AP EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે વક્રો $C_1: y^2 = 16x$ અને $C_2: 9x^2 + \alpha y^2 = 25$ છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ શોધો.
$C_1$ પરથી,$y^2 = 16x$. આ કિંમત $C_2$ માં મૂકતા: $9x^2 + \alpha(16x) = 25 \implies 9x^2 + 16\alpha x - 25 = 0$.
વક્રો કાટખૂણે છેદે તે માટે,છેદબિંદુ પર તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવો જોઈએ.
$C_1$ નું વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 16 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{8}{y}$.
$C_2$ નું વિકલન કરતા: $18x + 2\alpha y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{\alpha y}$.
છેદબિંદુ પર,ઢાળનો ગુણાકાર $(\frac{8}{y})(-\frac{9x}{\alpha y}) = -1 \implies \frac{72x}{\alpha y^2} = 1$ થાય.
$y^2 = 16x$ હોવાથી,આપણને $\frac{72x}{\alpha(16x)} = 1 \implies \frac{72}{16\alpha} = 1 \implies 16\alpha = 72 \implies \alpha = \frac{72}{16} = \frac{9}{2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $H$ છે અને બિલ્ડિંગની ઊંચાઈ $h$ છે. આડું અંતર $d = 10 \sqrt{3}$ છે.
ટાવરની ટોચ પરથી બિલ્ડિંગના પાયાનો અવસેધકોણ $60^{\circ}$ છે. તેથી,$\tan(60^{\circ}) = \frac{H}{d}$.
$H = d \times \tan(60^{\circ}) = 10 \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 10 \times 3 = 30$ એકમ.
ટાવરના પાયાથી બિલ્ડિંગની ટોચનો ઉત્સેધકોણ $30^{\circ}$ છે. તેથી,$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{d}$.
$h = d \times \tan(30^{\circ}) = 10 \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 10$ એકમ.
ઊંચાઈઓનો સરવાળો $H + h = 30 + 10 = 40$ એકમ થાય.

(B) ધારો કે વિમાનની ઊંચાઈ $h = 5 \text{ km}$ છે.
વિમાનના સ્થાનો $A$ અને $B$ છે જ્યાં ખૂણા અનુક્રમે $15^{\circ}$ અને $30^{\circ}$ છે.
જમીન પરના અવલોકનકારને $O$ કહો.
$\triangle ODA$ માં,$\tan(15^{\circ}) = \frac{h}{OD} \implies OD = 5 \cot(15^{\circ}) = 10 + 5\sqrt{3} \text{ km}$.
$\triangle OEB$ માં,$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{OE} \implies OE = 5\sqrt{3} \text{ km}$.
કાપેલું અંતર $d = OD - OE = 10 \text{ km}$.
સમય $t = 50 \text{ સેકન્ડ} = \frac{1}{72} \text{ કલાક}$.
ઝડપ $v = \frac{d}{t} = 720 \text{ kmph}$.

(D) ધારો કે $C$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
$G(1,0,1)$ એ $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર હોવાથી:
$\frac{1+3+x}{3} = 1 \implies 4+x = 3 \implies x = -1$
$\frac{-4+1+y}{3} = 0 \implies -3+y = 0 \implies y = 3$
$\frac{2+0+z}{3} = 1 \implies 2+z = 3 \implies z = 1$
તેથી,$C = (-1, 3, 1)$.
હવે,$AG^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$AG^2 = (1-1)^2 + (0-(-4))^2 + (1-2)^2 = 0^2 + 4^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17$.
$CG^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$CG^2 = (-1-1)^2 + (3-0)^2 + (1-1)^2 = (-2)^2 + 3^2 + 0^2 = 4 + 9 = 13$.
આમ,$AG^2 + CG^2 = 17 + 13 = 30$.
$BG^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$BG^2 = (3-1)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2 = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$AG^2 + CG^2 = 30 = 5 \times 6 = 5 BG^2$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, -5, 3)$ અને $B(-1, -8, 0)$ છે. બિંદુ $P(0, -7, 1)$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $k:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$0 = \frac{k(-1) + 1(2)}{k+1} \implies -k + 2 = 0 \implies k = 2$.
આમ,$P$ એ $AB$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
કારણ કે $Q$ એ $AB$ ના સંદર્ભમાં $P$ નું હાર્મોનિક કોન્જુગેટ છે,તેથી $Q$ એ $AB$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે.
$Q(\alpha, \beta, \gamma)$ માટે બહિર્વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = \frac{2(-1) - 1(2)}{2-1} = -2 - 2 = -4$.
$\beta = \frac{2(-8) - 1(-5)}{2-1} = -16 + 5 = -11$.
$\gamma = \frac{2(0) - 1(3)}{2-1} = 0 - 3 = -3$.
આમ,$Q = (-4, -11, -3)$.
આપણે $\alpha - \beta + \gamma = -4 - (-11) + (-3) = -4 + 11 - 3 = 4$ મેળવીએ છીએ.

(D) બિંદુઓ $A(-1, 2, 3)$,$B(2, -3, 1)$ અને $C(3, 1, -2)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ છીએ.
$1$. $AB$ ની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 25 + 4} = \sqrt{38}$.
$2$. $BC$ ની લંબાઈ:
$BC = \sqrt{(3 - 2)^2 + (1 - (-3))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}$.
$3$. $AC$ ની લંબાઈ:
$AC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 2)^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 1 + 25} = \sqrt{42}$.
અહીં બધી બાજુઓ $AB = \sqrt{38}$,$BC = \sqrt{26}$ અને $AC = \sqrt{42}$ અસમાન હોવાથી,આ ત્રિકોણ વિષમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$ અને $C(3, -4, -4)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓની લંબાઈ ગણો:
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (-3-(-1))^2 + (-5-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41}$.
$BC = \sqrt{(3-1)^2 + (-4-(-3))^2 + (-4-(-5))^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
$AC = \sqrt{(3-2)^2 + (-4-(-1))^2 + (-4-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
અહીં $AB^2 = 41$ અને $BC^2 + AC^2 = 6 + 35 = 41$ છે.
તેથી $AB^2 = BC^2 + AC^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં ખૂણો $C$ કાટખૂણો છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,પરિત્રિજ્યા $R$ એ કર્ણની લંબાઈથી અડધી હોય છે.
અહીં કર્ણ $AB = \sqrt{41}$ છે.
તેથી,$R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{41}}{2}$.

(D) અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $\triangle ABC$ ની બાજુઓની લંબાઈ ગણવામાં આવે છે.
$c = AB = \sqrt{(2-2)^2 + (5-(-1))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{0^2 + 6^2 + 0^2} = 6$.
$b = AC = \sqrt{(0-2)^2 + (-2-(-1))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$.
$a = BC = \sqrt{(0-2)^2 + (-2-5)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-7)^2 + 2^2} = \sqrt{4+49+4} = \sqrt{57}$.
ખૂણા દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,બિંદુ $D$ એ $BC$ ને $c:b$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,જે $6:3 = 2:1$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D$ ના યામ $\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right)$ મળે છે.
હવે,$AD = \sqrt{(\frac{2}{3}-2)^2 + (\frac{1}{3}-(-1))^2 + (\frac{7}{3}-1)^2} = \sqrt{(-\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{16}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{48}{9}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

(B) $12$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો $C(12, 3) = 220$ છે.
બરાબર $2$ દડા સમાન રંગના હોય તે માટે:
કિસ્સો $1$: $2$ લાલ અને $1$ અન્ય રંગનો દડો = $C(4, 2) \times C(8, 1) = 48$.
કિસ્સો $2$: $2$ લીલા અને $1$ અન્ય રંગનો દડો = $C(5, 2) \times C(7, 1) = 70$.
કિસ્સો $3$: $2$ સફેદ અને $1$ અન્ય રંગનો દડો = $C(3, 2) \times C(9, 1) = 27$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $48 + 70 + 27 = 145$.
સંભાવના = $\frac{145}{220} = \frac{29}{44}$.

(C) $64$ માંથી $3$ ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{64}{3} = 41664$ છે.
ચેસ બોર્ડ પર વિકર્ણોની લંબાઈ $1$ થી $8$ અને ફરી $7$ થી $1$ હોય છે.
$k$ લંબાઈના વિકર્ણ માટે $3$ ચોરસ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{k}{3}$ છે.
બંને દિશાઓ માટે અનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $392$ થાય છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{392}{41664} = \frac{7}{744}$ છે.

(A) $VARIABLE$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $V, A, R, I, A, B, L, E$. જેમાં $4$ વ્યંજન $(V, R, B, L)$ અને $4$ સ્વર $(A, A, I, E)$ છે.
$8$ અક્ષરોમાંથી $3$ અક્ષરોવાળો શબ્દ બનાવવાની કુલ રીતો $P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336$ છે.
વચ્ચે વ્યંજન હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે વચ્ચેની જગ્યાએ $4$ વ્યંજનમાંથી કોઈ એકને ગોઠવીએ છીએ. આ $4$ રીતે કરી શકાય છે.
બાકીની $2$ જગ્યાઓ બાકી રહેલા $7$ અક્ષરોમાંથી $P(7, 2) = 7 \times 6 = 42$ રીતે ભરી શકાય છે.
કુલ સાનુકૂળ શબ્દો = $4 \times 42 = 168$.
સંભાવના = $\frac{168}{336} = \frac{1}{2}$.
નોંધ: ગણતરી કરેલ સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે. આપેલા વિકલ્પોમાં આ જવાબ ઉપલબ્ધ નથી,જે પ્રશ્નમાં ક્ષતિ સૂચવે છે.

(C) $p$ અને $q$ માટે શક્ય કિંમતોનો ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
કુલ જોડીઓ $(p, q)$ ની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે $p/q$ સ્વરૂપની ભિન્ન સંમેય સંખ્યાઓ શોધવાની છે.
ભિન્ન કિંમતો: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 2/3, 2/5, 3/2, 3/4, 3/5, 4/3, 4/5, 5/2, 5/3, 5/4, 5/6, 6/5\}$.
આ કુલ $23$ ભિન્ન સંમેય સંખ્યાઓ છે.
શુદ્ધ અપૂર્ણાંક એટલે એવી સંખ્યા જેમાં $p < q$ હોય.
શુદ્ધ અપૂર્ણાંકો: $\{1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 2/3, 2/5, 3/4, 3/5, 4/5, 5/6\}$.
આવા કુલ $11$ શુદ્ધ અપૂર્ણાંકો છે.
તેથી,સંભાવના $11/23$ છે.

(C) બાળકોની કુલ સંખ્યા = $8 + 7 = 15$.
$15$ માંથી $3$ ચિઠ્ઠીઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો = $^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$.
કિસ્સો $1$: એક છોકરો અને બે છોકરીઓ.
રીતો = $^8C_1 \times ^7C_2 = 8 \times 21 = 168$.
કિસ્સો $2$: એક છોકરી અને બે છોકરાઓ.
રીતો = $^7C_1 \times ^8C_2 = 7 \times 28 = 196$.
કુલ સાનુકૂળ રીતો = $168 + 196 = 364$.
સંભાવના = $\frac{364}{455} = \frac{4}{5}$.

(D) $30$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $C(30, 3) = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060$ છે.
હવે,$3$ ક્રમિક સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો શોધીએ. આ $(1, 2, 3), (2, 3, 4), \dots, (28, 29, 30)$ છે.
આવી $28$ ક્રમિક સંખ્યાઓની જોડીઓ છે.
$3$ ક્રમિક સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E) = \frac{28}{4060} = \frac{1}{145}$ છે.
તેઓ ત્રણ ક્રમિક સંખ્યાઓ ન હોય તેની સંભાવના $1 - P(E) = 1 - \frac{1}{145} = \frac{144}{145}$ છે.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $S$ એ બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. $S$ માટે શક્ય કિંમતો $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ છે.
ઘટના $A$ એ છે કે સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા છે: $A = \{2, 3, 5, 7, 11\}$.
ઘટના $B$ એ છે કે સરવાળો $8$ કરતા મોટો છે: $B = \{9, 10, 11, 12\}$.
આપણે $P(A \cap \overline{B})$ શોધવાની જરૂર છે,જે ઘટના $A$ બને અને $B$ ન બને તેની સંભાવના છે.
આનો અર્થ એ છે કે સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય અને સરવાળો $8$ કે તેથી ઓછો હોય.
$A \cap \overline{B} = \{2, 3, 5, 7\}$.
હવે,દરેક સરવાળા માટે પરિણામોની સંખ્યા ગણીએ:
સરવાળો $= 2: (1,1) \rightarrow 1$ પરિણામ
સરવાળો $= 3: (1,2), (2,1) \rightarrow 2$ પરિણામો
સરવાળો $= 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) \rightarrow 4$ પરિણામો
સરવાળો $= 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) \rightarrow 6$ પરિણામો
$A \cap \overline{B}$ માટે કુલ પરિણામો $= 1 + 2 + 4 + 6 = 13$.
તેથી,$P(A \cap \overline{B}) = \frac{13}{36}$.

(B) આપેલ છે કે $P(\bar{A}) = \frac{2}{3}$,તેથી $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
બે ઘટનાઓના યોગ માટેનું સૂત્ર: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$P(B)$ માટે ઉકેલતા: $P(B) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
આપણે $P(\bar{A} \cap B)$ શોધવાનું છે. ગણ સિદ્ધાંત મુજબ,$P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $P(\bar{A} \cap B) = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $8$ માંથી $4$ પગરખાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{8}{4} = 70$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઓછામાં ઓછી એક સાચી જોડી મેળવવાની ઘટના છે.
તેના પૂરક ઘટના $E^c$ ની સંભાવના ગણવી સરળ છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ પણ સાચી જોડી ન મળે.
કોઈ પણ સાચી જોડી ન મળે તે માટે,આપણે $4$ પગરખાં એવી રીતે પસંદ કરવા જોઈએ કે કોઈ પણ બે પગરખાં જોડી ન બનાવે.
કુલ $4$ જોડી છે. આપણે $4$ જોડીમાંથી $4$ જોડી પસંદ કરવી પડે અને પછી દરેક જોડીમાંથી $1$ પગરખું પસંદ કરવું પડે.
$4$ જોડીમાંથી $4$ જોડી પસંદ કરવાની રીતો $\binom{4}{4} = 1$ છે.
દરેક $4$ જોડીમાંથી $1$ પગરખું પસંદ કરવાની રીતો $2^4 = 16$ છે.
તેથી,કોઈ પણ સાચી જોડી ન હોય તેવી રીતે $4$ પગરખાં પસંદ કરવાની રીતો $1 \times 16 = 16$ છે.
કોઈ પણ સાચી જોડી ન મળે તેની સંભાવના $P(E^c) = \frac{16}{70} = \frac{8}{35}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક સાચી જોડી મળે તેની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E^c) = 1 - \frac{8}{35} = \frac{27}{35}$ છે.

(B) ધારો કે $P(A)$ એ ઉમેદવાર $A$ ને નોકરી મળવાની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ ઉમેદવાર $B$ ને નોકરી મળવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે: $P(A) = 0.8$ અને $P(B) = 0.7$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંનેને નોકરી મળવાની સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.8 \times 0.7 = 0.56$ છે.
ઓછામાં ઓછા એકને નોકરી મળવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
$P(A \cup B) = 0.8 + 0.7 - 0.56 = 1.5 - 0.56 = 0.94$.

(D) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ વિદ્યાર્થી પાસ થાય તે ઘટના છે અને $B$ એ બીજા વિદ્યાર્થી પાસ થાય તે ઘટના છે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{4}$ અને $P(B) = \frac{2}{5}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંનેમાંથી કોઈ પાસ ન થાય તેની સંભાવના $P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \times P(B^c)$ છે.
$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
બંનેમાંથી કોઈ પાસ ન થાય તેની સંભાવના = $\frac{3}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{20}$.
ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી પાસ થાય તેની સંભાવના = $1 - P(\text{કોઈ પાસ ન થાય}) = 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$.

(A) ધારો કે $P(A)$ એ વિદ્યાર્થી $A$ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવના છે,તેથી $P(A) = \frac{2}{5}$.
ધારો કે $P(B)$ એ વિદ્યાર્થી $B$ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવના છે,તેથી $P(B) = \frac{3}{4}$.
વિદ્યાર્થી $A$ પ્રશ્ન ઉકેલી શકતો નથી તેની સંભાવના $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ છે.
વિદ્યાર્થી $B$ પ્રશ્ન ઉકેલી શકતો નથી તેની સંભાવના $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ છે.
પ્રશ્ન ત્યારે ઉકેલાય છે જો ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી તેને ઉકેલે. આ ઘટના એ ઘટનાની પૂરક ઘટના છે કે બંનેમાંથી કોઈ પણ પ્રશ્ન ઉકેલી શકતું નથી.
બંનેમાંથી કોઈ પણ પ્રશ્ન ઉકેલી શકતું નથી તેની સંભાવના = $P(A') \times P(B') = \frac{3}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{20}$.
પ્રશ્ન ઉકેલાય તેની સંભાવના = $1 - P(\text{કોઈ ઉકેલી શકતું નથી}) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$.

(A) ધારો કે $P(A)$ એ વ્યક્તિ $A$ દ્વારા કાર્ય પૂર્ણ કરવાની સંભાવના છે,$P(A) = \frac{2}{3}$.
ધારો કે $P(B)$ એ વ્યક્તિ $B$ દ્વારા કાર્ય પૂર્ણ કરવાની સંભાવના છે,$P(B) = \frac{3}{4}$.
જો તેમનામાંથી ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ કાર્ય પૂર્ણ કરે તો કાર્ય પૂર્ણ થયેલું ગણાય.
આ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$P(A \cup B) = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$.
$12$ નો સામાન્ય છેદ લેતા:
$P(A \cup B) = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} - \frac{6}{12} = \frac{11}{12}$.
આમ,કાર્ય પૂર્ણ થવાની સંભાવના $\frac{11}{12}$ છે.

(A) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $9 + 5 = 14$ છે.
આપણે $14$ માંથી $4$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે.
$14$ માંથી $4$ સભ્યો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{14}C_4 = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1001$ છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધવી છે કે સમિતિમાં ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય.
પૂરક ઘટના ગણવી સરળ છે: સમિતિમાં એક પણ સ્ત્રી ન હોય (એટલે કે,બધા $4$ સભ્યો પુરુષ હોય) તેની સંભાવના.
$9$ પુરુષોમાંથી $4$ પુરુષો પસંદ કરવાની રીતો $^{9}C_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ છે.
એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેની સંભાવના $P(\text{No women}) = \frac{126}{1001} = \frac{18}{143}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય તેની સંભાવના $1 - P(\text{No women}) = 1 - \frac{18}{143} = \frac{125}{143}$ થાય.

(D) કુલ છોકરીઓની સંખ્યા $= 3 + 8 = 11$.
$11$ છોકરીઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(11 - 1)! = 10!$ છે.
ત્રણ બહેનો સાથે ન બેસે તેવી રીતો શોધવા માટે,આપણે પૂરક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: કુલ ગોઠવણી $-$ ત્રણ બહેનો સાથે બેસે તેવી ગોઠવણી.
$3$ બહેનોને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે $8 + 1 = 9$ એકમો છે,જે $(9 - 1)! = 8!$ રીતે કરી શકાય છે.
$3$ બહેનો પોતાની વચ્ચે $3!$ રીતે ગોઠવાઈ શકે છે.
તેથી,$3$ બહેનો સાથે બેસે તેવી ગોઠવણી $= 8! \times 3!$.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= 10! - (8! \times 3!) = 10! - (8! \times 6)$.
$= 8! \times (10 \times 9 - 6) = 8! \times (90 - 6) = 8! \times 84$.

(C) $n$ બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણના વિકર્ણોની સંખ્યા $\frac{n(n-3)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\therefore \frac{n(n-3)}{2} = 35$
$\Rightarrow n(n-3) = 70$
$\Rightarrow n^2 - 3n - 70 = 0$
$\Rightarrow n^2 - 10n + 7n - 70 = 0$
$\Rightarrow n(n - 10) + 7(n - 10) = 0$
$\Rightarrow (n - 10)(n + 7) = 0$
બાજુઓની સંખ્યા $n$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 10$.

(C) આપેલ છે કે,$S_n = \sum_{k=1}^{n} k^3$ અને $T_n = \sum_{k=1}^{n} k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો $S_n = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ છે.
$S_n$ ના સૂત્રમાં $T_n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $S_n = (T_n)^2$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $S_n = T_n^2$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $y = \frac{3}{4} + \frac{3 \times 5}{4 \times 8} + \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times 8 \times 12} + \ldots \infty$ છે.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$y + 1 = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3 \times 5}{4 \times 8} + \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times 8 \times 12} + \ldots \infty$.
આ $(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \ldots$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$nx = \frac{3}{4}$ અને $\frac{n(n+1)}{2!}x^2 = \frac{15}{32}$.
$n$ અને $x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $n = \frac{3}{2}$ અને $x = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$y + 1 = (1 - \frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(y + 1)^2 = 2^3 = 8$.
$y^2 + 2y + 1 = 8 \Rightarrow y^2 + 2y - 7 = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$1) \ 3 \cos^2 A + 2 \cos^2 B = 4$
$2) \ \frac{3 \sin A}{\sin B} = \frac{2 \cos B}{\cos A}$ $\Rightarrow 3 \sin A \cos A = 2 \sin B \cos B$ $\Rightarrow \frac{3}{2} \sin 2A = \sin 2B$
$(1)$ પરથી:
$3(1 - \sin^2 A) + 2(1 - \sin^2 B) = 4$
$5 - 3 \sin^2 A - 2 \sin^2 B = 4$
$3 \sin^2 A + 2 \sin^2 B = 1$
$3 \sin^2 A = 1 - 2 \sin^2 B = \cos 2B$
$\cos(A + 2B) = \cos A \cos 2B - \sin A \sin 2B$ ધ્યાનમાં લો.
$\cos 2B = 3 \sin^2 A$ અને $\sin 2B = \frac{3}{2} \sin 2A = 3 \sin A \cos A$ મૂકતા:
$\cos(A + 2B) = \cos A (3 \sin^2 A) - \sin A (3 \sin A \cos A)$
$\cos(A + 2B) = 3 \sin^2 A \cos A - 3 \sin^2 A \cos A = 0$
$A, B$ લઘુકોણ હોવાથી,$A + 2B = 90^{\circ}$ થાય.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh 2x = \frac{1 + \tanh^2 x}{1 - \tanh^2 x}$.
આપેલ છે કે $\cosh 2x = 199$,તેથી:
$\frac{1 + \tanh^2 x}{1 - \tanh^2 x} = 199$
$1 + \tanh^2 x = 199 - 199 \tanh^2 x$
$200 \tanh^2 x = 198$
$\tanh^2 x = \frac{198}{200} = \frac{99}{100}$
$\tanh x = \sqrt{\frac{99}{100}} = \frac{3 \sqrt{11}}{10}$
$\coth x = \frac{1}{\tanh x}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$\coth x = \frac{10}{3 \sqrt{11}}$

(B) આપેલ સમીકરણ $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$ છે.
$\sin C \le 1$ હોવાથી,$\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C \le \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A - B)$.
$\cos(A - B) \le 1$ હોવાથી,સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\cos(A - B) = 1$ અને $\sin C = 1$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $A = B$ અને $C = 90^{\circ}$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$2A + 90^{\circ} = 180^{\circ}$,તેથી $A = 45^{\circ}$ અને $B = 45^{\circ}$.
આમ,$\sin A + \sin B + \sin C = \sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ} + \sin 90^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = \sqrt{2} + 1$.

(B) પરવલય $y^2=4x$ છે,જે $y^2=4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a=1$. નાભિ $S(a,0) = (1,0)$ છે.
$PQ$ એ નાભિ જીવા હોવાથી,$PS$ અને $SQ$ નો હરાત્મક મધ્યક એ અર્ધ-નાભિલંબ $l=2a=2$ સાથે સંબંધિત છે: $\frac{1}{PS} + \frac{1}{SQ} = \frac{1}{a} = \frac{1}{1} = 1$.
$P=(4,4)$ અને $S=(1,0)$ આપેલ છે,તેથી અંતર $PS = \sqrt{(4-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
સંબંધમાં $PS=5$ મૂકતા: $\frac{1}{5} + \frac{1}{SQ} = 1$.
$\frac{1}{SQ} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$SQ = \frac{5}{4}$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+2y^2=2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2=2$ અને $b^2=1$ છે,તેથી $a=\sqrt{2}$ અને $b=1$ થાય.
બિંદુ $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળ ઉપવલયના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + y \sin \theta = 1$ મળે છે.
$x$-અંત:ખંડ $(A)$ માટે,$y=0$ લેતા: $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} = 1 \Rightarrow x = \sqrt{2} \sec \theta$. તેથી,$A = (\sqrt{2} \sec \theta, 0)$.
$y$-અંત:ખંડ $(B)$ માટે,$x=0$ લેતા: $y \sin \theta = 1 \Rightarrow y = \operatorname{cosec} \theta$. તેથી,$B = (0, \operatorname{cosec} \theta)$.
ધારો કે $M(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો:
$h = \frac{\sqrt{2} \sec \theta + 0}{2} = \frac{\sec \theta}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sec \theta = \sqrt{2}h$
$k = \frac{0 + \operatorname{cosec} \theta}{2} = \frac{\operatorname{cosec} \theta}{2} \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta = 2k$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sec^2 \theta} + \frac{1}{\operatorname{cosec}^2 \theta} = 1$.
$\sec \theta$ અને $\operatorname{cosec} \theta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{(\sqrt{2}h)^2} + \frac{1}{(2k)^2} = 1$
$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ મળે છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+2y^2=2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય.
ઉપવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(\sqrt{2}\cos\theta, \sin\theta)$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x\cos\theta}{\sqrt{2}} + y\sin\theta = 1$ છે.
સ્પર્શક દ્વારા યામ અક્ષો પર બનતા અંતઃખંડો $A\left(\frac{\sqrt{2}}{\cos\theta}, 0\right)$ અને $B\left(0, \frac{1}{\sin\theta}\right)$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{\sqrt{2}}{2\cos\theta}$ અને $k = \frac{1}{2\sin\theta}$.
આથી $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}h}$ અને $\sin\theta = \frac{1}{2k}$.
નિત્યસમ $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\left(\frac{1}{\sqrt{2}h}\right)^2 + \left(\frac{1}{2k}\right)^2 = 1$ મળે.
આમ,બિંદુપથ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ છે.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
બિંદુ $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ છે.
તે જ રીતે,બિંદુ $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2+b^2$ છે.
આપેલ છે કે $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$. આથી,$\cos \phi = \sin \theta$ અને $\cot \phi = \tan \theta$.
બે સમીકરણો:
$(1) \quad ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$
$(2) \quad ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2+b^2$
$x$ નો લોપ કરવા માટે,$(1)$ ને $\sin \theta$ વડે અને $(2)$ ને $\cos \theta$ વડે ગુણતા:
$by(\cos \theta - \sin \theta) = (a^2+b^2)(\sin \theta - \cos \theta)$
$by = -(a^2+b^2)$
$y = -\frac{a^2+b^2}{b}$
તેથી,$k = -\frac{a^2+b^2}{b}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-b)^2}} = \frac{s}{s-b}$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ હોવાથી,$2s = a+b+c$.
તેથી,$\frac{s}{s-b} = \frac{2s}{2s-2b} = \frac{a+b+c}{a+b+c-2b} = \frac{(a+c)+b}{(a+c)-b}$.
આપેલ છે કે $a+c=5b$,તેથી $\frac{5b+b}{5b-b} = \frac{6b}{4b} = \frac{3}{2}$.

(D) આપેલ છે,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
સૂત્ર $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{3\Delta}{s-c}$.
$\Delta$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{s-a} = \frac{2}{s-b} = \frac{3}{s-c} = k$ (ધારો).
તેથી $s-a = \frac{1}{k}$,$s-b = \frac{2}{k}$,અને $s-c = \frac{3}{k}$.
સરવાળો કરતા,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$.
તેથી,$s = \frac{1+2+3}{k} = \frac{6}{k}$,જેનો અર્થ છે $k = \frac{6}{s}$.
હવે,$s-a = \frac{1}{6/s} = \frac{s}{6}$ $\Rightarrow 6s - 6a = s$ $\Rightarrow 5s = 6a$ $\Rightarrow a = \frac{5s}{6}$.
અને $s-b = \frac{2}{6/s} = \frac{2s}{6} = \frac{s}{3}$ $\Rightarrow 3s - 3b = s$ $\Rightarrow 2s = 3b$ $\Rightarrow b = \frac{2s}{3} = \frac{4s}{6}$.
તેથી,$a : b = \frac{5s}{6} : \frac{4s}{6} = 5 : 4$.