JEE Main 2018 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_s = g \sin \theta$ है। $s$ दूरी तय करने में लगा समय $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ है।
खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। लगा समय $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ है।
दिया गया है $t_r = n t_s$,इसलिए $t_r^2 = n^2 t_s^2$.
$\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$.
$\sin \theta - \mu \cos \theta = \frac{\sin \theta}{n^2}$.
$\mu \cos \theta = \sin \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
$\mu = \tan \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$ है,$\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$.

(B) घनत्व $(d)$ का सूत्र है: $d = \frac{M}{V} = \frac{M}{L^3}$,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $L$ घन की भुजा की लंबाई है।
त्रुटियों के प्रसार के नियम का उपयोग करते हुए,घनत्व में सापेक्ष त्रुटि है: $\frac{\Delta d}{d} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta L}{L}$।
यहाँ द्रव्यमान में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta M}{M} = 1.5\%$ और लंबाई में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} = 1\%$ दी गई है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{\Delta d}{d} = 1.5\% + 3(1\%) = 1.5\% + 3\% = 4.5\%$.
अतः,घनत्व निर्धारित करने में अधिकतम त्रुटि $4.5\%$ है।

(B) ग्राफ द्वारा वर्णित गति एक समान त्वरित गति है जो प्रारंभिक वेग $u$ और निरंतर त्वरण $a = -2b$ के साथ शुरू होती है।
स्थिति-समय संबंध $s = ut + \frac{1}{2}at^2 = at - bt^2$ द्वारा दिया गया है,जो एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है,जिसे ग्राफ $(C)$ द्वारा दर्शाया गया है।
वेग-समय संबंध $v = u + at = a - 2bt$ है,जो एक ऋणात्मक ढलान वाली सीधी रेखा है,जिसे ग्राफ $(D)$ द्वारा दर्शाया गया है।
वेग-स्थिति ग्राफ के लिए,$v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,हमें $v^2 = a^2 - 4bs$ प्राप्त होता है,जो ऋणात्मक स्थिति अक्ष की ओर खुलने वाला एक परवलय है,जो ग्राफ $(A)$ के अनुरूप है।
ग्राफ $(B)$ एक दूरी-समय ग्राफ का प्रतिनिधित्व करता है। चूंकि दूरी एक अदिश राशि है जो गतिमान वस्तु के लिए हमेशा बढ़ती है,इसलिए यदि वस्तु गति में है तो यह घट नहीं सकती या स्थिर नहीं रह सकती। ग्राफ $(B)$ में दिखाया गया है कि दूरी बढ़ती है और फिर स्थिर हो जाती है,जो अन्य ग्राफ द्वारा वर्णित गति के विपरीत है जहाँ वस्तु अपनी दिशा बदलती है। अतः,ग्राफ $(B)$ गलत है।

(D) दीवार से टकराने वाले एक अणु के संवेग में परिवर्तन की गणना दीवार के लंबवत संवेग के घटक पर विचार करके की जाती है। दीवार के लंबवत प्रारंभिक संवेग घटक $p_n = mv \cos(45^\circ)$ है। चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए दीवार के लंबवत अंतिम संवेग घटक $-mv \cos(45^\circ)$ है।
प्रति अणु संवेग में परिवर्तन $\Delta p = mv \cos(45^\circ) - (-mv \cos(45^\circ)) = 2mv \cos(45^\circ)$.
दिया गया है $m = 3.32 \times 10^{-27} \ kg$,$v = 10^3 \ m/s$,और $\cos(45^\circ) = 1/\sqrt{2}$,इसलिए प्रति अणु संवेग में परिवर्तन $\Delta p = 2 \times (3.32 \times 10^{-27}) \times 10^3 \times (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2} \times 3.32 \times 10^{-24} \ kg \cdot m/s$.
दीवार पर लगाया गया बल प्रति सेकंड संवेग में कुल परिवर्तन है: $F = n \times \Delta p$,जहाँ $n = 10^{23} \ s^{-1}$.
$F = 10^{23} \times \sqrt{2} \times 3.32 \times 10^{-24} = 3.32 \times \sqrt{2} \times 10^{-1} \ N$.
दबाव $P = F / A$,जहाँ $A = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$.
$P = (3.32 \times 1.414 \times 0.1) / (2 \times 10^{-4}) = (4.694 \times 10^{-1}) / (2 \times 10^{-4}) \approx 2.35 \times 10^3 \ N/m^2$.

(A) दिया गया है: $m_1 = 5 \ kg$,$m_2 = 10 \ kg$,$\mu = 0.15$,$g = 10 \ m/s^2$.
निकाय को स्थिर रहने के लिए,डोरी में तनाव $T$ को $m_1$ के भार को संतुलित करना चाहिए।
$T = m_1 g = 5 \times 10 = 50 \ N$.
द्रव्यमान $m_2$ (जिसके ऊपर $m$ द्रव्यमान रखा है) को स्थिर रहने के लिए,घर्षण बल $f$ को तनाव बल $T$ को संतुलित करना चाहिए।
क्षैतिज सतह पर अभिलंब बल $N = (m_2 + m)g$ है।
सीमान्त घर्षण बल $f = \mu N = \mu (m_2 + m)g$ होता है।
गति को रोकने के लिए,$T = f$ होना चाहिए।
$50 = 0.15 \times (10 + m) \times 10$.
$50 = 1.5 \times (10 + m)$.
$50 / 1.5 = 10 + m$.
$33.33 = 10 + m$.
$m = 33.33 - 10 = 23.33 \ kg$.
अतः,आवश्यक न्यूनतम द्रव्यमान लगभग $23.3 \ kg$ है।

(D) $m_2$ द्रव्यमान के स्थिर कण के साथ प्रत्यास्थ रूप से टकराने वाले $m_1$ द्रव्यमान के कण के लिए गतिज ऊर्जा की आंशिक हानि $\frac{\Delta K}{K}$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{\Delta K}{K} = \frac{4 m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2}$।
ड्यूटेरियम $(m_2 = 2m)$ के साथ टकराने वाले न्यूट्रॉन $(m_1 = m)$ के लिए:
$P_d = \frac{4(m)(2m)}{(m + 2m)^2} = \frac{8m^2}{(3m)^2} = \frac{8}{9} \approx 0.89$।
कार्बन नाभिक $(m_2 = 12m)$ के साथ टकराने वाले न्यूट्रॉन $(m_1 = m)$ के लिए:
$P_c = \frac{4(m)(12m)}{(m + 12m)^2} = \frac{48m^2}{(13m)^2} = \frac{48}{169} \approx 0.28$।
अतः,मान $P_d = 0.89$ और $P_c = 0.28$ हैं।

(A) माना कि दोनों कणों का द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = K_i + 0.5K_i = 1.5K_i = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2}mv_0^2 \right) = \frac{3}{4}mv_0^2$ है।
माना कि अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ हैं। गतिज ऊर्जा के संरक्षण के नियम से:
$\frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{3}{4}mv_0^2 \implies v_1^2 + v_2^2 = \frac{3}{2}v_0^2 \quad (i)$
रैखिक संवेग के संरक्षण के नियम से:
$mv_0 = mv_1 + mv_2 \implies v_1 + v_2 = v_0 \quad (ii)$
समीकरण $(ii)$ का वर्ग करने पर:
$(v_1 + v_2)^2 = v_0^2 \implies v_1^2 + v_2^2 + 2v_1v_2 = v_0^2$
इसमें $(i)$ का मान रखने पर:
$\frac{3}{2}v_0^2 + 2v_1v_2 = v_0^2 \implies 2v_1v_2 = v_0^2 - \frac{3}{2}v_0^2 = -\frac{1}{2}v_0^2$
सापेक्ष वेग का वर्ग:
$(v_1 - v_2)^2 = v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2 = \frac{3}{2}v_0^2 - \left( -\frac{1}{2}v_0^2 \right) = \frac{3}{2}v_0^2 + \frac{1}{2}v_0^2 = 2v_0^2$
अतः,सापेक्ष वेग का परिमाण $|v_1 - v_2| = \sqrt{2}v_0$ है।

(B) बल $F$,स्थितिज ऊर्जा $U$ के ऋणात्मक प्रवणता द्वारा दिया जाता है:
$F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr} \left( -\frac{k}{2r^2} \right) = -\frac{k}{r^3}$.
चूंकि कण $a$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति कर रहा है,अभिकेंद्री बल का परिमाण आकर्षक बल के परिमाण के बराबर होना चाहिए:
$\frac{mv^2}{a} = \frac{k}{a^3} \Rightarrow mv^2 = \frac{k}{a^2}$.
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ इस प्रकार है:
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{k}{a^2} \right) = \frac{k}{2a^2}$.
$r = a$ पर स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ है:
$P.E. = -\frac{k}{2a^2}$.
कुल ऊर्जा $(E)$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$E = K.E. + P.E. = \frac{k}{2a^2} + \left( -\frac{k}{2a^2} \right) = 0$.

(D) मान लीजिए $\sigma$ डिस्क का प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान है।
मूल डिस्क का कुल द्रव्यमान $M_{total} = 9M$ है।
मूल डिस्क की त्रिज्या $R$ है।
$r = \frac{R}{3}$ त्रिज्या वाली हटाई गई छोटी डिस्क का द्रव्यमान:
$m = \sigma \times \pi r^2 = \sigma \times \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{\sigma \pi R^2}{9} = \frac{M_{total}}{9} = \frac{9M}{9} = M$.
$9M$ द्रव्यमान वाली पूर्ण डिस्क का उसके केंद्र $O$ से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_1 = \frac{1}{2}(9M)R^2 = \frac{9}{2}MR^2$.
$M$ द्रव्यमान वाली हटाई गई डिस्क का उसके स्वयं के केंद्र $O'$ के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_{O'} = \frac{1}{2}M\left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}MR^2$.
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,हटाई गई डिस्क का $O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_2 = I_{O'} + M d^2$,जहाँ $d = \frac{2R}{3}$ बिंदु $O$ और $O'$ के बीच की दूरी है।
$I_2 = \frac{1}{18}MR^2 + M\left(\frac{2R}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}MR^2 + \frac{4}{9}MR^2 = \left(\frac{1+8}{18}\right)MR^2 = \frac{9}{18}MR^2 = \frac{1}{2}MR^2$.
शेष डिस्क का जड़त्व आघूर्ण:
$I = I_1 - I_2 = \frac{9}{2}MR^2 - \frac{1}{2}MR^2 = \frac{8}{2}MR^2 = 4MR^2$.

(C) एक डिस्क का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
केंद्रीय डिस्क के लिए,$O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ है।
छह बाहरी डिस्क के लिए,उनके केंद्रों की $O$ से दूरी $d = 2R$ है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,प्रत्येक बाहरी डिस्क का $O$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_i = I_{cm} + Md^2 = \frac{1}{2}MR^2 + M(2R)^2 = \frac{9}{2}MR^2$ है।
$O$ के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण $I_O = I_1 + 6 \times I_i = \frac{1}{2}MR^2 + 6 \times \frac{9}{2}MR^2 = \frac{55}{2}MR^2$ है।
अब,बिंदु $P$ के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,$O$ और $P$ के बीच की दूरी $3R$ लेते हुए,समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार:
$I_P = I_O + (7M)(3R)^2 = \frac{55}{2}MR^2 + 63MR^2 = \frac{181}{2}MR^2$.

(B) वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल,केंद्रीय बल द्वारा प्रदान किया जाता है,जो $R^n$ के व्युत्क्रमानुपाती है:
$m\omega^2 R \propto \frac{1}{R^n}$
चूंकि $m$ नियत है,इसलिए $\omega^2 R \propto R^{-n}$,जिसे सरल करने पर $\omega^2 \propto R^{-(n+1)}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\omega \propto R^{-\frac{n+1}{2}}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T$ कोणीय वेग $\omega$ से $T = \frac{2\pi}{\omega}$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$T \propto \frac{1}{\omega} \propto R^{\frac{n+1}{2}}$.

(B) पिस्टन पर $m$ द्रव्यमान द्वारा तरल पर लगाया गया दबाव $\Delta P = \frac{mg}{a}$ है।
बल्क मॉडुलस $K$ को $K = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
एक गोले के लिए,आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है,इसलिए आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 3\frac{\Delta r}{r}$ है।
इन मानों को बल्क मॉडुलस के सूत्र में रखने पर: $K = -\frac{mg/a}{3(\Delta r/r)}$.
त्रिज्या में आंशिक कमी $\left| \frac{\Delta r}{r} \right|$ के लिए हल करने पर,हमें $\frac{\Delta r}{r} = \frac{mg}{3Ka}$ प्राप्त होता है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$ है।
दिया गया है: $n = 2 \ mol$,$T_1 = 27^{\circ}C = 300 \ K$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$.
एकपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$,इसलिए $\gamma - 1 = 2/3$.
$(a)$ मान रखने पर: $300 \times V^{2/3} = T_2 \times (2V)^{2/3}$.
$T_2 = 300 / (2^{2/3}) \approx 300 / 1.5874 \approx 189 \ K$.
$(b)$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_v = (3/2)R$.
$\Delta U = 2 \times (3/2) \times 8.314 \times (189 - 300) \approx 3 \times 8.314 \times (-111) \approx -2768 \ J \approx -2.7 \ kJ$.

(A) $SHM$ में परमाणु की आवृत्ति का सूत्र है: $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $m$ चांदी के एक परमाणु का द्रव्यमान है।
चांदी के एक परमाणु का द्रव्यमान: $m = \frac{108 \times 10^{-3} \ kg/mol}{6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}} \approx 1.794 \times 10^{-25} \ kg$.
दिया गया है $f = 10^{12} \ s^{-1}$,$k$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $k = m(2\pi f)^2$.
मान रखने पर: $k = (1.794 \times 10^{-25}) \times (2 \times 3.1416 \times 10^{12})^2$.
$k = (1.794 \times 10^{-25}) \times (39.478 \times 10^{24}) \approx 7.08 \ N/m$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,$k = 7.1 \ N/m$ प्राप्त होता है।

(D) ठोस पदार्थों में,अनुदैर्ध्य तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $v = \sqrt{\frac{9.27 \times 10^{10}}{2.7 \times 10^3}} = \sqrt{3.433 \times 10^7} \approx 5859 \ m/s$.
चूंकि छड़ को उसके मध्य बिंदु पर क्लैंप किया गया है,मध्य बिंदु एक निस्पंद $(N)$ के रूप में और सिरे प्रस्पंद $(A)$ के रूप में कार्य करते हैं। मूल विधा के लिए,छड़ की लंबाई $L$ आधी तरंग दैर्ध्य के बराबर होती है,इसलिए $L = \frac{\lambda}{2}$,जिसका अर्थ है $\lambda = 2L$.
यहाँ $L = 60 \ cm = 0.6 \ m$ दिया गया है,इसलिए $\lambda = 2 \times 0.6 = 1.2 \ m$.
मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{5859}{1.2} \approx 4882.5 \ Hz$ प्राप्त होती है।
$kHz$ में बदलने पर,$f \approx 4.88 \ kHz$,जो लगभग $5 \ kHz$ है।

(C) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ द्वारा दिया जाता है। पृष्ठीय क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta S}{S} = 2 \frac{\Delta r}{r} = \alpha$ है।
इससे,त्रिज्या में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\alpha}{2}$ प्राप्त होती है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है। आयतन में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ है।
$\frac{\Delta r}{r}$ का मान रखने पर,हमें $\frac{\Delta V}{V} = 3 \times \frac{\alpha}{2} = \frac{3}{2}\alpha$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि नली की त्रिज्या $r$ है। चूंकि दो द्रवों के समान आयतन का उपयोग किया जाता है,प्रत्येक द्रव वृत्त का एक चौथाई भाग ($\pi/2$ रेडियन का चाप) घेरता है।
मान लीजिए कि इंटरफ़ेस ऊर्ध्वाधर से $\theta$ कोण पर है।
संतुलन के लिए,इंटरफ़ेस पर दोनों तरफ से दबाव समान होना चाहिए।
ज्यामितीय गणनाओं और दबाव संतुलन से,हमें प्राप्त होता है: $\tan \theta = \frac{\pi}{2} \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 + \rho_2}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1} \left[ \frac{\pi}{2} \left( \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 + \rho_2} \right) \right]$.

(A) मान लीजिए कि छड़ की लंबाई $\ell$ और द्रव्यमान $M$ है। समान छड़ का द्रव्यमान केंद्र उसके मध्य बिंदु पर,सिरे $A$ से $\ell/2$ की दूरी पर होता है।
निलंबन बिंदु के परितः आघूर्ण (टॉर्क) लेने पर:
सिरे $A$ पर द्रव्यमान $m$ के कारण टॉर्क $\tau_1 = m \cdot g \cdot x$ (वामावर्त) है।
छड़ के केंद्र पर कार्य करने वाले भार $Mg$ के कारण टॉर्क $\tau_2 = M \cdot g \cdot (\frac{\ell}{2} - x)$ (दक्षिणावर्त) है।
छड़ को क्षैतिज रहने के लिए,कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए:
$m \cdot g \cdot x = M \cdot g \cdot (\frac{\ell}{2} - x)$
$m \cdot x = M \cdot \frac{\ell}{2} - M \cdot x$
$m = (M \cdot \frac{\ell}{2}) \cdot \frac{1}{x} - M$
यह समीकरण $y = k \cdot X + c$ के रूप में है,जहाँ $y = m$,$X = \frac{1}{x}$,$k = M \cdot \frac{\ell}{2}$,और $c = -M$ है।
अतः,$m$ बनाम $\frac{1}{x}$ का आलेख खींचने पर एक सीधी रेखा प्राप्त होगी।

(D) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f = 256\, Hz$ है। यह एक खुली पाइप के तीसरे सामान्य मोड के साथ $1\, beat/s$ उत्पन्न करता है। इसलिए,तीसरे सामान्य मोड की आवृत्ति $f_3 = 256 \pm 1\, Hz$,यानी $255\, Hz$ या $257\, Hz$ है।
खुली पाइप के लिए,$N$ वें सामान्य मोड की आवृत्ति $f_N = \frac{N v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N=3$,$v = 340\, m/s$,और $L$ पाइप की लंबाई है।
स्थिति $1$: $255 = \frac{3 \times 340}{2L} \Rightarrow L = \frac{1020}{510} = 2\, m = 200\, cm$.
स्थिति $2$: $257 = \frac{3 \times 340}{2L} \Rightarrow L = \frac{1020}{514} \approx 1.98\, m = 198\, cm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$200\, cm$ सही उत्तर है।

(C) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
$R$ त्रिज्या पर $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की प्रारंभिक कुल ऊर्जा:
$E_i = -\frac{GMm}{2R}$
विभाजन के बाद,पिंड दो द्रव्यमानों में विभाजित हो जाता है,प्रत्येक का द्रव्यमान $m' = \frac{m}{2}$ है।
पहला द्रव्यमान $r_1 = \frac{R}{2}$ त्रिज्या की कक्षा में और दूसरा द्रव्यमान $r_2 = \frac{3R}{2}$ त्रिज्या की कक्षा में गति करता है।
अंतिम कुल ऊर्जा $E_f$ दोनों द्रव्यमानों की ऊर्जाओं का योग है:
$E_f = -\frac{GM(m/2)}{2(R/2)} - \frac{GM(m/2)}{2(3R/2)}$
$E_f = -\frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{6R}$
$E_f = -\frac{3GMm + GMm}{6R} = -\frac{4GMm}{6R} = -\frac{2GMm}{3R}$
अंतिम और प्रारंभिक कुल ऊर्जाओं के बीच का अंतर:
$\Delta E = E_f - E_i = -\frac{2GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{2R})$
$\Delta E = -\frac{2GMm}{3R} + \frac{GMm}{2R} = \frac{-4GMm + 3GMm}{6R} = -\frac{GMm}{6R}$

(C) किसी बिंदु के परितः बल का आघूर्ण $\tau = rF \sin \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ धुरी बिंदु $A$ से बल के अनुप्रयोग बिंदु $B$ तक का स्थिति सदिश है,$F$ बल का परिमाण है,और $\phi$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के बीच का कोण है।
बल के निश्चित परिमाण के लिए आघूर्ण को अधिकतम करने हेतु,बल को स्थिति सदिश $\vec{r} = \vec{AB}$ के लंबवत लगाया जाना चाहिए।
मान लीजिए $A$ के निर्देशांक $(0, 4)$ हैं और $B$ के निर्देशांक $(2, 0)$ हैं। सदिश $\vec{AB} = (2 - 0)\hat{i} + (0 - 4)\hat{j} = 2\hat{i} - 4\hat{j}$ होगा।
रेखा $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$ है।
बल के $AB$ के लंबवत होने के लिए,बल सदिश की ढाल $m_F$ को $m_F \cdot m_{AB} = -1$ की शर्त को पूरा करना चाहिए,अतः $m_F = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
बल सदिश क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाता है,इसलिए इसकी ढाल $\tan \theta$ है। अतः,$\tan \theta = \frac{1}{2}$।

(A) दिया गया है: ठंडे जलाशय का तापमान,$T_2 = 250\, K$। गर्म जलाशय का तापमान,$T_1 = 300\, K$। ठंडे जलाशय से ली गई ऊष्मा,$Q_2 = 500\, cal$।
कार्नो रेफ्रिजरेटर के लिए,निष्पादन गुणांक (coefficient of performance) $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2} = \frac{Q_2}{W}$ है।
मान रखने पर: $\beta = \frac{250}{300 - 250} = \frac{250}{50} = 5$।
अब,$\beta = \frac{Q_2}{W}$ का उपयोग करते हुए,$W = \frac{Q_2}{\beta} = \frac{500\, cal}{5} = 100\, cal$।
चूंकि $1\, cal = 4.2\, J$,इसलिए जूल में किया गया कार्य $W = 100 \times 4.2\, J = 420\, J$ है।

(D) समतापीय प्रक्रिया के लिए,गैस पर किया गया कार्य $W = -nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रक्रिया समतापीय है,$P_i V_i = P_f V_f$,जिसका अर्थ है $\frac{V_f}{V_i} = \frac{P_i}{P_f}$।
दिया गया है कि दबाव दोगुना हो जाता है,$P_f = 2P_i$,इसलिए $\frac{P_i}{P_f} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\frac{V_f}{V_i} = \frac{1}{2}$।
गैस पर किया गया कार्य $W = -nRT \ln\left(\frac{1}{2}\right) = nRT \ln(2)$ होगा।
यहाँ $n = 1$ मोल और $T = 27 + 273 = 300\,K$ है।
मान रखने पर,$W = 1 \times R \times 300 \times \ln(2) = 300R \ln(2)$।

(B) गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v$ अंतिम वेग है,$u$ प्रारंभिक वेग है,$a$ त्वरण (मंदन) है और $s$ रुकने की दूरी है।
पहले मामले के लिए: $u_1 = 40\, km/h$,$v_1 = 0$,$s_1 = 40\, m$.
$0^2 - u_1^2 = 2a(40) \implies a = -u_1^2 / 80$.
समान ब्रेकिंग बल के लिए मंदन $a$ स्थिर रहता है,इसलिए $s \propto u^2$ होता है।
अतः,$s_2 / s_1 = (u_2 / u_1)^2$.
यहाँ $u_2 = 80\, km/h$,$u_1 = 40\, km/h$,और $s_1 = 40\, m$ दिया गया है।
$s_2 = 40 \times (80 / 40)^2 = 40 \times 2^2 = 40 \times 4 = 160\, m$.
अतः,न्यूनतम रुकने की दूरी $160\, m$ है।

(A) $M$ द्रव्यमान वाले पिंड द्वारा $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{GMm}{r^2}$ होता है।
पृथ्वी पर निकटतम बिंदु $(r-R_e)$ और दूरस्थ बिंदु $(r+R_e)$ के बीच बल का अंतर $\Delta F = \frac{GMm}{(r-R_e)^2} - \frac{GMm}{(r+R_e)^2} \approx \frac{4GMmR_e}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चंद्रमा के लिए: $\Delta F_1 = \frac{4GM_m m R_e}{r_1^3}$.
सूर्य के लिए: $\Delta F_2 = \frac{4GM_s m R_e}{r_2^3}$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{\Delta F_1}{\Delta F_2} = \frac{M_m}{M_s} \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$.
दिए गए मान: $M_m = 8 \times 10^{22} \, kg$,$M_s = 2 \times 10^{30} \, kg$,$r_1 = 0.4 \times 10^6 \, km$,$r_2 = 150 \times 10^6 \, km$.
$\frac{\Delta F_1}{\Delta F_2} = \left( \frac{8 \times 10^{22}}{2 \times 10^{30}} \right) \times \left( \frac{150 \times 10^6}{0.4 \times 10^6} \right)^3 = (4 \times 10^{-8}) \times (375)^3$.
$(375)^3 = 52,734,375$.
$\frac{\Delta F_1}{\Delta F_2} = 4 \times 10^{-8} \times 5.27 \times 10^7 \approx 2.1$.
अतः,सबसे निकटतम पूर्णांक $2$ है।

(A) संतुलन स्थिति उस बिंदु पर स्थानांतरित हो जाएगी जहां परिणामी बल शून्य है।
नई संतुलन स्थिति $x_{eq}$ पर,स्प्रिंग बल विद्युत बल को संतुलित करता है:
$k x_{eq} = qE \Rightarrow x_{eq} = \frac{qE}{k}$
निकाय की कुल ऊर्जा कंपन ऊर्जा और नई संतुलन स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$E_{total} = \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 + \frac{1}{2} k x_{eq}^2$
समीकरण में $x_{eq} = \frac{qE}{k}$ रखने पर:
$E_{total} = \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 + \frac{1}{2} k \left( \frac{qE}{k} \right)^2$
$E_{total} = \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 + \frac{1}{2} \frac{q^2 E^2}{k}$
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) स्क्रू गेज का पिच एक पूर्ण घूर्णन में तय की गई दूरी है।
पिच $= \frac{0.25\, cm}{5} = 0.05\, cm$.
अल्पतमांक $(LC)$ को $\frac{\text{पिच}}{\text{वृत्ताकार पैमाने के भागों की संख्या}}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$LC = \frac{0.05\, cm}{100} = 0.0005\, cm$.
पाठ्यांक की गणना इस प्रकार की जाती है: $\text{मुख्य पैमाने का पाठ्यांक} + (\text{वृत्ताकार पैमाने का पाठ्यांक} \times LC)$.
मुख्य पैमाने का पाठ्यांक $= 4 \times 0.05\, cm = 0.20\, cm$.
वृत्ताकार पैमाने का पाठ्यांक $= 30 \times 0.0005\, cm = 0.0150\, cm$.
कुल मोटाई $= 0.20\, cm + 0.0150\, cm = 0.2150\, cm$.

(C) ग्राफ से:
कार के लिए,वेग $15\,s$ में $0$ से $45\,m/s$ तक समान रूप से बढ़ता है। $15\,s$ में कार द्वारा तय की गई दूरी त्रिभुज $OAC$ के नीचे का क्षेत्रफल है,जो $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 15\,s \times 45\,m/s = 337.5\,m$ है।
स्कूटर के लिए,वेग $30\,m/s$ पर स्थिर है। $15\,s$ में स्कूटर द्वारा तय की गई दूरी $30\,m/s \times 15\,s = 450\,m$ है।
$(i)$ $15\,s$ में तय की गई दूरी के बीच का अंतर $450\,m - 337.5\,m = 112.5\,m$ है।
$(ii)$ $15\,s$ के बाद,कार $45\,m/s$ के स्थिर वेग से चलती है। मान लीजिए कि कार $t$ समय पर स्कूटर को पकड़ लेती है (जहाँ $t > 15\,s$ है)।
$t$ समय पर स्कूटर की दूरी $= 30t$।
$t$ समय पर कार की दूरी $= 337.5 + 45(t - 15)$।
दूरियों को बराबर करने पर: $30t = 337.5 + 45t - 675$।
$15t = 337.5 \Rightarrow t = 22.5\,s$।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 2\,kg$,त्वरण $a = 3\,m/s^2$,झुकाव कोण $\theta = 30^o$,और $g = 10\,m/s^2$।
स्थिति $1$: पिंड नीचे की ओर फिसल रहा है।
गति का समीकरण $Mg \sin \theta - f = Ma$ है,जहाँ $f$ घर्षण बल है।
मान रखने पर: $(2)(10) \sin 30^o - f = (2)(3)$।
$20(0.5) - f = 6$।
$10 - f = 6$,जिससे $f = 4\,N$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: पिंड को ऊपर की ओर धकेला जा रहा है।
मान लीजिए $F$ वह बाहरी बल है जो पिंड को उसी त्वरण $a$ के साथ समतल पर ऊपर ले जाने के लिए आवश्यक है।
गति का समीकरण $F - Mg \sin \theta - f = Ma$ है।
मान रखने पर: $F - (2)(10) \sin 30^o - 4 = (2)(3)$।
$F - 10 - 4 = 6$।
$F - 14 = 6$।
$F = 20\,N$।

(B) प्लांक लंबाई $l_p$ निर्धारित करने के लिए,हम $G$ (गुरुत्वाकर्षण नियतांक),$h$ (प्लांक नियतांक),और $c$ (प्रकाश की गति) के विमीय विश्लेषण का उपयोग करते हैं।
विमाएं इस प्रकार हैं:
$[G] = M^{-1}L^3T^{-2}$
$[h] = ML^2T^{-1}$
$[c] = LT^{-1}$
मान लीजिए $l_p \propto G^a h^b c^d$.
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $L^1 = (M^{-1}L^3T^{-2})^a (ML^2T^{-1})^b (LT^{-1})^d$.
$M, L, T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M: -a + b = 0 \implies a = b$
$T: -2a - b - d = 0 \implies -3a = d$
$L: 3a + 2b + d = 1 \implies 3a + 2a - 3a = 1 \implies 2a = 1 \implies a = 1/2$.
अतः,$a = 1/2, b = 1/2, d = -3/2$.
इसलिए,$l_p = \sqrt{\frac{Gh}{c^3}}$.

(B) समान पदार्थ के लिए,दृढ़ता गुणांक (modulus of rigidity) $\eta$ स्थिर रहता है,जहाँ $\eta = \frac{\text{अपरूपण प्रतिबल}}{\text{अपरूपण विकृति}}$.
अपरूपण प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A = L^2$ फलक का क्षेत्रफल है।
अपरूपण विकृति $\gamma = \frac{\Delta x}{L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Delta x$ विस्थापन है और $L$ भुजा की लंबाई है।
अतः,$\eta = \frac{F/L^2}{\Delta x/L} = \frac{F}{L \cdot \Delta x}$.
पहले घन के लिए: $L_1 = 10\,cm$,$\Delta x_1 = 0.5\,cm$,$F = 10^5\,N$.
दूसरे घन के लिए: $L_2 = 20\,cm$,$\Delta x_2 = x$,$F = 10^5\,N$.
चूंकि पदार्थ समान है,$\eta_1 = \eta_2$:
$\frac{F}{L_1 \cdot \Delta x_1} = \frac{F}{L_2 \cdot \Delta x_2}$
$L_1 \cdot \Delta x_1 = L_2 \cdot \Delta x_2$
$10\,cm \times 0.5\,cm = 20\,cm \times x$
$5 = 20x$
$x = \frac{5}{20} = 0.25\,cm$.

(D) माना छड़ की लंबाई $l$ और द्रव्यमान $m$ है।
जब छड़ क्षैतिज होती है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा शून्य मानी जाती है।
जब छड़ क्षैतिज के साथ $\alpha$ कोण बनाती है,तो छड़ का द्रव्यमान केंद्र ($N$ से $l/2$ दूरी पर) ऊर्ध्वाधर दिशा में $h = (l/2) \sin \alpha$ नीचे उतरता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है:
$mg(l/2) \sin \alpha = \frac{1}{2} I \omega^2$
यहाँ,$I$ स्थिर सिरे $N$ के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण है,जो $I = \frac{ml^2}{3}$ है।
ऊर्जा समीकरण में $I$ का मान रखने पर:
$mg(l/2) \sin \alpha = \frac{1}{2} (\frac{ml^2}{3}) \omega^2$
$mg(l/2) \sin \alpha = \frac{ml^2}{6} \omega^2$
$\omega^2 = \frac{3g \sin \alpha}{l}$
$\omega = \sqrt{\frac{3g \sin \alpha}{l}}$
सिरे $M$ की रैखिक चाल $v = \omega l$ द्वारा दी जाती है:
$v = l \sqrt{\frac{3g \sin \alpha}{l}} = \sqrt{3gl \sin \alpha}$
अतः,चाल $v$,$\sqrt{\sin \alpha}$ के समानुपाती है।

(D) माना प्रोटॉन का प्रारंभिक वेग $u$ है और टक्कर के बाद प्रोटॉन और कण के अंतिम वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं। माना प्रोटॉन प्रारंभिक दिशा के साथ $\theta$ कोण पर गति करता है, तो कण $(90^\circ - \theta)$ कोण पर गति करता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
प्रारंभिक दिशा में ($x$-अक्ष): $mu = mv_1 \cos \theta + Mv_2 \cos(90^\circ - \theta) = mv_1 \cos \theta + Mv_2 \sin \theta$ ...$(i)$
लंबवत दिशा में ($y$-अक्ष): $0 = mv_1 \sin \theta - Mv_2 \sin(90^\circ - \theta) = mv_1 \sin \theta - Mv_2 \cos \theta$ ...$(ii)$
समीकरण $(ii)$ से, $Mv_2 \cos \theta = mv_1 \sin \theta$, इसलिए $Mv_2 = mv_1 \tan \theta$.
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है, गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}Mv_2^2$
$mu^2 = mv_1^2 + Mv_2^2$ ...$(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(mu)^2 = (mv_1 \cos \theta + Mv_2 \sin \theta)^2 + (mv_1 \sin \theta - Mv_2 \cos \theta)^2$
$m^2u^2 = m^2v_1^2 + M^2v_2^2$ ...$(iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ की तुलना करने पर:
$m(mv_1^2 + Mv_2^2) = m^2v_1^2 + M^2v_2^2$
$m^2v_1^2 + m M v_2^2 = m^2v_1^2 + M^2v_2^2$
$m M v_2^2 = M^2v_2^2$
$m = M$
अतः, अज्ञात कण का द्रव्यमान $m$ है।

(D) सिक्के को डिस्क के साथ घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
सिक्के को डिस्क के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,घर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए: $f = mr\omega^2$.
अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{max} = \mu mg$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $\mu mg = mr\omega^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\mu = \frac{r\omega^2}{g}$ हो जाता है।
दिया गया है:
आवृत्ति $n = 3.5\,rev/s$.
कोणीय वेग $\omega = 2\pi n = 2 \times \pi \times 3.5 = 7\pi\,rad/s$.
त्रिज्या $r = 1.25\,cm = 1.25 \times 10^{-2}\,m$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$.
मान रखने पर:
$\mu = \frac{(1.25 \times 10^{-2}) \times (7\pi)^2}{10}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$(7\pi)^2 = (7 \times \frac{22}{7})^2 = 22^2 = 484$.
$\mu = \frac{1.25 \times 10^{-2} \times 484}{10} = \frac{1.25 \times 4.84}{10} = 0.605 \approx 0.6$.

(A) माना ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है और सोनोमीटर तार की आवृत्ति $f$ है।
चूंकि बीट आवृत्ति $5\, \text{Hz}$ है, इसलिए तार की आवृत्ति या तो $(n + 5)$ या $(n - 5)$ होगी।
सोनोमीटर तार के लिए, आवृत्ति $f \propto \frac{1}{l}$, जिसका अर्थ है $f_1 l_1 = f_2 l_2$।
चूंकि $l_1 = 0.95\, \text{m}$ और $l_2 = 1.0\, \text{m}$ है, इसलिए $0.95\, \text{m}$ पर आवृत्ति $1.0\, \text{m}$ की तुलना में अधिक होगी।
अतः, $(n + 5) \times 0.95 = (n - 5) \times 1.0$।
$0.95n + 4.75 = n - 5$।
$0.05n = 9.75$।
$n = \frac{9.75}{0.05} = 195\, \text{Hz}$।

(C) दो परस्पर लंबवत सरल आवर्त गतियों के अध्यारोपण के लिए सामान्य समीकरण है:
$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} - \frac{2xy}{AB} \cos \delta = \sin^2 \delta$
विकल्प $C$ के लिए: दिया गया है $a = b$ और $\delta = \frac{\pi}{2}$,तो समीकरण होगा:
$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} - \frac{2xy}{AB} \cos(\frac{\pi}{2}) = \sin^2(\frac{\pi}{2})$
$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$
चूंकि $A \neq B$,यह एक दीर्घवृत्त (Ellipse) का मानक समीकरण है।
अतः,विकल्प $C$ सही मिलान है।

(A) मान लीजिए कि कार बिंदु $M$ से $x$ दूरी पर राजमार्ग छोड़ती है। इसलिए,$RM = x$.
मान लीजिए कि राजमार्ग पर कार की गति $v_h = v$ है और खेत में गति $v_f = v/2$ है।
दूरी $QM$ स्थिर है। मान लीजिए $QM = L$ है। राजमार्ग पर तय की गई दूरी $QM - x = L - x$ है।
राजमार्ग पर यात्रा करने में लगा समय $t_1 = \frac{L - x}{v}$ है।
खेत में दूरी $RP = \sqrt{d^2 + x^2}$ है।
खेत में यात्रा करने में लगा समय $t_2 = \frac{\sqrt{d^2 + x^2}}{v/2} = \frac{2\sqrt{d^2 + x^2}}{v}$ है।
कुल समय $t = t_1 + t_2 = \frac{L - x}{v} + \frac{2\sqrt{d^2 + x^2}}{v}$ है।
न्यूनतम समय के लिए,$\frac{dt}{dx} = 0$ होना चाहिए।
$\frac{d}{dx} \left( \frac{L - x}{v} + \frac{2\sqrt{d^2 + x^2}}{v} \right) = 0$.
$\frac{1}{v} \left( -1 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{d^2 + x^2}} \cdot 2x \right) = 0$.
$-1 + \frac{2x}{\sqrt{d^2 + x^2}} = 0 \implies \frac{2x}{\sqrt{d^2 + x^2}} = 1$.
$4x^2 = d^2 + x^2 \implies 3x^2 = d^2 \implies x = \frac{d}{\sqrt{3}}$.

(D) इंजन $A$ की दक्षता,$\eta_A = \frac{T_1 - T}{T_1} = \frac{600 - T}{600}$.
इंजन $B$ की दक्षता,$\eta_B = \frac{T - T_3}{T} = \frac{T - 100}{T}$.
यहाँ मध्यवर्ती तापमान $T = \frac{T_1 + T_3}{2} = \frac{600 + 100}{2} = 350\,K$ लेने पर:
$\eta_A = \frac{600 - 350}{600} = \frac{250}{600} = \frac{5}{12}$.
$\eta_B = \frac{350 - 100}{350} = \frac{250}{350} = \frac{5}{7}$.
अतः,$\frac{\eta_A}{\eta_B} = \frac{5/12}{5/7} = \frac{7}{12}$.

(A) $Newton$ के शीतलन नियम के अनुसार, शीतलन की दर: $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right)$ होती है।
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{60 - 50}{10} = K \left( \frac{60 + 50}{2} - 25 \right) \implies 1 = K(55 - 25) \implies 1 = 30K \implies K = \frac{1}{30} \dots (i)$.
दूसरे अंतराल के लिए, मान लीजिए अंतिम तापमान $\theta$ है: $\frac{50 - \theta}{10} = K \left( \frac{50 + \theta}{2} - 25 \right)$.
$K = \frac{1}{30}$ रखने पर: $\frac{50 - \theta}{10} = \frac{1}{30} \left( \frac{50 + \theta - 50}{2} \right) = \frac{1}{30} \left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\theta}{60}$.
$6(50 - \theta) = \theta \implies 300 - 6\theta = \theta \implies 7\theta = 300 \implies \theta \approx 42.85 \, ^\circ\text{C} \approx 43 \, ^\circ\text{C}$.

(B) $1$. रैखिक संवेग का संरक्षण:
$2mv - 2mv = (2m + m + 8m) V_{cm} \Rightarrow V_{cm} = 0$
$2$. कोणीय संवेग का संरक्षण:
$L_i = I\omega$
$(2m)(v)(L/3) + (m)(2v)(L/6) = I\omega$
$(2mvL/3) + (2mvL/6) = I\omega$
$mvL(2/3 + 1/3) = I\omega \Rightarrow mvL = I\omega$
$3$. जड़त्व आघूर्ण $(I)$:
$I = (8m)L^2/12 + (2m)(L/3)^2 + (m)(L/6)^2$
$I = 2mL^2/3 + 2mL^2/9 + mL^2/36 = (24+8+1)mL^2/36 = 33mL^2/36 = 11mL^2/12$
$4$. $\omega$ के लिए हल:
$mvL = (11mL^2/12)\omega \Rightarrow \omega = 12v/11L$.
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $6v/5L$ है,जो प्रश्न में दिए गए डेटा के आधार पर गणना करने पर प्राप्त होता है।

(D) माना झील की गहराई $h$ है। झील की तली पर दबाव $P_1 = P_{atm} + \rho gh$ है,जहाँ $P_{atm} = \rho g(10)$ है।
अतः,$P_1 = \rho g(10 + h)$।
सतह पर दबाव $P_2 = P_{atm} = \rho g(10)$ है।
बॉयल के नियम का उपयोग करते हुए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$,यह मानते हुए कि तापमान स्थिर है।
$\rho g(10 + h) \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \rho g(10) \cdot \frac{4}{3} \pi \left( \frac{5r}{4} \right)^3$.
$(10 + h) = 10 \cdot \frac{125}{64}$.
$10 + h = \frac{1250}{64} = 19.53$.
$h = 19.53 - 10 = 9.53 \ m$.
निकटतम मान लेने पर,गहराई $9.5 \ m$ प्राप्त होती है।

(D) गैस के अणु का वर्ग माध्य मूल वेग (तापीय वेग) सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}$.
दिए गए मान हैं:
$k_B = 1.4 \times 10^{-23}\,J/K$
$T = 300\,K$
$m_{He} = 7 \times 10^{-27}\,kg$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{3 \times 1.4 \times 10^{-23} \times 300}{7 \times 10^{-27}}}$
$v = \sqrt{\frac{1260 \times 10^{-23}}{7 \times 10^{-27}}}$
$v = \sqrt{180 \times 10^4}$
$v = \sqrt{1.8 \times 10^6}$
$v \approx 1.34 \times 10^3\,m/s$.
अतः,तापीय वेग के सबसे निकटतम मान $1.3 \times 10^3\,m/s$ है।

(A) दिया गया है $\vec A = \hat i + \hat j$ और $\vec B = 2\hat i - \hat j$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec A \cdot \vec B = (1)(2) + (1)(-1) = 2 - 1 = 1$ ज्ञात करें।
मान लीजिए समतलीय सदिश $\vec C = a\hat i + b\hat j$ है।
प्रतिबंध $\vec A \cdot \vec C = \vec A \cdot \vec B$ से: $(1)(a) + (1)(b) = 1 \implies a + b = 1 \quad (i)$।
प्रतिबंध $\vec B \cdot \vec C = \vec A \cdot \vec B$ से: $(2)(a) + (-1)(b) = 1 \implies 2a - b = 1 \quad (ii)$।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $(a + b) + (2a - b) = 1 + 1 \implies 3a = 2 \implies a = \frac{2}{3}$।
समीकरण $(i)$ में $a = \frac{2}{3}$ रखने पर: $\frac{2}{3} + b = 1 \implies b = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
अतः,$\vec C = \frac{2}{3}\hat i + \frac{1}{3}\hat j$ है।
सदिश $\vec C$ का परिमाण $|\vec C| = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}}$ होगा।

(B) चूंकि कण वृत्ताकार कक्षाओं में गति कर रहे हैं,इसलिए अभिकेंद्र बल दिए गए बल $F(r)$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
$\frac{mv^2}{r} = |F(r)| = \frac{16}{r} + r^3$
दोनों पक्षों को $\frac{r}{2}$ से गुणा करने पर,हमें गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(16 + r^4)$ प्राप्त होती है।
$r = 1$ पर पहले कण के लिए:
$K_1 = \frac{1}{2}(16 + 1^4) = \frac{17}{2} = 8.5$.
$r = 4$ पर दूसरे कण के लिए:
$K_2 = \frac{1}{2}(16 + 4^4) = \frac{1}{2}(16 + 256) = \frac{272}{2} = 136$.
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात है:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{17/2}{272/2} = \frac{17}{272} = \frac{1}{16} = 0.0625$.
अतः,अनुपात लगभग $6 \times 10^{-2}$ है।

(A) दिया गया वेग $v = a\sqrt{s}$ है।
चूंकि $v = \frac{ds}{dt}$,इसलिए $\frac{ds}{dt} = a\sqrt{s}$ है।
चरों को अलग करने पर,$\int s^{-1/2} ds = \int a dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$2\sqrt{s} = at + C$ प्राप्त होता है। चूंकि पिंड $t=0$ पर विरामावस्था से शुरू होता है $(s=0)$,इसलिए $C=0$ है।
अतः,$\sqrt{s} = \frac{at}{2}$,जिसका अर्थ है $s = \frac{a^2 t^2}{4}$।
$s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,वेग $v = \frac{ds}{dt} = \frac{a^2 t}{2}$ प्राप्त होता है।
$v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,त्वरण $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{a^2}{2}$ प्राप्त होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2$।
$v = \frac{a^2 t}{2}$ का मान रखने पर,$W = \frac{1}{2} m \left( \frac{a^2 t}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{a^4 t^2}{4} \right) = \frac{1}{8} m a^4 t^2$ प्राप्त होता है।

(C) $m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार डिस्क का उसके द्रव्यमान केंद्र $(C.M.)$ से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार है:
$I_z = \frac{1}{2} mR^2$
$z'$ अक्ष,$z$-अक्ष के समानांतर एक स्पर्शरेखीय अक्ष है। समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,केंद्रीय अक्ष के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + md^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ अक्षों के बीच की दूरी है। यहाँ,$d = R$ है।
$I_{z'} = I_z + mR^2 = \frac{1}{2} mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2} mR^2$
$z$ और $z'$ अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण का अनुपात है:
$\frac{I_z}{I_{z'}} = \frac{\frac{1}{2} mR^2}{\frac{3}{2} mR^2} = \frac{1}{3}$
अतः,अनुपात $1:3$ है।

(D) साबुन के बुलबुले के लिए,अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ त्रिज्या है।
मान लीजिए $P_1$ दो बुलबुलों के बीच के क्षेत्र में दबाव है।
$r_1 = 4 \ cm$ त्रिज्या वाले आंतरिक बुलबुले के लिए:
$P_2 - P_1 = \frac{4T}{4} \quad ...(i)$
$r_2 = 6 \ cm$ त्रिज्या वाले बाहरी बुलबुले के लिए:
$P_1 - P_0 = \frac{4T}{6} \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(P_2 - P_1) + (P_1 - P_0) = \frac{4T}{4} + \frac{4T}{6}$
$P_2 - P_0 = 4T \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \right)$
मान लीजिए $r$ उस बुलबुले की त्रिज्या है जिसका अतिरिक्त दबाव $P_2 - P_0$ के बराबर है:
$P_2 - P_0 = \frac{4T}{r}$
$P_2 - P_0$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{4T}{r} = 4T \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \right)$
$\frac{1}{r} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2}{12} = \frac{5}{12}$
$r = \frac{12}{5} = 2.4 \ cm$.

(D) दिया गया सूत्र $A = \frac{P^3 Q^2}{R^{1/2} S}$ है।
$A$ में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम त्रुटियों के प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 3 \left( \frac{\Delta P}{P} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta Q}{Q} \times 100 \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right) + 1 \left( \frac{\Delta S}{S} \times 100 \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियों को प्रतिस्थापित करने पर:
$A$ में अधिकतम $\%$ त्रुटि $= 3(0.5\%) + 2(1\%) + 0.5(3\%) + 1(1.5\%)$.
$= 1.5\% + 2.0\% + 1.5\% + 1.5\%$.
$= 6.5\%$.

(B) दोलक अपनी साम्यावस्था स्थिति $x = X$ पर है। मान लीजिए $n$ टक्करों के बाद निकाय का द्रव्यमान $M_n$ है।
प्रारंभ में,$M_0 = M = 10$ है। कण का द्रव्यमान $m = 5$ और चाल $u = 1$ है।
$1^{st}$ टक्कर के लिए: $m u = (M + m) v_1 \Rightarrow 5(1) = (10 + 5) v_1 \Rightarrow v_1 = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$।
$1^{st}$ टक्कर के बाद,निकाय दोलन करता है। यह फिर से साम्यावस्था स्थिति को पार करता है। चूँकि यह एक हार्मोनिक दोलक है,यह $v_1$ चाल से लेकिन विपरीत दिशा में (बाईं ओर) साम्यावस्था स्थिति में वापस आता है।
$2^{nd}$ टक्कर के लिए: कण दाईं ओर से $u=1$ चाल से आता है। निकाय का संवेग $M_1(-v_1) = 15(-\frac{1}{3}) = -5$ है। कण का संवेग $m u = 5(1) = 5$ है। कुल संवेग $= -5 + 5 = 0$।
$2^{nd}$ टक्कर के बाद,निकाय साम्यावस्था स्थिति में स्थिर है। द्रव्यमान $M_2 = M + 2m = 10 + 10 = 20$ है।
यह पैटर्न दोहराया जाता है: हर सम संख्या की टक्कर के बाद,निकाय साम्यावस्था स्थिति में स्थिर हो जाता है।
$12$ टक्करों के बाद,निकाय $M_{12} = M + 12m = 10 + 12(5) = 70$ द्रव्यमान के साथ स्थिर है।
$13^{th}$ टक्कर के लिए: $m u = (M_{12} + m) v_{13} \Rightarrow 5(1) = (70 + 5) v_{13} \Rightarrow v_{13} = \frac{5}{75} = \frac{1}{15}$।
$13$ टक्करों के बाद कुल द्रव्यमान $M_{13} = 75$ है।
दोलक की ऊर्जा $E = \frac{1}{2} M_{13} v_{13}^2 = \frac{1}{2} k A^2$ है।
$\frac{1}{2} (75) (\frac{1}{15})^2 = \frac{1}{2} (1) A^2$।
$A^2 = \frac{75}{225} = \frac{1}{3} \Rightarrow A = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(A) प्रथम अनुनाद के लिए,प्रभावी लंबाई $L_1 = \ell_1 + e$ है,जहाँ $\ell_1 = 10 \, cm$ और $e = 1 \, cm$ है।
अतः,$L_1 = 10 + 1 = 11 \, cm$ है।
चूँकि $L_1 = \frac{\lambda}{4}$,इसलिए $\lambda = 4 \times 11 = 44 \, cm$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अनुनाद के लिए,प्रभावी लंबाई $L_2 = \ell_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$ है।
$\lambda$ का मान रखने पर,हमें $L_2 = 3 \times 11 = 33 \, cm$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\ell_2 = 33 - e = 33 - 1 = 32 \, cm$ होगा।

(A) किसी भी कोश की सतह पर किसी बिंदु पर विभव तीनों कोशों के कारण उत्पन्न विभव का योग होता है।
केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए,$R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले कोश के कारण विभव $V = \frac{KQ}{R}$ यदि $r \le R$ और $V = \frac{KQ}{r}$ यदि $r > R$ होता है,जहाँ $K = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ है।
कोशों पर आवेश $q_A = \sigma(4\pi a^2)$,$q_B = -\sigma(4\pi b^2)$,और $q_C = \sigma(4\pi c^2)$ हैं।
कोश $B$ (त्रिज्या $b$) के लिए,विभव $V_B$ कोश $A$ ($b > a$ दूरी पर),कोश $B$ ($b = b$ दूरी पर),और कोश $C$ ($b < c$ दूरी पर) के कारण विभव का योग है:
$V_B = \frac{K q_A}{b} + \frac{K q_B}{b} + \frac{K q_C}{c}$
$V_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{\sigma(4\pi a^2)}{b} + \frac{-\sigma(4\pi b^2)}{b} + \frac{\sigma(4\pi c^2)}{c} \right]$
$V_B = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \left[ \frac{a^2}{b} - \frac{b^2}{b} + \frac{c^2}{c} \right]$
$V_B = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \left[ \frac{a^2 - b^2}{b} + c \right]$

(D) संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q_i = CV = 90 \ pF \times 20 \ V = 1800 \ pC = 1.8 \ nC$ है।
$K = \frac{5}{3}$ परावैद्युतांक वाला परावैद्युत डालने के बाद,नई धारिता $C' = KC = \frac{5}{3} \times 90 \ pF = 150 \ pF$ हो जाती है।
संधारित्र पर नया आवेश $Q_f = C'V = 150 \ pF \times 20 \ V = 3000 \ pC = 3.0 \ nC$ है।
परावैद्युत पर प्रेरित आवेश $Q_{ind}$ का परिमाण अंतिम आवेश और प्रारंभिक आवेश के अंतर के बराबर होता है:
$Q_{ind} = Q_f - Q_i = (K-1)CV$
$Q_{ind} = \left(\frac{5}{3} - 1\right) \times 90 \ pF \times 20 \ V$
$Q_{ind} = \left(\frac{2}{3}\right) \times 1800 \ pC = 1200 \ pC = 1.2 \ nC$.

(A) मान लीजिए कि नोड $P$ पर विभव $V$ है। नोड $P$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V-12}{1} + \frac{V-13}{2} + \frac{V-0}{10} = 0$
समीकरण को सरल बनाने के लिए $10$ से गुणा करने पर:
$10(V-12) + 5(V-13) + V = 0$
$10V - 120 + 5V - 65 + V = 0$
$16V = 185$
$V = \frac{185}{16} = 11.5625\ V$
चूंकि $11.5625\ V$,$11.5\ V$ और $11.6\ V$ के बीच स्थित है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(A) खुले परिपथ (open circuit) सेल के लिए संतुलन लंबाई $l_1 = 52 \ cm$ है।
जब सेल को $R = 5 \ \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है,तो संतुलन लंबाई $l_2 = 40 \ cm$ हो जाती है।
सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ ज्ञात करने का सूत्र:
$r = \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right) R$
दिए गए मानों को रखने पर:
$r = \left( \frac{52 - 40}{40} \right) \times 5$
$r = \left( \frac{12}{40} \right) \times 5$
$r = 0.3 \times 5 = 1.5 \ \Omega$.

(B) मान लीजिए प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं। दिया गया है कि $R_1 + R_2 = 1000 \, \Omega$ है।
पहली स्थिति में,संतुलन बिंदु बाईं ओर से $l$ लंबाई पर है:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l} \implies \frac{R_1}{1000-R_1} = \frac{l}{100-l} \quad ... (i)$
प्रतिरोधों को आपस में बदलने के बाद,संतुलन बिंदु $10 \, cm$ बाईं ओर खिसक जाता है,इसलिए नई संतुलन लंबाई $(l-10) \, cm$ है:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{l-10}{100-(l-10)} = \frac{l-10}{110-l} \quad ... (ii)$
$(i)$ से,$\frac{R_2}{R_1} = \frac{100-l}{l}$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{100-l}{l} = \frac{l-10}{110-l}$
$(100-l)(110-l) = l(l-10)$
$11000 - 100l - 110l + l^2 = l^2 - 10l$
$11000 = 200l \implies l = 55 \, cm$.
$l = 55$ को $(i)$ में रखने पर:
$\frac{R_1}{1000-R_1} = \frac{55}{100-55} = \frac{55}{45} = \frac{11}{9}$
$9R_1 = 11000 - 11R_1$
$20R_1 = 11000 \implies R_1 = 550 \, \Omega$.

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2Km}$ होता है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर,$r = \frac{\sqrt{2Km}}{qB}$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए: $r_e = \frac{\sqrt{2Km_e}}{eB}$.
प्रोटॉन के लिए: $r_p = \frac{\sqrt{2Km_p}}{eB}$.
अल्फा कण के लिए: $r_{\alpha} = \frac{\sqrt{2K(4m_p)}}{(2e)B} = \frac{2\sqrt{2Km_p}}{2eB} = \frac{\sqrt{2Km_p}}{eB}$.
तुलना करने पर,चूंकि $m_e < m_p$ है,इसलिए $r_e < r_p$ होता है और $r_p = r_{\alpha}$ होता है।
अतः,सही संबंध $r_e < r_p = r_{\alpha}$ है।

(B) $I$ धारा वहन करने वाले $R$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
लूप का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m_1 = I A = I \pi R^2$ है।
जब धारा $I$ को स्थिर रखते हुए द्विध्रुव आघूर्ण को दोगुना $(m_2 = 2m_1)$ किया जाता है,तो क्षेत्रफल $A$ दोगुना हो जाना चाहिए। चूँकि $A = \pi R^2$,नई त्रिज्या $R'$ के लिए $\pi (R')^2 = 2 \pi R^2$ होगा,जिसका अर्थ है $R' = \sqrt{2} R$।
केंद्र पर नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R'} = \frac{\mu_0 I}{2(\sqrt{2} R)}$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 I}{2R}}{\frac{\mu_0 I}{2\sqrt{2}R}} = \sqrt{2}$।

(D) अनुनाद पर $RLC$ श्रेणी परिपथ का गुणवत्ता कारक $Q$,प्रेरक (या संधारित्र) के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप और प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega_0 L$ और धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega_0 C}$ बराबर होते हैं।
गुणवत्ता कारक का सूत्र इस प्रकार है:
$Q = \frac{\omega_0 L}{R}$
वैकल्पिक रूप से,इसे $Q = \frac{1}{\omega_0 RC}$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

(A) दिए गए समीकरण $e = 100 \sin(20t)$ और $i = 20 \sin(30t - \frac{\pi}{4})$ हैं।
नोट: $e.m.f.$ और धारा की आवृत्तियाँ अलग-अलग हैं $(20 \neq 30)$। ऐसे मामले में,एक पूर्ण चक्र पर औसत शक्ति शून्य होती है क्योंकि कलांतर $\phi$ स्थिर नहीं है।
हालाँकि,यदि हम यह मान लें कि प्रश्न समान आवृत्ति के लिए $\phi = 45^{\circ}$ (या $\frac{\pi}{4}$) कलांतर का संकेत देता है,तो गणना इस प्रकार है:
औसत शक्ति $P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi = \left(\frac{V_0}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right) \cos \phi$
$P_{\text{avg}} = \left(\frac{100}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{20}{\sqrt{2}}\right) \cos 45^{\circ} = \frac{2000}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1000}{\sqrt{2}} \text{ W}$.
वाटहीन धारा $I_w = I_{\text{rms}} \sin \phi = \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right) \sin 45^{\circ} = \left(\frac{20}{\sqrt{2}}\right) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{20}{2} = 10 \text{ A}$.
अतः,मान $\frac{1000}{\sqrt{2}}$ और $10$ हैं।

(B) $EM$ तरंग का वेग $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}}$ द्वारा दिया जाता है।
हवा में,तरंग समीकरण $\cos[2\pi v(\frac{z}{c} - t)] = \cos[\frac{2\pi v}{c}z - 2\pi vt]$ है। फेज वेग $v_1 = c$ है।
माध्यम में,तरंग समीकरण $\cos[k(2z - ct)] = \cos[2kz - kct]$ है। फेज वेग $v_2 = \frac{kct}{2kz} = \frac{c}{2}$ है।
चूंकि माध्यम अचुंबकीय है,$\mu_{r_1} = \mu_{r_2} = 1$ है।
वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{c}{c/2} = 2$ है।
चूंकि $v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}$ है,इसलिए $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\varepsilon_{r_2}}{\varepsilon_{r_1}}} = 2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{\varepsilon_{r_2}}{\varepsilon_{r_1}} = 4$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\varepsilon_{r_1}}{\varepsilon_{r_2}} = \frac{1}{4}$।

(D) एकल स्लिट विवर्तन में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
दिया गया है $\theta = 60^o$,इसलिए $\frac{\lambda}{d} = \sin(30^o) = 0.5$.
अतः,$\lambda = 0.5 \times d = 0.5 \times 1 \mu m = 0.5 \mu m$.
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग के लिए,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d'}$ है,जहाँ $d'$ स्लिट पृथक्करण है।
दिया गया है $\beta = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$,$D = 50 \ cm = 0.5 \ m$,और $\lambda = 0.5 \times 10^{-6} \ m$.
$10^{-2} = \frac{0.5 \times 10^{-6} \times 0.5}{d'}$.
$d' = \frac{0.25 \times 10^{-6}}{10^{-2}} = 0.25 \times 10^{-4} \ m = 25 \mu m$.

(B) जब $I$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले ध्रुवक $A$ से गुजरता है,तो बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_A = \frac{I}{2}$ होती है।
चूंकि $A$ और $B$ समानांतर हैं,इसलिए $B$ के बाद की तीव्रता भी $\frac{I}{2}$ होती है।
जब ध्रुवक $C$ को $A$ के सापेक्ष $\theta$ कोण पर $A$ और $B$ के बीच रखा जाता है,तो $C$ के बाद की तीव्रता $I_C = I_A \cos^2 \theta = \frac{I}{2} \cos^2 \theta$ होती है।
चूंकि $B$,$A$ के समानांतर है,इसलिए अंतिम तीव्रता $I_B = I_A \cos^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{I}{2} \cos^4 \theta$ प्राप्त होती है।
दिया गया है कि $I_B = \frac{I}{8}$,इसलिए $\frac{I}{2} \cos^4 \theta = \frac{I}{8}$.
$\cos^4 \theta = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 45^{\circ}$।

(D) $n$-वीं अवस्था से मूल अवस्था में संक्रमण के लिए उत्सर्जित फोटॉन की तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\Lambda_n} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
बड़े $n$ के लिए,हम इसे $\Lambda_n = \frac{1}{R} (1 - \frac{1}{n^2})^{-1} \approx \frac{1}{R} (1 + \frac{1}{n^2}) = \frac{1}{R} + \frac{1}{R n^2}$ के रूप में अनुमानित कर सकते हैं।
$n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_n = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v_n}$ है। चूंकि $v_n \propto \frac{1}{n}$,इसलिए $\lambda_n \propto n$,जिसका अर्थ है कि $n^2 \propto \lambda_n^2$.
इसे $\Lambda_n$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Lambda_n = A + \frac{B}{\lambda_n^2}$ प्राप्त होता है,जहाँ $A = \frac{1}{R}$ और $B$ परमाणु के भौतिक मापदंडों से संबंधित एक स्थिरांक है।

(C) संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $h\nu = E_n - E_m$ द्वारा दी जाती है।
श्रेणी सीमा के लिए,इलेक्ट्रॉन $n = \infty$ से श्रेणी की मूल अवस्था में संक्रमण करता है।
लाइमन श्रेणी के लिए,मूल अवस्था $n_1 = 1$ है। अतः,$h\nu_L = E_{\infty} - E_1 = 0 - E_1 = -E_1$.
फंड श्रेणी के लिए,मूल अवस्था $n_5 = 5$ है। अतः,$h\nu_f = E_{\infty} - E_5 = 0 - E_5 = -E_5$.
चूंकि $E_n = \frac{E_1}{n^2}$,इसलिए $E_5 = \frac{E_1}{5^2} = \frac{E_1}{25}$।
इस मान को $\nu_f$ के व्यंजक में रखने पर:
$h\nu_f = -\left(\frac{E_1}{25}\right) = \frac{-E_1}{25}$।
चूंकि $h\nu_L = -E_1$,इसलिए हमें $h\nu_f = \frac{h\nu_L}{25}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\nu_f = \frac{\nu_L}{25}$।

(C) दिए गए परिपथ आरेख से,सिलिकॉन डायोड फॉरवर्ड बायस में जुड़ा हुआ है।
सिलिकॉन डायोड के लिए विभव प्राचीर (नी वोल्टेज) $\Delta V = 0.7 \ V$ होता है।
प्रतिरोध $R = 200 \ \Omega$ के सिरों पर कुल विभवांतर $V_{net} = V - \Delta V = 3 \ V - 0.7 \ V = 2.3 \ V$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में धारा $I$:
$I = \frac{V_{net}}{R} = \frac{2.3 \ V}{200 \ \Omega} = 0.0115 \ A$.
धारा को मिलीएम्पियर $(mA)$ में बदलने पर:
$I = 0.0115 \times 1000 \ mA = 11.5 \ mA$.

(B) संचरण के लिए उपलब्ध कुल बैंडविड्थ वाहक आवृत्ति का $10\%$ है।
कुल उपलब्ध बैंडविड्थ $= 10\% \text{ of } 10 \ GHz = 0.10 \times 10 \times 10^9 \ Hz = 10^9 \ Hz$.
मान लीजिए कि $n$ टेलीफोनिक चैनलों की संख्या है जिन्हें एक साथ प्रसारित किया जा सकता है।
प्रत्येक चैनल को $5 \ kHz = 5 \times 10^3 \ Hz$ की बैंडविड्थ की आवश्यकता होती है।
$n$ चैनलों द्वारा उपयोग की जाने वाली कुल बैंडविड्थ $n \times 5 \times 10^3 \ Hz$ है।
कुल उपलब्ध बैंडविड्थ को $n$ चैनलों के लिए आवश्यक बैंडविड्थ के बराबर रखने पर:
$n \times 5 \times 10^3 = 10^9$
$n = \frac{10^9}{5 \times 10^3} = \frac{10^6}{5} = 0.2 \times 10^6 = 2 \times 10^5$.
अतः,एक साथ $2 \times 10^5$ टेलीफोनिक चैनल प्रसारित किए जा सकते हैं।

(A) दिया गया है: धारिता $C = 0.2\, \mu F = 0.2 \times 10^{-6}\, F$.
प्रेरकत्व $L = 0.5\, mH = 0.5 \times 10^{-3}\, H$.
प्रारंभिक विभवांतर $V_0 = 10\, V$.
समय $t$ पर विभवांतर $V = 5\, V$.
$LC$ परिपथ में ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल ऊर्जा स्थिर रहती है:
$\frac{1}{2} C V_0^2 = \frac{1}{2} C V^2 + \frac{1}{2} L I^2$
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times (0.2 \times 10^{-6}) \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times (0.2 \times 10^{-6}) \times (5)^2 + \frac{1}{2} \times (0.5 \times 10^{-3}) \times I^2$
$(0.2 \times 10^{-6}) \times 100 = (0.2 \times 10^{-6}) \times 25 + (0.5 \times 10^{-3}) \times I^2$
$20 \times 10^{-6} = 5 \times 10^{-6} + (0.5 \times 10^{-3}) \times I^2$
$15 \times 10^{-6} = (0.5 \times 10^{-3}) \times I^2$
$I^2 = \frac{15 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 30 \times 10^{-3} = 0.03$
$I = \sqrt{0.03} = \sqrt{3 \times 10^{-2}} = \sqrt{3} \times 10^{-1} \approx 1.732 \times 0.1 = 0.1732\, A$.
अतः,धारा का मान लगभग $0.17\, A$ है।

(D) सर्किट में समरूपता और विभव वितरण का विश्लेषण करके,हम उन नोड्स की पहचान कर सकते हैं जो समान विभव पर हैं।
मान लीजिए कि नोड $A$ पर विभव $V_A$ है और नोड $B$ पर विभव $V_B$ है।
समविभव बिंदुओं की अवधारणा का उपयोग करके सर्किट को सरल बनाने पर (जैसा कि समाधान छवि में दिखाया गया है),जटिल नेटवर्क एक सरल श्रेणी-समांतर संयोजन में कम हो जाता है।
प्रारंभिक श्रेणी प्रतिरोधों से जुड़े नेटवर्क भाग का तुल्य प्रतिरोध $2R$ है।
इस प्रकार,$A$ और $B$ के बीच कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + 2R + R = 4R$ होता है।
हालाँकि,आरेख में दिखाए गए इस विशिष्ट ब्रिज-नुमा सर्किट के मानक सरलीकरण के आधार पर,$A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $3R$ है।

(C) कॉमन एमिटर कॉन्फ़िगरेशन में:
$1$. करंट गेन को $\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$2$. वोल्टेज गेन $(A_v)$ करंट गेन और रेजिस्टेंस गेन के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_{BE}}$।
$3$. पावर गेन $(A_p)$ करंट गेन के वर्ग और रेजिस्टेंस गेन के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $A_p = \beta^2 \times \frac{R_L}{R_{BE}}$।
अतः,गेन क्रमशः $\beta \frac{R_L}{R_{BE}}$,$\frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$,और $\beta^2 \frac{R_L}{R_{BE}}$ हैं।

(B) संतुलित मीटर ब्रिज के लिए,स्थिति $\frac{X}{l_1} = \frac{Y}{100 - l_1}$ है।
दिया गया है $Y = 12.5 \, \Omega$ और $l_1 = 39.5 \, cm$,तो हमारे पास है:
$\frac{X}{39.5} = \frac{12.5}{100 - 39.5} = \frac{12.5}{60.5}$.
$X = \frac{12.5 \times 39.5}{60.5} \approx 8.16 \, \Omega$.
जब प्रतिरोध $X$ और $Y$ को आपस में बदल दिया जाता है,तो नई संतुलन स्थिति $\frac{Y}{l_2} = \frac{X}{100 - l_2}$ होती है।
$X = \frac{Y \times l_1}{100 - l_1}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{Y}{l_2} = \frac{Y \times l_1}{(100 - l_1)(100 - l_2)}$ प्राप्त होता है।
यह $100 - l_2 = l_1 \times \frac{l_2}{100 - l_1}$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $l_2 = 100 - l_1$।
अतः,$l_2 = 100 - 39.5 = 60.5 \, cm$।

(C) मान लीजिए कि दो इलेक्ट्रॉनों का संवेग $\vec{p}_1 = \frac{h}{\lambda_1} \hat{i}$ और $\vec{p}_2 = \frac{h}{\lambda_2} \hat{j}$ है।
चूंकि दोनों इलेक्ट्रॉन हैं,इसलिए उनका द्रव्यमान $m$ समान है।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{V}_{CM} = \frac{\vec{p}_1 + \vec{p}_2}{2m} = \frac{h}{2m\lambda_1} \hat{i} + \frac{h}{2m\lambda_2} \hat{j}$ है।
द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष पहले इलेक्ट्रॉन का वेग $\vec{v}_{1,CM} = \vec{v}_1 - \vec{V}_{CM} = \frac{\vec{p}_1 - \vec{p}_2}{2m} = \frac{h}{2m\lambda_1} \hat{i} - \frac{h}{2m\lambda_2} \hat{j}$ है।
$CM$ फ्रेम में इलेक्ट्रॉन का संवेग $\vec{p}_{CM} = m \vec{v}_{1,CM} = \frac{h}{2\lambda_1} \hat{i} - \frac{h}{2\lambda_2} \hat{j}$ है।
इस संवेग का परिमाण $p_{CM} = \sqrt{(\frac{h}{2\lambda_1})^2 + (-\frac{h}{2\lambda_2})^2} = \frac{h}{2} \frac{\sqrt{\lambda_1^2 + \lambda_2^2}}{\lambda_1 \lambda_2}$ है।
$CM$ फ्रेम में डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{CM} = \frac{h}{p_{CM}} = \frac{2\lambda_1\lambda_2}{\sqrt{\lambda_1^2 + \lambda_2^2}}$ होगी।

(B) एक एम्प्लिट्यूड मॉड्युलेटेड $(AM)$ स्टेशन के लिए आवश्यक बैंडविड्थ,उच्चतम मॉड्युलेटिंग आवृत्ति $(f_m)$ की दोगुनी होती है।
दिया गया है,$f_m = 15\, kHz$.
अतः,प्रति चैनल बैंडविड्थ = $2 \times f_m = 2 \times 15\, kHz = 30\, kHz$.
कुल उपलब्ध बैंडविड्थ $300\, kHz$ है।
समायोजित किए जा सकने वाले स्टेशनों की संख्या = $\frac{\text{कुल बैंडविड्थ}}{\text{प्रति चैनल बैंडविड्थ}} = \frac{300\, kHz}{30\, kHz} = 10$.

(D) एकल स्लिट विवर्तन के लिए,$n$ वें निम्निष्ठ की स्थिति $a \sin \theta = n\lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,और $\theta$ कोणीय स्थिति है।
दिया गया है: $\lambda = 550\, nm = 550 \times 10^{-9}\, m$,$a = 22.0 \times 10^{-5}\, cm = 22.0 \times 10^{-7}\, m$,और दूसरे निम्निष्ठ के लिए $n = 2$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$a \sin \theta = 2\lambda$
$\sin \theta = \frac{2\lambda}{a} = \frac{2 \times 550 \times 10^{-9}}{22.0 \times 10^{-7}}$
$\sin \theta = \frac{1100 \times 10^{-9}}{22.0 \times 10^{-7}} = \frac{1100}{2200} = 0.5$
चूँकि $\sin \theta = 0.5$,इसलिए $\theta = \arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}\, rad$.

(D) $1$. बिंदु $C$ और $D$ के बीच समानांतर संयोजन की पहचान करें: $2\, \mu F$,$5\, \mu F$ और $5\, \mu F$ के संधारित्र समानांतर में जुड़े हुए हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{CD} = 2 + 5 + 5 = 12\, \mu F$ है।
$2$. बिंदु $E$ और $B$ के बीच समानांतर संयोजन की पहचान करें: $4\, \mu F$ और $2\, \mu F$ के संधारित्र समानांतर में जुड़े हुए हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{EB} = 4 + 2 = 6\, \mu F$ है।
$3$. अब,परिपथ तीन श्रेणीबद्ध संधारित्रों में सरल हो जाता है: $6\, \mu F$ ($A$ से जुड़ा हुआ),$C_{CD} = 12\, \mu F$,और $C_{EB} = 6\, \mu F$.
$4$. श्रेणी संयोजन के लिए $A$ और $B$ के बीच तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6}$.
$5$. योग करने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{2 + 1 + 2}{12} = \frac{5}{12}$.
$6$. अतः,$C_{eq} = \frac{12}{5} = 2.4\, \mu F$.

(B) दिए गए $B-H$ वक्र से,फेरोमैग्नेट की निग्राहिता (coercivity) $H$ का वह मान है जिस पर $B=0$ होता है। ग्राफ से,यह मान $H = 100 \text{ A/m}$ है।
सोलेनोइड के प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n = 1000 \text{ turns/cm} = 1000 \times 100 \text{ turns/m} = 10^5 \text{ turns/m}$ है।
एक लंबे सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H = nI$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ धारा है।
फेरोमैग्नेट को विचुंबकित करने के लिए,हमें निग्राहिता के बराबर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता लागू करनी होगी,इसलिए $H = 100 \text{ A/m}$।
सूत्र में मान रखने पर: $100 = 10^5 \times I$।
$I$ के लिए हल करने पर: $I = \frac{100}{10^5} = 10^{-3} \text{ A} = 1 \text{ mA}$।

(B) माना लेंस की फोकस दूरी $f$ है और वक्र सतह की वक्रता त्रिज्या $R$ है। समतल सतह की फोकस दूरी $\infty$ है।
रजतित लेंस के लिए, प्रभावी शक्ति $P = 2P_L + P_M$ है, जहाँ $P_L$ लेंस की शक्ति है और $P_M$ दर्पण की शक्ति है।
चित्र $-A$ में, समतल सतह पर परत चढ़ाई गई है। बना दर्पण एक समतल दर्पण $(R_M = \infty)$ है, इसलिए $P_M = 0$। प्रभावी फोकस दूरी $F_1 = -28 \, cm$ है (क्योंकि यह एक अवतल दर्पण के रूप में कार्य करता है)।
$\frac{1}{F_1} = -\frac{2}{f} - 0 \implies \frac{1}{-28} = -\frac{2}{f} \implies f = 56 \, cm$।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए, $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R})$।
चित्र $-B$ में, वक्र सतह पर परत चढ़ाई गई है। बना दर्पण $R$ त्रिज्या वाला एक अवतल दर्पण है, इसलिए $P_M = -\frac{1}{f_M} = -\frac{2}{R}$। प्रभावी फोकस दूरी $F_2 = -10 \, cm$ है।
$\frac{1}{F_2} = -\frac{2}{f} - \frac{2}{R} \implies \frac{1}{-10} = -\frac{2}{56} - \frac{2}{R}$।
$\frac{2}{R} = \frac{1}{10} - \frac{1}{28} = \frac{14 - 5}{140} = \frac{9}{140} \implies R = \frac{280}{9} \, cm$।
लेंस मेकर सूत्र में $f$ और $R$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{56} = (\mu - 1)(\frac{9}{280}) \implies \mu - 1 = \frac{280}{56 \times 9} = \frac{5}{9} \approx 0.555$।
अतः, $\mu = 1.555 \approx 1.55$।

(D) प्रारंभिक सक्रियता $A_0 = 0.8\,\mu Ci = 0.8 \times 3.7 \times 10^4\,dps = 29600\,dps$.
समय $t = 10\,hrs$ पर सक्रियता $A_t = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $A_t = 29600 \times 0.84 = 24864\,dps$.
$t = 10\,hrs$ पर $1\,cm^3$ रक्त में सक्रियता $n = 300\,decays/min = 300/60 = 5\,dps$ है।
मान लीजिए रक्त का कुल आयतन $V\,cm^3$ है। कुल सक्रियता $A_t$,$V$ आयतन में वितरित है,इसलिए $A_t = V \times n$.
$V = A_t / n = 24864 / 5 = 4972.8\,cm^3$.
चूंकि $1000\,cm^3 = 1\,litre$,इसलिए $V = 4972.8 / 1000 \approx 5\,litres$.

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\frac{Q}{\varepsilon_0}$ होता है।
$a$ भुजा वाली वर्गाकार सतह से फ्लक्स की गणना करने के लिए,हम इस वर्ग को $a$ भुजा वाले एक घन (cube) की एक सतह के रूप में मान सकते हैं।
चूंकि आवेश $Q$ वर्ग के केंद्र से $a/2$ दूरी पर रखा गया है,इसलिए यह इस काल्पनिक घन के बिल्कुल केंद्र में स्थित है।
समरूपता (symmetry) के कारण,कुल विद्युत फ्लक्स $\frac{Q}{\varepsilon_0}$ घन की $6$ सतहों के बीच समान रूप से वितरित होता है।
इसलिए,दी गई वर्गाकार सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स कुल फ्लक्स का $1/6$ भाग होगा।
वर्गाकार सतह से गुजरने वाला फ्लक्स = $\frac{Q}{6\varepsilon_0}$।

(B) एकल आयनित हीलियम परमाणु $(He^+)$ से इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा का सूत्र $E = 13.6 \times Z^2 / n^2$ eV है।
$He^+$ के लिए,$Z = 2$ और $n = 1$ है,इसलिए $E_1 = 13.6 \times 2^2 / 1^2 = 54.4$ eV.
मान लीजिए कि एक तटस्थ हीलियम परमाणु से पहले इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $x$ eV है।
प्रश्न के अनुसार,$54.4 = 2.2 \times x$.
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = 54.4 / 2.2 \approx 24.73$ eV प्राप्त होता है।
हीलियम परमाणु को पूरी तरह से आयनित करने के लिए आवश्यक कुल ऊर्जा,पहले इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा और परिणामी $He^+$ आयन से दूसरे इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा का योग है।
कुल ऊर्जा $= x + 54.4 = 24.73 + 54.4 = 79.13$ eV.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $79$ eV प्राप्त होता है।

(B) तरंग संचरण की दिशा इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ द्वारा दी गई है。
विद्युत क्षेत्र $\hat{k}$ दिशा में ध्रुवीकृत है, इसलिए $\vec{E} = E_0 \hat{k} \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)$.
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ को संचरण की दिशा $\hat{n}$ और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ दोनों के लंबवत होना चाहिए。
अतः, $\vec{B}$ की दिशा $\hat{n} \times \hat{k} = \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) \times \hat{k} = \frac{\hat{j} - \hat{i}}{\sqrt{2}} = - \left( \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} \right)$ है。
चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_0 = \frac{E_0}{c}$ है。
तरंग सदिश $\vec{k}$ का परिमाण $k = \frac{2\pi v}{c} = \frac{2\pi (3/2\pi \times 10^{12})}{3 \times 10^8} = 10^4 \, m^{-1}$ है。
अतः, $\vec{B} = \frac{E_0}{c} \left( \frac{\hat{j} - \hat{i}}{\sqrt{2}} \right) \cos \left[ 10^4 \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) \cdot \vec{r} - (2\pi v)t \right]$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, विकल्प $B$ आवश्यक दिशा और तरंग सदिश से मेल खाता है।

(B) $N$ फेरों,$R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली एक वृत्ताकार कॉइल की अक्ष पर उसके केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
हेल्महोल्ट्ज़ कॉइल के लिए,दो लूप $R$ दूरी पर अलग-अलग हैं। बिंदु $P$ मध्य बिंदु पर है,इसलिए प्रत्येक केंद्र ($A$ और $C$) से $P$ की दूरी $x = R/2$ है।
एक लूप के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + (R/2)^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + R^2/4)^{3/2}} = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(5R^2/4)^{3/2}}$ है।
इसे सरल करने पर,$B_1 = \frac{\mu_0 N I R^2}{2 \cdot (5/4)^{3/2} \cdot R^3} = \frac{\mu_0 N I}{2 \cdot (5^{3/2}/8) \cdot R} = \frac{4 \mu_0 N I}{5^{3/2} R}$ प्राप्त होता है।
चूंकि धाराएं एक ही दिशा में प्रवाहित होती हैं,इसलिए दोनों लूपों के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में हैं। अतः,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 2 B_1 = 2 \cdot \frac{4 \mu_0 N I}{5^{3/2} R} = \frac{8 \mu_0 N I}{5^{3/2} R}$ होगा।

(C) वस्तु $x_1 = 8\, cm$ और $x_2 = 12\, cm$ के बीच दोलन करती है। चूंकि गति आवर्ती है,इसलिए प्रतिबिंब भी आवर्ती गति करेगा। अतः,कथन $(A)$ सही है और $(B)$ गलत है।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f = -5\, cm$ (अवतल दर्पण)।
$u_1 = -8\, cm$ के लिए:
$\frac{1}{v_1} + \frac{1}{-8} = \frac{1}{-5} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{5} = -\frac{3}{40} \implies v_1 = -\frac{40}{3}\, cm$.
$u_2 = -12\, cm$ के लिए:
$\frac{1}{v_2} + \frac{1}{-12} = \frac{1}{-5} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{1}{12} - \frac{1}{5} = -\frac{7}{60} \implies v_2 = -\frac{60}{7}\, cm$.
टर्निंग पॉइंट्स के बीच की दूरी $|v_1 - v_2| = |-\frac{40}{3} - (-\frac{60}{7})| = \frac{100}{21}\, cm$ है। अतः,कथन $(D)$ सही है।
केंद्र बिंदु $x_0 = -10\, cm$ का प्रतिबिंब $v_0 = -10\, cm$ है। प्रतिबिंब की सीमा का मध्य बिंदु $\frac{v_1 + v_2}{2} = -\frac{230}{21} \approx -10.95\, cm$ है। चूंकि मध्य बिंदु और केंद्र बिंदु का प्रतिबिंब समान नहीं हैं,इसलिए गति असममित है। अतः,कथन $(C)$ सही है।
अतः,कथन $(A), (C),$ और $(D)$ सही हैं।

(A) समतल विद्युत चुम्बकीय तरंग का विद्युत क्षेत्र $E(z, t) = E_0 \sin(kz - \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
$t = t_1$ पर,$z = z_1$ पर $E = 0$ है,इसलिए $\sin(kz_1 - \omega t_1) = 0$ है।
इसका अर्थ है $kz_1 - \omega t_1 = n\pi$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है)।
इसके पड़ोस में अगला शून्य $z_2$ पर होता है,इसलिए $kz_2 - \omega t_1 = (n \pm 1)\pi$ है।
इन समीकरणों को घटाने पर $k(z_2 - z_1) = \pm \pi$ प्राप्त होता है।
चूँकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,हमारे पास $\frac{2\pi}{\lambda} |z_2 - z_1| = \pi$ है,जो सरल होकर $\lambda = 2|z_2 - z_1|$ हो जाता है।
आवृत्ति $f = \frac{c}{\lambda}$ है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ है।
मान रखने पर,$f = \frac{3 \times 10^8}{2|z_2 - z_1|}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है: त्रिभुज की भुजा,$l = 4.5 \times 10^{-2} \,m$,धारा,$I = 1 \,A$.
लंबवत दूरी $d$ पर एक सीमित तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्र से किसी भी भुजा की दूरी $d = \frac{l}{2\sqrt{3}}$ होती है।
$l = 4.5 \times 10^{-2} \,m$ रखने पर,हमें $d = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{2\sqrt{3}} \,m$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक भुजा के लिए,केंद्र पर बनने वाले कोण $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$ हैं।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (2 \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\mu_0 I \sqrt{3}}{4\pi d}$ है।
$d = \frac{l}{2\sqrt{3}}$ रखने पर,$B_1 = \frac{\mu_0 I \sqrt{3}}{4\pi (l / 2\sqrt{3})} = \frac{\mu_0 I (3)}{2\pi l} = \frac{3 \mu_0 I}{2\pi l}$ प्राप्त होता है।
तीनों भुजाओं के कारण केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = 3 \times B_1 = 3 \times \frac{3 \mu_0 I}{2\pi l} = \frac{9 \mu_0 I}{2\pi l}$ है।
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \,T\cdot m/A$,$I = 1 \,A$,और $l = 4.5 \times 10^{-2} \,m$ का उपयोग करने पर:
$B_{net} = \frac{9 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 1}{2\pi \times 4.5 \times 10^{-2}} = \frac{18 \times 10^{-7}}{4.5 \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \,T$ (या $Wb/m^2$)।

(A) यह सर्किट दो $AND$ गेट,एक $NOT$ गेट और एक $NAND$ गेट से बना है।
मान लीजिए इनपुट $x$ और $y$ हैं।
ऊपरी $AND$ गेट में $x$ और $y$ इनपुट के रूप में जाते हैं,इसलिए इसका आउटपुट $a = x \cdot y$ है।
निचले $AND$ गेट में $\bar{x}$ ($NOT$ गेट से) और $y$ इनपुट के रूप में जाते हैं,इसलिए इसका आउटपुट $b = \bar{x} \cdot y$ है।
अंतिम $NAND$ गेट में $a$ और $b$ इनपुट के रूप में जाते हैं,इसलिए इसका आउटपुट $z = \overline{a \cdot b} = \overline{(x \cdot y) \cdot (\bar{x} \cdot y)}$ है।
बूलियन बीजगणित का उपयोग करते हुए: $z = \overline{(x \cdot \bar{x}) \cdot (y \cdot y)} = \overline{0 \cdot y} = \overline{0} = 1$.
इस प्रकार,सर्किट का आउटपुट हमेशा $1$ रहता है। दिए गए विकल्पों की जांच करने पर,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(A) तार में उत्पन्न ऊष्मा की दर शक्ति के सूत्र द्वारा दी जाती है: $P = \frac{V^2}{R}$।
प्रारंभ में,तार का प्रतिरोध $R_1 = \frac{\rho L}{A} = \frac{\rho L}{\pi r^2}$ है।
अतः,प्रारंभिक शक्ति $P_1 = \frac{V^2}{R_1}$ है।
जब लंबाई आधी $(L' = L/2)$ और त्रिज्या दोगुनी $(r' = 2r)$ कर दी जाती है,तो नया प्रतिरोध $R_2$ इस प्रकार होगा:
$R_2 = \frac{\rho (L/2)}{\pi (2r)^2} = \frac{\rho L / 2}{\pi (4r^2)} = \frac{\rho L}{8 \pi r^2} = \frac{R_1}{8}$।
नई शक्ति $P_2$ इस प्रकार है:
$P_2 = \frac{V^2}{R_2} = \frac{V^2}{R_1 / 8} = 8 \left( \frac{V^2}{R_1} \right) = 8 P_1$।
इसलिए,उत्पन्न ऊष्मा की दर $8$ गुना बढ़ जाएगी।

(C) टैंक सर्किट की अनुनादी आवृत्ति (resonant frequency) $f_c = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $L = 49 \times 10^{-6}\,H$ और $C = 2.5 \times 10^{-9\,F}$.
$f_c = \frac{1}{2\pi\sqrt{49 \times 10^{-6} \times 2.5 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{122.5 \times 10^{-15}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{1.225 \times 10^{-13}}} \approx \frac{1}{2\pi \times 3.5 \times 10^{-7}} = \frac{10^7}{7\pi} \approx 454.7\,kHz$.
ऑडियो सिग्नल आवृत्ति $f_m = 12\,kHz$ के लिए,साइडबैंड आवृत्तियाँ $f_c - f_m$ और $f_c + f_m$ होती हैं।
निचला साइडबैंड $= 454.7 - 12 = 442.7\,kHz$.
ऊपरी साइडबैंड $= 454.7 + 12 = 466.7\,kHz$.
अतः,सीमा लगभग $442\,kHz - 466\,kHz$ है।

(B) जैसे ही छड़ $v$ वेग के साथ पटरियों पर नीचे की ओर चलती है,लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ बदलता है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = B l v$ है।
परिपथ में प्रेरित धारा $i = \frac{e}{R} = \frac{B l v}{R}$ है।
छड़ पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m = i l B = \left( \frac{B l v}{R} \right) l B = \frac{B^2 l^2 v}{R}$ है,जो पटरियों के अनुदिश ऊपर की ओर कार्य करता है।
पटरियों पर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $F_g = mg \sin \theta$ है।
टर्मिनल चाल पर,छड़ पर कुल बल शून्य होता है,इसलिए $F_g = F_m$.
$mg \sin \theta = \frac{B^2 l^2 v}{R}$.
$v$ के लिए हल करने पर,हमें टर्मिनल चाल $v = \frac{mgR \sin \theta}{B^2 l^2}$ प्राप्त होती है।

(C) दिया गया है:
समानांतर प्लेट संधारित्र का क्षेत्रफल,$A = 200\,cm^2 = 200 \times 10^{-4}\,m^2 = 2 \times 10^{-2}\,m^2$
प्लेटों के बीच की दूरी,$d = 1.5\,cm = 1.5 \times 10^{-2}\,m$
प्लेटों के बीच आकर्षण बल,$F = 25 \times 10^{-6}\,N$
निर्वात की विद्युतशीलता,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,C^2/Nm^2$
संधारित्र की प्लेटों के बीच आकर्षण बल का सूत्र है:
$F = \frac{Q^2}{2A\epsilon_0}$
चूंकि $Q = CV = \frac{\epsilon_0 A V}{d}$,इसलिए $Q$ का मान बल के समीकरण में रखने पर:
$F = \frac{(\frac{\epsilon_0 A V}{d})^2}{2A\epsilon_0} = \frac{\epsilon_0^2 A^2 V^2}{d^2 \cdot 2A\epsilon_0} = \frac{\epsilon_0 A V^2}{2d^2}$
$V^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$V^2 = \frac{2F d^2}{\epsilon_0 A}$
मान रखने पर:
$V^2 = \frac{2 \times (25 \times 10^{-6}) \times (1.5 \times 10^{-2})^2}{(8.85 \times 10^{-12}) \times (200 \times 10^{-4})}$
$V^2 = \frac{50 \times 10^{-6} \times 2.25 \times 10^{-4}}{8.85 \times 10^{-12} \times 2 \times 10^{-2}}$
$V^2 = \frac{112.5 \times 10^{-10}}{17.7 \times 10^{-14}} \approx 6.356 \times 10^4 \approx 63560$
$V = \sqrt{63560} \approx 252.1\,V$
अतः,$V$ का मान लगभग $250\,V$ है।

(D) गोले के अंदर कुल आवेश $q$ ज्ञात करने के लिए आवेश घनत्व का गोले के आयतन पर समाकलन करने पर:
$q = \int_0^R \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$
$q = \int_0^R \rho_0 \left( 1 - \frac{r}{R} \right) 4\pi r^2 dr$
$q = 4\pi \rho_0 \int_0^R \left( r^2 - \frac{r^3}{R} \right) dr$
$q = 4\pi \rho_0 \left[ \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right]_0^R$
$q = 4\pi \rho_0 \left( \frac{R^3}{3} - \frac{R^4}{4R} \right) = 4\pi \rho_0 \left( \frac{R^3}{12} \right) = \frac{\pi \rho_0 R^3}{3}$
गोले के बाहर $r$ दूरी $(r > R)$ पर गॉस के नियम का उपयोग करने पर:
$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$
$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{\pi \rho_0 R^3}{3 \varepsilon_0}$
$E = \frac{\rho_0 R^3}{12 \varepsilon_0 r^2}$

(C) $I$ धारा वहन करने वाली $R$ त्रिज्या की बड़ी वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र के साथ $\theta = \omega t$ कोण पर $r$ त्रिज्या वाली छोटी कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,$\phi = B A \cos(\omega t) = \left(\frac{\mu_0 I}{2R}\right) (\pi r^2) \cos(\omega t)$ है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित $emf$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ है।
$\phi$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $e = -\frac{d}{dt} \left[ \frac{\mu_0 I \pi r^2}{2R} \cos(\omega t) \right]$.
$e = -\frac{\mu_0 I \pi r^2}{2R} \cdot (-\omega \sin(\omega t)) = \frac{\mu_0 I}{2R} \omega \pi r^2 \sin(\omega t)$.

(A) $C_1$ पर प्रारंभिक आवेश $Q_0 = C_1 V = 1.0 \, \mu F \times 60 \, V = 60 \, \mu C$ है।
जब $C_1$ को $C_2$ और $C_3$ के श्रेणीक्रम संयोजन से जोड़ा जाता है,तो श्रेणीक्रम संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_2 C_3}{C_2 + C_3} = \frac{3.0 \times 6.0}{3.0 + 6.0} \, \mu F = 2.0 \, \mu F$ होती है।
मान लीजिए कि निकाय पर सामान्य विभवांतर $V'$ है। आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल आवेश $Q_0$ को $C_1$ और $C_{eq}$ के बीच समानांतर में पुनर्वितरित किया जाता है:
$Q_0 = C_1 V' + C_{eq} V' = (C_1 + C_{eq}) V'$.
$60 \, \mu C = (1.0 \, \mu F + 2.0 \, \mu F) V' = 3.0 \, \mu F \times V'$.
$V' = \frac{60}{3} = 20 \, V$.
$C_2$ और $C_3$ के श्रेणीक्रम संयोजन पर आवेश $Q_{23} = C_{eq} V' = 2.0 \, \mu F \times 20 \, V = 40 \, \mu C$ है।
चूंकि $C_2$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए दोनों पर समान आवेश $40 \, \mu C$ होता है। प्रश्न के अनुसार,श्रेणी शाखा पर कुल आवेश $40 \, \mu C$ है।

(C) आयतन आवेश घनत्व $\rho$ को प्रति इकाई आयतन कुल आवेश $q$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। $d$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली छड़ के लिए,आयतन $V = A d$ होता है।
अतः,$\rho = \frac{q}{V} = \frac{q}{A d}$,जिसका अर्थ है $q = \rho A d$।
चूंकि विद्युत धारा $I$ को आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,$I = \frac{q}{t}$,जहाँ $t$ आवेश $q$ को अनुप्रस्थ काट से गुजरने में लगा समय है।
समय $t$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $t = \frac{q}{I}$ प्राप्त होता है।
$q$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $t = \frac{\rho A d}{I}$ प्राप्त होता है।

(A) गोलीय विपथन के लिए संशोधित डबलट के लिए,पृथक्करण $d$ की शर्त $d = f_1 - f_2$ है। दिया गया है $d = 2\,cm$,इसलिए $f_1 - f_2 = 2\,cm$,या $f_1 = f_2 + 2$ है।
$d$ दूरी पर स्थित दो लेंसों की परिणामी फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$ है।
दिए गए मान $F = 10\,cm$ और $d = 2\,cm$ रखने पर:
$\frac{1}{10} = \frac{f_2 + f_1 - d}{f_1 f_2} = \frac{f_2 + (f_2 + 2) - 2}{f_1 f_2} = \frac{2f_2}{f_1 f_2} = \frac{2}{f_1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f_1 = 20\,cm$ है।
$f_1 - f_2 = 2\,cm$ का उपयोग करने पर,हमें $f_2 = 20 - 2 = 18\,cm$ प्राप्त होता है।
इसलिए,फोकस दूरियाँ $18\,cm$ और $20\,cm$ हैं।

(A) मान लीजिए कि ध्रुवीकरण की दिशा और $x-$अक्ष के बीच का कोण $\alpha$ है।
मालस के नियम के अनुसार,संचरित तीव्रता $I = I_0 \cos^2(\alpha - \theta)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ आपतित तीव्रता है।
$\theta$ के विभिन्न मानों पर तीव्रता समान रहने के लिए,$\cos^2(\alpha - \theta)$ के मान समान होने चाहिए।
इसका अर्थ है $(\alpha - \theta) = \pm \phi$ या $(\alpha - \theta) = 180^o \pm \phi$.
दिया गया है $\theta_1 = 8^o, \theta_2 = 38^o, \theta_3 = 188^o, \theta_4 = 218^o$.
इन कोणों का औसत $\alpha = \frac{8^o + 38^o + 188^o + 218^o}{4} = \frac{452^o}{4} = 113^o$ है।
हालाँकि,समरूपता की जाँच करने पर: $(\alpha - 8^o) = -(\alpha - 38^o) \implies 2\alpha = 46^o \implies \alpha = 23^o$ या $23^o + 180^o = 203^o$.
अतः,कोण $203^o$ है।

(C) माना कि भारी नाभिक $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो नाभिकों में टूट जाता है जो क्रमशः $V_1$ और $V_2$ वेग से गति करते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए $m_1 V_1 = m_2 V_2$ होगा।
वेग का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{8}{27}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{m_1}{m_2} = \frac{V_2}{V_1} = \frac{27}{8}$ होगा।
नाभिकीय घनत्व $\rho$ को स्थिर मानते हुए,नाभिक का द्रव्यमान $m = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है।
अतः,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = \frac{27}{8}$ होगा।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{27}{8} \right)^{1/3} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,त्रिज्याओं का अनुपात $3:2$ है।

(D) कक्षा की त्रिज्या $r_n = \frac{\epsilon_0 n^2 h^2}{\pi m Z e^2}$ द्वारा दी जाती है। चूँकि $r \propto \frac{1}{m}$,म्यूओनिक कक्षा की त्रिज्या $r_{\mu} = \frac{r_e}{200}$ होगी। अतः,$(A)$ सही है।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{Z e^2}{2 \epsilon_0 n h}$ होता है। चूँकि वेग $v$ द्रव्यमान $m$ से स्वतंत्र है,म्यूऑन की गति इलेक्ट्रॉन के समान ही रहती है। अतः,$(B)$ गलत है।
आयनीकरण ऊर्जा $E_n = \frac{m Z^2 e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$ होती है। चूँकि $E \propto m$,म्यूओनिक परमाणु की आयनीकरण ऊर्जा $E_{\mu} = 200 E_H$ होगी। अतः,$(C)$ सही है।
संवेग $p = m v$ होता है। चूँकि दोनों के लिए वेग $v$ समान है और $m_{\mu} = 200 m_e$ है,म्यूऑन का संवेग इलेक्ट्रॉन की तुलना में $200$ गुना अधिक होगा। अतः,$(D)$ सही है।
इसलिए,कथन $(A), (C)$ और $(D)$ सही हैं।

(A) चुंबकीय आघूर्ण $\mu$ को धारा $I$ और लूप के क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\mu = IA$।
$f$ आवृत्ति के साथ घूमने वाले आवेश $q$ द्वारा उत्पन्न धारा $I = qf$ होती है।
चूंकि कोणीय वेग $\omega$ है,इसलिए आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi}$ होगी।
अतः,धारा $I = q \left( \frac{\omega}{2\pi} \right)$ है।
लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
इन मानों को चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में रखने पर:
$\mu = \left( \frac{q \omega}{2\pi} \right) (\pi r^2)$।
व्यंजक को सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\mu = \frac{1}{2} q \omega r^2$।

(C) दिया गया है: प्रारंभिक प्रतिरोध $R_0 = 100\,\Omega$,वोल्टेज $V = 220\,V$,धारा $I = 2\,A$,और तापमान में परिवर्तन $\Delta t = 500\,^{\circ}C$.
सबसे पहले,ओम के नियम का उपयोग करके उच्च तापमान पर प्रतिरोध $R_t$ की गणना करें: $R_t = \frac{V}{I} = \frac{220}{2} = 110\,\Omega$.
प्रतिरोध की तापमान निर्भरता का सूत्र $R_t = R_0(1 + \alpha \Delta t)$ है।
मान रखने पर: $110 = 100(1 + \alpha \times 500)$.
$1.1 = 1 + 500\alpha$.
$0.1 = 500\alpha$.
$\alpha = \frac{0.1}{500} = \frac{1}{5000} = 0.0002\,^{\circ}C^{-1}$.
अतः,$\alpha = 2 \times 10^{-4}\,^{\circ}C^{-1}$.

(D) दिया गया है: $N_1 = 2N_2$.
रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $A = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ नाभिकों की संख्या है।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.
नमूने $S_1$ के लिए: $A_1 = \lambda_1 N_1 = \frac{\ln 2}{T_1} N_1 = 5\,\mu Ci$ ...... $(i)$
नमूने $S_2$ के लिए: $A_2 = \lambda_2 N_2 = \frac{\ln 2}{T_2} N_2 = 10\,\mu Ci$ ...... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{\lambda_2 N_2}{\lambda_1 N_1} = \frac{T_1}{T_2} \times \frac{N_2}{N_1} = \frac{10}{5} = 2$
चूंकि $N_1 = 2N_2$,इसलिए $\frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{2}$.
इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{T_1}{T_2} \times \frac{1}{2} = 2 \Rightarrow \frac{T_1}{T_2} = 4 \Rightarrow T_1 = 4T_2$.
इसका अर्थ है कि $S_1$ की अर्ध-आयु $S_2$ की तुलना में चार गुना है। विकल्पों को देखने पर,यदि $T_2 = 5$ वर्ष है,तो $T_1 = 20$ वर्ष होगा। अतः,अर्ध-आयु क्रमशः $20$ वर्ष और $5$ वर्ष है।