AP EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(3-x)^{25}(6+x)^{35}}{(12+x)^{38}(9-x)^{22}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદમાં $x$ ની સૌથી મોટી ઘાતને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
અંશમાં,પદ $(3-x)^{25}(6+x)^{35} \approx (-x)^{25}(x)^{35} = -x^{60}$ છે.
છેદમાં,પદ $(12+x)^{38}(9-x)^{22} \approx (x)^{38}(-x)^{22} = x^{60}$ છે.
આમ,જેમ $x \rightarrow \infty$ થાય તેમ પદાવલિ $\frac{-x^{60}}{x^{60}} = -1$ તરીકે વર્તે છે.

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{2 \sqrt{2}-(\cos x+\sin x)^3}{1-\sin 2 x}$.
$x = \frac{\pi}{4} + h$ મૂકો,જ્યાં $h \rightarrow 0$.
તેથી $\cos x + \sin x = \cos(\frac{\pi}{4} + h) + \sin(\frac{\pi}{4} + h) = \sqrt{2} \cos h$.
વળી,$1 - \sin 2x = 1 - \sin(2(\frac{\pi}{4} + h)) = 1 - \sin(\frac{\pi}{2} + 2h) = 1 - \cos 2h = 2 \sin^2 h$.
આ કિંમતો લક્ષમાં મૂકતા:
$L = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sqrt{2} - (\sqrt{2} \cos h)^3}{2 \sin^2 h} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cos^3 h}{2 \sin^2 h} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}(1 - \cos^3 h)}{\sin^2 h}$.
$1 - \cos^3 h = (1 - \cos h)(1 + \cos h + \cos^2 h)$ અને $\sin^2 h = (1 - \cos h)(1 + \cos h)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}(1 - \cos h)(1 + \cos h + \cos^2 h)}{(1 - \cos h)(1 + \cos h)} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2}(1 + \cos h + \cos^2 h)}{1 + \cos h}$.
જેમ $h \rightarrow 0$,તેમ $\cos h \rightarrow 1$,તેથી $L = \frac{\sqrt{2}(1 + 1 + 1)}{1 + 1} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(3\theta) = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$.
તેથી,$l = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(3\theta)}{\theta} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(3\theta)}{3\theta} \times 3 = 1 \times 3 = 3$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$.
તેથી,$m = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan(2\theta)}{\theta} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan(2\theta)}{2\theta} \times 2 = 1 \times 2 = 2$.
$l=3$ અને $m=2$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $(x - l)(x - m) = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x - 3)(x - 2) = 0$
$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$.

(B) આપેલ લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\left(\frac{[x]^3}{3}-\left[\frac{x}{3}\right]^3\right)$ છે.
જેમ $x \rightarrow 2^{+}$,$x$ એ $2$ કરતા સહેજ મોટું છે,તેથી $[x] = 2$.
વળી,જેમ $x \rightarrow 2^{+}$,$\frac{x}{3}$ એ $\frac{2}{3}$ કરતા સહેજ મોટું છે,તેથી $\left[\frac{x}{3}\right] = 0$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 2^{+}}\left(\frac{[x]^3}{3}-\left[\frac{x}{3}\right]^3\right) = \frac{2^3}{3} - 0^3 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\lim _{x \rightarrow \infty} [x - \log (\frac{e^x + e^{-x}}{2})]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} [x - (\log (e^x + e^{-x}) - \log 2)]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} [x - (\log e^x + \log (1 + e^{-2x})) + \log 2]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} [x - x - \log (1 + e^{-2x}) + \log 2]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} [\log 2 - \log (1 + e^{-2x})]$
જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $e^{-2x} \rightarrow 0$,તેથી $\log (1 + e^{-2x}) \rightarrow \log 1 = 0$.
તેથી,લક્ષ $\log 2 - 0 = \log 2$ છે.

(A) ધારો કે $L = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}-\sqrt{2}}{y^4}$.
અંશનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણે $\frac{\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2}}{\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2}}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$L = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{(1+\sqrt{1+y^4})-2}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})} = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+y^4}-1}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})}$.
ફરીથી અંશનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણે $\frac{\sqrt{1+y^4}+1}{\sqrt{1+y^4}+1}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$L = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{(1+y^4)-1}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})(\sqrt{1+y^4}+1)} = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{y^4}{y^4(\sqrt{1+\sqrt{1+y^4}}+\sqrt{2})(\sqrt{1+y^4}+1)}$.
$y^4$ ને રદ કરીને અને $y \rightarrow 0$ તરીકે લક્ષની કિંમત મુકતા:
$L = \frac{1}{(\sqrt{1+1}+\sqrt{2})(\sqrt{1}+1)} = \frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{2})(1+1)} = \frac{1}{2\sqrt{2} \times 2} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$.

(A) $\text{ધારો કે } L = \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{x^3+4 x^2}-\sqrt{x^2-3 x}\right)$.
$\text{દરેક પદમાંથી } x \text{ સામાન્ય લેતા:}$
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} \left( x(1+\frac{4}{x})^{1/3} - x(1-\frac{3}{x})^{1/2} \right)$.
$\text{દ્વિપદી વિસ્તરણ } (1+u)^n \approx 1 + nu \text{ નો ઉપયોગ કરતા:}$
$(1+\frac{4}{x})^{1/3} \approx 1 + \frac{4}{3x} \text{ અને } (1-\frac{3}{x})^{1/2} \approx 1 - \frac{3}{2x}$.
$\text{આ કિંમતો મૂકતા:}$
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} \left( x + \frac{4}{3} - x + \frac{3}{2} \right) = \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{17}{6}$.

(C) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{n^2 - 1}{12} = 10$,તેથી $n^2 - 1 = 120$,એટલે કે $n^2 = 121$,જે $n = 11$ આપે છે.
પ્રથમ $m$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \dots, 2m$ છે. આ $2 \times (1, 2, 3, \dots, m)$ ને સમાન છે.
કોઈ સંખ્યાઓના સમૂહને અચળ $k$ વડે ગુણતા મળતા નવા સમૂહનું વિચરણ મૂળ વિચરણ કરતા $k^2$ ગણું થાય છે.
તેથી,પ્રથમ $m$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $2^2 \times \frac{m^2 - 1}{12} = 4 \times \frac{m^2 - 1}{12} = \frac{m^2 - 1}{3}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{m^2 - 1}{3} = 16$,તેથી $m^2 - 1 = 48$,એટલે કે $m^2 = 49$,જે $m = 7$ આપે છે.
તેથી,$n: m = 11: 7$.

(D) પગલું $1$: દરેક વર્ગ અંતરાલના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ શોધો:
$x_1 = 1, x_2 = 3, x_3 = 5, x_4 = 7, x_5 = 9$.
પગલું $2$: મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
$\sum f_i = 2+3+5+3+2 = 15$.
$\sum f_i x_i = (2 \times 1) + (3 \times 3) + (5 \times 5) + (3 \times 7) + (2 \times 9) = 2 + 9 + 25 + 21 + 18 = 75$.
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{75}{15} = 5$.
પગલું $3$: વિચરણ $(\sigma^2)$ ની ગણતરી કરો:
$\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}$.
$\sum f_i (x_i - 5)^2 = 2(1-5)^2 + 3(3-5)^2 + 5(5-5)^2 + 3(7-5)^2 + 2(9-5)^2$.
$= 2(16) + 3(4) + 5(0) + 3(4) + 2(16) = 32 + 12 + 0 + 12 + 32 = 88$.
$\sigma^2 = \frac{88}{15}$.

(D) ધારો કે $n_1 = 15$,$\bar{x} = 2$,અને $\sigma_x^2 = 4$. અવલોકનોનો સરવાળો $\sum x_i = n_1 \bar{x} = 15 \times 2 = 30$ છે. વર્ગોનો સરવાળો $\sum x_i^2 = n_1(\sigma_x^2 + \bar{x}^2) = 15(4 + 2^2) = 15(8) = 120$ છે.
ધારો કે $n_2 = 10$,$\bar{y} = 2$,અને $\sigma_y^2 = 5$. અવલોકનોનો સરવાળો $\sum y_i = n_2 \bar{y} = 10 \times 2 = 20$ છે. વર્ગોનો સરવાળો $\sum y_i^2 = n_2(\sigma_y^2 + \bar{y}^2) = 10(5 + 2^2) = 10(9) = 90$ છે.
કુલ $N = n_1 + n_2 = 25$ અવલોકનો માટે,સંયુક્ત મધ્યક $\bar{z} = \frac{\sum x_i + \sum y_i}{n_1 + n_2} = \frac{30 + 20}{25} = \frac{50}{25} = 2$ છે.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2 + \sum y_i^2}{n_1 + n_2} - \bar{z}^2 = \frac{120 + 90}{25} - 2^2 = \frac{210}{25} - 4 = 8.4 - 4 = 4.4$ છે.

(B) આપેલ છે $\sum_{i=1}^{11}(x_i-4)=22$.
$11$ વડે ભાગતા,આપણને $\bar{x}-4 = \frac{22}{11} = 2$ મળે,તેથી $\bar{x} = \alpha = 6$.
હવે,વિચરણ $\beta = \frac{1}{n} \sum (x_i-\bar{x})^2$ દ્વારા મળે છે.
$\bar{x}=6$ હોવાથી,$x_i-\bar{x} = x_i-6 = (x_i-4)-2$.
તેથી,$\sum (x_i-6)^2 = \sum ((x_i-4)-2)^2 = \sum (x_i-4)^2 - 4\sum (x_i-4) + \sum 4$.
કિંમતો મૂકતા: $154 - 4(22) + 11(4) = 154 - 88 + 44 = 110$.
તેથી,$\beta = \frac{110}{11} = 10$.
બીજ $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ અને $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $= \frac{3}{5} + \frac{5}{3} = \frac{34}{15}$.
બીજનો ગુણાકાર $= \frac{3}{5} \times \frac{5}{3} = 1$.
સમીકરણ $x^2 - \frac{34}{15}x + 1 = 0$ છે,જે $15x^2 - 34x + 15 = 0$ માં પરિણમે છે.

(B) પગલું $1$: દરેક વર્ગ અંતરાલના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ શોધો:
$x_1 = \frac{0+4}{2} = 2$,$x_2 = \frac{4+8}{2} = 6$,$x_3 = \frac{8+12}{2} = 10$,$x_4 = \frac{12+16}{2} = 14$.
પગલું $2$: મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f_i = 1+2+2+1 = 6$.
$f_i x_i$ નો સરવાળો $= (1 \times 2) + (2 \times 6) + (2 \times 10) + (1 \times 14) = 2 + 12 + 20 + 14 = 48$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{48}{6} = 8$.
પગલું $3$: વિચરણ $(\sigma^2)$ ની ગણતરી કરો:
$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum f_i (x_i - \bar{x})^2$.
$\sigma^2 = \frac{1}{6} [1(2-8)^2 + 2(6-8)^2 + 2(10-8)^2 + 1(14-8)^2]$.
$\sigma^2 = \frac{1}{6} [1(-6)^2 + 2(-2)^2 + 2(2)^2 + 1(6)^2]$.
$\sigma^2 = \frac{1}{6} [36 + 8 + 8 + 36] = \frac{88}{6} = \frac{44}{3}$.
આમ,વિચરણ $\frac{44}{3}$ છે.

(C) પગલું $1$: માહિતીનો મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો.
$\bar{x} = \frac{2 + 12 + 3 + 11 + 5 + 10 + 6 + 7}{8} = \frac{56}{8} = 7$.
પગલું $2$: મધ્યકથી વિચલનોના વર્ગ $(x_i - \bar{x})^2$ શોધો.
$(2-7)^2 = 25, (12-7)^2 = 25, (3-7)^2 = 16, (11-7)^2 = 16, (5-7)^2 = 4, (10-7)^2 = 9, (6-7)^2 = 1, (7-7)^2 = 0$.
પગલું $3$: વિચરણ $(\sigma^2)$ નું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$ નો ઉપયોગ કરો.
$\sigma^2 = \frac{25 + 25 + 16 + 16 + 4 + 9 + 1 + 0}{8} = \frac{96}{8} = 12$.

(C) આવૃત્તિઓનો સરવાળો: $\sum f_i = (\alpha+2) + (\alpha-1)^2 + 4 + (\alpha-1) + 2 + \alpha = 20$.
સાદું રૂપ આપતા: $\alpha^2 + \alpha - 12 = 0 \implies \alpha = 3$.
આવૃત્તિઓ: $5, 4, 4, 2, 2, 3$.
મધ્યક $\bar{x} = 6$.
સરેરાશ વિચલન $MD = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{54}{20} = 2.7$.

(B) પગલું $1$: દરેક વર્ગ અંતરાલના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ શોધો: $1, 3, 5, 7, 9$.
પગલું $2$: મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(1 \times 1) + (3 \times 3) + (4 \times 5) + (1 \times 7) + (2 \times 9)}{1+3+4+1+2} = \frac{1+9+20+7+18}{11} = \frac{55}{11} = 5$.
પગલું $3$: મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $(M.D.(\bar{x}))$ ની ગણતરી કરો:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{1|1-5| + 3|3-5| + 4|5-5| + 1|7-5| + 2|9-5|}{11} = \frac{1(4) + 3(2) + 4(0) + 1(2) + 2(4)}{11} = \frac{4+6+0+2+8}{11} = \frac{20}{11}$.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવીએ અને સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ગણીએ:
$x_i: 2, 3, 5, 7, 9$
$f_i: 8, 6, 4, 2, 1$
$cf: 8, 14, 18, 20, 21$
કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f_i = 21$.
મધ્યસ્થ એ $(\frac{N+1}{2})$-મું અવલોકન છે,જે $11$-મું અવલોકન છે. $cf$ કોષ્ટક પરથી,$11$-મું અવલોકન $3$ છે. તેથી,$\text{મધ્યસ્થ} (M) = 3$.
હવે,મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન ગણીએ:
$\text{M.D.}(M) = \frac{\sum f_i |x_i - M|}{N}$
$|x_i - 3|: |2-3|=1, |3-3|=0, |5-3|=2, |7-3|=4, |9-3|=6$
$f_i |x_i - 3|: 8(1)=8, 6(0)=0, 4(2)=8, 2(4)=8, 1(6)=6$
$\sum f_i |x_i - 3| = 8 + 0 + 8 + 8 + 6 = 30$
$\text{M.D.}(M) = \frac{30}{21} = \frac{10}{7}$.

(A) ધારો કે $y_i = x_i - 5$. તો આપેલ સરવાળા $\sum_{i=1}^9 y_i = 9$ અને $\sum_{i=1}^9 y_i^2 = 45$ છે.
અવલોકનો $x_i$ નું વિચરણ એ $y_i$ ના વિચરણ જેટલું જ હોય છે કારણ કે ડેટાને અચળ સંખ્યા વડે ખસેડવાથી વિચરણ બદલાતું નથી.
વિચરણ $\sigma^2$ નું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - (\bar{y})^2$ છે.
અહીં,$n = 9$,$\sum y_i = 9$,અને $\sum y_i^2 = 45$ છે.
પ્રથમ,$y$ નો મધ્યક શોધો: $\bar{y} = \frac{1}{9} \sum_{i=1}^9 y_i = \frac{9}{9} = 1$.
હવે,વિચરણ શોધો: $\sigma^2 = \frac{45}{9} - (1)^2 = 5 - 1 = 4$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma$ એ વિચરણનું વર્ગમૂળ છે: $\sigma = \sqrt{4} = 2$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)} \times \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-b)^2}} = \frac{s}{s-b}$.
આપેલ છે કે $a+c=5b$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5b+b}{2} = 3b$.
$s = 3b$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{s}{s-b} = \frac{3b}{3b-b} = \frac{3b}{2b} = \frac{3}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ હાર્મોનિક શ્રેણીમાં છે,તેથી $1/a, 1/b, 1/c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
સૂત્ર $\operatorname{cosec}^2(A/2) = \frac{bc}{(s-b)(s-c)}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s = \frac{a+b+c}{2}$ છે.
$a, b, c$ હાર્મોનિક શ્રેણીમાં હોવાથી,$b = \frac{2ac}{a+c}$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા,તે સાબિત કરી શકાય છે કે $\operatorname{cosec}^2(A/2), \operatorname{cosec}^2(B/2), \operatorname{cosec}^2(C/2)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2b = a + c$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$.
આ કિંમતો મૂકતા,$2 \sin B = \sin A + \sin C$.
$A = 2C$ આપેલ હોવાથી,$2 \sin B = \sin 2C + \sin C = 2 \sin C \cos C + \sin C = \sin C (2 \cos C + 1)$.
$B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - 3C$ હોવાથી,$\sin B = \sin 3C = 3 \sin C - 4 \sin^3 C$.
આ કિંમત મૂકતા,$2(3 \sin C - 4 \sin^3 C) = \sin C (2 \cos C + 1)$.
$\sin C$ વડે ભાગતા $(\sin C \neq 0)$,$6 - 8 \sin^2 C = 2 \cos C + 1$.
$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C$ નો ઉપયોગ કરતા,$6 - 8(1 - \cos^2 C) = 2 \cos C + 1$,જેનું સાદું રૂપ $8 \cos^2 C - 2 \cos C - 3 = 0$ થાય છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,$(4 \cos C + 3)(2 \cos C - 1) = 0$.
$C$ એ ત્રિકોણનો ખૂણો હોવાથી,$\cos C = 3/4$ મળે છે.
આથી $\cos A = 1/8$,$\cos B = 9/16$,અને $\cos C = 3/4$.
તેથી $\cos A : \cos B : \cos C = 1/8 : 9/16 : 3/4 = 2 : 9 : 12$.

(D) આપેલ છે કે $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2B = A + C$. $A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
$rr_3 = r_1 r_2$ શરત પરથી,$(s-a)(s-b) = s(s-c)$ મળે છે.
આને ઉકેલતા $a^2 + b^2 = c^2$ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$B = 60^{\circ}$ હોવાથી,$A = 30^{\circ}$ અને $C = 90^{\circ}$ થાય.
બાજુઓનો ગુણોત્તર $a:b:c = 1:\sqrt{3}:2$ છે.
$c = 10$ હોવાથી,$a = 5$ અને $b = 5\sqrt{3}$ મળે.
તેથી $a^2 + b^2 + c^2 = 25 + 75 + 100 = 200$.

(B) આપેલ છે કે $2A + C = 300^{\circ}$ અને $A + B + C = 180^{\circ}$.
બાદબાકી કરતા: $(2A + C) - (A + B + C) = 300^{\circ} - 180^{\circ} \implies A - B = 120^{\circ}$.
વળી,$R = 8r$. અંતઃત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ છે.
$R = 8r$ મૂકતા,$r = 4(8r) \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \implies 32 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} = 1$.
$2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A-B}{2} - \cos \frac{A+B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$16 (\cos 60^{\circ} - \cos \frac{A+B}{2}) \sin \frac{C}{2} = 1$.
$A+B = 180^{\circ} - C$ હોવાથી,$\cos \frac{A+B}{2} = \sin \frac{C}{2}$.
$16 (\frac{1}{2} - \sin \frac{C}{2}) \sin \frac{C}{2} = 1 \implies 8 \sin \frac{C}{2} - 16 \sin^2 \frac{C}{2} = 1$.
$16 \sin^2 \frac{C}{2} - 8 \sin \frac{C}{2} + 1 = 0 \implies (4 \sin \frac{C}{2} - 1)^2 = 0$.
તેથી,$\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{4}$.

(C) આપેલ ગુણોત્તર $\frac{b}{c} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2+2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{3}+1)^2-2(\sqrt{2}-1)}$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(\sqrt{3}+1)^2 = 4+2\sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{b}{c} = \frac{2+2\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c} = \frac{\sin 75^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}$.
$A=30^{\circ}$ હોવાથી,$B+C=150^{\circ}$.
આ ગુણોત્તર પરથી,$B=75^{\circ}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $a: b: c = 4: 5: 6$. ધારો કે $a = 4k, b = 5k, c = 6k$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3}{4}$.
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{9}{16}$.
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{1}{8}$.
હવે,પદાવલિની ગણતરી કરતા:
$\frac{\cos A + 3 \cos C}{\cos B} = \frac{\frac{3}{4} + 3(\frac{1}{8})}{\frac{9}{16}} = \frac{\frac{9}{8}}{\frac{9}{16}} = 2$.

(D) કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $A+B+C = 180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$B+C = 180^{\circ} - A$.
આમ,$\cos(B+C) = \cos(180^{\circ} - A) = -\cos A$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
આપેલ કિંમતો $a=13, b=8, c=7$ મૂકતા:
$\cos A = \frac{8^2 + 7^2 - 13^2}{2 \times 8 \times 7} = \frac{64 + 49 - 169}{112} = \frac{113 - 169}{112} = \frac{-56}{112} = -\frac{1}{2}$.
અંતે,$\cos(B+C) = -\cos A = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

(C) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(\sqrt{19})^2 = a^2 + 3^2 - 2(a)(3) \cos(120^{\circ})$.
$19 = a^2 + 9 - 6a(-1/2)$.
$19 = a^2 + 9 + 3a$.
$a^2 + 3a - 10 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(a+5)(a-2) = 0$.
$a$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $a = 2$.

(B) નેપિયરના સામ્યતાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$.
આપેલ છે $a=5, b=4$,તેથી $\frac{a-b}{a+b} = \frac{5-4}{5+4} = \frac{1}{9}$.
$\cos(A-B) = \frac{31}{32}$ પરથી,નિત્યસમ $\tan^2\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1-\cos(A-B)}{1+\cos(A-B)} = \frac{1-\frac{31}{32}}{1+\frac{31}{32}} = \frac{1}{63}$ મળે.
તેથી,$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{3\sqrt{7}}$.
કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{3\sqrt{7}} = \frac{1}{9} \cot\left(\frac{C}{2}\right) \implies \cot\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
તેથી $\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{7}{9}$.
$\cos C = \frac{1-\tan^2(C/2)}{1+\tan^2(C/2)} = \frac{1-7/9}{1+7/9} = \frac{1}{8}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 25 + 16 - 2(5)(4)(\frac{1}{8}) = 36$.
તેથી,$c = 6$.

(B) આપેલ છે કે $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2B = A + C$. $A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$. $B = 60^{\circ}$ હોવાથી,$\cos 60^{\circ} = 1/2$,તેથી $b^2 = a^2 + c^2 - ac$.
આમ,$\sqrt{a^2 - ac + c^2} = b$.
પ્રક્ષેપણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos((A-C)/2) = \frac{a+c}{b} \sin(B/2) = \frac{a+c}{b} \sin 30^{\circ} = \frac{a+c}{2b}$.
તેથી,$\sqrt{a^2 - ac + c^2} \cdot \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = b \cdot \frac{a+c}{2b} = \frac{a+c}{2}$.

(C) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $\Delta = 4\sqrt{5}$, $b = 6$, અને $\tan \frac{B}{2} = \frac{\sqrt{5}}{4}$.
સૂત્ર $\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $s = \frac{a+b+c}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, તેથી $(s-a)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s(s-b)}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\tan^2 \frac{B}{2} = \frac{\Delta^2}{s^2(s-b)^2}$.
$\tan^2 \frac{B}{2} = \frac{5}{16}$ મળે.
$\frac{5}{16} = \frac{80}{s^2(s-6)^2} \implies s^2(s-6)^2 = 256$.
$s(s-6) = 16 \implies s^2 - 6s - 16 = 0 \implies s = 8$.
$a+c = 10$ અને $ac = 21$ મળતા, બાજુઓ $3, 6, 7$ મળે છે.
સૌથી નાની બાજુ $3$ છે.

(B) આપણે ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા અને બહિઃત્રિજ્યાના સૂત્રો જાણીએ છીએ: $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
આ કિંમતોને $\sqrt{\frac{r r_2}{r_3 r_1}}$ માં મૂકતા:
$\sqrt{\frac{\left(\frac{\Delta}{s}\right) \left(\frac{\Delta}{s-b}\right)}{\left(\frac{\Delta}{s-c}\right) \left(\frac{\Delta}{s-a}\right)}} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્ર $\tan^2(B/2) = \frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan(B/2)$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી,$r_1 + r_3 = \Delta \left( \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-c} \right) = \Delta \left( \frac{s-c+s-a}{(s-a)(s-c)} \right) = \Delta \left( \frac{2s-a-c}{(s-a)(s-c)} \right)$.
$2s = a+b+c$ હોવાથી,$2s-a-c = b$ મળે.
આમ,$r_1 + r_3 = \frac{\Delta b}{(s-a)(s-c)}$.
વળી,$1 + \cos B = 1 + \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{2ac+a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{(a+c)^2-b^2}{2ac} = \frac{(a+c-b)(a+c+b)}{2ac} = \frac{(2s-2b)(2s)}{2ac} = \frac{2(s-b)s}{ac}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{2(r_1+r_3)}{ac(1+\cos B)} = \frac{2 \cdot \frac{\Delta b}{(s-a)(s-c)}}{ac \cdot \frac{2s(s-b)}{ac}} = \frac{2 \Delta b}{2s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{\Delta b}{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ હોવાથી,પદાવલિ $\frac{\Delta b}{\Delta^2} = \frac{b}{\Delta}$ બને છે.

(A) ધારો કે બે બાજુઓ $a$ અને $b$ છે. આપણને $a + b = x$ અને $ab = y$ આપેલ છે.
શરત $x^2 - c^2 = y$ માં $x = a + b$ મૂકતા:
$(a + b)^2 - c^2 = y$
$a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = y$
$ab = y$ હોવાથી,$a^2 + b^2 + 2y - c^2 = y$,જેનું સાદું રૂપ $a^2 + b^2 - c^2 = -y$ થાય છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.
$a^2 + b^2 - c^2 = 2ab \cos C$ ને $a^2 + b^2 - c^2 = -y$ અને $ab = y$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2y \cos C = -y$ મળે છે,તેથી $\cos C = -\frac{1}{2}$.
આમ,$C = 120^\circ$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{c}{2 \sin C}$ દ્વારા મળે છે.
$R = \frac{c}{2 \sin 120^\circ} = \frac{c}{2 (\sqrt{3}/2)} = \frac{c}{\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે $r_1 = 2r_2 = 3r_3 = k$.
તેથી $r_1 = k$,$r_2 = k/2$,અને $r_3 = k/3$.
બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ છે.
તેથી,$s-a = \frac{\Delta}{k}$,$s-b = \frac{2\Delta}{k}$,અને $s-c = \frac{3\Delta}{k}$.
સરવાળો કરતા,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = s$.
તેથી,$s = \frac{\Delta}{k} (1 + 2 + 3) = \frac{6\Delta}{k}$.
હવે,$a = s - (s-a) = \frac{6\Delta}{k} - \frac{\Delta}{k} = \frac{5\Delta}{k}$.
અને $b = s - (s-b) = \frac{6\Delta}{k} - \frac{2\Delta}{k} = \frac{4\Delta}{k}$.
તેથી,$a : b = \frac{5\Delta}{k} : \frac{4\Delta}{k} = 5 : 4$.

(A) આપણે ત્રિકોણની બહિર્રિજ્યાઓ માટેના સૂત્રો જાણીએ છીએ: $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
આપેલ છે $r_1=3, r_2=4, r_3=6$.
વ્યસ્ત લેતા: $\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta}, \frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta}, \frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta}$.
સરવાળો કરતા: $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{3s-(a+b+c)}{\Delta} = \frac{s}{\Delta} = \frac{1}{r}$.
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = \frac{1}{r} \implies r = \frac{4}{3}$.
વળી,$\Delta^2 = r r_1 r_2 r_3 = \frac{4}{3} \times 3 \times 4 \times 6 = 96 \implies \Delta = 4\sqrt{6}$.
$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ હોવાથી,$4 = \frac{4\sqrt{6}}{s-b} \implies s-b = \sqrt{6}$.
વળી $s = \frac{\Delta}{r} = 3\sqrt{6}$.
તેથી,$b = s - (s-b) = 3\sqrt{6} - \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.

(C) આપેલ છે કે $A-B=120^{\circ}$ અને $R=8r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r = 4R \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$.
$R=8r$ હોવાથી,$r/R = 1/8$,તેથી $4 \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2) = 1/8$,જેનો અર્થ છે કે $\sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2) = 1/32$.
$2 \sin(A/2) \sin(B/2) = \cos((A-B)/2) - \cos((A+B)/2) = \cos(60^{\circ}) - \cos(90^{\circ}-C/2) = 1/2 - \sin(C/2)$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમત મૂકતા,$(1/2 - \sin(C/2)) \sin(C/2) = 1/16$,તેથી $\sin^2(C/2) - 1/2 \sin(C/2) + 1/16 = 0$.
આ $(\sin(C/2) - 1/4)^2 = 0$ છે,તેથી $\sin(C/2) = 1/4$.
પછી $\cos C = 1 - 2 \sin^2(C/2) = 1 - 2(1/16) = 1 - 1/8 = 7/8$.
અંતે,$\frac{1+\cos C}{1-\cos C} = \frac{1+7/8}{1-7/8} = \frac{15/8}{1/8} = 15$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમાં,ક્ષેત્રફળ $\Delta = rs = \frac{abc}{4R}$ થાય છે.
વળી,પદ $\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}$ ને $\frac{a+b+c}{abc} = \frac{2s}{abc}$ તરીકે લખી શકાય છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્ર પરથી,$abc = 4R\Delta = 4R(rs) = 4Rrs$ મળે છે.
આ કિંમત પદમાં મૂકતા,આપણને $\frac{2s}{4Rrs} = \frac{1}{2Rr}$ મળે છે.
અહીં $r=3$ અને $R=5$ આપેલ હોવાથી,કિંમત $\frac{1}{2 \times 5 \times 3} = \frac{1}{30}$ થાય છે.

(A) આપેલ છે $a=6, b=8, c=10$. $6^2 + 8^2 = 10^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{6+8+10}{2} = 12$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$.
બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_1 = 4, r_2 = 6, r_3 = 12$ અને અંતઃત્રિજ્યા $r = 2$ મળે છે.
$\frac{2 r_2 r_3}{r r_1} = \frac{2 \times 6 \times 12}{2 \times 4} = 18$.
વિકલ્પ $b+c = 8+10 = 18$ થાય છે.

(B) આપેલ બાજુઓ $a=8, b=10, c=12$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+10+12}{2} = 15$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15(15-8)(15-10)(15-12)} = \sqrt{15 \times 7 \times 5 \times 3} = 15\sqrt{7}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15\sqrt{7}}{15} = \sqrt{7}$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{8 \times 10 \times 12}{4 \times 15\sqrt{7}} = \frac{16}{\sqrt{7}}$.
તેથી,$\frac{r}{R} = \frac{\sqrt{7}}{16/\sqrt{7}} = \frac{7}{16}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $(r_1-r_3)(r_1-r_2)-2r_2r_3=0$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $r_1^2 - r_1r_2 - r_1r_3 + r_2r_3 - 2r_2r_3 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $r_1^2 - r_1(r_2+r_3) - r_2r_3 = 0$ થાય છે.
બહિઃત્રિજ્યાના પ્રમાણિત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
આ સંબંધોને સમીકરણમાં મૂકતા,તે $a^2 = b^2 + c^2$ માં પરિણમે છે.
તેથી,$a^2 - b^2 = c^2$.

(C) ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O$ છે અને અંતઃકેન્દ્ર $I$ છે. $BC$ બાજુના સંદર્ભમાં $O$ અને $I$ ના યામોનું વિશ્લેષણ કરી શકાય છે. $BC$ થી $O$ નું અંતર $R \cos A$ છે અને $BC$ થી $I$ નું અંતર $r$ છે. $OI$ એ $BC$ ને સમાંતર હોવાથી,$BC$ થી તેમના અંતર સમાન હોવા જોઈએ,તેથી $R \cos A = r$.
નિત્યસમ $r = 4R \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos A = 4 \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$ મળે છે.
$\cos A = 1 - 2 \sin^2(A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 - 2 \sin^2(A/2) = 4 \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$ મળે છે.
વળી,$\cos B + \cos C = 2 \cos((B+C)/2) \cos((B-C)/2) = 2 \sin(A/2) \cos((B-C)/2)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$OI \parallel BC$ માટે $\cos B + \cos C = 1$ થાય છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણની બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $r_1 : r_2 = 3 : 4$,તેથી $\frac{s-b}{s-a} = \frac{3}{4}$,જેનો અર્થ છે $s = 4b - 3a$.
આપેલ છે કે $r_2 : r_3 = 2 : 3$,તેથી $\frac{s-c}{s-b} = \frac{2}{3}$,જેનો અર્થ છે $s = 3c - 2b$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $4b - 3a = 3c - 2b \implies 2b = a + c$.
આ દર્શાવે છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
$r_1 : r_2 : r_3 = 3 : 4 : 6$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $a : b : c = 5 : 6 : 7$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{3}{80}$.
સૂત્ર $\cos A = 1 - 2 \sin^2 \frac{A}{2} = \frac{37}{40}$ નો ઉપયોગ કરતા.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
$4 = b^2 + 25 - 2(b)(5)(\frac{37}{40}) \implies 4b^2 - 37b + 84 = 0$.
ઉકેલતા $b = 4$ મળે છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} bc \sin A$.
$\sin A = \sqrt{1 - (\frac{37}{40})^2} = \frac{\sqrt{231}}{40}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \frac{\sqrt{231}}{40} = \frac{\sqrt{231}}{4}$.

(D) $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} ac \sin B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\Delta = 6+2\sqrt{3}$,$a = 2(\sqrt{3}+1)$,અને $B = 45^{\circ}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $6+2\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 2(\sqrt{3}+1) \times c \times \sin 45^{\circ}$.
$6+2\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1) \times c \times \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$c = \frac{\sqrt{2}(6+2\sqrt{3})}{\sqrt{3}+1} = \frac{2\sqrt{2}(3+\sqrt{3})}{\sqrt{3}+1} = \frac{2\sqrt{2}\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1} = 2\sqrt{6}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$.
$b^2 = [2(\sqrt{3}+1)]^2 + (2\sqrt{6})^2 - 2[2(\sqrt{3}+1)](2\sqrt{6}) \cos 45^{\circ}$.
$b^2 = 16 + 8\sqrt{3} + 24 - 8\sqrt{6}(\sqrt{3}+1) \times \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$b^2 = 16 + 8\sqrt{3} + 24 - 8\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 40 + 8\sqrt{3} - 24 - 8\sqrt{3} = 16$.
તેથી,$b = \sqrt{16} = 4$.

(C) રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$,અને $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ સંગામી હોવાની શરત એ છે કે તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(3bc - 4bc) - 1(2ac - 4ac) + 1(2ab - 3ab) = 0$
$-bc + 2ac - ab = 0$
$2ac = ab + bc$
બંને બાજુને $abc$ વડે ભાગતા (ધારો કે $a, b, c \neq 0$):
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
આ $a, b, c$ ના હરાત્મક શ્રેણીમાં હોવાની શરત છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $|x| > 1$ માટે $\operatorname{Coth}^{-1}(x) = \operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ $\operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \operatorname{Coth}^{-1}(3)$ છે.
ચૂકી $\operatorname{Coth}^{-1}(3) = \operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$,તેથી પદાવલિ $\operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = 2 \operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ બને છે.
લઘુગણકીય સ્વરૂપ $\operatorname{Tanh}^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \operatorname{Tanh}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = 2 \times \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+1/3}{1-1/3}\right) = \ln\left(\frac{4/3}{2/3}\right) = \ln(2)$.
ચૂકી $\ln(2) = \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ (કારણ કે $\operatorname{Sinh}^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ અને $\ln(3/4 + \sqrt{9/16 + 1}) = \ln(3/4 + 5/4) = \ln(2)$),તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\operatorname{sech}^{-1} x = \log 2$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\operatorname{sech}^{-1} x = \cosh^{-1} (\frac{1}{x}) = \log 2$.
તેથી,$\cosh^{-1} (\frac{1}{x}) = \log 2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{x} = \cosh(\log 2)$.
કારણ કે $\cosh(\theta) = \frac{e^{\theta} + e^{-\theta}}{2}$,તેથી $\frac{1}{x} = \frac{e^{\log 2} + e^{-\log 2}}{2} = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{5/2}{2} = \frac{5}{4}$.
આમ,$x = \frac{4}{5}$.
આપેલ છે કે $\operatorname{cosech}^{-1} y = -\log 3$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\operatorname{cosech}^{-1} y = \sinh^{-1} (\frac{1}{y}) = -\log 3$.
તેથી,$\frac{1}{y} = \sinh(-\log 3) = -\sinh(\log 3)$.
કારણ કે $\sinh(\theta) = \frac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{2}$,તેથી $\frac{1}{y} = -(\frac{e^{\log 3} - e^{-\log 3}}{2}) = -(\frac{3 - 1/3}{2}) = -(\frac{8/3}{2}) = -\frac{4}{3}$.
આમ,$y = -\frac{3}{4}$.
તેથી,$x + y = \frac{4}{5} - \frac{3}{4} = \frac{16 - 15}{20} = \frac{1}{20}$.

(A) આપેલ છે કે $\cos \alpha = \operatorname{sech} \beta$.
કારણ કે $\operatorname{sech} \beta = \frac{1}{\cosh \beta}$,તેથી $\cosh \beta = \frac{1}{\cos \alpha} = \sec \alpha$.
હાયપરબોલિક કોસાઇનના વ્યાખ્યા મુજબ,$\cosh \beta = \frac{e^{\beta} + e^{-\beta}}{2} = \sec \alpha$.
ધારો કે $e^{\beta} = x$. તો $x + \frac{1}{x} = 2 \sec \alpha$,જેનો અર્થ છે $x^2 - (2 \sec \alpha) x + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{2 \sec \alpha \pm \sqrt{4 \sec^2 \alpha - 4}}{2} = \sec \alpha \pm \tan \alpha$.
કારણ કે $e^{\beta} = \sec \alpha + \tan \alpha$ (વાસ્તવિક $\beta$ માટે ધન મૂળ લેતા),આપણને $\beta = \log (\sec \alpha + \tan \alpha)$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Sech}^{-1}(x) = \log \left( \frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x} \right)$.
$x = \sin \alpha$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{Sech}^{-1}(\sin \alpha) = \log \left( \frac{1 + \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}{\sin \alpha} \right)$
$= \log \left( \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} \right)$
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ અને $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \log \left( \frac{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} \right)$
$= \log \left( \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} \right)$
$= \log \left( \cot \frac{\alpha}{2} \right)$.

(D) ધારો કે $x = \operatorname{Tanh}^{-1}(\sin \theta)$.
તેથી $\tanh x = \sin \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x = 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$.
તેથી,$\operatorname{sech} x = \cos \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\cosh x = \sec \theta$.
આથી,$x = \operatorname{Cosh}^{-1}(\sec \theta)$.
તેથી,$\operatorname{Tanh}^{-1}(\sin \theta) = \operatorname{Cosh}^{-1}(\sec \theta)$.

(A) આપેલ છે કે $\operatorname{Sinh}^{-1} x = \log 3$.
$\operatorname{Sinh}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ હોવાથી,$x + \sqrt{x^2 + 1} = 3$ મળે.
તેથી $x + \sqrt{x^2 + 1} = e^{\log 3} = 3$.
માટે $\sqrt{x^2 + 1} = 3 - x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 + 1 = 9 - 6x + x^2$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $6x = 8$,તેથી $x = \frac{4}{3}$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \log \frac{3}{2}$.
$\operatorname{Cosh}^{-1} y = \ln(y + \sqrt{y^2 - 1})$ હોવાથી,$y + \sqrt{y^2 - 1} = \frac{3}{2}$ મળે.
તેથી $\sqrt{y^2 - 1} = \frac{3}{2} - y$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y^2 - 1 = \frac{9}{4} - 3y + y^2$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $3y = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$,તેથી $y = \frac{13}{12}$.
હવે,$x - y = \frac{4}{3} - \frac{13}{12} = \frac{16 - 13}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
આપણે $\operatorname{Tanh}^{-1}(\frac{1}{4})$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $\operatorname{Tanh}^{-1} z = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+z}{1-z} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\operatorname{Tanh}^{-1}(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1 + 1/4}{1 - 1/4} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{5/4}{3/4} \right) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{5}{3} \right) = \log \sqrt{\frac{5}{3}}$.

(B) સંભાવનાઓનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$ થાય છે.
આપેલ છે કે $P(X=k) = \frac{3k+1}{2^{k+c}}$,તેથી $\frac{1}{2^c} \sum_{k=0}^{\infty} (3k+1) \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1$.
ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{\infty} (3k+1) x^k$ જ્યાં $x = \frac{1}{2}$.
$S = 3 \sum_{k=0}^{\infty} k x^k + \sum_{k=0}^{\infty} x^k = 3 \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x}$.
$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા: $S = 3 \frac{1/2}{(1/2)^2} + \frac{1}{1/2} = 3(2) + 2 = 8$.
આમ,$\frac{1}{2^c} (8) = 1 \implies 2^3 = 2^c \implies c = 3$.
આપણે $P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$ શોધવાનું છે.
$P(X=k) = \frac{3k+1}{2^{k+3}}$.
$P(X=0) = \frac{1}{8}, P(X=1) = \frac{4}{16} = \frac{2}{8}, P(X=2) = \frac{7}{32}, P(X=3) = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$.
સરવાળો $= \frac{4}{32} + \frac{8}{32} + \frac{7}{32} + \frac{5}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$.
$c=3$ હોવાથી,વિકલ્પ $\frac{c}{4} = \frac{3}{4}$ એ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) પગલું $1$: $E(X) = \Sigma x P(X=x)$ ની ગણતરી કરો.
$E(X) = (-1)(\frac{1}{3}) + (0)(\frac{1}{6}) + (1)(\frac{1}{6}) + (2)(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{-2+1+4}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
પગલું $2$: $E(X^2) = \Sigma x^2 P(X=x)$ ની ગણતરી કરો.
$E(X^2) = (-1)^2(\frac{1}{3}) + (0)^2(\frac{1}{6}) + (1)^2(\frac{1}{6}) + (2)^2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{4}{3} = \frac{2+1+8}{6} = \frac{11}{6}$.
પગલું $3$: $\operatorname{var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ ની ગણતરી કરો.
$\operatorname{var}(X) = \frac{11}{6} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{11}{6} - \frac{1}{4} = \frac{22-3}{12} = \frac{19}{12}$.
પગલું $4$: $6 \Sigma(x^2) P(X=x) - \operatorname{var}(X)$ ની ગણતરી કરો.
$6 E(X^2) - \operatorname{var}(X) = 6(\frac{11}{6}) - \frac{19}{12} = 11 - \frac{19}{12} = \frac{132-19}{12} = \frac{113}{12}$.

(A) $n$ અને $p$ પ્રાચલો ધરાવતા દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = x$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = 5$ છે,જ્યાં $q = 1 - p$ છે.
$np = x$ અને $npq = 5$ હોવાથી,આપણને $xq = 5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{5}{x}$.
$0 < q < 1$ હોવાથી,$0 < \frac{5}{x} < 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x > 5$.
વળી,$p = 1 - q = 1 - \frac{5}{x} = \frac{x-5}{x}$.
$0 < p < 1$ હોવાથી,$0 < \frac{x-5}{x} < 1$ મળે છે,જે $x > 5$ સાથે સુસંગત છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n = \frac{x}{p} = \frac{x}{(x-5)/x} = \frac{x^2}{x-5}$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $x-5$ એ $x^2$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
આપણે $x^2 = (x-5)(x+5) + 25$ લખી શકીએ,તેથી $n = x+5 + \frac{25}{x-5}$.
$n$ પૂર્ણાંક બને તે માટે,$x-5$ એ $25$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
$25$ ના અવયવો $1, 5, 25$ છે.
કિસ્સો $1$: $x-5 = 1 \implies x = 6$. તો $n = 6+5 + 25/1 = 36$.
કિસ્સો $2$: $x-5 = 5 \implies x = 10$. તો $n = 10+5 + 25/5 = 20$.
કિસ્સો $3$: $x-5 = 25 \implies x = 30$. તો $n = 30+5 + 25/25 = 36$.
આમ,$x$ ની શક્ય કિંમતો $6, 10, 30$ છે.

(C) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$k^3 + (2k^3 + k) + (4k - 10k^2) + (4k - 1) = 1$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $3k^3 - 10k^2 + 9k - 2 = 0$.
કિંમતો ચકાસતા,આપણને મળે છે કે $k = \frac{1}{3}$ એ ઉકેલ છે: $3(\frac{1}{27}) - 10(\frac{1}{9}) + 9(\frac{1}{3}) - 2 = \frac{1}{9} - \frac{10}{9} + 3 - 2 = -1 + 1 = 0$.
સંભાવનાઓ છે: $P(-1) = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$,$P(0) = 2(\frac{1}{27}) + \frac{1}{3} = \frac{11}{27}$,$P(1) = 4(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{9}) = \frac{12-10}{9} = \frac{2}{9} = \frac{6}{27}$,$P(2) = 4(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{1}{3} = \frac{9}{27}$.
સરવાળો ચકાસતા: $\frac{1+11+6+9}{27} = \frac{27}{27} = 1$.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (-1)(\frac{1}{27}) + (0)(\frac{11}{27}) + (1)(\frac{6}{27}) + (2)(\frac{9}{27}) = \frac{-1 + 0 + 6 + 18}{27} = \frac{23}{27}$.

(A) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X = x_{i}) = 1$
$\frac{k^2}{3} + k^2 + \frac{2k^2}{3} + \frac{k}{2} + \frac{k}{2} = 1$
$\frac{k^2 + 3k^2 + 2k^2}{3} + k = 1$
$\frac{6k^2}{3} + k = 1$
$2k^2 + k - 1 = 0$
$(2k - 1)(k + 1) = 0$
સંભાવનાઓ ધન હોવી જોઈએ તેથી $k = 1/2$.
મધ્યક $E(X) = \sum x_{i} P(X = x_{i})$
$E(X) = (-2) \cdot \frac{k^2}{3} + (-1) \cdot k^2 + (0) \cdot \frac{2k^2}{3} + (1) \cdot \frac{k}{2} + (2) \cdot \frac{k}{2}$
$E(X) = -\frac{5k^2}{3} + \frac{3k}{2}$
$k = 1/2$ મૂકતા:
$E(X) = -\frac{5(1/4)}{3} + \frac{3(1/2)}{2} = -\frac{5}{12} + \frac{3}{4} = \frac{4}{12} = 1/3$.

(A) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ ગણ $\{1, 2, \ldots, n\}$ પર અસતત સમાન વિતરણને અનુસરે છે.
મધ્યક $E[X]$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E[X] = \sum_{k=1}^{n} k \cdot P(X=k) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$.
$X^2$ ની અપેક્ષિત કિંમત નીચે મુજબ છે:
$E[X^2] = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot P(X=k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
વિચરણ $Var(X)$ નીચે મુજબ છે:
$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2$.
$\frac{n+1}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$Var(X) = \frac{n+1}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right] = \frac{n+1}{2} \left[ \frac{4n+2 - 3n - 3}{6} \right] = \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n-1}{6} = \frac{n^2-1}{12}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણનું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ છે કે $n=4$ અને $P(X=0) = \frac{16}{81}$.
સૂત્રમાં $k=0$ મૂકતા: $P(X=0) = \binom{4}{0} p^0 q^{4-0} = q^4$.
તેથી,$q^4 = \frac{16}{81} = (\frac{2}{3})^4$.
આનો અર્થ એ છે કે $q = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $p+q=1$,તેથી $p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
હવે,આપણે $P(X=4)$ શોધવાની જરૂર છે:
$P(X=4) = \binom{4}{4} p^4 q^{4-4} = 1 \times (\frac{1}{3})^4 \times 1 = \frac{1}{81}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે: $x^2+y^2=t-\frac{1}{t}$ (સમીકરણ $1$)
સમીકરણ $1$ ની બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x^2+y^2)^2 = (t-\frac{1}{t})^2$
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}-2$
આપેલ છે: $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$(t^2+\frac{1}{t^2})+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}-2$
$2x^2y^2 = -2$
$x^2y^2 = -1$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2y^2) = \frac{d}{dx}(-1)$
$x^2(2y \frac{dy}{dx}) + y^2(2x) = 0$
$2x^2y \frac{dy}{dx} = -2xy^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^2}{2x^2y} = -\frac{y}{x}$

(D) આપેલ વક્ર $y=x^2+x-1$ અને બિંદુ $(x_1, y_1)=(1,1)$ છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = 2x+1$.
$(1,1)$ આગળ,ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = 2(1)+1 = 3$.
સ્પર્શકની લંબાઈ $A = \left|\frac{y_1 \sqrt{1+m^2}}{m}\right| = \left|\frac{1 \sqrt{1+3^2}}{3}\right| = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1.054$.
અસ્પર્શકની લંબાઈ $B = \left|\frac{y_1}{m}\right| = \frac{1}{3} \approx 0.333$.
અભિલંબની લંબાઈ $C = \left|y_1 \sqrt{1+m^2}\right| = |1 \sqrt{1+3^2}| = \sqrt{10} \approx 3.162$.
અભિલંબના અસ્પર્શકની લંબાઈ $D = |y_1 m| = |1 \times 3| = 3$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $B (0.333) < A (1.054) < D (3) < C (3.162)$.
આમ,ચડતો ક્રમ $B, A, D, C$ છે.