = \frac{k}{a^3} \Rightarrow mv^2 = \frac{k}{a^2}$.
ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ નીચે મુજબ છે:
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{k}{a^2} \right) = \frac{k}{2a^2}$.
$r = a$ પર સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ છે:
$P.E. = -\frac{k}{2a^2}$.
કુલ ઉર્જા $(E)$ એ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E = K.E. + P.E. = \frac{k}{2a^2} + \left( -\frac{k}{2a^2} \right) = 0$.

(D) ધારો કે $\sigma$ એ તકતીનું એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ છે.
મૂળ તકતીનું કુલ દળ $M_{total} = 9M$ છે.
મૂળ તકતીની ત્રિજ્યા $R$ છે.
$r = \frac{R}{3}$ ત્રિજ્યા ધરાવતી દૂર કરેલી નાની તકતીનું દળ:
$m = \sigma \times \pi r^2 = \sigma \times \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{\sigma \pi R^2}{9} = \frac{M_{total}}{9} = \frac{9M}{9} = M$.
$9M$ દળ ધરાવતી સંપૂર્ણ તકતીની તેના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_1 = \frac{1}{2}(9M)R^2 = \frac{9}{2}MR^2$.
$M$ દળ ધરાવતી દૂર કરેલી તકતીની તેના પોતાના કેન્દ્ર $O'$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{O'} = \frac{1}{2}M\left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}MR^2$.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,દૂર કરેલી તકતીની $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_2 = I_{O'} + M d^2$,જ્યાં $d = \frac{2R}{3}$ એ $O$ અને $O'$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$I_2 = \frac{1}{18}MR^2 + M\left(\frac{2R}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}MR^2 + \frac{4}{9}MR^2 = \left(\frac{1+8}{18}\right)MR^2 = \frac{9}{18}MR^2 = \frac{1}{2}MR^2$.
બાકી રહેલી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = I_1 - I_2 = \frac{9}{2}MR^2 - \frac{1}{2}MR^2 = \frac{8}{2}MR^2 = 4MR^2$.

(C) એક ડિસ્કની તેના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
કેન્દ્રમાં રહેલી ડિસ્ક માટે,$O$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
છ બહારની ડિસ્ક માટે,તેમના કેન્દ્રનું $O$ થી અંતર $d = 2R$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,દરેક બહારની ડિસ્કની $O$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_i = I_{cm} + Md^2 = \frac{1}{2}MR^2 + M(2R)^2 = \frac{9}{2}MR^2$ થાય.
$O$ ને અનુલક્ષીને કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_O = I_1 + 6 \times I_i = \frac{1}{2}MR^2 + 6 \times \frac{9}{2}MR^2 = \frac{55}{2}MR^2$ છે.
હવે,બિંદુ $P$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે,$O$ અને $P$ વચ્ચેનું અંતર $3R$ લેતા,સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ:
$I_P = I_O + (7M)(3R)^2 = \frac{55}{2}MR^2 + 63MR^2 = \frac{181}{2}MR^2$.

(B) વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ કેન્દ્રીય બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જે $R^n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$m\omega^2 R \propto \frac{1}{R^n}$
અહીં $m$ અચળ હોવાથી,આપણને $\omega^2 R \propto R^{-n}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\omega^2 \propto R^{-(n+1)}$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\omega \propto R^{-\frac{n+1}{2}}$ મળે છે.
સમયગાળો $T$ એ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,$T \propto \frac{1}{\omega} \propto R^{\frac{n+1}{2}}$.

(B) પિસ્ટન પરના $m$ દળ દ્વારા પ્રવાહી પર લાગતું દબાણ $\Delta P = \frac{mg}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $K$ ને $K = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગોળા માટે,કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે,તેથી કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 3\frac{\Delta r}{r}$ છે.
આ કિંમતોને બલ્ક મોડ્યુલસના સૂત્રમાં મૂકતા: $K = -\frac{mg/a}{3(\Delta r/r)}$.
ત્રિજ્યામાં થતા આંશિક ઘટાડા $\left| \frac{\Delta r}{r} \right|$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{\Delta r}{r} = \frac{mg}{3Ka}$ મળે છે.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$ છે.
આપેલ છે: $n = 2 \ mol$,$T_1 = 27^{\circ}C = 300 \ K$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$,તેથી $\gamma - 1 = 2/3$.
$(a)$ કિંમતો મૂકતા: $300 \times V^{2/3} = T_2 \times (2V)^{2/3}$.
$T_2 = 300 / (2^{2/3}) \approx 300 / 1.5874 \approx 189 \ K$.
$(b)$ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_v = (3/2)R$.
$\Delta U = 2 \times (3/2) \times 8.314 \times (189 - 300) \approx 3 \times 8.314 \times (-111) \approx -2768 \ J \approx -2.7 \ kJ$.

(A) $SHM$ માં પરમાણુની આવૃત્તિનું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $m$ એ સિલ્વરના એક પરમાણુનું દળ છે.
સિલ્વરના એક પરમાણુનું દળ: $m = \frac{108 \times 10^{-3} \ kg/mol}{6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}} \approx 1.794 \times 10^{-25} \ kg$.
આપેલ $f = 10^{12} \ s^{-1}$ માટે,$k$ શોધવા માટે સૂત્રને આ રીતે લખી શકાય: $k = m(2\pi f)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $k = (1.794 \times 10^{-25}) \times (2 \times 3.1416 \times 10^{12})^2$.
$k = (1.794 \times 10^{-25}) \times (39.478 \times 10^{24}) \approx 7.08 \ N/m$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$k = 7.1 \ N/m$ મળે છે.

(D) ઘન પદાર્થોમાં,સંગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{9.27 \times 10^{10}}{2.7 \times 10^3}} = \sqrt{3.433 \times 10^7} \approx 5859 \ m/s$.
સળિયો તેના મધ્યબિંદુએથી જડિત હોવાથી,મધ્યબિંદુ નિસ્પંદ બિંદુ $(N)$ તરીકે અને છેડાઓ પ્રસ્પંદ બિંદુ $(A)$ તરીકે વર્તે છે. મૂળભૂત મોડ માટે,સળિયાની લંબાઈ $L$ એ અડધી તરંગલંબાઈ જેટલી હોય છે,તેથી $L = \frac{\lambda}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 2L$.
અહીં $L = 60 \ cm = 0.6 \ m$ આપેલ છે,તેથી $\lambda = 2 \times 0.6 = 1.2 \ m$.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{5859}{1.2} \approx 4882.5 \ Hz$ મળે છે.
$kHz$ માં ફેરવતા,$f \approx 4.88 \ kHz$,જે આશરે $5 \ kHz$ છે.

(C) ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4\pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta S}{S} = 2 \frac{\Delta r}{r} = \alpha$ છે.
આના પરથી,ત્રિજ્યામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\alpha}{2}$ થાય.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કદમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ છે.
$\frac{\Delta r}{r}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} = 3 \times \frac{\alpha}{2} = \frac{3}{2}\alpha$ મળે છે.

(A) ધારો કે નળીની ત્રિજ્યા $r$ છે. બે પ્રવાહીઓના સમાન કદનો ઉપયોગ થતો હોવાથી,દરેક પ્રવાહી વર્તુળનો ચોથો ભાગ ($\pi/2$ રેડિયનનો ચાપ) રોકે છે.
આંતરપૃષ્ઠ શિરોલંબથી $\theta$ ખૂણે છે તેમ ધારો.
સંતુલન માટે,આંતરપૃષ્ઠ પર બંને બાજુથી દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.
ભૌમિતિક ગણતરીઓ અને દબાણના સંતુલન પરથી,આપણને મળે છે: $\tan \theta = \frac{\pi}{2} \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 + \rho_2}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1} \left[ \frac{\pi}{2} \left( \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 + \rho_2} \right) \right]$.

(A) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $\ell$ અને દળ $M$ છે. સમાન સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ પર,છેડા $A$ થી $\ell/2$ અંતરે હોય છે.
લટકાવવાના બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક લેતા:
છેડા $A$ પરના દળ $m$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_1 = m \cdot g \cdot x$ (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં) છે.
સળિયાના વજન $Mg$ ને કારણે તેના કેન્દ્ર પર લાગતું ટોર્ક $\tau_2 = M \cdot g \cdot (\frac{\ell}{2} - x)$ (ઘડિયાળની દિશામાં) છે.
સળિયો સમક્ષિતિજ રહે તે માટે,કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$m \cdot g \cdot x = M \cdot g \cdot (\frac{\ell}{2} - x)$
$m \cdot x = M \cdot \frac{\ell}{2} - M \cdot x$
$m = (M \cdot \frac{\ell}{2}) \cdot \frac{1}{x} - M$
આ સમીકરણ $y = k \cdot X + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = m$,$X = \frac{1}{x}$,$k = M \cdot \frac{\ell}{2}$,અને $c = -M$ છે.
આમ,$m$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{x}$ નો આલેખ દોરતા સીધી રેખા મળશે.

(D) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f = 256\, Hz$ છે. તે ખુલ્લી પાઇપના ત્રીજા નોર્મલ મોડ સાથે $1\, beat/s$ ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી,ત્રીજા નોર્મલ મોડની આવૃત્તિ $f_3 = 256 \pm 1\, Hz$,એટલે કે $255\, Hz$ અથવા $257\, Hz$ થાય.
ખુલ્લી પાઇપ માટે,$N$ માં નોર્મલ મોડની આવૃત્તિ $f_N = \frac{N v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N=3$,$v = 340\, m/s$,અને $L$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
કિસ્સો $1$: $255 = \frac{3 \times 340}{2L} \Rightarrow L = \frac{1020}{510} = 2\, m = 200\, cm$.
કિસ્સો $2$: $257 = \frac{3 \times 340}{2L} \Rightarrow L = \frac{1020}{514} \approx 1.98\, m = 198\, cm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$200\, cm$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) $M$ દળના ગ્રહની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની કુલ ઉર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યા પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા:
$E_i = -\frac{GMm}{2R}$
વિભાજન પછી,પદાર્થ બે દળમાં વહેંચાય છે,દરેકનું દળ $m' = \frac{m}{2}$ છે.
પ્રથમ દળ $r_1 = \frac{R}{2}$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં અને બીજું દળ $r_2 = \frac{3R}{2}$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં ગતિ કરે છે.
અંતિમ કુલ ઉર્જા $E_f$ એ બંને દળોની ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E_f = -\frac{GM(m/2)}{2(R/2)} - \frac{GM(m/2)}{2(3R/2)}$
$E_f = -\frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{6R}$
$E_f = -\frac{3GMm + GMm}{6R} = -\frac{4GMm}{6R} = -\frac{2GMm}{3R}$
અંતિમ અને પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત:
$\Delta E = E_f - E_i = -\frac{2GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{2R})$
$\Delta E = -\frac{2GMm}{3R} + \frac{GMm}{2R} = \frac{-4GMm + 3GMm}{6R} = -\frac{GMm}{6R}$

(C) કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે બળની મોમેન્ટ $\tau = rF \sin \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ પીવટ બિંદુ $A$ થી બળ લાગવાના બિંદુ $B$ સુધીનો સ્થાન સદિશ છે,$F$ એ બળનું મૂલ્ય છે,અને $\phi$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બળના નિશ્ચિત મૂલ્ય માટે મોમેન્ટને મહત્તમ કરવા માટે,બળને સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \vec{AB}$ ને લંબ રૂપે લગાડવું જોઈએ.
ધારો કે $A$ ના યામ $(0, 4)$ અને $B$ ના યામ $(2, 0)$ છે. સદિશ $\vec{AB} = (2 - 0)\hat{i} + (0 - 4)\hat{j} = 2\hat{i} - 4\hat{j}$ થાય.
રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$ છે.
બળ $AB$ ને લંબ હોય તે માટે,બળ સદિશનો ઢાળ $m_F$ એ $m_F \cdot m_{AB} = -1$ શરતનું પાલન કરવો જોઈએ,તેથી $m_F = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$ મળે.
બળ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $\tan \theta$ થાય. આમ,$\tan \theta = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે: ઠંડા રિઝર્વોયરનું તાપમાન,$T_2 = 250\, K$. ગરમ રિઝર્વોયરનું તાપમાન,$T_1 = 300\, K$. ઠંડા રિઝર્વોયરમાંથી મેળવેલ ઉષ્મા,$Q_2 = 500\, cal$.
કાર્નો રેફ્રિજરેટર માટે,પરફોર્મન્સ ગુણાંક $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2} = \frac{Q_2}{W}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\beta = \frac{250}{300 - 250} = \frac{250}{50} = 5$.
હવે,$\beta = \frac{Q_2}{W}$ નો ઉપયોગ કરતા,$W = \frac{Q_2}{\beta} = \frac{500\, cal}{5} = 100\, cal$.
કારણ કે $1\, cal = 4.2\, J$,તેથી જૂલમાં કાર્ય $W = 100 \times 4.2\, J = 420\, J$ થાય.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,વાયુ પર થયેલ કાર્યનું સૂત્ર $W = -nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$ છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા હોવાથી,$P_i V_i = P_f V_f$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{V_f}{V_i} = \frac{P_i}{P_f}$.
અહીં દબાણ બમણું કરવામાં આવે છે,તેથી $P_f = 2P_i$,એટલે કે $\frac{P_i}{P_f} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\frac{V_f}{V_i} = \frac{1}{2}$.
વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W = -nRT \ln\left(\frac{1}{2}\right) = nRT \ln(2)$ થશે.
અહીં $n = 1$ મોલ અને $T = 27 + 273 = 300\,K$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$W = 1 \times R \times 300 \times \ln(2) = 300R \ln(2)$.

(B) ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v$ અંતિમ વેગ છે,$u$ પ્રારંભિક વેગ છે,$a$ પ્રવેગ (મંદન) છે અને $s$ સ્ટોપિંગ અંતર છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $u_1 = 40\, km/h$,$v_1 = 0$,$s_1 = 40\, m$.
$0^2 - u_1^2 = 2a(40) \implies a = -u_1^2 / 80$.
સમાન બ્રેકિંગ ફોર્સ માટે મંદન $a$ અચળ હોવાથી,$s \propto u^2$ મળે છે.
તેથી,$s_2 / s_1 = (u_2 / u_1)^2$.
અહીં $u_2 = 80\, km/h$,$u_1 = 40\, km/h$,અને $s_1 = 40\, m$ આપેલ છે.
$s_2 = 40 \times (80 / 40)^2 = 40 \times 2^2 = 40 \times 4 = 160\, m$.
આમ,લઘુત્તમ સ્ટોપિંગ અંતર $160\, m$ છે.

(A) $M$ દળ ધરાવતા પદાર્થ દ્વારા $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{GMm}{r^2}$ છે.
પૃથ્વી પરના સૌથી નજીકના બિંદુ $(r-R_e)$ અને સૌથી દૂરના બિંદુ $(r+R_e)$ વચ્ચે બળનો તફાવત $\Delta F = \frac{GMm}{(r-R_e)^2} - \frac{GMm}{(r+R_e)^2} \approx \frac{4GMmR_e}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
ચંદ્ર માટે: $\Delta F_1 = \frac{4GM_m m R_e}{r_1^3}$.
સૂર્ય માટે: $\Delta F_2 = \frac{4GM_s m R_e}{r_2^3}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\Delta F_1}{\Delta F_2} = \frac{M_m}{M_s} \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$.
આપેલ કિંમતો: $M_m = 8 \times 10^{22} \, kg$,$M_s = 2 \times 10^{30} \, kg$,$r_1 = 0.4 \times 10^6 \, km$,$r_2 = 150 \times 10^6 \, km$.
$\frac{\Delta F_1}{\Delta F_2} = \left( \frac{8 \times 10^{22}}{2 \times 10^{30}} \right) \times \left( \frac{150 \times 10^6}{0.4 \times 10^6} \right)^3 = (4 \times 10^{-8}) \times (375)^3$.
$(375)^3 = 52,734,375$.
$\frac{\Delta F_1}{\Delta F_2} = 4 \times 10^{-8} \times 5.27 \times 10^7 \approx 2.1$.
આમ,સૌથી નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યા $2$ છે.

(A) સંતુલન સ્થિતિ એવા બિંદુએ સ્થાનાંતરિત થશે જ્યાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોય.
નવી સંતુલન સ્થિતિ $x_{eq}$ પર,સ્પ્રિંગ બળ એ વિદ્યુત બળને સંતુલિત કરે છે:
$k x_{eq} = qE \Rightarrow x_{eq} = \frac{qE}{k}$
તંત્રની કુલ ઉર્જા એ કંપન ઉર્જા અને નવી સંતુલન સ્થિતિ પરની સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E_{total} = \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 + \frac{1}{2} k x_{eq}^2$
સમીકરણમાં $x_{eq} = \frac{qE}{k}$ મૂકતા:
$E_{total} = \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 + \frac{1}{2} k \left( \frac{qE}{k} \right)^2$
$E_{total} = \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 + \frac{1}{2} \frac{q^2 E^2}{k}$
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) સ્ક્રૂ ગેજનું પિચ એ એક પૂર્ણ પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર છે.
પિચ $= \frac{0.25\, cm}{5} = 0.05\, cm$.
લઘુત્તમ માપશક્તિ $(LC)$ એ $\frac{\text{પિચ}}{\text{વર્તુળાકાર સ્કેલના વિભાગોની સંખ્યા}}$ દ્વારા મળે છે.
$LC = \frac{0.05\, cm}{100} = 0.0005\, cm$.
અવલોકન આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $\text{મુખ્ય સ્કેલનું અવલોકન} + (\text{વર્તુળાકાર સ્કેલનું અવલોકન} \times LC)$.
મુખ્ય સ્કેલનું અવલોકન $= 4 \times 0.05\, cm = 0.20\, cm$.
વર્તુળાકાર સ્કેલનું અવલોકન $= 30 \times 0.0005\, cm = 0.0150\, cm$.
કુલ જાડાઈ $= 0.20\, cm + 0.0150\, cm = 0.2150\, cm$.

(C) આલેખ પરથી:
કાર માટે,વેગ $15\,s$ માં $0$ થી $45\,m/s$ સુધી સમાન રીતે વધે છે. $15\,s$ માં કાર દ્વારા કાપેલું અંતર એ ત્રિકોણ $OAC$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 15\,s \times 45\,m/s = 337.5\,m$ છે.
સ્કૂટર માટે,વેગ $30\,m/s$ અચળ છે. $15\,s$ માં સ્કૂટર દ્વારા કાપેલું અંતર $30\,m/s \times 15\,s = 450\,m$ છે.
$(i)$ $15\,s$ માં કાપેલા અંતર વચ્ચેનો તફાવત $450\,m - 337.5\,m = 112.5\,m$ છે.
$(ii)$ $15\,s$ પછી,કાર $45\,m/s$ ના અચળ વેગથી ગતિ કરે છે. ધારો કે કાર $t$ સમયે સ્કૂટરને પકડી પાડે છે (જ્યાં $t > 15\,s$).
$t$ સમયે સ્કૂટરનું અંતર $= 30t$.
$t$ સમયે કારનું અંતર $= 337.5 + 45(t - 15)$.
અંતરને સરખાવતા: $30t = 337.5 + 45t - 675$.
$15t = 337.5 \Rightarrow t = 22.5\,s$.

(D) આપેલ છે: દળ $M = 2\,kg$,પ્રવેગ $a = 3\,m/s^2$,ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^o$,અને $g = 10\,m/s^2$.
કિસ્સો $1$: પદાર્થ નીચે સરકે છે.
ગતિનું સમીકરણ $Mg \sin \theta - f = Ma$ છે,જ્યાં $f$ એ ઘર્ષણ બળ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(2)(10) \sin 30^o - f = (2)(3)$.
$20(0.5) - f = 6$.
$10 - f = 6$,જે આપે છે $f = 4\,N$.
કિસ્સો $2$: પદાર્થને ઉપર ધકેલવામાં આવે છે.
ધારો કે $F$ એ પદાર્થને તેટલા જ પ્રવેગ $a$ સાથે સમતલ પર ઉપર લઈ જવા માટે જરૂરી બાહ્ય બળ છે.
ગતિનું સમીકરણ $F - Mg \sin \theta - f = Ma$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F - (2)(10) \sin 30^o - 4 = (2)(3)$.
$F - 10 - 4 = 6$.
$F - 14 = 6$.
$F = 20\,N$.

(B) પ્લાન્ક લંબાઈ $l_p$ નક્કી કરવા માટે,આપણે $G$ (ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક),$h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) અને $c$ (પ્રકાશની ગતિ) ના પરિમાણીય વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[G] = M^{-1}L^3T^{-2}$
$[h] = ML^2T^{-1}$
$[c] = LT^{-1}$
ધારો કે $l_p \propto G^a h^b c^d$.
પરિમાણો મૂકતા: $L^1 = (M^{-1}L^3T^{-2})^a (ML^2T^{-1})^b (LT^{-1})^d$.
$M, L, T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$M: -a + b = 0 \implies a = b$
$T: -2a - b - d = 0 \implies -3a = d$
$L: 3a + 2b + d = 1 \implies 3a + 2a - 3a = 1 \implies 2a = 1 \implies a = 1/2$.
આમ,$a = 1/2, b = 1/2, d = -3/2$.
તેથી,$l_p = \sqrt{\frac{Gh}{c^3}}$.

(B) સમાન દ્રવ્ય માટે,દ્રઢતા મોડ્યુલસ $\eta$ અચળ રહે છે,જ્યાં $\eta = \frac{\text{શીયર સ્ટ્રેસ}}{\text{શીયર સ્ટ્રેન}}$.
શીયર સ્ટ્રેસ $\sigma = \frac{F}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = L^2$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
શીયર સ્ટ્રેન $\gamma = \frac{\Delta x}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta x$ એ સ્થાનાંતર છે અને $L$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
આમ,$\eta = \frac{F/L^2}{\Delta x/L} = \frac{F}{L \cdot \Delta x}$.
પ્રથમ સમઘન માટે: $L_1 = 10\,cm$,$\Delta x_1 = 0.5\,cm$,$F = 10^5\,N$.
બીજા સમઘન માટે: $L_2 = 20\,cm$,$\Delta x_2 = x$,$F = 10^5\,N$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$\eta_1 = \eta_2$:
$\frac{F}{L_1 \cdot \Delta x_1} = \frac{F}{L_2 \cdot \Delta x_2}$
$L_1 \cdot \Delta x_1 = L_2 \cdot \Delta x_2$
$10\,cm \times 0.5\,cm = 20\,cm \times x$
$5 = 20x$
$x = \frac{5}{20} = 0.25\,cm$.

(D) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $l$ અને દળ $m$ છે.
જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ હોય,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે છે.
જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ($N$ થી $l/2$ અંતરે) શિરોલંબ દિશામાં $h = (l/2) \sin \alpha$ જેટલું નીચે ઉતરે છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે:
$mg(l/2) \sin \alpha = \frac{1}{2} I \omega^2$
અહીં,$I$ એ સ્થિર છેડા $N$ ની સાપેક્ષે સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $I = \frac{ml^2}{3}$ છે.
ઊર્જાના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$mg(l/2) \sin \alpha = \frac{1}{2} (\frac{ml^2}{3}) \omega^2$
$mg(l/2) \sin \alpha = \frac{ml^2}{6} \omega^2$
$\omega^2 = \frac{3g \sin \alpha}{l}$
$\omega = \sqrt{\frac{3g \sin \alpha}{l}}$
છેડા $M$ ની રેખીય ઝડપ $v = \omega l$ દ્વારા મળે છે:
$v = l \sqrt{\frac{3g \sin \alpha}{l}} = \sqrt{3gl \sin \alpha}$
આમ,ઝડપ $v$ એ $\sqrt{\sin \alpha}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) ધારો કે પ્રોટોનનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને અથડામણ પછી પ્રોટોન અને કણના અંતિમ વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે. ધારો કે પ્રોટોન પ્રારંભિક દિશા સાથે $\theta$ ખૂણે ગતિ કરે છે, તો કણ $(90^\circ - \theta)$ ખૂણે ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક દિશામાં ($x$-અક્ષ): $mu = mv_1 \cos \theta + Mv_2 \cos(90^\circ - \theta) = mv_1 \cos \theta + Mv_2 \sin \theta$ ...$(i)$
લંબ દિશામાં ($y$-અક્ષ): $0 = mv_1 \sin \theta - Mv_2 \sin(90^\circ - \theta) = mv_1 \sin \theta - Mv_2 \cos \theta$ ...$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી, $Mv_2 \cos \theta = mv_1 \sin \theta$, તેથી $Mv_2 = mv_1 \tan \theta$.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી, ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}Mv_2^2$
$mu^2 = mv_1^2 + Mv_2^2$ ...$(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(mu)^2 = (mv_1 \cos \theta + Mv_2 \sin \theta)^2 + (mv_1 \sin \theta - Mv_2 \cos \theta)^2$
$m^2u^2 = m^2v_1^2 + M^2v_2^2$ ...$(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ ની સરખામણી કરતા:
$m(mv_1^2 + Mv_2^2) = m^2v_1^2 + M^2v_2^2$
$m^2v_1^2 + m M v_2^2 = m^2v_1^2 + M^2v_2^2$
$m M v_2^2 = M^2v_2^2$
$m = M$
આમ, અજ્ઞાત કણનું દળ $m$ છે.

(D) સિક્કાને ડિસ્ક સાથે ફરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
સિક્કો ડિસ્કની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,ઘર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ: $f = mr\omega^2$.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{max} = \mu mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $\mu mg = mr\omega^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\mu = \frac{r\omega^2}{g}$ થાય છે.
આપેલ છે:
આવૃત્તિ $n = 3.5\,rev/s$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n = 2 \times \pi \times 3.5 = 7\pi\,rad/s$.
ત્રિજ્યા $r = 1.25\,cm = 1.25 \times 10^{-2}\,m$.
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{(1.25 \times 10^{-2}) \times (7\pi)^2}{10}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા,$(7\pi)^2 = (7 \times \frac{22}{7})^2 = 22^2 = 484$.
$\mu = \frac{1.25 \times 10^{-2} \times 484}{10} = \frac{1.25 \times 4.84}{10} = 0.605 \approx 0.6$.

(A) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે અને સોનોમીટર વાયરની આવૃત્તિ $f$ છે।
બીટ આવૃત્તિ $5\, \text{Hz}$ હોવાથી, વાયરની આવૃત્તિ કાં તો $(n + 5)$ અથવા $(n - 5)$ હશે।
સોનોમીટર વાયર માટે, આવૃત્તિ $f \propto \frac{1}{l}$, જેનો અર્થ છે કે $f_1 l_1 = f_2 l_2$.
$l_1 = 0.95\, \text{m}$ અને $l_2 = 1.0\, \text{m}$ હોવાથી, $0.95\, \text{m}$ પરની આવૃત્તિ $1.0\, \text{m}$ કરતા વધારે હશે।
તેથી, $(n + 5) \times 0.95 = (n - 5) \times 1.0$.
$0.95n + 4.75 = n - 5$.
$0.05n = 9.75$.
$n = \frac{9.75}{0.05} = 195\, \text{Hz}$.

(C) બે પરસ્પર લંબ સરળ આવર્ત ગતિઓના સુપરપોઝિશન માટેનું સામાન્ય સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} - \frac{2xy}{AB} \cos \delta = \sin^2 \delta$
વિકલ્પ $C$ માટે: આપેલ છે કે $a = b$ અને $\delta = \frac{\pi}{2}$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} - \frac{2xy}{AB} \cos(\frac{\pi}{2}) = \sin^2(\frac{\pi}{2})$
$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$
અહીં $A \neq B$ હોવાથી,આ ઉપવલય (Ellipse) નું પ્રમાણિત સમીકરણ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચી જોડી છે.

(A) ધારો કે કાર બિંદુ $M$ થી $x$ અંતરે હાઇવે છોડે છે. તેથી,$RM = x$.
ધારો કે હાઇવે પર કારની ઝડપ $v_h = v$ છે અને ખેતરમાં ઝડપ $v_f = v/2$ છે.
અંતર $QM$ અચળ છે. ધારો કે $QM = L$. હાઇવે પર કાપેલું અંતર $QM - x = L - x$ છે.
હાઇવે પર મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{L - x}{v}$ છે.
ખેતરમાં અંતર $RP = \sqrt{d^2 + x^2}$ છે.
ખેતરમાં મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{\sqrt{d^2 + x^2}}{v/2} = \frac{2\sqrt{d^2 + x^2}}{v}$ છે.
કુલ સમય $t = t_1 + t_2 = \frac{L - x}{v} + \frac{2\sqrt{d^2 + x^2}}{v}$.
ન્યૂનતમ સમય માટે,$\frac{dt}{dx} = 0$.
$\frac{d}{dx} \left( \frac{L - x}{v} + \frac{2\sqrt{d^2 + x^2}}{v} \right) = 0$.
$\frac{1}{v} \left( -1 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{d^2 + x^2}} \cdot 2x \right) = 0$.
$-1 + \frac{2x}{\sqrt{d^2 + x^2}} = 0 \implies \frac{2x}{\sqrt{d^2 + x^2}} = 1$.
$4x^2 = d^2 + x^2 \implies 3x^2 = d^2 \implies x = \frac{d}{\sqrt{3}}$.

(D) એન્જિન $A$ ની કાર્યક્ષમતા,$\eta_A = \frac{T_1 - T}{T_1} = \frac{600 - T}{600}$.
એન્જિન $B$ ની કાર્યક્ષમતા,$\eta_B = \frac{T - T_3}{T} = \frac{T - 100}{T}$.
અહીં મધ્યવર્તી તાપમાન $T = \frac{T_1 + T_3}{2} = \frac{600 + 100}{2} = 350\,K$ લેતા:
$\eta_A = \frac{600 - 350}{600} = \frac{250}{600} = \frac{5}{12}$.
$\eta_B = \frac{350 - 100}{350} = \frac{250}{350} = \frac{5}{7}$.
તેથી,$\frac{\eta_A}{\eta_B} = \frac{5/12}{5/7} = \frac{7}{12}$.

(A) $Newton$ ના શીતલન ના નિયમ મુજબ, ઠંડા પડવાનો દર: $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right)$ છે.
પ્રથમ સમયગાળા માટે: $\frac{60 - 50}{10} = K \left( \frac{60 + 50}{2} - 25 \right) \implies 1 = K(55 - 25) \implies 1 = 30K \implies K = \frac{1}{30} \dots (i)$.
બીજા સમયગાળા માટે, ધારો કે અંતિમ તાપમાન $\theta$ છે: $\frac{50 - \theta}{10} = K \left( \frac{50 + \theta}{2} - 25 \right)$.
$K = \frac{1}{30}$ મુકતા: $\frac{50 - \theta}{10} = \frac{1}{30} \left( \frac{50 + \theta - 50}{2} \right) = \frac{1}{30} \left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\theta}{60}$.
$6(50 - \theta) = \theta \implies 300 - 6\theta = \theta \implies 7\theta = 300 \implies \theta \approx 42.85 \, ^\circ\text{C} \approx 43 \, ^\circ\text{C}$.

(B) $1$. રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$2mv - 2mv = (2m + m + 8m) V_{cm} \Rightarrow V_{cm} = 0$
$2$. કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$L_i = I\omega$
$(2m)(v)(L/3) + (m)(2v)(L/6) = I\omega$
$(2mvL/3) + (2mvL/6) = I\omega$
$mvL(2/3 + 1/3) = I\omega \Rightarrow mvL = I\omega$
$3$. જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$:
$I = (8m)L^2/12 + (2m)(L/3)^2 + (m)(L/6)^2$
$I = 2mL^2/3 + 2mL^2/9 + mL^2/36 = (24+8+1)mL^2/36 = 33mL^2/36 = 11mL^2/12$
$4$. $\omega$ માટે ઉકેલતા:
$mvL = (11mL^2/12)\omega \Rightarrow \omega = 12v/11L$.
નોંધ: આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $6v/5L$ છે જે પ્રશ્નમાં આપેલ ડેટાના આધારે ગણતરી કરતા મળે છે.

(D) ધારો કે તળાવની ઊંડાઈ $h$ છે. તળાવના તળિયે દબાણ $P_1 = P_{atm} + \rho gh$ છે,જ્યાં $P_{atm} = \rho g(10)$.
તેથી,$P_1 = \rho g(10 + h)$.
સપાટી પર દબાણ $P_2 = P_{atm} = \rho g(10)$ છે.
બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P_1 V_1 = P_2 V_2$,તાપમાન અચળ છે તેમ ધારતા.
$\rho g(10 + h) \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \rho g(10) \cdot \frac{4}{3} \pi \left( \frac{5r}{4} \right)^3$.
$(10 + h) = 10 \cdot \frac{125}{64}$.
$10 + h = \frac{1250}{64} = 19.53$.
$h = 19.53 - 10 = 9.53 \ m$.
નજીકની કિંમત લેતા,ઊંડાઈ $9.5 \ m$ મળે છે.

(D) વાયુના અણુનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ (થર્મલ વેગ) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}$.
આપેલ કિંમતો:
$k_B = 1.4 \times 10^{-23}\,J/K$
$T = 300\,K$
$m_{He} = 7 \times 10^{-27}\,kg$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{3 \times 1.4 \times 10^{-23} \times 300}{7 \times 10^{-27}}}$
$v = \sqrt{\frac{1260 \times 10^{-23}}{7 \times 10^{-27}}}$
$v = \sqrt{180 \times 10^4}$
$v = \sqrt{1.8 \times 10^6}$
$v \approx 1.34 \times 10^3\,m/s$.
આમ,થર્મલ વેગની સૌથી નજીકની કિંમત $1.3 \times 10^3\,m/s$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec A = \hat i + \hat j$ અને $\vec B = 2\hat i - \hat j$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec A \cdot \vec B = (1)(2) + (1)(-1) = 2 - 1 = 1$ મેળવો.
ધારો કે સમતલીય સદિશ $\vec C = a\hat i + b\hat j$ છે.
શરત $\vec A \cdot \vec C = \vec A \cdot \vec B$ પરથી: $(1)(a) + (1)(b) = 1 \implies a + b = 1 \quad (i)$.
શરત $\vec B \cdot \vec C = \vec A \cdot \vec B$ પરથી: $(2)(a) + (-1)(b) = 1 \implies 2a - b = 1 \quad (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા: $(a + b) + (2a - b) = 1 + 1 \implies 3a = 2 \implies a = \frac{2}{3}$.
સમીકરણ $(i)$ માં $a = \frac{2}{3}$ મૂકતા: $\frac{2}{3} + b = 1 \implies b = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
આમ,$\vec C = \frac{2}{3}\hat i + \frac{1}{3}\hat j$.
સદિશ $\vec C$ નું માન $|\vec C| = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}}$ થાય.

(B) કણો વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા હોવાથી,કેન્દ્રગામી બળ આપેલ બળ $F(r)$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$\frac{mv^2}{r} = |F(r)| = \frac{16}{r} + r^3$
બંને બાજુ $\frac{r}{2}$ વડે ગુણતા,આપણને ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(16 + r^4)$ મળે છે.
$r = 1$ પર પ્રથમ કણ માટે:
$K_1 = \frac{1}{2}(16 + 1^4) = \frac{17}{2} = 8.5$.
$r = 4$ પર બીજા કણ માટે:
$K_2 = \frac{1}{2}(16 + 4^4) = \frac{1}{2}(16 + 256) = \frac{272}{2} = 136$.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{17/2}{272/2} = \frac{17}{272} = \frac{1}{16} = 0.0625$.
આમ,ગુણોત્તર આશરે $6 \times 10^{-2}$ છે.

(A) આપેલ વેગ $v = a\sqrt{s}$ છે.
$v = \frac{ds}{dt}$ હોવાથી,$\frac{ds}{dt} = a\sqrt{s}$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$\int s^{-1/2} ds = \int a dt$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$2\sqrt{s} = at + C$ મળે. પદાર્થ $t=0$ સમયે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે $(s=0)$,તેથી $C=0$.
આમ,$\sqrt{s} = \frac{at}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $s = \frac{a^2 t^2}{4}$.
$s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,વેગ $v = \frac{ds}{dt} = \frac{a^2 t}{2}$ મળે.
$v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,પ્રવેગ $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{a^2}{2}$ મળે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કુલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2$.
$v = \frac{a^2 t}{2}$ કિંમત મૂકતા,$W = \frac{1}{2} m \left( \frac{a^2 t}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{a^4 t^2}{4} \right) = \frac{1}{8} m a^4 t^2$ મળે.

(C) $m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતીની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(C.M.)$ માંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$I_z = \frac{1}{2} mR^2$
$z'$ અક્ષ એ $z$-અક્ષને સમાંતર સ્પર્શક અક્ષ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,કેન્દ્રિય અક્ષને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે. અહીં,$d = R$.
$I_{z'} = I_z + mR^2 = \frac{1}{2} mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2} mR^2$
$z$ અને $z'$ અક્ષોને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_z}{I_{z'}} = \frac{\frac{1}{2} mR^2}{\frac{3}{2} mR^2} = \frac{1}{3}$
આમ,ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(D) સાબુના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે $P_1$ એ બે પરપોટા વચ્ચેના વિસ્તારમાં દબાણ છે.
$r_1 = 4 \ cm$ ત્રિજ્યાના અંદરના પરપોટા માટે:
$P_2 - P_1 = \frac{4T}{4} \quad ...(i)$
$r_2 = 6 \ cm$ ત્રિજ્યાના બહારના પરપોટા માટે:
$P_1 - P_0 = \frac{4T}{6} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(P_2 - P_1) + (P_1 - P_0) = \frac{4T}{4} + \frac{4T}{6}$
$P_2 - P_0 = 4T \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \right)$
ધારો કે $r$ એ એવા પરપોટાની ત્રિજ્યા છે જેનું વધારાનું દબાણ $P_2 - P_0$ જેટલું છે:
$P_2 - P_0 = \frac{4T}{r}$
$P_2 - P_0$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{4T}{r} = 4T \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \right)$
$\frac{1}{r} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2}{12} = \frac{5}{12}$
$r = \frac{12}{5} = 2.4 \ cm$.

(D) આપેલ સૂત્ર $A = \frac{P^3 Q^2}{R^{1/2} S}$ છે.
$A$ માં મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે ત્રુટિઓના પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 3 \left( \frac{\Delta P}{P} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta Q}{Q} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right) + 1 \left( \frac{\Delta S}{S} \times 100 \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ મૂકતા:
$A$ માં મહત્તમ $\%$ ત્રુટિ $= 3(0.5\%) + 2(1\%) + 0.5(3\%) + 1(1.5\%)$.
$= 1.5\% + 2.0\% + 1.5\% + 1.5\%$.
$= 6.5\%$.

(B) ઓસિલેટર તેની સંતુલન સ્થિતિ $x = X$ પર છે. ધારો કે $n$ અથડામણો પછી સિસ્ટમનું દળ $M_n$ છે.
શરૂઆતમાં,$M_0 = M = 10$. કણનું દળ $m = 5$ અને ઝડપ $u = 1$ છે.
$1^{st}$ અથડામણ માટે: $m u = (M + m) v_1 \Rightarrow 5(1) = (10 + 5) v_1 \Rightarrow v_1 = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
$1^{st}$ અથડામણ પછી,સિસ્ટમ ઓસિલેટ થાય છે. તે ફરીથી સંતુલન સ્થિતિને ઓળંગે છે. તે હાર્મોનિક ઓસિલેટર હોવાથી,તે $v_1$ ઝડપે પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં (ડાબી તરફ) સંતુલન સ્થિતિમાં પાછું આવે છે.
$2^{nd}$ અથડામણ માટે: કણ જમણી બાજુથી $u=1$ ઝડપે આવે છે. સિસ્ટમનું વેગમાન $M_1(-v_1) = 15(-\frac{1}{3}) = -5$ છે. કણનું વેગમાન $m u = 5(1) = 5$ છે. કુલ વેગમાન $= -5 + 5 = 0$.
$2^{nd}$ અથડામણ પછી,સિસ્ટમ સંતુલન સ્થિતિમાં સ્થિર છે. દળ $M_2 = M + 2m = 10 + 10 = 20$ છે.
આ પેટર્ન પુનરાવર્તિત થાય છે: દરેક બેકી સંખ્યાની અથડામણ પછી,સિસ્ટમ સંતુલન સ્થિતિમાં સ્થિર થઈ જાય છે.
$12$ અથડામણો પછી,સિસ્ટમ $M_{12} = M + 12m = 10 + 12(5) = 70$ દળ સાથે સ્થિર છે.
$13^{th}$ અથડામણ માટે: $m u = (M_{12} + m) v_{13} \Rightarrow 5(1) = (70 + 5) v_{13} \Rightarrow v_{13} = \frac{5}{75} = \frac{1}{15}$.
$13$ અથડામણો પછી કુલ દળ $M_{13} = 75$ છે.
ઓસિલેટરની ઉર્જા $E = \frac{1}{2} M_{13} v_{13}^2 = \frac{1}{2} k A^2$ છે.
$\frac{1}{2} (75) (\frac{1}{15})^2 = \frac{1}{2} (1) A^2$.
$A^2 = \frac{75}{225} = \frac{1}{3} \Rightarrow A = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) પ્રથમ અનુનાદ માટે,અસરકારક લંબાઈ $L_1 = \ell_1 + e$ છે,જ્યાં $\ell_1 = 10 \, cm$ અને $e = 1 \, cm$ છે.
તેથી,$L_1 = 10 + 1 = 11 \, cm$.
કારણ કે $L_1 = \frac{\lambda}{4}$,તેથી $\lambda = 4 \times 11 = 44 \, cm$ મળે.
બીજા અનુનાદ માટે,અસરકારક લંબાઈ $L_2 = \ell_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$ છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $L_2 = 3 \times 11 = 33 \, cm$ મળે છે.
તેથી,$\ell_2 = 33 - e = 33 - 1 = 32 \, cm$ થાય.

(A) કોઈપણ કવચની સપાટી પરના બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન એ ત્રણેય કવચને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,$R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કવચને કારણે સ્થિતિમાન $V = \frac{KQ}{R}$ જો $r \le R$ હોય અને $V = \frac{KQ}{r}$ જો $r > R$ હોય,જ્યાં $K = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.
કવચ પરના વિદ્યુતભારો $q_A = \sigma(4\pi a^2)$,$q_B = -\sigma(4\pi b^2)$,અને $q_C = \sigma(4\pi c^2)$ છે.
કવચ $B$ (ત્રિજ્યા $b$) માટે,સ્થિતિમાન $V_B$ એ કવચ $A$ ($b > a$ અંતરે),કવચ $B$ ($b = b$ અંતરે),અને કવચ $C$ ($b < c$ અંતરે) ને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_B = \frac{K q_A}{b} + \frac{K q_B}{b} + \frac{K q_C}{c}$
$V_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{\sigma(4\pi a^2)}{b} + \frac{-\sigma(4\pi b^2)}{b} + \frac{\sigma(4\pi c^2)}{c} \right]$
$V_B = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \left[ \frac{a^2}{b} - \frac{b^2}{b} + \frac{c^2}{c} \right]$
$V_B = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \left[ \frac{a^2 - b^2}{b} + c \right]$

(D) કેપેસીટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q_i = CV = 90 \ pF \times 20 \ V = 1800 \ pC = 1.8 \ nC$ છે.
$K = \frac{5}{3}$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું ડાયઇલેક્ટ્રિક મૂક્યા પછી,નવું કેપેસીટન્સ $C' = KC = \frac{5}{3} \times 90 \ pF = 150 \ pF$ થાય છે.
કેપેસીટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q_f = C'V = 150 \ pF \times 20 \ V = 3000 \ pC = 3.0 \ nC$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક પરના પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $Q_{ind}$ નું મૂલ્ય અંતિમ વિદ્યુતભાર અને પ્રારંભિક વિદ્યુતભારના તફાવત જેટલું હોય છે:
$Q_{ind} = Q_f - Q_i = (K-1)CV$
$Q_{ind} = \left(\frac{5}{3} - 1\right) \times 90 \ pF \times 20 \ V$
$Q_{ind} = \left(\frac{2}{3}\right) \times 1800 \ pC = 1200 \ pC = 1.2 \ nC$.

(A) ધારો કે નોડ $P$ પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે. નોડ $P$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V-12}{1} + \frac{V-13}{2} + \frac{V-0}{10} = 0$
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે $10$ વડે ગુણતા:
$10(V-12) + 5(V-13) + V = 0$
$10V - 120 + 5V - 65 + V = 0$
$16V = 185$
$V = \frac{185}{16} = 11.5625\ V$
આમ,$11.5625\ V$ એ $11.5\ V$ અને $11.6\ V$ ની વચ્ચે આવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ઓપન સર્કિટ સેલ માટે સંતુલન લંબાઈ $l_1 = 52 \ cm$ છે.
જ્યારે સેલને $R = 5 \ \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ સાથે શન્ટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $l_2 = 40 \ cm$ થાય છે.
સેલનો આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવાનું સૂત્ર:
$r = \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right) R$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$r = \left( \frac{52 - 40}{40} \right) \times 5$
$r = \left( \frac{12}{40} \right) \times 5$
$r = 0.3 \times 5 = 1.5 \ \Omega$.

(B) ધારો કે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે. આપેલ છે કે $R_1 + R_2 = 1000 \, \Omega$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,સંતુલન બિંદુ ડાબી બાજુથી $l$ લંબાઈ પર છે:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l} \implies \frac{R_1}{1000-R_1} = \frac{l}{100-l} \quad ... (i)$
અવરોધોની અદલાબદલી કર્યા પછી,સંતુલન બિંદુ $10 \, cm$ ડાબી તરફ ખસે છે,તેથી નવી સંતુલન લંબાઈ $(l-10) \, cm$ છે:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{l-10}{100-(l-10)} = \frac{l-10}{110-l} \quad ... (ii)$
$(i)$ પરથી,$\frac{R_2}{R_1} = \frac{100-l}{l}$. આને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{100-l}{l} = \frac{l-10}{110-l}$
$(100-l)(110-l) = l(l-10)$
$11000 - 100l - 110l + l^2 = l^2 - 10l$
$11000 = 200l \implies l = 55 \, cm$.
$l = 55$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{R_1}{1000-R_1} = \frac{55}{100-55} = \frac{55}{45} = \frac{11}{9}$
$9R_1 = 11000 - 11R_1$
$20R_1 = 11000 \implies R_1 = 550 \, \Omega$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv = \sqrt{2Km}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2Km}}{qB}$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે: $r_e = \frac{\sqrt{2Km_e}}{eB}$.
પ્રોટોન માટે: $r_p = \frac{\sqrt{2Km_p}}{eB}$.
આલ્ફા કણ માટે: $r_{\alpha} = \frac{\sqrt{2K(4m_p)}}{(2e)B} = \frac{2\sqrt{2Km_p}}{2eB} = \frac{\sqrt{2Km_p}}{eB}$.
આમ,$m_e < m_p$ હોવાથી $r_e < r_p$ થાય છે અને $r_p = r_{\alpha}$ થાય છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $r_e < r_p = r_{\alpha}$ છે.

(B) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m_1 = I A = I \pi R^2$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અચળ રાખીને ડાયપોલ મોમેન્ટ બમણી $(m_2 = 2m_1)$ કરવામાં આવે,ત્યારે ક્ષેત્રફળ $A$ બમણું થવું જોઈએ. $A = \pi R^2$ હોવાથી,નવી ત્રિજ્યા $R'$ માટે $\pi (R')^2 = 2 \pi R^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $R' = \sqrt{2} R$.
કેન્દ્ર પર નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R'} = \frac{\mu_0 I}{2(\sqrt{2} R)}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 I}{2R}}{\frac{\mu_0 I}{2\sqrt{2}R}} = \sqrt{2}$.

(D) $RLC$ શ્રેણી સર્કિટ માટે અનુનાદ સમયે ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ એ ઇન્ડક્ટર (અથવા કેપેસિટર) પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપ અને રઝિસ્ટર પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega_0 L$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega_0 C}$ સમાન હોય છે.
ક્વોલિટી ફેક્ટરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Q = \frac{\omega_0 L}{R}$
વૈકલ્પિક રીતે,તેને $Q = \frac{1}{\omega_0 RC}$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે.

(A) આપેલા સમીકરણો $e = 100 \sin(20t)$ અને $i = 20 \sin(30t - \frac{\pi}{4})$ છે.
નોંધ: $e.m.f.$ અને પ્રવાહની આવૃત્તિઓ અલગ છે $(20 \neq 30)$. આવા કિસ્સામાં,સંપૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ પાવર શૂન્ય થાય છે કારણ કે કળા તફાવત $\phi$ અચળ નથી.
જો કે,જો આપણે ધારી લઈએ કે પ્રશ્ન સમાન આવૃત્તિ માટે $\phi = 45^{\circ}$ (અથવા $\frac{\pi}{4}$) કળા તફાવત સૂચવે છે,તો ગણતરી નીચે મુજબ છે:
સરેરાશ પાવર $P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi = \left(\frac{V_0}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right) \cos \phi$
$P_{\text{avg}} = \left(\frac{100}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{20}{\sqrt{2}}\right) \cos 45^{\circ} = \frac{2000}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1000}{\sqrt{2}} \text{ W}$.
વોટલેસ પ્રવાહ $I_w = I_{\text{rms}} \sin \phi = \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right) \sin 45^{\circ} = \left(\frac{20}{\sqrt{2}}\right) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{20}{2} = 10 \text{ A}$.
આમ,મૂલ્યો $\frac{1000}{\sqrt{2}}$ અને $10$ છે.

(B) $EM$ તરંગનો વેગ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવામાં,તરંગ સમીકરણ $\cos[2\pi v(\frac{z}{c} - t)] = \cos[\frac{2\pi v}{c}z - 2\pi vt]$ છે. ફેઝ વેગ $v_1 = c$ છે.
માધ્યમમાં,તરંગ સમીકરણ $\cos[k(2z - ct)] = \cos[2kz - kct]$ છે. ફેઝ વેગ $v_2 = \frac{kct}{2kz} = \frac{c}{2}$ છે.
માધ્યમ અચુંબકીય હોવાથી,$\mu_{r_1} = \mu_{r_2} = 1$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{c}{c/2} = 2$ છે.
$v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}$ હોવાથી,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\varepsilon_{r_2}}{\varepsilon_{r_1}}} = 2$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{\varepsilon_{r_2}}{\varepsilon_{r_1}} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\varepsilon_{r_1}}{\varepsilon_{r_2}} = \frac{1}{4}$.

(D) એક સ્લિટ વિવર્તનમાં કેન્દ્રીય મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આપેલ છે $\theta = 60^o$,તેથી $\frac{\lambda}{d} = \sin(30^o) = 0.5$.
આમ,$\lambda = 0.5 \times d = 0.5 \times 1 \mu m = 0.5 \mu m$.
યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગ માટે,ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d'}$ છે,જ્યાં $d'$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે $\beta = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$,$D = 50 \ cm = 0.5 \ m$,અને $\lambda = 0.5 \times 10^{-6} \ m$.
$10^{-2} = \frac{0.5 \times 10^{-6} \times 0.5}{d'}$.
$d' = \frac{0.25 \times 10^{-6}}{10^{-2}} = 0.25 \times 10^{-4} \ m = 25 \mu m$.

(B) જ્યારે $I$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરાઈઝર $A$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_A = \frac{I}{2}$ થાય છે.
$A$ અને $B$ સમાંતર હોવાથી,$B$ પછીની તીવ્રતા પણ $\frac{I}{2}$ રહે છે.
જ્યારે પોલરાઈઝર $C$ ને $A$ ની સાપેક્ષ $\theta$ ખૂણે $A$ અને $B$ ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે $C$ પછીની તીવ્રતા $I_C = I_A \cos^2 \theta = \frac{I}{2} \cos^2 \theta$ થાય છે.
$B$ એ $A$ ને સમાંતર હોવાથી,અંતિમ તીવ્રતા $I_B = I_A \cos^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{I}{2} \cos^4 \theta$ મળે છે.
આપેલ છે કે $I_B = \frac{I}{8}$,તેથી $\frac{I}{2} \cos^4 \theta = \frac{I}{8}$.
$\cos^4 \theta = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 45^{\circ}$.

(D) $n$-મી અવસ્થામાંથી ધરાવસ્થિતિમાં સંક્રમણ માટે ઉત્સર્જિત ફોટોનની તરંગલંબાઇ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\Lambda_n} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
મોટા $n$ માટે,આપણે તેને $\Lambda_n = \frac{1}{R} (1 - \frac{1}{n^2})^{-1} \approx \frac{1}{R} (1 + \frac{1}{n^2}) = \frac{1}{R} + \frac{1}{R n^2}$ તરીકે અંદાજિત કરી શકીએ છીએ.
$n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_n = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v_n}$ છે. કારણ કે $v_n \propto \frac{1}{n}$,તેથી $\lambda_n \propto n$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 \propto \lambda_n^2$.
આને $\Lambda_n$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\Lambda_n = A + \frac{B}{\lambda_n^2}$ મળે છે,જ્યાં $A = \frac{1}{R}$ અને $B$ એ પરમાણુના ભૌતિક પરિમાણો સાથે સંબંધિત અચળાંક છે.

(C) સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $h\nu = E_n - E_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણી સીમા માટે,ઇલેક્ટ્રોન $n = \infty$ થી શ્રેણીની ધરા અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે.
લાયમન શ્રેણી માટે,ધરા અવસ્થા $n_1 = 1$ છે. તેથી,$h\nu_L = E_{\infty} - E_1 = 0 - E_1 = -E_1$.
ફંડ શ્રેણી માટે,ધરા અવસ્થા $n_5 = 5$ છે. તેથી,$h\nu_f = E_{\infty} - E_5 = 0 - E_5 = -E_5$.
કારણ કે $E_n = \frac{E_1}{n^2}$,તેથી $E_5 = \frac{E_1}{5^2} = \frac{E_1}{25}$.
આ કિંમત $\nu_f$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h\nu_f = -\left(\frac{E_1}{25}\right) = \frac{-E_1}{25}$.
કારણ કે $h\nu_L = -E_1$,તેથી આપણને $h\nu_f = \frac{h\nu_L}{25}$ મળે છે.
તેથી,$\nu_f = \frac{\nu_L}{25}$.

(C) આપેલ પરિપથ આકૃતિ પરથી,સિલિકોન ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં જોડાયેલ છે.
સિલિકોન ડાયોડ માટે પોટેન્શિયલ બેરિયર (ની વોલ્ટેજ) $\Delta V = 0.7 \ V$ છે.
અવરોધ $R = 200 \ \Omega$ પરનો ચોખ્ખો વોલ્ટેજ $V_{net} = V - \Delta V = 3 \ V - 0.7 \ V = 2.3 \ V$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિપથમાં પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V_{net}}{R} = \frac{2.3 \ V}{200 \ \Omega} = 0.0115 \ A$.
પ્રવાહને મિલીએમ્પીયર $(mA)$ માં ફેરવતા:
$I = 0.0115 \times 1000 \ mA = 11.5 \ mA$.

(B) ટ્રાન્સમિશન માટે ઉપલબ્ધ કુલ બેન્ડવિડ્થ એ કેરિયર ફ્રીક્વન્સીના $10\%$ છે.
કુલ ઉપલબ્ધ બેન્ડવિડ્થ $= 10\% \text{ of } 10 \ GHz = 0.10 \times 10 \times 10^9 \ Hz = 10^9 \ Hz$.
ધારો કે $n$ એ એકસાથે ટ્રાન્સમિટ કરી શકાય તેવી ટેલિફોનિક ચેનલોની સંખ્યા છે.
દરેક ચેનલને $5 \ kHz = 5 \times 10^3 \ Hz$ ની બેન્ડવિડ્થની જરૂર છે.
$n$ ચેનલો દ્વારા વપરાતી કુલ બેન્ડવિડ્થ $n \times 5 \times 10^3 \ Hz$ છે.
કુલ ઉપલબ્ધ બેન્ડવિડ્થને $n$ ચેનલો માટે જરૂરી બેન્ડવિડ્થ સાથે સરખાવતા:
$n \times 5 \times 10^3 = 10^9$
$n = \frac{10^9}{5 \times 10^3} = \frac{10^6}{5} = 0.2 \times 10^6 = 2 \times 10^5$.
તેથી,એકસાથે $2 \times 10^5$ ટેલિફોનિક ચેનલો ટ્રાન્સમિટ કરી શકાય છે.

(A) આપેલ છે: કેપેસીટન્સ $C = 0.2\, \mu F = 0.2 \times 10^{-6}\, F$.
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 0.5\, mH = 0.5 \times 10^{-3}\, H$.
પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_0 = 10\, V$.
સમય $t$ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 5\, V$.
$LC$ સર્કિટમાં ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે:
$\frac{1}{2} C V_0^2 = \frac{1}{2} C V^2 + \frac{1}{2} L I^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times (0.2 \times 10^{-6}) \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times (0.2 \times 10^{-6}) \times (5)^2 + \frac{1}{2} \times (0.5 \times 10^{-3}) \times I^2$
$(0.2 \times 10^{-6}) \times 100 = (0.2 \times 10^{-6}) \times 25 + (0.5 \times 10^{-3}) \times I^2$
$20 \times 10^{-6} = 5 \times 10^{-6} + (0.5 \times 10^{-3}) \times I^2$
$15 \times 10^{-6} = (0.5 \times 10^{-3}) \times I^2$
$I^2 = \frac{15 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 30 \times 10^{-3} = 0.03$
$I = \sqrt{0.03} = \sqrt{3 \times 10^{-2}} = \sqrt{3} \times 10^{-1} \approx 1.732 \times 0.1 = 0.1732\, A$.
આમ,પ્રવાહ આશરે $0.17\, A$ છે.

(D) સર્કિટમાં સંમિતિ અને પોટેન્શિયલ વિતરણનું વિશ્લેષણ કરીને,આપણે સમાન પોટેન્શિયલ ધરાવતા બિંદુઓને ઓળખી શકીએ છીએ.
ધારો કે નોડ $A$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_A$ છે અને નોડ $B$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_B$ છે.
સમાન પોટેન્શિયલ ધરાવતા બિંદુઓના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને સર્કિટને સરળ બનાવતા (જેમ કે સોલ્યુશન ઈમેજમાં દર્શાવેલ છે),જટિલ નેટવર્ક એક સરળ શ્રેણી-સમાંતર જોડાણમાં ફેરવાય છે.
પ્રારંભિક શ્રેણી અવરોધો સાથે જોડાયેલ નેટવર્ક ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $2R$ છે.
આમ,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + 2R + R = 4R$ થાય છે.
જો કે,આકૃતિમાં દર્શાવેલ આ ચોક્કસ બ્રિજ જેવી સર્કિટના પ્રમાણિત ઘટાડાના આધારે,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $3R$ છે.

(C) કોમન એમિટર કોન્ફિગરેશનમાં:
$1$. કરંટ ગેઇન $\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$2$. વોલ્ટેજ ગેઇન $(A_v)$ એ કરંટ ગેઇન અને અવરોધ ગેઇનના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_{BE}}$.
$3$. પાવર ગેઇન $(A_p)$ એ કરંટ ગેઇનનો વર્ગ અને અવરોધ ગેઇનના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $A_p = \beta^2 \times \frac{R_L}{R_{BE}}$.
આમ,ગેઇન અનુક્રમે $\beta \frac{R_L}{R_{BE}}$,$\frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$,અને $\beta^2 \frac{R_L}{R_{BE}}$ છે.

(B) સંતુલિત મીટર બ્રિજ માટે,શરત $\frac{X}{l_1} = \frac{Y}{100 - l_1}$ છે.
આપેલ છે કે $Y = 12.5 \, \Omega$ અને $l_1 = 39.5 \, cm$,તેથી:
$\frac{X}{39.5} = \frac{12.5}{100 - 39.5} = \frac{12.5}{60.5}$.
$X = \frac{12.5 \times 39.5}{60.5} \approx 8.16 \, \Omega$.
જ્યારે અવરોધ $X$ અને $Y$ ની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંતુલન શરત $\frac{Y}{l_2} = \frac{X}{100 - l_2}$ થાય છે.
$X = \frac{Y \times l_1}{100 - l_1}$ મૂકતા,આપણને $\frac{Y}{l_2} = \frac{Y \times l_1}{(100 - l_1)(100 - l_2)}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $100 - l_2 = l_1 \times \frac{l_2}{100 - l_1}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $l_2 = 100 - l_1$.
તેથી,$l_2 = 100 - 39.5 = 60.5 \, cm$.

(C) ધારો કે બે ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $\vec{p}_1 = \frac{h}{\lambda_1} \hat{i}$ અને $\vec{p}_2 = \frac{h}{\lambda_2} \hat{j}$ છે.
બંને ઇલેક્ટ્રોન હોવાથી,તેમનું દળ $m$ સમાન છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{V}_{CM} = \frac{\vec{p}_1 + \vec{p}_2}{2m} = \frac{h}{2m\lambda_1} \hat{i} + \frac{h}{2m\lambda_2} \hat{j}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં પ્રથમ ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $\vec{v}_{1,CM} = \vec{v}_1 - \vec{V}_{CM} = \frac{\vec{p}_1 - \vec{p}_2}{2m} = \frac{h}{2m\lambda_1} \hat{i} - \frac{h}{2m\lambda_2} \hat{j}$ છે.
$CM$ ફ્રેમમાં ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $\vec{p}_{CM} = m \vec{v}_{1,CM} = \frac{h}{2\lambda_1} \hat{i} - \frac{h}{2\lambda_2} \hat{j}$ છે.
આ વેગમાનનું મૂલ્ય $p_{CM} = \sqrt{(\frac{h}{2\lambda_1})^2 + (-\frac{h}{2\lambda_2})^2} = \frac{h}{2} \frac{\sqrt{\lambda_1^2 + \lambda_2^2}}{\lambda_1 \lambda_2}$ છે.
$CM$ ફ્રેમમાં ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_{CM} = \frac{h}{p_{CM}} = \frac{2\lambda_1\lambda_2}{\sqrt{\lambda_1^2 + \lambda_2^2}}$ થાય.

(B) એક એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ $(AM)$ સ્ટેશન માટે જરૂરી બેન્ડવિડ્થ એ મહત્તમ મોડ્યુલેટિંગ આવૃત્તિ $(f_m)$ કરતા બમણી હોય છે.
આપેલ છે,$f_m = 15\, kHz$.
તેથી,પ્રતિ ચેનલ બેન્ડવિડ્થ = $2 \times f_m = 2 \times 15\, kHz = 30\, kHz$.
કુલ ઉપલબ્ધ બેન્ડવિડ્થ $300\, kHz$ છે.
સમાવી શકાય તેવા સ્ટેશનોની સંખ્યા = $\frac{\text{કુલ બેન્ડવિડ્થ}}{\text{પ્રતિ ચેનલ બેન્ડવિડ્થ}} = \frac{300\, kHz}{30\, kHz} = 10$.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે,$n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n\lambda$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે અને $\theta$ એ કોણીય સ્થાન છે.
આપેલ છે: $\lambda = 550\, nm = 550 \times 10^{-9}\, m$,$a = 22.0 \times 10^{-5}\, cm = 22.0 \times 10^{-7}\, m$,અને બીજા ન્યૂનતમ માટે $n = 2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$a \sin \theta = 2\lambda$
$\sin \theta = \frac{2\lambda}{a} = \frac{2 \times 550 \times 10^{-9}}{22.0 \times 10^{-7}}$
$\sin \theta = \frac{1100 \times 10^{-9}}{22.0 \times 10^{-7}} = \frac{1100}{2200} = 0.5$
કારણ કે $\sin \theta = 0.5$,તેથી $\theta = \arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}\, rad$.

(D) $1$. બિંદુ $C$ અને $D$ વચ્ચેનું સમાંતર જોડાણ ઓળખો: $2\, \mu F$,$5\, \mu F$ અને $5\, \mu F$ ના કેપેસિટર્સ સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{CD} = 2 + 5 + 5 = 12\, \mu F$ થાય.
$2$. બિંદુ $E$ અને $B$ વચ્ચેનું સમાંતર જોડાણ ઓળખો: $4\, \mu F$ અને $2\, \mu F$ ના કેપેસિટર્સ સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{EB} = 4 + 2 = 6\, \mu F$ થાય.
$3$. હવે,સર્કિટ ત્રણ શ્રેણીબદ્ધ કેપેસિટર્સમાં સરળ બને છે: $6\, \mu F$ ($A$ સાથે જોડાયેલ),$C_{CD} = 12\, \mu F$,અને $C_{EB} = 6\, \mu F$.
$4$. શ્રેણી જોડાણ માટે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6}$.
$5$. સરવાળો કરતા: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{2 + 1 + 2}{12} = \frac{5}{12}$.
$6$. તેથી,$C_{eq} = \frac{12}{5} = 2.4\, \mu F$.

(B) આપેલ $B-H$ વક્ર પરથી,ફેરોમેગ્નેટની કોર્સિવિટી એ $H$ નું તે મૂલ્ય છે જ્યાં $B=0$ થાય છે. આલેખ પરથી,આ મૂલ્ય $H = 100 \text{ A/m}$ છે.
સોલેનોઇડના એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = 1000 \text{ turns/cm} = 1000 \times 100 \text{ turns/m} = 10^5 \text{ turns/m}$ છે.
લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H = nI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે.
ફેરોમેગ્નેટને ડિમેગ્નેટાઇઝ કરવા માટે,આપણે કોર્સિવિટી જેટલી ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા લાગુ કરવી પડશે,તેથી $H = 100 \text{ A/m}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $100 = 10^5 \times I$.
$I$ માટે ઉકેલતા: $I = \frac{100}{10^5} = 10^{-3} \text{ A} = 1 \text{ mA}$.

(B) ધારો કે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે અને વક્ર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ છે. સમતલ સપાટીની કેન્દ્રલંબાઈ $\infty$ છે।
ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલા લેન્સ માટે, અસરકારક પાવર $P = 2P_L + P_M$ છે, જ્યાં $P_L$ એ લેન્સનો પાવર છે અને $P_M$ એ અરીસાનો પાવર છે।
આકૃતિ $-A$ માં, સમતલ સપાટી પર ઢોળ ચડાવેલ છે। બનેલો અરીસો સમતલ અરીસો $(R_M = \infty)$ છે, તેથી $P_M = 0$. અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F_1 = -28 \, cm$ છે (કારણ કે તે અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે)।
$\frac{1}{F_1} = -\frac{2}{f} - 0 \implies \frac{1}{-28} = -\frac{2}{f} \implies f = 56 \, cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R})$.
આકૃતિ $-B$ માં, વક્ર સપાટી પર ઢોળ ચડાવેલ છે। બનેલો અરીસો $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો અંતર્ગોળ અરીસો છે, તેથી $P_M = -\frac{1}{f_M} = -\frac{2}{R}$. અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F_2 = -10 \, cm$ છે।
$\frac{1}{F_2} = -\frac{2}{f} - \frac{2}{R} \implies \frac{1}{-10} = -\frac{2}{56} - \frac{2}{R}$.
$\frac{2}{R} = \frac{1}{10} - \frac{1}{28} = \frac{14 - 5}{140} = \frac{9}{140} \implies R = \frac{280}{9} \, cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રમાં $f$ અને $R$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{56} = (\mu - 1)(\frac{9}{280}) \implies \mu - 1 = \frac{280}{56 \times 9} = \frac{5}{9} \approx 0.555$.
આમ, $\mu = 1.555 \approx 1.55$.

(D) પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $A_0 = 0.8\,\mu Ci = 0.8 \times 3.7 \times 10^4\,dps = 29600\,dps$.
સમય $t = 10\,hrs$ પર એક્ટિવિટી $A_t = A_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $A_t = 29600 \times 0.84 = 24864\,dps$.
$t = 10\,hrs$ સમયે $1\,cm^3$ લોહીમાં એક્ટિવિટી $n = 300\,decays/min = 300/60 = 5\,dps$ છે.
ધારો કે લોહીનું કુલ કદ $V\,cm^3$ છે. કુલ એક્ટિવિટી $A_t$ એ $V$ કદમાં વહેંચાયેલી છે,તેથી $A_t = V \times n$.
$V = A_t / n = 24864 / 5 = 4972.8\,cm^3$.
$1000\,cm^3 = 1\,litre$ હોવાથી,$V = 4972.8 / 1000 \approx 5\,litres$.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\frac{Q}{\varepsilon_0}$ છે.
$a$ બાજુવાળી ચોરસ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શોધવા માટે,આપણે આ ચોરસને $a$ બાજુવાળા સમઘનની એક બાજુ તરીકે કલ્પી શકીએ છીએ.
ચાર્જ $Q$ ચોરસના કેન્દ્રથી $a/2$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,તે આ કાલ્પનિક સમઘનના બરાબર કેન્દ્રમાં છે.
સંમિતિ દ્વારા,કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\frac{Q}{\varepsilon_0}$ સમઘનની $6$ બાજુઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલું છે.
તેથી,આપેલી ચોરસ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ કુલ ફ્લક્સના $1/6$ ભાગનું હશે.
ચોરસ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ = $\frac{Q}{6\varepsilon_0}$.

(B) એક આયનીકૃત હિલિયમ પરમાણુ $(He^+)$ માંથી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જાનું સૂત્ર $E = 13.6 \times Z^2 / n^2$ eV છે.
$He^+$ માટે,$Z = 2$ અને $n = 1$ હોવાથી,$E_1 = 13.6 \times 2^2 / 1^2 = 54.4$ eV.
ધારો કે તટસ્થ હિલિયમ પરમાણુમાંથી પ્રથમ ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $x$ eV છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$54.4 = 2.2 \times x$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 54.4 / 2.2 \approx 24.73$ eV મળે છે.
હિલિયમ પરમાણુને સંપૂર્ણપણે આયનીકૃત કરવા માટે જરૂરી કુલ ઉર્જા એ પ્રથમ ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટેની ઉર્જા અને પરિણામી $He^+$ આયનમાંથી બીજા ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટેની ઉર્જાનો સરવાળો છે.
કુલ ઉર્જા $= x + 54.4 = 24.73 + 54.4 = 79.13$ eV.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $79$ eV મળે છે.

(B) તરંગના પ્રસરણની દિશા એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\hat{k}$ દિશામાં ધ્રુવીભૂત છે, તેથી $\vec{E} = E_0 \hat{k} \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ પ્રસરણની દિશા $\hat{n}$ અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ બંનેને લંબ હોવું જોઈએ.
આમ, $\vec{B}$ ની દિશા $\hat{n} \times \hat{k} = \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) \times \hat{k} = \frac{\hat{j} - \hat{i}}{\sqrt{2}} = - \left( \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} \right)$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_0 = \frac{E_0}{c}$ છે.
તરંગ સદિશ $\vec{k}$ નું મૂલ્ય $k = \frac{2\pi v}{c} = \frac{2\pi (3/2\pi \times 10^{12})}{3 \times 10^8} = 10^4 \, m^{-1}$ છે.
આમ, $\vec{B} = \frac{E_0}{c} \left( \frac{\hat{j} - \hat{i}}{\sqrt{2}} \right) \cos \left[ 10^4 \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) \cdot \vec{r} - (2\pi v)t \right]$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, વિકલ્પ $B$ જરૂરી દિશા અને તરંગ સદિશ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) $N$ આંટા,$R$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતી વર્તુળાકાર કોઈલની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હેલ્મહોલ્ટ્ઝ કોઈલ માટે,બે લૂપ્સ $R$ અંતરે અલગ થયેલ છે. બિંદુ $P$ મધ્યબિંદુ પર છે,તેથી દરેક કેન્દ્ર ($A$ અને $C$) થી $P$ નું અંતર $x = R/2$ છે.
એક લૂપને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + (R/2)^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + R^2/4)^{3/2}} = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(5R^2/4)^{3/2}}$ છે.
આને સરળ બનાવતા,$B_1 = \frac{\mu_0 N I R^2}{2 \cdot (5/4)^{3/2} \cdot R^3} = \frac{\mu_0 N I}{2 \cdot (5^{3/2}/8) \cdot R} = \frac{4 \mu_0 N I}{5^{3/2} R}$ મળે છે.
પ્રવાહ સમાન દિશામાં વહેતો હોવાથી,બંને લૂપ્સને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં છે. તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2 B_1 = 2 \cdot \frac{4 \mu_0 N I}{5^{3/2} R} = \frac{8 \mu_0 N I}{5^{3/2} R}$ થશે.

(C) વસ્તુ $x_1 = 8\, cm$ અને $x_2 = 12\, cm$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે. ગતિ આવર્ત હોવાથી,પ્રતિબિંબ પણ આવર્ત ગતિ કરશે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે અને $(B)$ ખોટું છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f = -5\, cm$ (અંતર્ગોળ અરીસો).
$u_1 = -8\, cm$ માટે:
$\frac{1}{v_1} + \frac{1}{-8} = \frac{1}{-5} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{5} = -\frac{3}{40} \implies v_1 = -\frac{40}{3}\, cm$.
$u_2 = -12\, cm$ માટે:
$\frac{1}{v_2} + \frac{1}{-12} = \frac{1}{-5} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{1}{12} - \frac{1}{5} = -\frac{7}{60} \implies v_2 = -\frac{60}{7}\, cm$.
ટર્નિંગ પોઈન્ટ્સ વચ્ચેનું અંતર $|v_1 - v_2| = |-\frac{40}{3} - (-\frac{60}{7})| = \frac{100}{21}\, cm$ છે. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
કેન્દ્ર બિંદુ $x_0 = -10\, cm$ નું પ્રતિબિંબ $v_0 = -10\, cm$ મળે છે. પ્રતિબિંબના ગાળાનું મધ્યબિંદુ $\frac{v_1 + v_2}{2} = -\frac{230}{21} \approx -10.95\, cm$ છે. મધ્યબિંદુ અને કેન્દ્ર બિંદુનું પ્રતિબિંબ સમાન ન હોવાથી,ગતિ અસમપ્રમાણ છે. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $(A), (C),$ અને $(D)$ સાચા છે.

(A) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E(z, t) = E_0 \sin(kz - \omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = t_1$ સમયે,$z = z_1$ પર $E = 0$ છે,તેથી $\sin(kz_1 - \omega t_1) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $kz_1 - \omega t_1 = n\pi$ (જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે).
તેની નજીકમાં આવતું આગામી શૂન્ય $z_2$ પર છે,તેથી $kz_2 - \omega t_1 = (n \pm 1)\pi$.
આ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા $k(z_2 - z_1) = \pm \pi$ મળે છે.
$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ હોવાથી,$\frac{2\pi}{\lambda} |z_2 - z_1| = \pi$,જેનું સાદું રૂપ $\lambda = 2|z_2 - z_1|$ થાય છે.
આવૃત્તિ $f = \frac{c}{\lambda}$ છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
કિંમત મૂકતા,$f = \frac{3 \times 10^8}{2|z_2 - z_1|}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે: ત્રિકોણની બાજુ,$l = 4.5 \times 10^{-2} \,m$,વિદ્યુતપ્રવાહ,$I = 1 \,A$.
લંબ અંતર $d$ પર રહેલા સીમિત તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર $d = \frac{l}{2\sqrt{3}}$ છે.
$l = 4.5 \times 10^{-2} \,m$ મૂકતા,આપણને $d = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{2\sqrt{3}} \,m$ મળે છે.
દરેક બાજુ માટે,કેન્દ્ર પર બનતા ખૂણા $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$ છે.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (2 \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\mu_0 I \sqrt{3}}{4\pi d}$ છે.
$d = \frac{l}{2\sqrt{3}}$ મૂકતા,$B_1 = \frac{\mu_0 I \sqrt{3}}{4\pi (l / 2\sqrt{3})} = \frac{\mu_0 I (3)}{2\pi l} = \frac{3 \mu_0 I}{2\pi l}$ મળે છે.
ત્રણેય બાજુઓને કારણે કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = 3 \times B_1 = 3 \times \frac{3 \mu_0 I}{2\pi l} = \frac{9 \mu_0 I}{2\pi l}$ છે.
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \,T\cdot m/A$,$I = 1 \,A$,અને $l = 4.5 \times 10^{-2} \,m$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B_{net} = \frac{9 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 1}{2\pi \times 4.5 \times 10^{-2}} = \frac{18 \times 10^{-7}}{4.5 \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \,T$ (અથવા $Wb/m^2$).

(A) આ સર્કિટમાં બે $AND$ ગેટ,એક $NOT$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $x$ અને $y$ છે.
ઉપરના $AND$ ગેટમાં $x$ અને $y$ ઇનપુટ તરીકે જાય છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $a = x \cdot y$ છે.
નીચેના $AND$ ગેટમાં $\bar{x}$ ($NOT$ ગેટમાંથી) અને $y$ ઇનપુટ તરીકે જાય છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $b = \bar{x} \cdot y$ છે.
અંતિમ $NAND$ ગેટમાં $a$ અને $b$ ઇનપુટ તરીકે જાય છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $z = \overline{a \cdot b} = \overline{(x \cdot y) \cdot (\bar{x} \cdot y)}$ છે.
બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા: $z = \overline{(x \cdot \bar{x}) \cdot (y \cdot y)} = \overline{0 \cdot y} = \overline{0} = 1$.
આમ,સર્કિટનું આઉટપુટ હંમેશા $1$ રહે છે. આપેલ વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(A) તારમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો દર પાવરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{V^2}{R}$.
શરૂઆતમાં,તારનો અવરોધ $R_1 = \frac{\rho L}{A} = \frac{\rho L}{\pi r^2}$ છે.
તેથી,શરૂઆતનો પાવર $P_1 = \frac{V^2}{R_1}$ છે.
જ્યારે લંબાઈ અડધી $(L' = L/2)$ અને ત્રિજ્યા બમણી $(r' = 2r)$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $R_2$ નીચે મુજબ થાય છે:
$R_2 = \frac{\rho (L/2)}{\pi (2r)^2} = \frac{\rho L / 2}{\pi (4r^2)} = \frac{\rho L}{8 \pi r^2} = \frac{R_1}{8}$.
નવો પાવર $P_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P_2 = \frac{V^2}{R_2} = \frac{V^2}{R_1 / 8} = 8 \left( \frac{V^2}{R_1} \right) = 8 P_1$.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો દર $8$ ગણો વધશે.

(C) ટાંકી સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f_c = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $L = 49 \times 10^{-6}\,H$ અને $C = 2.5 \times 10^{-9}\,F$.
$f_c = \frac{1}{2\pi\sqrt{49 \times 10^{-6} \times 2.5 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{122.5 \times 10^{-15}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{1.225 \times 10^{-13}}} \approx \frac{1}{2\pi \times 3.5 \times 10^{-7}} = \frac{10^7}{7\pi} \approx 454.7\,kHz$.
ઓડિયો સિગ્નલ ફ્રીક્વન્સી $f_m = 12\,kHz$ માટે,સાઇડબેન્ડ ફ્રીક્વન્સી $f_c - f_m$ અને $f_c + f_m$ છે.
લોઅર સાઇડબેન્ડ $= 454.7 - 12 = 442.7\,kHz$.
અપર સાઇડબેન્ડ $= 454.7 + 12 = 466.7\,kHz$.
આમ,રેન્જ આશરે $442\,kHz - 466\,kHz$ છે.

(B) જ્યારે સળિયો $v$ વેગ સાથે રેલ પર નીચે તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ બદલાય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $e = B l v$ છે.
પરિપથમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R} = \frac{B l v}{R}$ છે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = i l B = \left( \frac{B l v}{R} \right) l B = \frac{B^2 l^2 v}{R}$ છે,જે રેલની દિશામાં ઉપર તરફ લાગે છે.
રેલ પર નીચે તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $F_g = mg \sin \theta$ છે.
ટર્મિનલ ઝડપે,સળિયા પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે,તેથી $F_g = F_m$.
$mg \sin \theta = \frac{B^2 l^2 v}{R}$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને ટર્મિનલ ઝડપ $v = \frac{mgR \sin \theta}{B^2 l^2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે:
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું ક્ષેત્રફળ,$A = 200\,cm^2 = 200 \times 10^{-4}\,m^2 = 2 \times 10^{-2}\,m^2$
પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર,$d = 1.5\,cm = 1.5 \times 10^{-2}\,m$
પ્લેટો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ,$F = 25 \times 10^{-6}\,N$
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,C^2/Nm^2$
કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{Q^2}{2A\epsilon_0}$
કારણ કે $Q = CV = \frac{\epsilon_0 A V}{d}$,તેથી $Q$ ની કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{(\frac{\epsilon_0 A V}{d})^2}{2A\epsilon_0} = \frac{\epsilon_0^2 A^2 V^2}{d^2 \cdot 2A\epsilon_0} = \frac{\epsilon_0 A V^2}{2d^2}$
$V^2$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$V^2 = \frac{2F d^2}{\epsilon_0 A}$
કિંમતો મૂકતા:
$V^2 = \frac{2 \times (25 \times 10^{-6}) \times (1.5 \times 10^{-2})^2}{(8.85 \times 10^{-12}) \times (200 \times 10^{-4})}$
$V^2 = \frac{50 \times 10^{-6} \times 2.25 \times 10^{-4}}{8.85 \times 10^{-12} \times 2 \times 10^{-2}}$
$V^2 = \frac{112.5 \times 10^{-10}}{17.7 \times 10^{-14}} \approx 6.356 \times 10^4 \approx 63560$
$V = \sqrt{63560} \approx 252.1\,V$
આમ,$V$ નું મૂલ્ય આશરે $250\,V$ છે.

(D) ગોળાની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ શોધવા માટે વિદ્યુતભાર ઘનતાનું ગોળાના કદ પર સંકલન કરતા:
$q = \int_0^R \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$
$q = \int_0^R \rho_0 \left( 1 - \frac{r}{R} \right) 4\pi r^2 dr$
$q = 4\pi \rho_0 \int_0^R \left( r^2 - \frac{r^3}{R} \right) dr$
$q = 4\pi \rho_0 \left[ \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right]_0^R$
$q = 4\pi \rho_0 \left( \frac{R^3}{3} - \frac{R^4}{4R} \right) = 4\pi \rho_0 \left( \frac{R^3}{12} \right) = \frac{\pi \rho_0 R^3}{3}$
ગોળાની બહાર $r$ અંતરે $(r > R)$ ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$
$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{\pi \rho_0 R^3}{3 \varepsilon_0}$
$E = \frac{\rho_0 R^3}{12 \varepsilon_0 r^2}$

(C) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના મોટા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$,જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $\theta = \omega t$ ખૂણો બનાવે છે,તે $\phi = B A \cos(\omega t) = \left(\frac{\mu_0 I}{2R}\right) (\pi r^2) \cos(\omega t)$ છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ એ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\phi$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા: $e = -\frac{d}{dt} \left[ \frac{\mu_0 I \pi r^2}{2R} \cos(\omega t) \right]$.
$e = -\frac{\mu_0 I \pi r^2}{2R} \cdot (-\omega \sin(\omega t)) = \frac{\mu_0 I}{2R} \omega \pi r^2 \sin(\omega t)$.

(A) $C_1$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q_0 = C_1 V = 1.0 \, \mu F \times 60 \, V = 60 \, \mu C$ છે.
જ્યારે $C_1$ ને $C_2$ અને $C_3$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_2 C_3}{C_2 + C_3} = \frac{3.0 \times 6.0}{3.0 + 6.0} \, \mu F = 2.0 \, \mu F$ થાય છે.
ધારો કે તંત્ર પરનો સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V'$ છે. વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ વિદ્યુતભાર $Q_0$ એ $C_1$ અને $C_{eq}$ વચ્ચે સમાંતરમાં પુનઃવિતરિત થાય છે:
$Q_0 = C_1 V' + C_{eq} V' = (C_1 + C_{eq}) V'$.
$60 \, \mu C = (1.0 \, \mu F + 2.0 \, \mu F) V' = 3.0 \, \mu F \times V'$.
$V' = \frac{60}{3} = 20 \, V$.
$C_2$ અને $C_3$ ના શ્રેણી જોડાણ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{23} = C_{eq} V' = 2.0 \, \mu F \times 20 \, V = 40 \, \mu C$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં હોવાથી,$C_2$ અને $C_3$ બંને પર સમાન વિદ્યુતભાર $40 \, \mu C$ હોય છે. પ્રશ્ન મુજબ,શ્રેણી શાખા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $40 \, \mu C$ છે.

(C) કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ને એકમ કદ દીઠ કુલ વિદ્યુતભાર $q$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $d$ લંબાઈ અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સળિયા માટે,કદ $V = A d$ થાય.
તેથી,$\rho = \frac{q}{V} = \frac{q}{A d}$,જેનો અર્થ છે કે $q = \rho A d$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને વિદ્યુતભારના વહનનો દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$I = \frac{q}{t}$,જ્યાં $t$ એ વિદ્યુતભાર $q$ ને આડછેદમાંથી પસાર થવા માટે લાગતો સમય છે.
સમય $t$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $t = \frac{q}{I}$ મળે છે.
$q$ માટેનું પદ મૂકતા,આપણને $t = \frac{\rho A d}{I}$ મળે છે.

(A) ગોલીય વિપથન માટે સુધારેલ ડબલેટ માટે,અંતર $d$ ની શરત $d = f_1 - f_2$ છે. આપેલ છે કે $d = 2\,cm$,તેથી $f_1 - f_2 = 2\,cm$,અથવા $f_1 = f_2 + 2$.
$d$ અંતરે રહેલા બે લેન્સની પરિણામી કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$ છે.
આપેલ કિંમતો $F = 10\,cm$ અને $d = 2\,cm$ મૂકતા:
$\frac{1}{10} = \frac{f_2 + f_1 - d}{f_1 f_2} = \frac{f_2 + (f_2 + 2) - 2}{f_1 f_2} = \frac{2f_2}{f_1 f_2} = \frac{2}{f_1}$.
આમ,$f_1 = 20\,cm$.
$f_1 - f_2 = 2\,cm$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f_2 = 20 - 2 = 18\,cm$ મળે છે.
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $18\,cm$ અને $20\,cm$ છે.

(A) ધારો કે ધ્રુવીભવનની દિશા અને $x-$અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે.
માલસના નિયમ મુજબ,પારગમિત તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2(\alpha - \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ આપાત તીવ્રતા છે.
$\theta$ ના વિવિધ મૂલ્યો પર તીવ્રતા સમાન રહેવા માટે,$\cos^2(\alpha - \theta)$ ના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $(\alpha - \theta) = \pm \phi$ અથવા $(\alpha - \theta) = 180^o \pm \phi$.
આપેલ છે $\theta_1 = 8^o, \theta_2 = 38^o, \theta_3 = 188^o, \theta_4 = 218^o$.
આ ખૂણાઓની સરેરાશ $\alpha = \frac{8^o + 38^o + 188^o + 218^o}{4} = \frac{452^o}{4} = 113^o$ છે.
જો કે,સમપ્રમાણતા તપાસતા: $(\alpha - 8^o) = -(\alpha - 38^o) \implies 2\alpha = 46^o \implies \alpha = 23^o$ અથવા $23^o + 180^o = 203^o$.
આમ,ખૂણો $203^o$ છે.

(C) ધારો કે ભારે ન્યુક્લિયસ $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે ન્યુક્લિયસમાં વિભાજિત થાય છે જે અનુક્રમે $V_1$ અને $V_2$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે,તેથી $m_1 V_1 = m_2 V_2$.
આપેલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{8}{27}$ છે,તેથી $\frac{m_1}{m_2} = \frac{V_2}{V_1} = \frac{27}{8}$ મળે.
ન્યુક્લિયર ઘનતા $\rho$ અચળ ધારતા,ન્યુક્લિયસનું દળ $m = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ થાય.
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = \frac{27}{8}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{27}{8} \right)^{1/3} = \frac{3}{2}$.
આમ,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $3:2$ છે.

(D) કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = \frac{\epsilon_0 n^2 h^2}{\pi m Z e^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $r \propto \frac{1}{m}$ હોવાથી,મ્યુઓનિક કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_{\mu} = \frac{r_e}{200}$ થાય. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \frac{Z e^2}{2 \epsilon_0 n h}$ છે. વેગ $v$ એ દળ $m$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,મ્યુઓનની ઝડપ ઇલેક્ટ્રોન જેટલી જ રહે છે. તેથી,$(B)$ ખોટું છે.
આયનીકરણ ઉર્જા $E_n = \frac{m Z^2 e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$ છે. $E \propto m$ હોવાથી,મ્યુઓનિક પરમાણુની આયનીકરણ ઉર્જા $E_{\mu} = 200 E_H$ થાય. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
વેગમાન $p = m v$ છે. બંને માટે વેગ $v$ સમાન હોવાથી અને $m_{\mu} = 200 m_e$ હોવાથી,મ્યુઓનનું વેગમાન ઇલેક્ટ્રોન કરતા $200$ ગણું થાય. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $(A), (C)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(A) ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ એ પ્રવાહ $I$ અને લૂપના ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $\mu = IA$.
$q$ જેટલો વિદ્યુતભાર $f$ આવૃત્તિ સાથે ફરતો હોય ત્યારે ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I = qf$ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ હોવાથી,આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi}$ થાય.
તેથી,પ્રવાહ $I = q \left( \frac{\omega}{2\pi} \right)$ મળે.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
આ કિંમતોને ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = \left( \frac{q \omega}{2\pi} \right) (\pi r^2)$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\mu = \frac{1}{2} q \omega r^2$.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક અવરોધ $R_0 = 100\,\Omega$,વોલ્ટેજ $V = 220\,V$,પ્રવાહ $I = 2\,A$,અને તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta t = 500\,^{\circ}C$.
સૌ પ્રથમ,ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ઊંચા તાપમાને અવરોધ $R_t$ શોધો: $R_t = \frac{V}{I} = \frac{220}{2} = 110\,\Omega$.
અવરોધના તાપમાન પર આધારિત સૂત્ર $R_t = R_0(1 + \alpha \Delta t)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $110 = 100(1 + \alpha \times 500)$.
$1.1 = 1 + 500\alpha$.
$0.1 = 500\alpha$.
$\alpha = \frac{0.1}{500} = \frac{1}{5000} = 0.0002\,^{\circ}C^{-1}$.
તેથી,$\alpha = 2 \times 10^{-4}\,^{\circ}C^{-1}$.

(D) આપેલ છે: $N_1 = 2N_2$.
રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી $A = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.
નમૂના $S_1$ માટે: $A_1 = \lambda_1 N_1 = \frac{\ln 2}{T_1} N_1 = 5\,\mu Ci$ ...... $(i)$
નમૂના $S_2$ માટે: $A_2 = \lambda_2 N_2 = \frac{\ln 2}{T_2} N_2 = 10\,\mu Ci$ ...... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{\lambda_2 N_2}{\lambda_1 N_1} = \frac{T_1}{T_2} \times \frac{N_2}{N_1} = \frac{10}{5} = 2$
કારણ કે $N_1 = 2N_2$,તેથી $\frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{T_1}{T_2} \times \frac{1}{2} = 2 \Rightarrow \frac{T_1}{T_2} = 4 \Rightarrow T_1 = 4T_2$.
આનો અર્થ એ છે કે $S_1$ નું અર્ધ-આયુષ્ય $S_2$ કરતા ચાર ગણું છે. વિકલ્પો જોતા,જો $T_2 = 5$ વર્ષ હોય,તો $T_1 = 20$ વર્ષ થાય. આમ,અર્ધ-આયુષ્ય અનુક્રમે $20$ વર્ષ અને $5$ વર્ષ છે.