JEE Main 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{x + q + x + p}{(x + p)(x + q)} = \frac{1}{r}$
ગુણાકાર કરતા: $r(2x + p + q) = x^2 + (p + q)x + pq$
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $x^2 + (p + q - 2r)x + (pq - pr - qr) = 0$
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. બીજ માન માં સમાન પરંતુ ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ હોવાથી,$\alpha = -\beta$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha + \beta = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે બીજનો સરવાળો $-b/a$ થાય. તેથી,$-(p + q - 2r) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $p + q = 2r$.
બીજના વર્ગોનો સરવાળો $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ છે.
$\alpha + \beta = 0$ હોવાથી,આ $\alpha^2 + \beta^2 = -2\alpha\beta$ માં પરિણમે છે.
બીજના ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ,$\alpha\beta = pq - pr - qr$.
$\alpha\beta$ ની કિંમત મૂકતા: $\alpha^2 + \beta^2 = -2(pq - pr - qr) = -2pq + 2pr + 2qr$.
$2r = p + q$ હોવાથી,$2pr + 2qr = 2r(p + q) = (p + q)(p + q) = p^2 + 2pq + q^2$ મૂકતા.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 = -2pq + (p^2 + 2pq + q^2) = p^2 + q^2$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $9x^2 + 27x + 20 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-27 \pm \sqrt{27^2 - 4 \times 9 \times 20}}{18} = \frac{-27 \pm 3}{18}$.
તેથી,બીજ $x_1 = -\frac{4}{3}$ અને $x_2 = -\frac{5}{3}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $5 \cos A + 3 = 0$,તેથી $\cos A = -\frac{3}{5}$.
તેથી $\sec A = \frac{1}{\cos A} = -\frac{5}{3}$.
ખૂણો $A$ ગુરુકોણ હોવાથી,$\tan A = -\sqrt{\sec^2 A - 1} = -\frac{4}{3}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $\sec A$ અને $\tan A$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = (1 + 2x + 3x^2)^6 + (1 - 4x^2)^6$.
આપણે $(2 - x^2)f(x)$ માં $x^2$ નો સહગુણક શોધવો છે.
આ $2 \times (f(x) \text{ માં } x^2 \text{ નો સહગુણક}) - 1 \times (f(x) \text{ માં અચળ પદ})$ બરાબર થાય.
પ્રથમ,$f(x)$ માં અચળ પદ શોધો:
અચળ પદ $= (1 + 2(0) + 3(0)^2)^6 + (1 - 4(0)^2)^6 = 1^6 + 1^6 = 2$.
હવે,$f(x)$ માં $x^2$ નો સહગુણક શોધો:
$(1 + 2x + 3x^2)^6$ માટે,દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + (2x + 3x^2))^6 = 1 + 6(2x + 3x^2) + \binom{6}{2}(2x)^2 + \dots = 1 + 12x + 18x^2 + 60x^2 + \dots = 1 + 12x + 78x^2 + \dots$
$x^2$ નો સહગુણક $78$ છે.
$(1 - 4x^2)^6$ માટે,વિસ્તરણ $1 + 6(-4x^2) + \dots = 1 - 24x^2 + \dots$ છે.
$x^2$ નો સહગુણક $-24$ છે.
તેથી,$f(x)$ માં $x^2$ નો સહગુણક $78 - 24 = 54$ છે.
છેલ્લે,$(2 - x^2)f(x)$ માં $x^2$ નો સહગુણક $2(54) - 1(2) = 108 - 2 = 106$ છે.

(D) ધારો કે $z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i\sqrt{3}}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1 + i\sqrt{3})$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(1 + i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})}{(1 - i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})} = \frac{1 + 2i\sqrt{3} - 3}{4} = \frac{-2 + 2i\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$.
આ કિંમત $\omega$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
તેથી,$z = \omega$.
સમીકરણ $\omega^n = 1$ બને છે.
તેથી,સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n = 3$ છે.

(C) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(27 + x)}^{\frac{1}{3}}} - 3}}{{9 - {{(27 + x)}^{\frac{2}{3}}}}}$
$x = 0$ મૂકતા,આપણને $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ મળે છે.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}({{(27 + x)}^{\frac{1}{3}}} - 3)}}{{\frac{d}{{dx}}(9 - {{(27 + x)}^{\frac{2}{3}}})}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{3}{{(27 + x)}^{ - \frac{2}{3}}}}}{{ - \frac{2}{3}{{(27 + x)}^{ - \frac{1}{3}}}}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} -\frac{1}{2} {(27 + x)}^{ - \frac{1}{3}}$
$L = -\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = -\frac{1}{6}$

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $O_1 = (-1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $O_2 = (h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
બંને વર્તુળો બિંદુ $P(2, 2)$ પર બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,$P$ એ $O_1O_2$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$(2, 2) = \left( \frac{-1 + h}{2}, \frac{2 + k}{2} \right).$
તેથી,$h = 5$ અને $k = 2.$
વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $(x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 3^2$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 10x - 4y + 20 = 0$ થાય.
$x-$અક્ષ પર કપાતા અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^2 - c} = 2\sqrt{(-5)^2 - 20} = 2\sqrt{5}$ થાય.

(C) ધારો કે પરવલય $x^2 = 4y$ પરનું બિંદુ $P(2t, t^2)$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 6x + 8 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C(-3, 0)$ છે.
અંતર $PC$ ન્યૂનતમ હોય તે માટે,રેખા $PC$ એ $P$ આગળ પરવલયનો અભિલંબ હોવો જોઈએ.
$P(2t, t^2)$ આગળ પરવલયના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2} = t$ છે.
તેથી,$P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{t}$ થાય.
$P(2t, t^2)$ અને $C(-3, 0)$ ને જોડતી રેખા $PC$ નો ઢાળ $\frac{t^2 - 0}{2t - (-3)} = \frac{t^2}{2t + 3}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{t^2}{2t + 3} = -\frac{1}{t}$.
$t^3 = -2t - 3 \Rightarrow t^3 + 2t + 3 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$t = -1$ એ ઉકેલ છે: $(-1)^3 + 2(-1) + 3 = 0$.
$t = -1$ માટે,બિંદુ $P(-2, 1)$ મળે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $t = -1$ છે.
$(-2, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = -1(x + 2)$ થાય.
$y - 1 = -x - 2 \Rightarrow x + y + 1 = 0$.

(C) આપેલ છે કે મધ્યક $\bar{x} = 9$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 0$ છે,જ્યાં $n = 5$ અવલોકનો છે.
$\sigma = 0$ હોવાથી,બધા પાંચ અવલોકનો મધ્યક જેટલા જ હોય.
તેથી,અવલોકનો $9, 9, 9, 9, 9$ છે.
ધારો કે એક કિંમત બદલ્યા પછી નવું અવલોકન $x_5'$ છે. બાકીના ચાર અવલોકનોનો સરવાળો $9 \times 4 = 36$ છે.
નવો મધ્યક $10$ આપેલ છે,તેથી $\frac{36 + x_5'}{5} = 10.$
$36 + x_5' = 50 \Rightarrow x_5' = 14.$
અવલોકનોનો નવો સમૂહ $9, 9, 9, 9, 14$ છે.
નવું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_{new} = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x}_{new})^2}{n}}.$
$\sigma_{new} = \sqrt{\frac{4(9 - 10)^2 + (14 - 10)^2}{5}} = \sqrt{\frac{4(1) + 16}{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2.$

(D) આપેલ શ્રેણી $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \dots$ છે.
$n$-મું પદ $T_n = \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$ થાય,જ્યાં $n \ge 1$.
પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (2 - \frac{1}{2^{n-1}})$ છે.
$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} 2 - \sum_{n=1}^{20} \frac{1}{2^{n-1}}$.
$S_{20} = 2(20) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{19}})$.
બીજો ભાગ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a = 1$,$r = \frac{1}{2}$,અને $n = 20$ છે.
સરવાળો $= \frac{1(1 - (1/2)^{20})}{1 - 1/2} = 2(1 - \frac{1}{2^{20}}) = 2 - \frac{1}{2^{19}}$.
તેથી,$S_{20} = 40 - (2 - \frac{1}{2^{19}}) = 38 + \frac{1}{2^{19}}$.

(D) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$ છે.
નાભિ $(ae, 0)$ અને તેના નજીકના શિરોબિંદુ $(a, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $a(1 - e) = \frac{3}{2}$ છે.
તેથી,$a - ae = \frac{3}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $ae = a - \frac{3}{2}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 4$ છે,તેથી $b^2 = 2a$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2a = a^2(1 - e^2)$ મળે છે,જે $1 - e^2 = \frac{2}{a}$ અથવા $e^2 = 1 - \frac{2}{a}$ માં પરિણમે છે.
$ae = a - \frac{3}{2}$ નો વર્ગ કરતા,$a^2e^2 = (a - \frac{3}{2})^2$ મળે છે.
$e^2 = 1 - \frac{2}{a}$ મૂકતા,$a^2(1 - \frac{2}{a}) = a^2 - 3a + \frac{9}{4}$ મળે છે.
$a^2 - 2a = a^2 - 3a + \frac{9}{4}$.
$a = \frac{9}{4}$.
હવે,$e^2 = 1 - \frac{2}{a} = 1 - \frac{2}{9/4} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
તેથી,$e = \frac{1}{3}$.

(D) ધારો કે દરેક પરિવારમાં બાળકોની સંખ્યા $x$ છે.
બંને પરિવારોમાં કુલ બાળકોની સંખ્યા $2x$ છે.
આપણે $2x$ બાળકો વચ્ચે $3$ ટિકિટો એવી રીતે વહેંચીએ છીએ કે કોઈ બાળકને એકથી વધુ ટિકિટ ન મળે.
$2x$ બાળકોમાંથી $3$ બાળકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{2x}C_{3}$ છે.
પરિવાર $B$ (જેમાં $x$ બાળકો છે) માંથી $3$ બાળકો પસંદ કરવાની રીતો $^{x}C_{3}$ છે.
બધી $3$ ટિકિટો પરિવાર $B$ ના બાળકોને મળે તેની સંભાવના:
$P = \frac{^{x}C_{3}}{^{2x}C_{3}} = \frac{1}{12}$
સાદુરૂપ આપતા:
$\frac{x(x-1)(x-2)}{2x(2x-1)(2x-2)} = \frac{1}{12}$
$\frac{x-2}{4(2x-1)} = \frac{1}{12}$
$\frac{x-2}{2x-1} = \frac{1}{3}$
$3x - 6 = 2x - 1$
$x = 5$
આમ,દરેક પરિવારમાં બાળકોની સંખ્યા $5$ છે.

(B) શરતી વિધાન $p \rightarrow (p \wedge \neg q)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ $p$ એ $T$ હોય અને ઉત્તરગ $(p \wedge \neg q)$ એ $F$ હોય.
$p$ એ $T$ હોવાથી,પદ $(p \wedge \neg q)$ એ $(T \wedge \neg q)$ બને છે.
$(T \wedge \neg q)$ ને $F$ થવા માટે,$\neg q$ એ $F$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $q$ એ $T$ છે.
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $p = T$ અને $q = T$ છે.

(D) ધારો કે છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
વક્ર $y^2 = 6x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 6$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{y_1}$ મળે. ધારો કે $m_1 = \frac{3}{y_1}$.
વક્ર $9x^2 + by^2 = 16$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $18x + 2by \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{9x_1}{by_1}$ મળે. ધારો કે $m_2 = -\frac{9x_1}{by_1}$.
વક્રો કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$,જેનો અર્થ છે કે $(\frac{3}{y_1}) \times (-\frac{9x_1}{by_1}) = -1$,તેથી $\frac{27x_1}{by_1^2} = 1$. $y_1^2 = 6x_1$ હોવાથી,$\frac{27x_1}{b(6x_1)} = 1$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{27}{6b} = 1$,તેથી $b = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ મળે.

(C) ગર્ભિતાર્થ $A \rightarrow B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
આપેલ છે કે $(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r) \rightarrow \sim p \vee q \equiv F$.
આનો અર્થ એ છે કે $(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r) \equiv T$ અને $\sim p \vee q \equiv F$.
$\sim p \vee q \equiv F$ પરથી,આપણને $\sim p \equiv F$ અને $q \equiv F$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p \equiv T$ અને $q \equiv F$.
હવે આ કિંમતોને પ્રથમ ભાગમાં મૂકતા: $(T \wedge \sim F) \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
$(T \wedge T) \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
$T \wedge (T \wedge r) \equiv T$.
આ માટે $T \wedge r \equiv T$ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $r \equiv T$.
આમ,સત્યતા મૂલ્યો $p = T, q = F, r = T$ છે.

(D) આપેલ માહિતી $7, 8, 9, 7, 8, 7, \lambda, 8$ નો મધ્યક $8$ છે.
મધ્યક $= \frac{7+8+9+7+8+7+\lambda+8}{8} = 8$
$\Rightarrow \frac{54+\lambda}{8} = 8$
$\Rightarrow 54+\lambda = 64$
$\Rightarrow \lambda = 10$
હવે,માહિતીનો સમૂહ $7, 8, 9, 7, 8, 7, 10, 8$ છે.
વિચરણ $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$
વિચરણ $= \frac{(7-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (7-8)^2 + (10-8)^2 + (8-8)^2}{8}$
વિચરણ $= \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + (-1)^2 + 0^2 + (-1)^2 + 2^2 + 0^2}{8}$
વિચરણ $= \frac{1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 4 + 0}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

(B) વક્રો $y = x^2$ અને $y = \frac{1}{x}$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે $x^2 = \frac{1}{x}$ લેતા,જે $x^3 = 1$ આપે છે,તેથી $x = 1$. આમ,છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
વક્રો $y = x^2$,$y = \frac{1}{x}$,$x$-અક્ષ $(y = 0)$ અને રેખા $x = t$ $(t > 1)$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ બે સંકલનોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_0^1 x^2 \, dx + \int_1^t \frac{1}{x} \, dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\text{Area} = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 + \left[ \ln(x) \right]_1^t$
$\text{Area} = \left( \frac{1}{3} - 0 \right) + (\ln(t) - \ln(1))$
કારણ કે $\ln(1) = 0$,તેથી:
$\text{Area} = \frac{1}{3} + \ln(t)$
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $1 \, \text{sq. unit}$ છે:
$\frac{1}{3} + \ln(t) = 1$
$\ln(t) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા:
$t = e^{2/3}$

(A) જો વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોય,તો $\lim_{x \to 0} f(x)$ નું અસ્તિત્વ હોવું જોઈએ અને $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ થાય.
હવે,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{k - 1}{e^{2x} - 1} \right)$.
$= \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{2x} - 1 - (k - 1)x}{x(e^{2x} - 1)} \right)$.
$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$= \lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2x + 2x^2 + \dots) - 1 - kx + x}{x(2x + 2x^2 + \dots)}$.
$= \lim_{x \to 0} \frac{(3 - k)x + 2x^2 + \dots}{2x^2 + 2x^3 + \dots}$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,અંશમાં $x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $3 - k = 0$,જે $k = 3$ આપે છે.
$k = 3$ મૂકતા,લક્ષ $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \dots}{2x^2 + 2x^3 + \dots} = \frac{2}{2} = 1$ થાય છે.
તેથી,$f(0) = 1$,અને ક્રમયુક્ત જોડ $(3, 1)$ છે.

(C) $N$ પર આપેલા સંબંધો:
$R_1 = \{(x,y) \in N \times N : 2x + y = 10\}$
$R_2 = \{(x,y) \in N \times N : x + 2y = 10\}$
$R_1$ માટે,$y = 10 - 2x$ ને $x, y \in N$ માટે ઉકેલતા:
જો $x=1, y=8$; જો $x=2, y=6$; જો $x=3, y=4$; જો $x=4, y=2$.
તેથી,$R_1 = \{(1,8), (2,6), (3,4), (4,2)\}$.
$R_1$ નો વિસ્તાર $\{2, 4, 6, 8\}$ છે. આમ,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.
$R_1$ સંમિત નથી કારણ કે $(1,8) \in R_1$ પરંતુ $(8,1) \notin R_1$.
$R_1$ પરંપરિત નથી કારણ કે $(3,4) \in R_1$ અને $(4,2) \in R_1$,પરંતુ $(3,2) \notin R_1$.
$R_2$ માટે,$x = 10 - 2y$ ને $x, y \in N$ માટે ઉકેલતા:
જો $y=1, x=8$; જો $y=2, x=6$; જો $y=3, x=4$; જો $y=4, x=2$.
તેથી,$R_2 = \{(8,1), (6,2), (4,3), (2,4)\}$.
$R_2$ નો વિસ્તાર $\{1, 2, 3, 4\}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$R_2$ સંમિત નથી કારણ કે $(8,1) \in R_2$ પરંતુ $(1,8) \notin R_2$.
$R_2$ પરંપરિત નથી કારણ કે $(4,3) \in R_2$ અને $(3,y) \notin R_2$ (કારણ કે $R_2$ માં $x=3$ માટે કોઈ $y$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી).

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\tan x}{1 + \tan x + \tan^2 x} dx$.
આપણે અંશને આ રીતે લખી શકીએ: $\int \frac{\tan x + 1 + \tan^2 x - (1 + \tan^2 x)}{1 + \tan x + \tan^2 x} dx = \int 1 dx - \int \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x + \tan^2 x} dx$.
તેથી $I = x - \int \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x + \tan^2 x} dx$.
$\tan x = t$ લેતા,$\sec^2 x dx = dt$ મળે.
$I = x - \int \frac{dt}{t^2 + t + 1} = x - \int \frac{dt}{(t + 1/2)^2 + 3/4}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = x - \frac{1}{\sqrt{3}/2} \tan^{-1} \left( \frac{t + 1/2}{\sqrt{3}/2} \right) + C = x - \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2t + 1}{\sqrt{3}} \right) + C$.
$t = \tan x$ મૂકતા,$I = x - \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2 \tan x + 1}{\sqrt{3}} \right) + C$.
આપેલ સ્વરૂપ $x - \frac{K}{\sqrt{A}} \tan^{-1} \left( \frac{K \tan x + 1}{\sqrt{A}} \right) + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 2$ અને $A = 3$ મળે છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(K, A)$ એ $(2, 3)$ છે.

(A) ગણ $X$ $(|X|=5)$ થી ગણ $Y$ $(|Y|=7)$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $\alpha = P(7, 5) = \frac{7!}{2!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$\alpha = {}^{7}C_{5} \times 5! = 21 \times 120 = 2520$.
ગણ $Y$ $(|Y|=7)$ થી ગણ $X$ $(|X|=5)$ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $\beta$ માટે,આપણે વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યાનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ: $m! \times S(n, m)$,જ્યાં $S(n, m)$ એ બીજા પ્રકારના સ્ટર્લિંગ નંબર છે.
$\beta = 5! \times S(7, 5) = 120 \times \frac{1}{2!} \sum_{k=0}^{5} (-1)^{5-k} {}^{5}C_{k} k^{7} = 120 \times 140 = 16800$.
હવે,$\frac{1}{5!}(\beta - \alpha) = \frac{16800 - 2520}{120} = \frac{14280}{120} = 119$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = 4x$ છે.
$\sin x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{4x}{\sin x}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \cot x$ અને $Q = \frac{4x}{\sin x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln|\sin x|} = \sin x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \sin x = \int \frac{4x}{\sin x} \cdot \sin x dx + C = \int 4x dx + C = 2x^2 + C$.
તેથી,$y = \frac{2x^2 + C}{\sin x}$.
આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{2}) = 0$,તેથી $0 = \frac{2(\frac{\pi}{2})^2 + C}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{\pi^2}{2} + C$,એટલે કે $C = -\frac{\pi^2}{2}$.
વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = \frac{2x^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin x}$ છે.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{2(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\frac{2\pi^2}{36} - \frac{\pi^2}{2}}{1/2} = 2 \left( \frac{\pi^2}{18} - \frac{\pi^2}{2} \right) = 2 \left( \frac{\pi^2 - 9\pi^2}{18} \right) = 2 \left( \frac{-8\pi^2}{18} \right) = -\frac{8}{9} \pi^2$.