AP EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) वृत्त $x^2+y^2-4x-4y+8=0$ के लिए बिंदु $P(h, k)$ की स्पर्श जीवा का समीकरण $xh+yk-2(x+h)-2(y+k)+8=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(h-2)x + (k-2)y - 2h - 2k + 8 = 0$ प्राप्त होता है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{h-2}{k-2}$ है।
यह दिया गया है कि रेखा $X$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $1$ है।
अतः,$-\frac{h-2}{k-2} = 1$,जिसका अर्थ है $h+k=4$.
वृत्त का केंद्र $(2, 2)$ है और त्रिज्या $r = 0$ है।
इसलिए,$(2, 2)$ बिंदु के लिए स्पर्श जीवा परिभाषित नहीं है,अतः $(2, 2)$ संभव नहीं है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ है ...$(i)$.
रेखा $x+y=k$ का उपयोग करके समीकरण $(i)$ को समघात बनाने पर:
$x^2+y^2-2x\left(\frac{x+y}{k}\right)-4y\left(\frac{x+y}{k}\right)+2\left(\frac{x+y}{k}\right)^2=0$.
$k^2$ से गुणा करने पर:
$k^2x^2+k^2y^2-2kx(x+y)-4ky(x+y)+2(x+y)^2=0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(k^2-2k+2)x^2 + (4-6k)xy + (k^2-4k+2)y^2 = 0$.
चूँकि $\angle AOB=90^{\circ}$ है,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(k^2-2k+2) + (k^2-4k+2) = 0$.
$2k^2-6k+4 = 0$.
$k^2-3k+2 = 0$.
$(k-2)(k-1) = 0$.
अतः,$k=2$ या $k=1$.
चूँकि $k>1$ दिया गया है,इसलिए $k=2$ है।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-2x+ky+4=0$ $(i)$ है।
वृत्त $(i)$ का केंद्र $C \equiv (1, -k/2)$ है।
चूंकि वृत्त $S$ वृत्त $(i)$ के साथ संकेंद्रित है,इसलिए $S$ का समीकरण $(x-1)^2 + (y+k/2)^2 = r^2$ $(ii)$ है।
केंद्र $(1, -k/2)$ व्यास रेखा $3x-2y+4=0$ पर स्थित है।
रेखा के समीकरण में केंद्र के निर्देशांक रखने पर: $3(1) - 2(-k/2) + 4 = 0$ $\Rightarrow 3 + k + 4 = 0$ $\Rightarrow k = -7$.
$k = -7$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर,हमें $(x-1)^2 + (y-7/2)^2 = r^2$ $(iii)$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त $S$ बिंदु $(3, -2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए इन निर्देशांकों को समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$(3-1)^2 + (-2-7/2)^2 = r^2$
$2^2 + (-11/2)^2 = r^2$
$4 + 121/4 = r^2$
$r^2 = (16+121)/4 = 137/4$.
अतः,त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{137}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{137}$ है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ है,जिसे $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। केंद्र $O(1, 1)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
माना $Q$,$P(2, 3)$ का प्रतिलोम बिंदु है। प्रतिलोम बिंदु $Q$,रेखा $OP$ पर स्थित होता है ताकि $OP \times OQ = r^2$ हो।
$OP$ की ढाल $\frac{3-1}{2-1} = 2$ है। रेखा $OP$ का समीकरण $y-1 = 2(x-1)$ है,जो $2x-y-1=0$ में सरल हो जाता है।
$OP = \sqrt{(2-1)^2+(3-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ है।
चूंकि $OP \times OQ = r^2 = 1$,इसलिए $OQ = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
माना $Q$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं। चूंकि $Q$,$2x-y-1=0$ पर स्थित है,इसलिए $k = 2h-1$ है। साथ ही,दूरी $OQ = \sqrt{(h-1)^2+(k-1)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
$k-1 = 2h-2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sqrt{(h-1)^2+(2h-2)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow \sqrt{5(h-1)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow 5(h-1)^2 = 1$ $\Rightarrow (h-1)^2 = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
$h-1 = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow h = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
$h = 1 + \frac{1}{\sqrt{5}}$ के लिए,$k = 2(1 + \frac{1}{\sqrt{5}}) - 1 = 1 + \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
अतः $Q = (1 + \frac{1}{\sqrt{5}}, 1 + \frac{2}{\sqrt{5}})$ है।
$PQ$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x-2)(x-(1+\frac{1}{\sqrt{5}})) + (y-3)(y-(1+\frac{2}{\sqrt{5}})) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $5x^2+5y^2-16x-22y+33=0$ प्राप्त होता है।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है ... $(i)$
$X$-अक्ष पर बने अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^2-c} = \frac{2\sqrt{13}}{3} \Rightarrow g^2-c = \frac{13}{9}$ ... $(ii)$
$Y$-अक्ष पर बने अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{f^2-c} = \frac{2\sqrt{22}}{3} \Rightarrow f^2-c = \frac{22}{9}$ ... $(iii)$
त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{38}}{3}$ दी गई है,अतः $r^2 = g^2+f^2-c = \frac{38}{9}$ ... $(iv)$
$(ii)$ और $(iii)$ से,$g^2 = c + \frac{13}{9}$ और $f^2 = c + \frac{22}{9}$.
$(iv)$ में मान रखने पर: $(c + \frac{13}{9}) + (c + \frac{22}{9}) - c = \frac{38}{9}$
$c + \frac{35}{9} = \frac{38}{9} \Rightarrow c = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
अब,$g^2 = \frac{1}{3} + \frac{13}{9} = \frac{16}{9} \Rightarrow g = \pm \frac{4}{3}$
और $f^2 = \frac{1}{3} + \frac{22}{9} = \frac{25}{9} \Rightarrow f = \pm \frac{5}{3}$
चूंकि केंद्र $C(-g, -f)$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $g$ धनात्मक और $f$ ऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,$C = (-\frac{4}{3}, \frac{5}{3})$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-8x+10y+5=0$ है। इसका केंद्र $C(4, -5)$ है।
माना जीवा का मध्यबिंदु $P(h, k)$ है। चूँकि $P$ रेखा $2x+y+2=0$ पर स्थित है,इसलिए $2h+k+2=0$ ... $(i)$।
रेखाखंड $CP$ जीवा पर लंब है। जीवा की ढाल $-2$ है,इसलिए $CP$ की ढाल $\frac{1}{2}$ होगी।
$CP$ की ढाल $\frac{k+5}{h-4} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2k+10 = h-4$ $\Rightarrow h-2k=14$ ... (ii)।
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर,हमें $h=2$ और $k=-6$ प्राप्त होता है।
अतः,$k+4h = -6+4(2) = 2$।

(D) मान लीजिए वृत्तों $S=0$ और $S'=0$ के केंद्र क्रमशः $C$ और $C'$ हैं।
$S \equiv x^2+y^2-6x+2ky+1=0$ के लिए,केंद्र $C = (3, -k)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2+(-k)^2-1} = \sqrt{8+k^2}$ है।
$S' \equiv x^2+y^2+2kx-6y-7=0$ के लिए,केंद्र $C' = (-k, 3)$ और त्रिज्या $r' = \sqrt{(-k)^2+3^2-(-7)} = \sqrt{k^2+16}$ है।
चूंकि $S=0$ पर $P$ पर स्पर्शरेखा $C'$ से गुजरती है,इसलिए $CP \perp C'P$ है। इसी प्रकार,$S'=0$ पर $P$ पर स्पर्शरेखा $C$ से गुजरती है,इसलिए $C'P \perp CP$ है।
अतः,$\triangle CPC'$ बिंदु $P$ पर एक समकोण त्रिभुज है,जहाँ $CP = r$ और $C'P = r'$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$CP^2 + C'P^2 = CC'^2$ है।
$r^2 + r'^2 = (3 - (-k))^2 + (-k - 3)^2$ है।
$(8+k^2) + (k^2+16) = (3+k)^2 + (-(k+3))^2$ है।
$2k^2 + 24 = 2(k+3)^2 = 2(k^2+6k+9) = 2k^2+12k+18$ है।
$24 = 12k + 18$ $\Rightarrow 12k = 6$ $\Rightarrow k = \frac{1}{2}$ है।
$S'=0$ की त्रिज्या $r' = \sqrt{k^2+16} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2+16} = \sqrt{\frac{1}{4}+16} = \sqrt{\frac{65}{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}$ है।

(C) $Y$-अक्ष को $(0,3)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + (y-3)^2 = a^2$ है,जो $x^2 + y^2 - 2ax - 6y + 9 = 0$ के रूप में सरल होता है।
चूंकि $X$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई $8$ इकाई है,हम सूत्र $2\sqrt{g^2 - c} = 8$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $g = -a$ और $c = 9$ है।
$2\sqrt{(-a)^2 - 9} = 8$ $\Rightarrow \sqrt{a^2 - 9} = 4$ $\Rightarrow a^2 - 9 = 16$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a = \pm 5$ है।
चूंकि केंद्र $C(a, 3)$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $a$ ऋणात्मक होना चाहिए,अतः $a = -5$ है।
इस प्रकार,केंद्र $C(-5, 3)$ है।
बिंदु $(-2, -1)$ से $C(-5, 3)$ की दूरी $\sqrt{(-2 - (-5))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2=4$ है,जिसे $x^2+y^2=2^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह मूल बिंदु $(0,0)$ पर केंद्र और त्रिज्या $r=2$ वाला एक वृत्त है।
आकृति से,मूल बिंदु को रेखा $L$ और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाएँ निर्देशांक अक्ष हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A(2,0)$ और $B(0,2)$ हैं।
$(2,0)$ और $(0,2)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण अंतःखंड रूप $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ द्वारा दिया जाता है।
$a=2$ और $b=2$ रखने पर,हमें $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x+y=2$ हो जाता है।

(B) दिया गया है $h^2 + hk + k^2 = 37$ ... $(i)$
त्रिज्या $r = \sqrt{10}$।
वृत्त $S$ का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 10$ है ... $(ii)$
चूंकि $(1, 2)$ वृत्त पर स्थित है,$(1 - h)^2 + (2 - k)^2 = 10$।
विस्तार करने पर,$1 - 2h + h^2 + 4 - 4k + k^2 = 10$,जो $h^2 + k^2 - 2h - 4k = 5$ में सरल होता है।
$(i)$ से $h^2 + k^2 = 37 - hk$ को इस समीकरण में रखने पर:
$37 - hk - 2h - 4k = 5 \Rightarrow hk + 2h + 4k = 32$ ... $(iii)$
केंद्र $(h, k)$ से स्पर्श रेखा $3x + y - 5 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{10}$ के बराबर है:
$\frac{|3h + k - 5|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \sqrt{10} \Rightarrow |3h + k - 5| = 10$।
मान लीजिए $3h + k - 5 = 10$,तो $3h + k = 15 \Rightarrow k = 15 - 3h$।
$k = 15 - 3h$ को $(iii)$ में रखने पर:
$h(15 - 3h) + 2h + 4(15 - 3h) = 32$
$15h - 3h^2 + 2h + 60 - 12h = 32$
$-3h^2 + 5h + 28 = 0 \Rightarrow 3h^2 - 5h - 28 = 0$।
द्विघात समीकरण $(3h + 7)(h - 4) = 0$ को हल करने पर,$h = 4$ या $h = -7/3$ प्राप्त होता है।
यदि $h = 4$ है,तो $k = 15 - 3(4) = 3$।
अतः,$k = 3$।

(A) दिए गए वृत्त $x^2+y^2+6x-8y+16=0$ और $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ हैं।
मानक रूप में बदलने पर $(x+3)^2+(y-4)^2=3^2$ और $(x-1)^2+(y-1)^2=1^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$C_1=(-3,4), r_1=3$ और $C_2=(1,1), r_2=1$ है।
आंतरिक समानता केंद्र $P$,$C_1C_2$ को $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है:
$P = \left(0, \frac{7}{4}\right)$।
बाह्य समानता केंद्र $Q$,$C_1C_2$ को $3:1$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है:
$Q = \left(3, -\frac{1}{2}\right)$।
दूरी $PQ = \sqrt{(3-0)^2 + (-\frac{1}{2} - \frac{7}{4})^2} = \sqrt{9 + \frac{81}{16}} = \frac{15}{4}$।

(B) मान लीजिए वृत्त का समीकरण $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ है।
चूंकि वृत्त $(2,0)$,$(1,-2)$ और $(-1,1)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास है:
$(2-a)^2+b^2=r^2$
$(1-a)^2+(-2-b)^2=r^2$
$(-1-a)^2+(1-b)^2=r^2$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $a=\frac{3}{14}$,$b=-\frac{5}{14}$ और $r^2=\frac{325}{98}$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $\left(x-\frac{3}{14}\right)^2+\left(y+\frac{5}{14}\right)^2=\frac{325}{98}$ है।
मान लीजिए $S(x,y) = \left(x-\frac{3}{14}\right)^2+\left(y+\frac{5}{14}\right)^2-\frac{325}{98}$ है।
बिंदु $(1,2)$ के लिए,$S(1,2) = \left(1-\frac{3}{14}\right)^2+\left(2+\frac{5}{14}\right)^2-\frac{325}{98} = \frac{121}{196}+\frac{1089}{196}-\frac{650}{196} = \frac{560}{196} > 0$ है।
चूंकि $S(1,2) > 0$ है,इसलिए बिंदु $(1,2)$ वृत्त के बाहर स्थित है।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+2x-12y-132=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x+1)^2+(y-6)^2 = 169 = 13^2$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $(-1, 6)$ और त्रिज्या $r = 13$ है।
रेखा $12x+5y+k=0$ की ढाल $m_1 = -\frac{12}{5}$ है।
इस रेखा के लंबवत स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{5}{12}$ होगी।
स्पर्श रेखा का समीकरण $5x-12y+c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
केंद्र $(-1, 6)$ से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $13$ के बराबर है:
$\frac{|5(-1)-12(6)+c|}{\sqrt{5^2+(-12)^2}} = 13$
$\frac{|-5-72+c|}{13} = 13$
$|c-77| = 169$
$c-77 = 169 \Rightarrow c = 246$ या $c-77 = -169 \Rightarrow c = -92$.
अतः,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $5x-12y+246=0$ और $5x-12y-92=0$ हैं।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+10x+8y-23=0$ है। वृत्त का केंद्र $O$ $(-5, -4)$ है।
चूंकि $M$ जीवा $AB$ का मध्यबिंदु है,रेखा $OM$ जीवा $AB$ पर लंब है।
$OM$ की ढाल $m_1 = \frac{-4 - (-5/2)}{-5 - (-7/2)} = \frac{-4 + 2.5}{-5 + 3.5} = \frac{-1.5}{-1.5} = 1$ है।
चूंकि $OM \perp AB$,जीवा $AB$ की ढाल $m_2 = -1/m_1 = -1$ है।
बिंदु $M\left(\frac{-7}{2}, \frac{-5}{2}\right)$ से गुजरने वाली और $-1$ ढाल वाली रेखा $AB$ का समीकरण:
$y - (-5/2) = -1(x - (-7/2))$
$y + 5/2 = -x - 7/2$
$x + y + 6 = 0$
$ax + by + 1 = 0$ के रूप में बदलने के लिए,हम $6$ से विभाजित करते हैं:
$\frac{1}{6}x + \frac{1}{6}y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $ax + by + 1 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 1/6$ और $b = 1/6$ प्राप्त होता है।
अतः,$3a + 3b = 3(1/6) + 3(1/6) = 1/2 + 1/2 = 1$।

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+6x-4y-12=0$ है।
केंद्र $O = (-3, 2)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ निर्देशक वृत्त (director circle) होता है।
निर्देशक वृत्त $S$ का केंद्र $(-3, 2)$ और त्रिज्या $R = 5\sqrt{2}$ है।
अतः,वृत्त $S$ का समीकरण $(x+3)^2+(y-2)^2 = 50$ है।
रेखा $6x-4y+k=0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $2x+3y+C'=0$ के रूप में होगा।
केंद्र $(-3, 2)$ से स्पर्श रेखा की दूरी त्रिज्या $5\sqrt{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|2(-3)+3(2)+C'|}{\sqrt{2^2+3^2}} = 5\sqrt{2} \Rightarrow |C'| = 5\sqrt{26}$.
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $2x+3y \pm 5\sqrt{26}=0$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0$ है।
केंद्र $(h, k) = (2, 3)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
रेखा $2x - y + 3 = 0$ के लिए $l = 2, m = -1, n = 3$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ के लिए सूत्र: $x_1 = h - \frac{r^2 l}{lh + mk + n}$ और $y_1 = k - \frac{r^2 m}{lh + mk + n}$ है।
यहाँ हर $D = 2(2) - 1(3) + 3 = 4$ है।
$x_1 = 2 - \frac{9(2)}{4} = -\frac{5}{2}$ और $y_1 = 3 - \frac{9(-1)}{4} = \frac{21}{4}$ है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(-\frac{5}{2}, \frac{21}{4}\right)$ है।

(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S = 0$ पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $S = x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$ और बिंदु $(1, 1)$ है।
$S_1 = 1^2 + 1^2 + 2(1) + 2(1) + 1 = 7$.
$T = x(1) + y(1) + (x + 1) + (y + 1) + 1 = 2x + 2y + 3$.
$SS_1 = T^2$ में मान रखने पर:
$7(x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1) = (2x + 2y + 3)^2$.
$7x^2 + 7y^2 + 14x + 14y + 7 = 4x^2 + 4y^2 + 9 + 8xy + 12x + 12y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3x^2 - 8xy + 3y^2 + 2x + 2y - 2 = 0$.

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ है।
वर्ग पूरा करने पर,$(x-2)^2+(y+3)^2 = 25 = 5^2$ प्राप्त होता है।
अतः केंद्र $(2, -3)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $x = 2 + 5\cos\theta$ और $y = -3 + 5\sin\theta$ हैं।
बिंदु $P$ के लिए $\theta = \frac{\pi}{3}$,$P = (\frac{9}{2}, -3 + \frac{5\sqrt{3}}{2})$।
बिंदु $Q$ के लिए $\theta = \frac{2\pi}{3}$,$Q = (-\frac{1}{2}, -3 + \frac{5\sqrt{3}}{2})$।
दूरी $PQ = \sqrt{(\frac{9}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 + 0^2} = 5$।

(A) दी गई रेखा: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2 \Rightarrow \frac{x}{2a} + \frac{y}{2b} = 1$.
दिया गया वृत्त: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0$.
मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं का युग्म प्राप्त करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघात (homogenize) करते हैं:
$x^2 + y^2 - 2(ax + by)(\frac{x}{2a} + \frac{y}{2b}) + (a^2 + b^2 - r^2)(\frac{x}{2a} + \frac{y}{2b})^2 = 0$.
रेखाओं के समकोण पर होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
यह शर्त लागू करने पर: $a^2 + b^2 - r^2 = 0 \Rightarrow a^2 + b^2 = r^2$.

(C) वृत्त का समीकरण $S \equiv x^2+y^2-4x-8y+4=0$ है। केंद्र $(2, 4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2+4^2-4} = \sqrt{16} = 4$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से केंद्र $(2,4)$ तक की दूरी $d = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\alpha$ है। अतः,मूल बिंदु और केंद्र को जोड़ने वाली रेखा और एक स्पर्श रेखा के बीच का कोण $\alpha/2$ है।
समकोण त्रिभुज में,$\sin(\alpha/2) = r/d = 4/(2\sqrt{5}) = 2/\sqrt{5}$।
अतः,$\cos(\alpha/2) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha/2)} = \sqrt{1 - 4/5} = 1/\sqrt{5}$।
इस प्रकार,$\tan(\alpha/2) = \sin(\alpha/2) / \cos(\alpha/2) = (2/\sqrt{5}) / (1/\sqrt{5}) = 2$।
सूत्र $\tan \alpha = \frac{2 \tan(\alpha/2)}{1 - \tan^2(\alpha/2)}$ का उपयोग करने पर,$\tan \alpha = \frac{2(2)}{1 - 2^2} = \frac{4}{-3} = -4/3$।
चूंकि $\alpha$ एक न्यून कोण है,हम इसका परिमाण लेते हैं,इसलिए $\tan \alpha = 4/3$।

(D) मान लीजिए $O(h, k)$ वृत्त का केंद्र है जो $A(2,3)$,$B(3,-1)$ और $C(-3,2)$ से गुजरता है।
चूंकि $O$ केंद्र है,इसलिए $OA = OB = OC$ (वृत्त की त्रिज्याएँ)।
$OA^2 = OC^2 \Rightarrow (h-2)^2 + (k-3)^2 = (h+3)^2 + (k-2)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 + 6h + 9 + k^2 - 4k + 4$
$-4h - 6k = 6h - 4k$
$10h + 2k = 0 \Rightarrow k = -5h \quad ... (i)$
$OA^2 = OB^2 \Rightarrow (h-2)^2 + (k-3)^2 = (h-3)^2 + (k+1)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 6h + 9 + k^2 + 2k + 1$
$-4h - 6k + 13 = -6h + 2k + 10$
$2h - 8k = -3 \quad ... (ii)$
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2h - 8(-5h) = -3$
$2h + 40h = -3$ $\Rightarrow 42h = -3$ $\Rightarrow h = -\frac{1}{14}$
$k = -5h = -5(-\frac{1}{14}) = \frac{5}{14}$
अब,$2k - 4h$ की गणना करने पर:
$2(\frac{5}{14}) - 4(-\frac{1}{14}) = \frac{10}{14} + \frac{4}{14} = \frac{14}{14} = 1$

(D) माना $PQ$ मूल बिंदु पर $\theta$ कोण अंतरित करती है,अतः $\angle POQ = \theta$.
रेखा की ढाल $m$ है।
$(1, -2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y + 2 = m(x - 1)$ है।
अतः,$\frac{mx - y}{m + 2} = 1$ ...$(i)$
दिया गया वक्र $3x^2 - y^2 - 2x + 4y = 0$ है ...(ii)
वक्र के समीकरण को रेखा के समीकरण का उपयोग करके समघात बनाने पर:
$3x^2 - y^2 - 2x(1) + 4y(1) = 0$
$1 = \frac{mx - y}{m + 2}$ रखने पर:
$3x^2 - y^2 - 2x\left(\frac{mx - y}{m + 2}\right) + 4y\left(\frac{mx - y}{m + 2}\right) = 0$
$(m + 2)$ से गुणा करने पर:
$(m + 6)x^2 + (4m + 2)xy - (m + 6)y^2 = 0$
यदि मूल बिंदु पर अंतरित कोण $90^{\circ}$ है,तो $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
$x^2$ का गुणांक + $y^2$ का गुणांक = $(m + 6) - (m + 6) = 0$.
अतः,मूल बिंदु पर $PQ$ द्वारा अंतरित कोण $90^{\circ}$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $S = x^2 + y^2 + 4x + 6y - 3 = 0$ है। केंद्र $O(-2, -3)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
बिंदु $P(1, 1)$ के लिए,दूरी $OP = 5$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई $PA = \sqrt{OP^2 - r^2} = 3$ है।
$\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{r \cdot PA^3}{r^2 + PA^2} = \frac{4 \cdot 3^3}{4^2 + 3^2} = \frac{108}{25}$।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-6x-8y+9=0$ है।
इसका केंद्र $C=(3,4)$ है और त्रिज्या $R=\sqrt{3^2+4^2-9}=\sqrt{9+16-9}=\sqrt{16}=4$ है।
माना $AB$ जीवा है जिसकी लंबाई $2\sqrt{3}$ है। केंद्र $C(3,4)$ से जीवा $2x+3y+k=0$ पर लंबवत दूरी $CM$ का मान $CM = \frac{|2(3)+3(4)+k|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{|6+12+k|}{\sqrt{4+9}} = \frac{|18+k|}{\sqrt{13}}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ACM$ में,$AC^2 = CM^2 + AM^2$,जहाँ $AM = \frac{AB}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ है।
मान रखने पर,$4^2 = \left(\frac{|18+k|}{\sqrt{13}}\right)^2 + (\sqrt{3})^2$.
$16 = \frac{(18+k)^2}{13} + 3$.
$13 = \frac{(18+k)^2}{13} \Rightarrow (18+k)^2 = 169$.
वर्गमूल लेने पर,$18+k = \pm 13$.
स्थिति $1$: $18+k = 13 \Rightarrow k = -5$.
स्थिति $2$: $18+k = -13 \Rightarrow k = -31$.
अतः,$k$ का एक मान $-5$ है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $C(h, k)$ है। चूंकि $C$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $h < 0$ और $k < 0$ है।
रेखा $AB$ बिंदुओं $(1, 2)$ और $(2, 1)$ से होकर गुजरती है। रेखा $AB$ का समीकरण $x + y - 3 = 0$ है।
$C(h, k)$ की $AB$ से दूरी $\frac{|h + k - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि $C$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $h + k - 3 < 0$,अतः $-(h + k - 3) = 7 \Rightarrow h + k = -4$ है।
चूंकि $C$,$A(1, 2)$ और $B(2, 1)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $CA^2 = CB^2 \Rightarrow (h-1)^2 + (k-2)^2 = (h-2)^2 + (k-1)^2$ है।
इससे $h = k$ प्राप्त होता है।
$h = k$ को $h + k = -4$ में रखने पर,$2h = -4 \Rightarrow h = -2, k = -2$ प्राप्त होता है। अतः $C = (-2, -2)$ है।
त्रिज्या $R = CA = \sqrt{(-2-1)^2 + (-2-2)^2} = 5$ है।
$P(1, -2)$ की $C(-2, -2)$ से दूरी $\sqrt{(1 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2} = 3$ है।
चूंकि $3 < 5$,इसलिए बिंदु $P(1, -2)$ वृत्त $S$ के अंदर स्थित है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $O(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है। चूँकि $L_1$ एक स्पर्शरेखा है,$(h, k)$ से $3x - 4y - 8 = 0$ की लंबवत दूरी $r$ के बराबर है।
$\frac{|3h - 4k - 8|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = r \Rightarrow |3h - 4k - 8| = 5r$. चूँकि $L_1$ स्पर्शरेखा है,$r = 2$,इसलिए $|3h - 4k - 8| = 10$.
साथ ही,$(h, k)$ से $L_2 \equiv x + y - 1 = 0$ की दूरी $\sqrt{2}$ है।
$\frac{|h + k - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \sqrt{2} \Rightarrow |h + k - 1| = 2$.
दिया है $h^2 + k^2 = 13$। इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $(h, k) = (3, 2)$ या $(-2, 3)$ प्राप्त होता है।
$(h, k) = (3, 2)$ के लिए,जीवा $L_2$ का मध्यबिंदु $(\alpha, \beta)$ केंद्र $(3, 2)$ का $x + y - 1 = 0$ पर प्रक्षेप है।
$\frac{\alpha - 3}{1} = \frac{\beta - 2}{1} = -\frac{3 + 2 - 1}{1^2 + 1^2} = -\frac{4}{2} = -2$.
$\alpha = 3 - 2 = 1, \beta = 2 - 2 = 0$. अतः,$\alpha + \beta = 1$.
चूँकि $r = 2$ है,इसलिए $\alpha + \beta + r = 1 + 2 = 3$.

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+4x+2y+1=0$ है।
केंद्र $C = (-2, -1)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
बिंदु $(2,1)$ के लिए स्पर्श-जीवा का समीकरण $2x + y + 3 = 0$ है।
केंद्र से जीवा पर लंब की लंबाई $CM = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
जीवा की आधी लंबाई $PM = \sqrt{r^2 - CM^2} = \frac{4}{\sqrt{5}}$ है।
अतः,जीवा की कुल लंबाई $PQ = 2 \times PM = \frac{8}{\sqrt{5}}$ है।

(B) वृत्त $x^2+y^2-4x+8y+4=0$ का केंद्र $P(2, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = 4$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2x=0$ का केंद्र $Q(-1, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए स्पर्श बिंदु $O(a, b)$ रेखाखंड $PQ$ को $r_1 : r_2 = 4 : 1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$O(a, b) = \left( \frac{4(-1)+1(2)}{4+1}, \frac{4(0)+1(-4)}{4+1} \right)$.
$O(a, b) = \left( -\frac{2}{5}, -\frac{4}{5} \right)$.
अतः,$a = -\frac{2}{5}$ और $b = -\frac{4}{5}$.
इसलिए,$a+2b = -\frac{2}{5} + 2\left( -\frac{4}{5} \right) = -\frac{10}{5} = -2$.

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है जिसका केंद्र $(-g, -f)$ है।
दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ है।
पहले वृत्त $x^2+y^2-2x+2y-2=0$ के लिए,$g_2=-1, f_2=1, c_2=-2$ है। शर्त लागू करने पर: $2g(-1)+2f(1)=c-2 \Rightarrow -2g+2f=c-2$ (समीकरण $1$)।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2+4x-6y+9=0$ के लिए,$g_3=2, f_3=-3, c_3=9$ है। शर्त लागू करने पर: $2g(2)+2f(-3)=c+9 \Rightarrow 4g-6f=c+9$ (समीकरण $2$)।
केंद्र $(-g, -f)$ रेखा $2x+3y-2=0$ पर स्थित है,अतः $2(-g)+3(-f)-2=0 \Rightarrow -2g-3f=2$ (समीकरण $3$)।
समीकरणों को हल करने पर,हमें $f=-1, g=1/2, c=-1$ प्राप्त होता है।
अतः $2g+f = 2(1/2)+(-1) = 0$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $c-f = -1-(-1) = 0$ है। अतः,$2g+f = c-f$।

(A) मान लीजिए $C_1 = A(1, 2)$ और $r_1 = 3$ है। मान लीजिए $C_2 = B(-1, -1)$ और $r_2 = r$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d$ है,जहाँ $d^2 = (1 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$ है।
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2 r_1 r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\theta = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{13 - 3^2 - r^2}{2 \times 3 \times r}$।
$\frac{1}{2} = \frac{13 - 9 - r^2}{6r} = \frac{4 - r^2}{6r}$।
$3r = 4 - r^2 \Rightarrow r^2 + 3r - 4 = 0$।
$(r + 4)(r - 1) = 0$।
चूँकि त्रिज्या $r > 0$ होती है,इसलिए $r = 1$ है।
अतः,$r$ के लिए केवल $1$ संभावित मान है।

(C) वृत्त $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ के लिए,$g_1=1, f_1=-2, c_1=1$ है।
वृत्त $x^2+y^2-4x-2y+c=0$ के लिए,$g_2=-2, f_2=-1, c_2=c$ है।
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos(\theta) = \frac{c_1+c_2-2(g_1g_2+f_1f_2)}{2\sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}\sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}}$ है।
यहाँ $\theta = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है,इसलिए $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1+c-2((1)(-2)+(-2)(-1))}{2\sqrt{1^2+(-2)^2-1}\sqrt{(-2)^2+(-1)^2-c}}$।
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1+c-2(-2+2)}{2\sqrt{4}\sqrt{5-c}} = \frac{1+c}{4\sqrt{5-c}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{(1+c)^2}{16(5-c)}$।
$8(5-c) = (1+c)^2 \Rightarrow 40-8c = 1+2c+c^2$।
$c^2+10c-39=0$।
$(c+13)(c-3)=0$।
अतः,$c=3$ या $c=-13$।

(C) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-4x+2fy+1=0$ और $S_2: x^2+y^2+2gx-4y-1=0$ हैं।
$x^2+y^2+2g_ix+2f_iy+c_i=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$g_1=-2, f_1=f, c_1=1$
$g_2=g, f_2=-2, c_2=-1$
चूंकि वृत्त लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,शर्त $2(g_1g_2+f_1f_2)=c_1+c_2$ है।
$2((-2)(g) + (f)(-2)) = 1 + (-1)$
$2(-2g-2f) = 0 \implies g+f=0 \implies f=-g$.
त्रिज्याओं के वर्ग $r_1^2 = g_1^2+f_1^2-c_1 = (-2)^2+f^2-1 = 3+f^2$ और $r_2^2 = g_2^2+f_2^2-c_2 = g^2+(-2)^2-(-1) = g^2+5$ हैं।
$r_1^2+r_2^2 = 3+f^2+g^2+5 = 8+f^2+g^2$.
चूंकि $f=-g$,इसलिए $f^2=g^2$,अतः $r_1^2+r_2^2 = 8+2g^2$.
इसलिए,$r_1^2+r_2^2-8 = 2g^2$.

(C) दिए गए वृत्त हैं:
$S_1: x^2+y^2-4x+6y-3=0$
$S_2: x^2+y^2+2x-2y-2=0$
मानक रूप में समीकरण:
$S_1: (x-2)^2+(y+3)^2 = 16 = 4^2$. केंद्र $C_1 = (2, -3)$,त्रिज्या $r_1 = 4$.
$S_2: (x+1)^2+(y-1)^2 = 4 = 2^2$. केंद्र $C_2 = (-1, 1)$,त्रिज्या $r_2 = 2$.
केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 1)^2} = 5$.
उभयनिष्ठ जीवा $AB$ केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा पर लंब है। माना उभयनिष्ठ जीवा $C_1C_2$ को $M$ पर काटती है। $AM = h$ और $C_1M = x$ लेने पर,$C_2M = 5-x$.
$\triangle AC_1M$ में,$h^2 + x^2 = 16$.
$\triangle AC_2M$ में,$h^2 + (5-x)^2 = 4$.
घटाने पर: $x^2 - (5-x)^2 = 12$ $\Rightarrow 10x = 37$ $\Rightarrow x = 3.7$.
$h^2 = 16 - (3.7)^2 = 2.31 = \frac{231}{100}$.
$h = \frac{\sqrt{231}}{10}$.
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $AB = 2h = \frac{\sqrt{231}}{5}$.

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$x^2+y^2-2x+4y+c=0$ ...$(i)$
$x^2+y^2+2x-4y+c=0$ ...(ii)
वृत्त $(i)$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, -2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{5-c}$ है।
वृत्त (ii) के लिए,केंद्र $C_2 = (-1, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{5-c}$ है।
दो वृत्तों की चार उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ तब होती हैं जब वे अलग-अलग हों,जिसका अर्थ है कि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग से अधिक होनी चाहिए: $d(C_1, C_2) > r_1 + r_2$।
केंद्रों $C_1(1, -2)$ और $C_2(-1, 2)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
अतः,$2\sqrt{5} > 2\sqrt{5-c}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$5 > 5-c$,जिसका अर्थ है $c > 0$।
साथ ही,त्रिज्या को परिभाषित करने के लिए,$5-c > 0$,इसलिए $c < 5$।
इस प्रकार,$0 < c < 5$।

(D) माना $S_1: x^2+y^2+2x-2y-2=0$ है। केंद्र $C_1 = (-1, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
माना $S_2: x^2+y^2-2x+2y+1=0$ है। केंद्र $C_2 = (1, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं जो केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा को $2:1$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक $(3, -3)$ प्राप्त होते हैं।
$P(3, -3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $mx - y - 3m - 3 = 0$ है।
केंद्र $C_2(1, -1)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r_2=1$ के बराबर होनी चाहिए।
$\left| \frac{-2m - 2}{\sqrt{m^2 + 1}} \right| = 1 \Rightarrow 3m^2 + 8m + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
प्रवणताओं का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{3}{3} = 1$ है।

(A) $S_1$ और $S_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda(S_2 - S_1) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S_1: x^2+y^2+kx-ky+1=0$ और $S_2: x^2+y^2-kx+ky-2=0$।
$S_2 - S_1 = -2kx + 2ky - 3 = 0$।
अतः,समीकरण $x^2+y^2+kx-ky+1 + \lambda(-2kx+2ky-3) = 0$ है।
$x^2+y^2 + k(1-2\lambda)x - k(1-2\lambda)y + (1-3\lambda) = 0$।
इसकी तुलना दिए गए वृत्त $S: x^2+y^2-4x+4y-\frac{7}{2} = 0$ से करने पर:
$k(1-2\lambda) = -4$ और $1-3\lambda = -\frac{7}{2}$।
$1-3\lambda = -\frac{7}{2}$ से,हमें $3\lambda = \frac{9}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{3}{2}$ को $k(1-2\lambda) = -4$ में रखने पर:
$k(1-2(\frac{3}{2})) = -4$ $\Rightarrow k(1-3) = -4$ $\Rightarrow -2k = -4$ $\Rightarrow k = 2$।
बिंदु $(k, k) = (2, 2)$ है।
वृत्त $S$ है $x^2+y^2-4x+4y-\frac{7}{2} = 0$। केंद्र $C$ $(2, -2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2+(-2)^2 - (-\frac{7}{2})} = \sqrt{4+4+\frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{23}{2}}$ है।
$(2, 2)$ से $S$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S(2, 2)} = \sqrt{2^2+2^2-4(2)+4(2)-\frac{7}{2}} = \sqrt{4+4-8+8-\frac{7}{2}} = \sqrt{8-\frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।

(B) रेखा $x+y+2=0$ और वृत्त $x^2+y^2+4x-4y-4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+4x-4y-4+\lambda(x+y+2)=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^2+y^2+(4+\lambda)x+(\lambda-4)y+(2\lambda-4)=0$ प्राप्त होता है।
इसे $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के साथ तुलना करने पर,$2g = 4+\lambda$,$2f = \lambda-4$,और $c = 2\lambda-4$ मिलता है।
वृत्त $S$ का केंद्र $(-g, -f) = \left(-\frac{4+\lambda}{2}, -\frac{\lambda-4}{2}\right)$ है।
केंद्र $(-g, -f)$ की रेखा $x+y+2=0$ से दूरी $\sqrt{2}$ दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$\left|\frac{-g-f+2}{\sqrt{1^2+1^2}}\right| = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $|-g-f+2| = 2$,अतः $-g-f+2 = 2$ या $-g-f+2 = -2$।
स्थिति $1$: $g+f = 0$। $g$ और $f$ का मान रखने पर,$\frac{4+\lambda}{2} + \frac{\lambda-4}{2} = 0 \Rightarrow \lambda = 0$।
यदि $\lambda=0$ है,तो यह मूल वृत्त ही रहता है,लेकिन प्रश्न में $S$ एक अलग वृत्त है।
स्थिति $2$: $g+f = 4$। $g$ और $f$ का मान रखने पर,$\frac{4+\lambda}{2} + \frac{\lambda-4}{2} = 4 \Rightarrow \lambda = 4$।
$\lambda=4$ के लिए,$g = 4$,$f = 0$,और $c = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$g+f+c = 4+0+4 = 8$।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-10x+12y-3=0$ है।
तुलना करने पर $g=-5, f=6, c=-3$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(5, -6)$ और त्रिज्या $r = 8$ है।
रेखा $Ax+By+C=0$ बिंदु $(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा है यदि $\frac{x_1+g}{A} = \frac{y_1+f}{B} = \frac{gx_1+fy_1+c}{-C}$ हो।
विकल्प $(d)$ $6x-8y+15=0$ के लिए जाँच करने पर,केंद्र से रेखा की दूरी $d = 9.3$ प्राप्त होती है।
चूँकि $d > r$ है,यह रेखा वृत्त के बाहर स्थित है जो वृत्त के अंदर स्थित बिंदु के लिए एक ध्रुवीय रेखा हो सकती है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-4x+2fy-1=0$ है। $x^2+y^2+2gx+2fy'+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-2$,$f'=f$,और $c=-1$ प्राप्त होता है। त्रिज्या $R$ के लिए $R^2 = g^2+f'^2-c = (-2)^2+f^2-(-1) = f^2+5$ है।
दो रेखाएं $l_1x+m_1y+n_1=0$ और $l_2x+m_2y+n_2=0$ वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy'+c=0$ के सापेक्ष संयुग्मी होती हैं यदि $R^2(l_1l_2+m_1m_2) = (l_1g+m_1f'-n_1)(l_2g+m_2f'-n_2)$ हो।
यहाँ,$l_1=1, m_1=1, n_1=-1$ और $l_2=2, m_2=-1, n_2=1$ है।
मान रखने पर:
$(f^2+5)(1(2)+1(-1)) = (1(-2)+1(f)-(-1))(2(-2)+(-1)(f)-1)$
$(f^2+5)(1) = (f-1)(-f-5)$
$f^2+5 = -f^2-4f+5$
$2f^2+4f = 0$
$2f(f+2) = 0$
अतः,$f=0$ या $f=-2$।

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ है।
केंद्र $(h, k) = (1, -2)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
बिंदु $P(\alpha, \beta)$ का वृत्त के सापेक्ष प्रतिलोम बिंदु $(l, m)$ के लिए:
$l = h + \frac{r^2(\alpha-h)}{(\alpha-h)^2+(\beta-k)^2}$ और $m = k + \frac{r^2(\beta-k)}{(\alpha-h)^2+(\beta-k)^2}$.
यहाँ $(\alpha, \beta) = (3, 2)$,$(h, k) = (1, -2)$ और $r^2 = 9$ है।
हर का मान: $(\alpha-h)^2 + (\beta-k)^2 = 2^2 + 4^2 = 20$.
अतः,$l = 1 + \frac{9}{20}(2) = 1 + \frac{18}{20} = \frac{38}{20}$.
$m = -2 + \frac{9}{20}(4) = -2 + \frac{36}{20} = -\frac{4}{20}$.
अब,$2l + 19m = 2(\frac{38}{20}) + 19(-\frac{4}{20}) = \frac{76}{20} - \frac{76}{20} = 0$.

(B) दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष संयुग्मी होते हैं यदि $x_1x_2 + y_1y_2 + g(x_1+x_2) + f(y_1+y_2) + c = 0$ हो।
दिए गए $P(2,3)$ और $Q(-1,2)$ तथा वृत्त $x^2+y^2+2gx+3y-2=0$ के लिए,$f = \frac{3}{2}$ और $c = -2$ है।
मान रखने पर: $(2)(-1) + (3)(2) + g(2-1) + \frac{3}{2}(3+2) - 2 = 0$.
$-2 + 6 + g + \frac{15}{2} - 2 = 0$.
$2 + g + 7.5 = 0 \Rightarrow g = -9.5 = -\frac{19}{2}$.
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-\frac{19}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 - (-2)}$.
$r = \sqrt{\frac{361}{4} + \frac{9}{4} + 2} = \sqrt{\frac{370}{4} + \frac{8}{4}} = \sqrt{\frac{378}{4}} = \sqrt{\frac{189}{2}} = \sqrt{\frac{9 \times 21}{2}} = \frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{2}}$.

(C) दिया गया वृत्त $3x^2+3y^2+x+y-1=0$ है।
$3$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+y^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(h, k) = \left(-\frac{1}{6}, -\frac{1}{6}\right)$ है और त्रिज्या $r$ के लिए $r^2 = h^2+k^2-c = \frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{3} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$ है।
बिंदु $(2,-2)$ से वृत्त $x^2+y^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $L$ के लिए $L^2 = x_1^2+y_1^2+\frac{1}{3}x_1+\frac{1}{3}y_1-\frac{1}{3}$ है।
$L^2 = (2)^2+(-2)^2+\frac{1}{3}(2)+\frac{1}{3}(-2)-\frac{1}{3} = 4+4+\frac{2}{3}-\frac{2}{3}-\frac{1}{3} = 8-\frac{1}{3} = \frac{23}{3}$।
चूंकि वृत्त $S$ की त्रिज्या $L$ है,इसलिए त्रिज्या का वर्ग $R^2 = \frac{23}{3}$ है।
वृत्त $S$ का समीकरण $(x+\frac{1}{6})^2+(y+\frac{1}{6})^2 = \frac{23}{3}$ है।
वृत्त $S$ के सापेक्ष बिंदु $(2,1)$ की शक्ति $(x_1+\frac{1}{6})^2+(y_1+\frac{1}{6})^2 - R^2$ है।
$= (2+\frac{1}{6})^2+(1+\frac{1}{6})^2 - \frac{23}{3} = (\frac{13}{6})^2+(\frac{7}{6})^2 - \frac{23}{3} = \frac{169}{36}+\frac{49}{36} - \frac{276}{36} = \frac{218-276}{36} = -\frac{58}{36} = -\frac{29}{18}$।

(A) माना $P(x, y)$ एक बिंदु है। दिया गया है $A(4, 0)$ और $B(-4, 0)$.
शर्त $PA - PB = 4$ के अनुसार.
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$\sqrt{(x-4)^2 + y^2} - \sqrt{(x+4)^2 + y^2} = 4$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर,हमें $3x^2 - y^2 = 12$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ है। केंद्र $C(2, 3)$ है।
दिया गया है कि $CP \cdot CQ = r^2 = 4$ है।
प्रतिलोम बिंदुओं के लिए $\vec{CQ} = \frac{r^2}{CP^2} \vec{CP}$ होता है।
यहाँ $CP^2 = (1-2)^2 + (2-3)^2 = 2$ है।
अतः $\vec{CQ} = \frac{4}{2} \vec{CP} = 2 \vec{CP}$ है।
$\vec{CP} = (1-2, 2-3) = (-1, -1)$ है।
इसलिए $\vec{CQ} = 2(-1, -1) = (-2, -2)$ है।
$Q = C + (-2, -2) = (2-2, 3-2) = (0, 1)$ है।
अतः $a=0$ और $b=1$ है।
इसलिए $2a = 2(0) = 0$ है।

(A) माना ध्रुव $P(x_1, y_1)$ है। वृत्त $x^2+y^2=4$ के सापेक्ष $P$ का ध्रुवीय रेखाखंड $xx_1+yy_1=4$ है।
चूंकि यह ध्रुवीय रेखाखंड वृत्त $x^2+y^2-2x+2y-2=0$ की स्पर्श रेखा है,इसलिए इस वृत्त के केंद्र $(1, -1)$ से रेखा $xx_1+yy_1-4=0$ की लंबवत दूरी इसकी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
केंद्र $(1, -1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{1^2+(-1)^2-(-2)} = \sqrt{4} = 2$ है।
लंबवत दूरी $d = \frac{|1(x_1) + (-1)(y_1) - 4|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} = 2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{(x_1-y_1-4)^2}{x_1^2+y_1^2} = 4$
$(x_1-y_1-4)^2 = 4(x_1^2+y_1^2)$
$x_1^2+y_1^2+16-2x_1y_1-8x_1+8y_1 = 4x_1^2+4y_1^2$
$3x_1^2+3y_1^2+2x_1y_1+8x_1-8y_1-16=0$.
$(x_1, y_1)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $3x^2+3y^2+2xy+8x-8y-16=0$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-8x-10y-8=0$ और $S_2: x^2+y^2+2x-2y-2=0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (4, 5)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{16+25+8} = 7$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-1, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{1+1+2} = 2$ है।
बाह्य समानता केंद्र $Q$,$C_1$ और $C_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $r_1 : r_2$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
$Q = \left( \frac{7(-1) - 2(4)}{7-2}, \frac{7(1) - 2(5)}{7-2} \right) = \left( -3, -\frac{3}{5} \right)$।
मूल बिंदु $(0,0)$ से $Q$ की दूरी $D = \sqrt{(-3)^2 + (-3/5)^2} = \sqrt{9 + 9/25} = \frac{3\sqrt{26}}{5}$ है।

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ है। केंद्र $C(1, 2)$ है और त्रिज्या $r=5$ है।
माना $P(h, k)$ है। चूँकि $A$,$CP$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,$A$ के निर्देशांक $\left(\frac{2h+3}{5}, \frac{2k+6}{5}\right)$ होंगे।
चूँकि $A$ वृत्त पर स्थित है,इन मानों को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$\left(\frac{2h+3}{5}\right)^2 + \left(\frac{2k+6}{5}\right)^2 - 2\left(\frac{2h+3}{5}\right) - 4\left(\frac{2k+6}{5}\right) - 20 = 0$.
सरल करने पर: $4h^2 + 4k^2 - 8h - 16k - 605 = 0$.
अतः $P$ का बिंदुपथ $4x^2+4y^2-8x-16y-605=0$ है।

(C) दिया गया शीर्ष $O = (2,3)$ और नाभि $S = (3,2)$ है।
माना नियता अक्ष को बिंदु $A = (x_1, y_1)$ पर काटती है। चूँकि शीर्ष $O$,$AS$ का मध्य बिंदु है,इसलिए:
$\frac{x_1+3}{2} = 2 \Rightarrow x_1 = 1$
$\frac{y_1+2}{2} = 3 \Rightarrow y_1 = 4$
अतः,$A = (1,4)$ है।
अक्ष $AS$ की ढाल $m_1 = \frac{2-3}{3-2} = -1$ है।
नियता अक्ष के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ होगी।
बिंदु $(1,4)$ से गुजरने वाली और $1$ ढाल वाली नियता का समीकरण:
$y-4 = 1(x-1) \Rightarrow y-x-3 = 0$ है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,उस पर स्थित किसी भी बिंदु $P(x,y)$ के लिए,नाभि से दूरी = नियता से दूरी:
$PS^2 = PM^2$
$(x-3)^2 + (y-2)^2 = \left(\frac{|x-y+3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right)^2$
$(x^2-6x+9) + (y^2-4y+4) = \frac{(x-y+3)^2}{2}$
$2(x^2+y^2-6x-4y+13) = x^2+y^2+9-2xy+6x-6y$
$x^2+2xy+y^2-18x-2y+17 = 0$।

(A) चूंकि परवलय की अक्ष $X$-अक्ष के समांतर है,परवलय का समीकरण $x = ay^2 + by + c$ के रूप में है $(i)$.
दिए गए बिंदु $(0, -1)$,$(6, 1)$ और $(-2, -3)$ परवलय पर स्थित हैं,इसलिए:
$0 = a - b + c$ $(ii)$
$6 = a + b + c$ $(iii)$
$-2 = 9a - 3b + c$ $(iv)$
समीकरण $(iii)$ से $(ii)$ घटाने पर,$2b = 6$ प्राप्त होता है,अतः $b = 3$.
$b = 3$ को $(ii)$ और $(iii)$ में रखने पर,$a + c = 3$ प्राप्त होता है।
$b = 3$ को $(iv)$ में रखने पर,$-2 = 9a - 9 + c$,अतः $9a + c = 7$.
$a + c = 3$ और $9a + c = 7$ को हल करने पर,$8a = 4$ प्राप्त होता है,अतः $a = \frac{1}{2}$.
तब $c = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
समीकरण $x = \frac{1}{2}y^2 + 3y + \frac{5}{2}$ है।
$X$-अक्ष पर काटने वाला बिंदु ज्ञात करने के लिए $y = 0$ रखें:
$x = \frac{1}{2}(0)^2 + 3(0) + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$.
अतः,बिंदु $\left(\frac{5}{2}, 0\right)$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $9y^2+12y+9x-14=0$
$(y + \frac{2}{3})^2 = -(x - 2)$
शीर्ष $(h', k') = (2, -2/3)$ और $a = 1/4$ प्राप्त होता है।
नियता $l$ का समीकरण $x = 2 + 1/4 = 9/4$ है।
रेखा $l_1$,$(2, -2/3)$ और $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए इसकी ढाल $m = -1/3$ है।
$l_1$ का समीकरण: $y = -x/3$।
$l$ $(x = 9/4)$ और $l_1$ $(y = -x/3)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$h = 9/4$,$k = -3/4$।
अतः,$h+k = 9/4 - 3/4 = 3/2$।

(D) वक्र $y=4|\cos x|$ और $y=-|\cos x|$ दिए गए हैं।
सभी $x$ के लिए $|\cos x| \ge 0$ है,इसलिए ऊपरी वक्र $y=4|\cos x|$ है और निचला वक्र $y=-|\cos x|$ है।
क्षेत्रफल $A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [4|\cos x| - (-|\cos x|)] dx$.
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 5|\cos x| dx$.
चूंकि $x \in [-\pi/2, \pi/2]$ के लिए $\cos x \ge 0$ है,इसलिए $|\cos x| = \cos x$ होगा।
$A = 5 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x dx$.
सम फलन के गुण का उपयोग करते हुए,$A = 5 \times 2 \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$.
$A = 10 [\sin x]_{0}^{\pi/2} = 10(1 - 0) = 10$ वर्ग इकाई।

(D) वक्र $y = \cos x + 1$ और $y = \sin x$ हैं। हमें $x=0$ और $x=\pi$ के बीच इन वक्रों और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
ग्राफ से,$0 \le x \le \pi/2$ के लिए,क्षेत्र ऊपर की ओर $y = \sin x$ और नीचे की ओर $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध है।
$\pi/2 \le x \le \pi$ के लिए,क्षेत्र ऊपर की ओर $y = \cos x + 1$ और नीचे की ओर $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $= \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (\cos x + 1) \, dx$
$= [-\cos x]_0^{\pi/2} + [\sin x + x]_{\pi/2}^{\pi}$
$= (-\cos(\pi/2) - (-\cos 0)) + ((\sin \pi + \pi) - (\sin(\pi/2) + \pi/2))$
$= (0 + 1) + (0 + \pi - 1 - \pi/2)$
$= 1 + \pi - 1 - \pi/2 = \pi/2$.

(D) दिया गया वक्र $x = \log |y|$ है।
इसे $|y| = e^x$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $y = \pm e^x$।
वक्र $x$-अक्ष के परितः सममित है।
वक्र और रेखाओं $x = -1$ तथा $x = 0$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल,$-1$ से $0$ तक $y$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन है।
चूंकि वक्र सममित है,कुल क्षेत्रफल $x$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल का दोगुना होगा:
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \int_{-1}^{0} |y| \, dx = 2 \int_{-1}^{0} e^x \, dx$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \left[ e^x \right]_{-1}^{0}$
$= 2 (e^0 - e^{-1})$
$= 2 (1 - e^{-1})$
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल $2(1 - e^{-1})$ वर्ग इकाई है।

(C) दिए गए वक्र $y=x^2$ और $y=6-|x|$ हैं।
$y$-अक्ष के सापेक्ष सममिति के कारण,आवश्यक क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल का $2$ गुना है।
प्रथम चतुर्थांश $(x \ge 0)$ में,वक्र $y=x^2$ और $y=6-x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ ज्ञात करने के लिए,हम $x^2 = 6-x$ रखते हैं,जिससे $x^2+x-6=0$ प्राप्त होता है।
इसे हल करने पर,$(x+3)(x-2)=0$ मिलता है। चूंकि $x \ge 0$,इसलिए $x=2$ है।
$x=2$ पर,$y=2^2=4$ है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $A(2, 4)$ है।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $x=0$ से $x=2$ के बीच वक्रों $y=6-x$ और $y=x^2$ द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $= \int_0^2 ((6-x) - x^2) dx = [6x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^2$
$= (12 - 2 - \frac{8}{3}) - 0 = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30-8}{3} = \frac{22}{3}$.
कुल क्षेत्रफल $2 \times \frac{22}{3} = \frac{44}{3}$ है।

(A) सबसे पहले,हम वक्रों $y = \frac{8}{x}$ और $y = 2x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$\frac{8}{x} = 2x$ रखने पर,हमें $x^2 = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 2$ (क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में $x > 0$ है)।
यह क्षेत्र $x = 2$ से $x = 4$ तक परिबद्ध है।
इस अंतराल में,$2x \geq \frac{8}{x}$ है।
आवश्यक क्षेत्रफल समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \int_2^4 \left( 2x - \frac{8}{x} \right) dx$
$= \left[ x^2 - 8 \log |x| \right]_2^4$
$= (4^2 - 8 \log 4) - (2^2 - 8 \log 2)$
$= (16 - 8 \log 4) - (4 - 8 \log 2)$
$= 12 - 8 \log 4 + 8 \log 2$
$= 12 - 8 \log (2^2) + 8 \log 2$
$= 12 - 16 \log 2 + 8 \log 2$
$= 12 - 8 \log 2$

(C) दिए गए समीकरण $y = 1 - |x|$ और $y = |x| - 1$ हैं।
ये समीकरण $A(0, 1)$,$C(1, 0)$,$B(0, -1)$,और $D(-1, 0)$ शीर्षों वाला एक वर्ग दर्शाते हैं।
इन वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल वर्ग $ACBD$ का क्षेत्रफल है।
$(0, 1)$,$(1, 0)$,$(0, -1)$,और $(-1, 0)$ शीर्षों वाले वर्ग का क्षेत्रफल इसे चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में विभाजित करके ज्ञात किया जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक का आधार $1$ और ऊँचाई $1$ है।
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल (जैसे,$\triangle AOC$) $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
कुल क्षेत्रफल $= 4 \times \triangle AOC$ का क्षेत्रफल $= 4 \times \frac{1}{2} = 2$.
अतः,अभीष्ट परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $2$ वर्ग इकाई है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{\frac{1}{2}} = 2\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{4}} - x y$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें अवकलजों के भिन्नात्मक घातों को हटाना होगा।
घातें $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{4}$ हैं। हर $2$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $4$ है।
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^4 = \left(2\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{4}} - x y\right)^4$
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = \left(2\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{4}} - x y\right)^4$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके दाईं ओर का विस्तार करने पर,सबसे बड़ा अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
रेडिकल्स को हटाने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ की अधिकतम घात $2$ है।
अतः,कोटि $3$ और घात $2$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y = e^{\left(\frac{dy}{dx} + \frac{d^2y}{dx^2}\right)}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(y) = \frac{dy}{dx} + \frac{d^2y}{dx^2}$
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $\alpha = 2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $1$ है,इसलिए घात $\beta = 1$ है।
हमें योग $S = \alpha + \alpha^\beta + \alpha^{2\beta} + \ldots + \alpha^{2023\beta}$ ज्ञात करना है।
$\alpha = 2$ और $\beta = 1$ रखने पर: $S = 2 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2023}$ प्राप्त होता है।
यह $2024$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a = 2$,सार्व अनुपात $r = 2$ और पदों की संख्या $n = 2024$ है।
योग $S = 2 + (2^1 + 2^2 + \ldots + 2^{2023}) = 2 + \frac{2(2^{2023} - 1)}{2 - 1} = 2 + 2^{2024} - 2 = 2^{2024}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $y=c_1 e^x+c_2 e^{\log _{e} x}+c_3 \sin ^2 x-c_4\left(\cos ^2 x-1\right)$
$e^{\log _{e} x} = x$ और $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$ गुणधर्म का उपयोग करके,हम सरल करते हैं:
$y = c_1 e^x + c_2 x + c_3 \sin^2 x - c_4(-\sin^2 x)$
$y = c_1 e^x + c_2 x + (c_3 + c_4) \sin^2 x$
मान लीजिए $C = c_3 + c_4$. तब समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$y = c_1 e^x + c_2 x + C \sin^2 x$
इस समीकरण में $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर $(c_1, c_2, C)$ हैं।
अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूंकि यहाँ $3$ स्वतंत्र अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $3 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}-\sin \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)+\cos (x y)=0$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज के बराबर होती है। यहाँ,उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यहाँ पद $\sin \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)$ में अवकलज का त्रिकोणमितीय फलन होने के कारण,इसे अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
इसलिए,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = (2x + 3\frac{dy}{dx})^2$ है।
किसी अवकल समीकरण की घात को परिभाषित करने के लिए,इसे अपने अवकलजों (derivatives) के संदर्भ में एक बहुपद समीकरण होना चाहिए।
यहाँ,पद $\log \left(\frac{dy}{dx}\right)$ अवकलज $\frac{dy}{dx}$ का एक ट्रांसेन्डेंटल फलन है।
चूंकि इस समीकरण को $\frac{dy}{dx}$ में बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(B) दिया गया हल $y = a e^{2x} + b x e^{2x} + C$ है ...$(i)$
यहाँ,$a$ और $b$ स्वेच्छ अचर हैं,जबकि $C$ एक निश्चित अचर है।
अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूंकि यहाँ दो स्वेच्छ अचर ($a$ और $b$) हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।
सत्यापन के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$y_1 = 2a e^{2x} + b(e^{2x} + 2x e^{2x}) = (2a + b)e^{2x} + 2bx e^{2x}$ ...(ii)
$y_2 = 2(2a + b)e^{2x} + 2b(e^{2x} + 2x e^{2x}) = (4a + 4b)e^{2x} + 4bx e^{2x}$ ...(iii)
इन समीकरणों से $a$ और $b$ को विलुप्त करने पर,हमें द्वितीय कोटि का अवकल समीकरण प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $y=x \log \left(\frac{1}{a x}+\frac{1}{a}\right) = x \log \left(\frac{1+x}{ax}\right)$.
सबसे पहले,प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \log \left(\frac{1+x}{ax}\right) + x \cdot \frac{ax}{1+x} \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{1+x}{ax}\right)$
$= \log \left(\frac{1+x}{ax}\right) + \frac{ax^2}{1+x} \cdot \left(\frac{ax - a(1+x)}{(ax)^2}\right)$
$= \log \left(\frac{1+x}{ax}\right) + \frac{ax^2}{1+x} \cdot \left(\frac{-a}{a^2x^2}\right) = \log \left(\frac{1+x}{ax}\right) - \frac{1}{1+x}$.
अब,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left(\log \left(\frac{1+x}{ax}\right) - \frac{1}{1+x}\right)$
$= \frac{ax}{1+x} \cdot \left(\frac{-1}{ax^2}\right) + \frac{1}{(1+x)^2} = -\frac{1}{x(1+x)} + \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{-(1+x) + x}{x(1+x)^2} = \frac{-1}{x(1+x)^2}$.
इन मानों को $x(x+1) \frac{d^2 y}{d x^2}+x \frac{d y}{d x}-y$ में प्रतिस्थापित करें:
$= x(x+1) \left(\frac{-1}{x(1+x)^2}\right) + x \left(\log \left(\frac{1+x}{ax}\right) - \frac{1}{1+x}\right) - x \log \left(\frac{1+x}{ax}\right)$
$= -\frac{1}{1+x} + x \log \left(\frac{1+x}{ax}\right) - \frac{x}{1+x} - x \log \left(\frac{1+x}{ax}\right)$
$= -\left(\frac{1+x}{1+x}\right) = -1$.

(A) दिया गया समीकरण: $y = a e^x + b e^{-x} + c \cos x + d \sin x$
प्रथम अवकलज लेने पर: $y' = a e^x - b e^{-x} - c \sin x + d \cos x$
द्वितीय अवकलज लेने पर: $y'' = a e^x + b e^{-x} - c \cos x - d \sin x$
तृतीय अवकलज लेने पर: $y''' = a e^x - b e^{-x} + c \sin x - d \cos x$
चतुर्थ अवकलज लेने पर: $y^{(4)} = a e^x + b e^{-x} + c \cos x + d \sin x$
चतुर्थ अवकलज की मूल समीकरण से तुलना करने पर,हमें $y^{(4)} = y$ प्राप्त होता है,जिसे $y^{(4)} - y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) दिया गया व्यापक हल $y=(a+b) e^{cx+d}$ है।
माना $A = (a+b)e^d$ है। तब समीकरण $y = A e^{cx}$ में सरल हो जाता है।
यहाँ,$A$ और $c$ केवल दो स्वतंत्र स्वेच्छ अचर हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{(1)} = A c e^{cx} = c y$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{(2)} = c y^{(1)}$.
प्रथम अवकलज से,हमें $c = \frac{y^{(1)}}{y}$ प्राप्त होता है।
इस मान को दूसरे अवकलज के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{(2)} = \left(\frac{y^{(1)}}{y}\right) y^{(1)}$.
$y y^{(2)} = (y^{(1)})^2$.
$y y^{(2)} - (y^{(1)})^2 = 0$.

(B) दिया गया हल $y=e^{2 x}(c \cosh \sqrt{2} x+d \sinh \sqrt{2} x)$ है।
यह $y=e^{\alpha x}(c \cosh \beta x+d \sinh \beta x)$ के रूप में है,जो सहायक समीकरण के मूल $m = \alpha \pm \beta$ के अनुरूप है।
यहाँ,$\alpha = 2$ और $\beta = \sqrt{2}$ है।
अतः मूल $m = 2 \pm \sqrt{2}$ हैं।
अभिलक्षणिक समीकरण $(m - (2 + \sqrt{2}))(m - (2 - \sqrt{2})) = 0$ है।
$(m - 2 - \sqrt{2})(m - 2 + \sqrt{2}) = 0$.
$(m - 2)^2 - (\sqrt{2})^2 = 0$.
$m^2 - 4m + 4 - 2 = 0$.
$m^2 - 4m + 2 = 0$.
$m^2$ को $y^{\prime \prime}$ और $m$ को $y^{\prime}$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें अवकल समीकरण $y^{\prime \prime} - 4y^{\prime} + 2y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ के रूप वाले अवकल समीकरण को समघातीय अवकल समीकरण कहा जाता है यदि फलन $f(x, y)$ शून्य घात का एक समघातीय फलन हो।
परिभाषा के अनुसार,एक फलन $f(x, y)$ शून्य घात का समघातीय फलन है यदि $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 f(x, y) = f(x, y)$ हो।
ऐसे फलन को हमेशा $f(x, y) = \phi\left(\frac{y}{x}\right)$ या $f(x, y) = \psi\left(\frac{x}{y}\right)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
अतः,समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ के लिए $f(x, y)$ का सामान्य रूप $\phi\left(\frac{y}{x}\right)$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^3 \sin y \frac{d y}{d x}=2$.
चरों को अलग करने पर: $\sin y \, dy = \frac{2}{x^3} \, dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin y \, dy = \int 2x^{-3} \, dx$.
यह प्राप्त होता है: $-\cos y = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{x^2} + C$.
$-1$ से गुणा करने पर: $\cos y = \frac{1}{x^2} - C$ ... $(i)$.
शर्त $\lim _{x \rightarrow \infty} y(x) = \frac{\pi}{2}$ दी गई है,इसलिए समीकरण $(i)$ में $x \rightarrow \infty$ की सीमा लेने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \cos y = \lim _{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{x^2} - C \right)$.
चूंकि $\cos$ एक सतत फलन है,$\cos(\lim _{x \rightarrow \infty} y) = 0 - C$.
$\cos(\frac{\pi}{2}) = -C \Rightarrow 0 = -C \Rightarrow C = 0$.
$C = 0$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर: $\cos y = \frac{1}{x^2}$.

(A) किसी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$ द्वारा दी गई है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dy = \int \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) dx$
$y = x - (-\frac{1}{x}) + C$
$y = x + \frac{1}{x} + C$
चूंकि वक्र बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए अचर $C$ का मान ज्ञात करने के लिए $x = 1$ और $y = 2$ रखने पर:
$2 = 1 + \frac{1}{1} + C$
$2 = 1 + 1 + C$
$2 = 2 + C$
$C = 0$
अतः,वक्र का समीकरण $y = x + \frac{1}{x}$ है।

(B) दिया गया है $f^{\prime}(x)=a \cos x+b \sin x$ ... $(i)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = \int (a \cos x + b \sin x) dx = a \sin x - b \cos x + C$ ... $(ii)$
दिया गया है $f^{\prime}(0) = 4$:
$f^{\prime}(0) = a \cos(0) + b \sin(0) = a(1) + b(0) = a = 4$.
दिया गया है $f(0) = 3$:
$f(0) = a \sin(0) - b \cos(0) + C = 0 - b(1) + C = -b + C = 3$.
दिया गया है $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 5$:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = a \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - b \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = a(1) - b(0) + C = a + C = 5$.
चूँकि $a = 4$,इसलिए $4 + C = 5 \Rightarrow C = 1$ प्राप्त होता है।
$C = 1$ को $-b + C = 3$ में रखने पर:
$-b + 1 = 3 \Rightarrow -b = 2 \Rightarrow b = -2$.
$a = 4, b = -2, C = 1$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$f(x) = 4 \sin x - (-2) \cos x + 1 = 4 \sin x + 2 \cos x + 1$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2) dx - xy dy = 0$
चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{x} = \frac{y}{1+y^2} dy$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{y}{1+y^2} dy$
$\ln |x| = \frac{1}{2} \ln(1+y^2) + C$
$2$ से गुणा करने पर: $2 \ln |x| = \ln(1+y^2) + 2C$
$\ln(x^2) - \ln(1+y^2) = C'$ (जहाँ $C' = 2C$)
$\ln \left( \frac{x^2}{1+y^2} \right) = C'$
$\frac{x^2}{1+y^2} = e^{C'} = k$
प्रतिबंध $y(1) = 0$ दिया गया है,अतः $x=1$ और $y=0$ रखने पर: $\frac{1^2}{1+0^2} = k \Rightarrow k = 1$
अतः,$\frac{x^2}{1+y^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 1+y^2 \Rightarrow x^2 - y^2 = 1$
यह समीकरण एक अतिपरवलय (hyperbola) को दर्शाता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \cos^2(x-y-1)$ $(i)$
माना $x-y-1 = p$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 - \frac{dy}{dx} = \frac{dp}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dp}{dx}$.
इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 - \frac{dp}{dx} = \cos^2 p$
$\frac{dp}{dx} = 1 - \cos^2 p = \sin^2 p$
$\frac{dp}{\sin^2 p} = dx$
$\operatorname{cosec}^2 p \, dp = dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \operatorname{cosec}^2 p \, dp = \int dx$
$-\cot p = x + C'$
$x = -C' - \cot p$
माना $C = -C'$,तो $x = C - \cot(x-y-1)$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dx}{dy} = \frac{\sin y(1 + y \cot y)}{x \log(x^2 e)}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x \log(x^2 e) dx = (\sin y + y \cos y) dy$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int x \log(x^2 e) dx = \int (\sin y + y \cos y) dy$.
बाएँ पक्ष के लिए,मान लीजिए $t = x^2 e$,तब $dt = 2x e dx$,इसलिए $x dx = \frac{dt}{2e}$.
$\int \log(t) \frac{dt}{2e} = \frac{1}{2e} (t \log t - t) = \frac{x^2 e}{2e} (\log(x^2 e) - 1) = \frac{x^2}{2} (\log x^2 + \log e - 1) = \frac{x^2}{2} (2 \log x + 1 - 1) = x^2 \log x$.
दाएँ पक्ष के लिए,खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int (\sin y + y \cos y) dy = y \sin y - \int \sin y dy + \int \sin y dy = y \sin y + C$.
अतः,$x^2 \log x = y \sin y + C$.
चूँकि $y(1) = 0$ दिया गया है,$x = 1$ और $y = 0$ रखने पर: $1^2 \log(1) = 0 \cdot \sin(0) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$.
इसलिए,विशिष्ट हल $x^2 \log x = y \sin y$ है।

(D) प्रतिस्थापन $x=vy$ का उपयोग $\frac{dx}{dy} = f(\frac{x}{y})$ या $\frac{dy}{dx} = g(\frac{x}{y})$ के रूप वाले समघातीय अवकल समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है।
प्रतिस्थापन $x=vy$ (जिसका अर्थ है $\frac{x}{y}=v$) के लिए,अवकल समीकरण को $x$ और $y$ में समघातीय होना चाहिए ताकि $\frac{dy}{dx}$ को $\frac{x}{y}$ के फलन के रूप में व्यक्त किया जा सके।
विकल्प $(d)$ की जाँच करने पर:
$(1+2e^{\frac{x}{y}}) + 2e^{\frac{x}{y}}(1-\frac{x}{y})\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+2e^{\frac{x}{y}}}{2e^{\frac{x}{y}}(1-\frac{x}{y})}$
चूँकि दाहिना पक्ष $\frac{x}{y}$ का एक फलन है,यह शून्य घात का एक समघातीय अवकल समीकरण है,जो $x=vy$ प्रतिस्थापित करने के बाद चर पृथक्करण विधि द्वारा हल किया जा सकता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x^\alpha \frac{dy}{dx} = y^\beta(\gamma \log x + \delta \log y + 1)$ है।
समीकरण के समघातीय होने के लिए,अंश और हर की घात समान होनी चाहिए,या फलन को $\frac{y}{x}$ के फलन के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^\beta}{x^\alpha} (\gamma \log x + \delta \log y + 1)$।
समघातीयता के लिए,$x$ और $y$ की घातें इस प्रकार संतुलित होनी चाहिए कि व्यंजक केवल $\frac{y}{x}$ के अनुपात पर निर्भर करे।
इसके लिए $\alpha = \beta$ होना आवश्यक है।
$\alpha = \beta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = (\frac{y}{x})^\alpha (\gamma \log x + \delta \log y + 1) = (\frac{y}{x})^\alpha (\gamma \log x + \delta \log y + \delta \log x - \delta \log x + 1)$।
पद के $\frac{y}{x}$ का फलन बनने के लिए,$\log x$ वाले पदों को समाप्त होना चाहिए,जो तब होता है जब $\gamma + \delta = 0$,अर्थात $\gamma = -\delta$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\tan x \tan y \, dx + \cos^2 x \operatorname{cosec}^2 y \, dy = 0$
पूरे समीकरण को $\cos^2 x \tan y$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\tan x}{\cos^2 x} \, dx + \frac{\operatorname{cosec}^2 y}{\tan y} \, dy = 0$
$\tan x \sec^2 x \, dx + \cot y \operatorname{cosec}^2 y \, dy = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \tan x \sec^2 x \, dx + \int \cot y \operatorname{cosec}^2 y \, dy = C_1$
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x \, dx$. माना $v = \cot y$,तब $dv = -\operatorname{cosec}^2 y \, dy$.
$\int u \, du - \int v \, dv = C_1$
$\frac{u^2}{2} - \frac{v^2}{2} = C_1$
$\tan^2 x - \cot^2 y = 2C_1 = C$
अतः,व्यापक हल $\tan^2 x - \cot^2 y = C$ है।

(C) $\frac{dy}{dx} = F(x, y)$ के रूप का एक अवकल समीकरण समघातीय कहलाता है यदि $F(x, y)$ शून्य घात का एक समघातीय फलन हो। इसी प्रकार,समीकरण $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ के लिए,यह समघातीय है यदि $M(x, y)$ और $N(x, y)$ दोनों समान घात के समघातीय फलन हों।
विकल्प $C$ में,हमारे पास $(x^2 + y^2)dx = 2xy dy$ है।
यहाँ,$M(x, y) = x^2 + y^2$,जो $2$ घात का एक समघातीय फलन है।
और $N(x, y) = 2xy$,जो भी $2$ घात का एक समघातीय फलन है।
चूंकि $M$ और $N$ दोनों समान घात के समघातीय फलन हैं,इसलिए यह अवकल समीकरण समघातीय है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x + 3y - 7}{3x + 2y - 8}$ ... $(i)$
इसे समघातीय अवकल समीकरण में बदलने के लिए,हम $x = X - h$ और $y = Y - k$ प्रतिस्थापित करते हैं।
इन मानों को $(i)$ में रखने पर: $\frac{dY}{dX} = \frac{2(X - h) + 3(Y - k) - 7}{3(X - h) + 2(Y - k) - 8} = \frac{2X + 3Y - (2h + 3k + 7)}{3X + 2Y - (3h + 2k + 8)}$.
समीकरण के समघातीय होने के लिए,अंश और हर में अचर पद शून्य होने चाहिए:
$2h + 3k - 7 = 0$ ... (ii)
$3h + 2k - 8 = 0$ ... (iii)
समीकरण (ii) को $3$ से और (iii) को $2$ से गुणा करने पर:
$6h + 9k - 21 = 0$
$6h + 4k - 16 = 0$
घटाने पर: $5k - 5 = 0 \Rightarrow k = 1$.
$k = 1$ को (ii) में रखने पर: $2h + 3(1) - 7 = 0 \Rightarrow 2h - 4 = 0 \Rightarrow h = 2$.
अतः,$(h, k) = (2, 1)$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=\frac{x-y \cos x}{1+\sin x}$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)y = \frac{x}{1+\sin x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{\cos x}{1+\sin x}$ और $Q(x) = \frac{x}{1+\sin x}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx} = e^{\ln(1+\sin x)} = 1+\sin x$ है।
सामान्य हल $y(I.F.) = \int Q(x)(I.F.) dx + C$ है।
$y(1+\sin x) = \int \frac{x}{1+\sin x} (1+\sin x) dx + C = \int x dx + C = \frac{x^2}{2} + C$.
शर्त $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^2}{8}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\pi^2}{8}(1+\sin(\frac{\pi}{2})) = \frac{(\pi/2)^2}{2} + C \Rightarrow \frac{\pi^2}{8}(2) = \frac{\pi^2}{8} + C \Rightarrow \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi^2}{8} = C \Rightarrow C = \frac{\pi^2}{8}$.
अतः,$y(1+\sin x) = \frac{x^2}{2} + \frac{\pi^2}{8}$ है।
$x = \pi$ के लिए,$y(1+\sin \pi) = \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{8}$ है।
चूंकि $\sin \pi = 0$,इसलिए $y(1) = \frac{4\pi^2 + \pi^2}{8} = \frac{5\pi^2}{8}$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4x + 3y}$ है।
व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = 4x + 3y$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण को रैखिक अवकल समीकरण के मानक रूप $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ में व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} - 4x = 3y$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$P(y) = -4$ है।
अतः,समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -4 dy} = e^{-4y}$ होगा।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{d y}{d x} = y + x e^{-\left(\frac{y}{x}\right)}$.
$x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + e^{-\left(\frac{y}{x}\right)}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $v = \frac{y}{x}$,तो $y = vx$ और $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{d v}{d x} = v + e^{-v}$.
$x \frac{d v}{d x} = e^{-v} \Rightarrow e^v d v = \frac{d x}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^v d v = \int \frac{d x}{x} \Rightarrow e^v = \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $e^{\frac{y}{x}} = \log |x| + C$.
दिया गया है $y(1) = \log e = 1$,इसलिए $x=1, y=1$ पर: $e^{\frac{1}{1}} = \log(1) + C \Rightarrow e = 0 + C \Rightarrow C = e$.
अतः,हल $e^{\frac{y}{x}} = \log x + e$ है।
$y(e)$ ज्ञात करने के लिए,$x=e$ रखें: $e^{\frac{y(e)}{e}} = \log e + e = 1 + e$.
दोनों पक्षों का $\log$ लेने पर: $\frac{y(e)}{e} = \log(1+e) \Rightarrow y(e) = e \log(1+e)$.

(D) रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ या $\frac{d x}{d y} + P(y)x = Q(y)$ होता है,जहाँ $P$ और $Q$ केवल स्वतंत्र चर के फलन हैं।
विकल्प $(D)$ का विश्लेषण करते हैं:
$x^2 d y + x y d x - 1 = 0$
$d x$ से भाग देने पर:
$x^2 \frac{d y}{d x} + x y - 1 = 0$
$x^2 \frac{d y}{d x} + x y = 1$
$x^2$ से भाग देने पर:
$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x^2}$
यह $\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x}$ और $Q(x) = \frac{1}{x^2}$ है।
अतः,विकल्प $(D)$ एक रैखिक अवकल समीकरण है।

(D) रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के लिए समाकलन गुणक $(IF)$,$IF = e^{\int P(y) dy}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $IF = \log y$,इसलिए:
$e^{\int P(y) dy} = \log y$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\int P(y) dy = \log(\log y)$
दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dy} \left( \int P(y) dy \right) = \frac{d}{dy} (\log(\log y))$
$P(y) = \frac{1}{\log y} \cdot \frac{d}{dy}(\log y)$
$P(y) = \frac{1}{\log y} \cdot \frac{1}{y}$
$P(y) = \frac{1}{y \log y}$

(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण: $\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} y = x$ है।
$\sqrt{1-x^2}$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1-x^2} y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x}{1-x^2}$ और $Q(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1-x^2} dx} = e^{-\ln(1-x^2)} = \frac{1}{1-x^2}$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot \frac{1}{1-x^2} = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{1}{1-x^2} dx + C = \int x(1-x^2)^{-3/2} dx + C$।
माना $u = 1-x^2$,तो $du = -2x dx$,इसलिए $x dx = -\frac{1}{2} du$।
$y \cdot \frac{1}{1-x^2} = -\frac{1}{2} \int u^{-3/2} du + C = -\frac{1}{2} \frac{u^{-1/2}}{-1/2} + C = u^{-1/2} + C = (1-x^2)^{-1/2} + C$।
अतः,$y = (1-x^2)^{1/2} + C(1-x^2)$।
चूँकि $y(0) = 1$ दिया गया है,तो $1 = (1-0)^{1/2} + C(1-0) \Rightarrow 1 = 1 + C \Rightarrow C = 0$।
इसलिए,$y = \sqrt{1-x^2}$।
$x = \frac{1}{2}$ पर,$y\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (2xy - 1) dy = 0$ है।
$y^2 dy$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dx}{dy} + \frac{2xy - 1}{y^2} = 0$
$\frac{dx}{dy} + \frac{2x}{y} - \frac{1}{y^2} = 0$
$\frac{dx}{dy} + \left(\frac{2}{y}\right)x = \frac{1}{y^2}$
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \frac{2}{y}$ और $Q = \frac{1}{y^2}$ केवल $y$ के फलन हैं।
अतः,दिया गया अवकल समीकरण $x$ में रैखिक है।

(A) केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\overrightarrow{OG} = \frac{(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) + (\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}) + (-3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})}{3} = \frac{0\hat{i}-6\hat{j}+0\hat{k}}{3} = -2\hat{j}$.
अतः,$|\overrightarrow{OG}|^2 = (-2)^2 = 4$.
अब,भुजाओं के लिए सदिशों की गणना करें:
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$.
$BC^2 = |\overrightarrow{BC}|^2 = 16 + 25 + 25 = 66$.
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = 5\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}$.
$CA^2 = |\overrightarrow{CA}|^2 = 25 + 16 + 1 = 42$.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = -\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}$.
$AB^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 = 1 + 1 + 16 = 18$.
अंत में,व्यंजक की गणना करें:
$BC^2 + CA^2 + AB^2 + 9(OG)^2 = 66 + 42 + 18 + 9(4) = 126 + 36 = 162$.

(C) माना $\vec{A} = 7 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ शीर्ष $A$ का स्थिति सदिश है।
माना $\vec{G}_{BCD} = \frac{\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{3} = -\hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k}$ त्रिभुज $BCD$ के केंद्रक का स्थिति सदिश है।
चतुष्फलक $ABCD$ का केंद्रक $\vec{G}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{G} = \frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{4}$
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\vec{G} = \frac{1}{4} [\vec{A} + 3(\frac{\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{3})] = \frac{1}{4} [\vec{A} + 3 \vec{G}_{BCD}]$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{G} = \frac{1}{4} [(7 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}) + 3(-\hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k})]$
$\vec{G} = \frac{1}{4} [7 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k} - 3 \hat{i} + 12 \hat{j} - 9 \hat{k}]$
$\vec{G} = \frac{1}{4} [4 \hat{i} + 8 \hat{j} - 4 \hat{k}]$
$\vec{G} = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$

(D) बिंदु $\vec{a}$ की समतल $\vec{r} \cdot \vec{m} = d$ से दूरी $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{m} - d|}{|\vec{m}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिए गए समतल $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 6\hat{j} - 9\hat{k}) = -1$ के लिए,$\vec{m} = 2\hat{i} + 6\hat{j} - 9\hat{k}$ और $d = -1$ है।
$|\vec{m}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-9)^2} = \sqrt{4 + 36 + 81} = \sqrt{121} = 11$.
बिंदु $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के लिए,दूरी $p$ है:
$p = \frac{|(1)(2) + (2)(6) + (3)(-9) - (-1)|}{11} = \frac{|2 + 12 - 27 + 1|}{11} = \frac{|-12|}{11} = \frac{12}{11}$.
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ की समतल से दूरी $q$ है:
$q = \frac{|0 - (-1)|}{11} = \frac{1}{11}$.
अतः,$p - q = \frac{12}{11} - \frac{1}{11} = \frac{11}{11} = 1$.

(A) माना $\vec{r}$ बिंदु $C$ का स्थिति सदिश है।
चूंकि बिंदु $C$,$\vec{a} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b} = 3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ स्थिति सदिश वाले बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n = 2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,तो विभाजन सूत्र के अनुसार:
$\vec{r} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} = \frac{2(3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}) + 3(2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k})}{2+3}$
$= \frac{(6 \hat{i}-2 \hat{j}-4 \hat{k}) + (6 \hat{i}-9 \hat{j}+6 \hat{k})}{5} = \frac{12 \hat{i}-11 \hat{j}+2 \hat{k}}{5} = \frac{12}{5} \hat{i}-\frac{11}{5} \hat{j}+\frac{2}{5} \hat{k}$.
अब,बिंदु $P$ जिसका स्थिति सदिश $\vec{p} = 2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ है,से $C$ की दूरी $|\vec{r} - \vec{p}|$ द्वारा दी जाती है।
$\vec{r} - \vec{p} = (\frac{12}{5}-2) \hat{i} + (-\frac{11}{5}+1) \hat{j} + (\frac{2}{5}-1) \hat{k} = \frac{2}{5} \hat{i} - \frac{6}{5} \hat{j} - \frac{3}{5} \hat{k}$.
दूरी $D = |\vec{r} - \vec{p}| = \sqrt{(\frac{2}{5})^2 + (-\frac{6}{5})^2 + (-\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{4}{25} + \frac{36}{25} + \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{7}{5}$.

(D) दिया गया है: $\vec{a}=(2x+y)\hat{i}+3\hat{j}+9\hat{k}$ और $\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}-(x-y)\hat{k}$.
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ संरेख सदिश हैं,इसलिए उनके घटक समानुपाती हैं:
$\frac{2x+y}{2} = \frac{3}{1} = \frac{9}{-(x-y)}$.
$\frac{2x+y}{2} = 3$ से,हमें $2x+y=6$ प्राप्त होता है $(i)$.
$\frac{3}{1} = \frac{9}{y-x}$ से,हमें $y-x=3$ या $y=x+3$ प्राप्त होता है $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x+(x+3)=6 \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x=1$.
तब $y=1+3=4$.
अंत में,$x^3+27y^3 = (1)^3 + 27(4)^3 = 1 + 27(64) = 1 + 1728 = 1729$.

(A) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}$,$\vec{b}=2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{c}=p \hat{i}+q \hat{j}$ और $\vec{d}=p \hat{j}-q \hat{k}$।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ ज्ञात करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6-0) - \hat{j}(3-0) + \hat{k}(2-0) = -6 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
अब,शर्त $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 3$ का उपयोग करें:
$(-6 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot (p \hat{i} + q \hat{j}) = 3 \implies -6p - 3q = 3 \implies -2p - q = 1$ (समीकरण $1$)।
आगे,शर्त $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{d} = 3$ का उपयोग करें:
$(-6 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot (p \hat{j} - q \hat{k}) = 3 \implies -3p - 2q = 3$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को $2$ से गुणा करें: $-4p - 2q = 2$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ घटाएं: $(-4p - 2q) - (-3p - 2q) = 2 - 3 \implies -p = -1 \implies p = 1$.
$p=1$ को समीकरण $1$ में रखें: $-2(1) - q = 1 \implies -2 - q = 1 \implies q = -3$.
अंत में,$3p + q = 3(1) + (-3) = 3 - 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$।
सबसे पहले,सदिश $\vec{v} = 3 \vec{a}-2 \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{v} = 3(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})-2(\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}) = (6-2) \hat{i} + (3-6) \hat{j} + (-3+10) \hat{k} = 4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$।
चूंकि $\vec{r}$,$\vec{v}$ सदिश की दिशा में है,हम लिख सकते हैं $\vec{r} = x \vec{v} = x(4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k})$ किसी अदिश $x$ के लिए।
दिया गया है $|\vec{r}| = \sqrt{74}$,इसलिए $|x| \sqrt{4^2+(-3)^2+7^2} = \sqrt{74}$।
$|x| \sqrt{16+9+49} = \sqrt{74} \Rightarrow |x| \sqrt{74} = \sqrt{74} \Rightarrow |x| = 1$।
चूंकि $\vec{r}$ की दिशा $\vec{v}$ की दिशा के विपरीत है,इसलिए हमें $x = -1$ लेना होगा।
अतः,$\vec{r} = -1(4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}) = -4 \hat{i}+3 \hat{j}-7 \hat{k}$।

(B) माना शीर्ष $C$ का स्थिति सदिश $\vec{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
दिया है,केंद्रक $G = \hat{i} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$।
हम जानते हैं कि $G = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$,जहाँ $\vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{B} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$ है।
अतः,$3(1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}) = (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}) + (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k})$।
$3\hat{i} = (4+x)\hat{i} + (5+y)\hat{j} + (-3+z)\hat{k}$।
गुणांकों की तुलना करने पर: $4+x = 3 \Rightarrow x = -1$; $5+y = 0 \Rightarrow y = -5$; $-3+z = 0 \Rightarrow z = 3$।
इस प्रकार,$\vec{C} = -\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$।
अब,$AG^2 = |\vec{G} - \vec{A}|^2 = |(1-2)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (0-1)\hat{k}|^2 = |-1\hat{i} - 1\hat{j} - 1\hat{k}|^2 = 1+1+1 = 3$।
$BG^2 = |\vec{G} - \vec{B}|^2 = |(1-2)\hat{i} + (0-4)\hat{j} + (0+4)\hat{k}|^2 = |-1\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}|^2 = 1+16+16 = 33$।
$CG^2 = |\vec{G} - \vec{C}|^2 = |(1+1)\hat{i} + (0+5)\hat{j} + (0-3)\hat{k}|^2 = |2\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}|^2 = 4+25+9 = 38$।
अतः,$AG^2 + BG^2 + CG^2 = 3 + 33 + 38 = 74$।

(C) दिया गया है,$\vec{a}=-2 \hat{i}+9 \hat{j}-6 \hat{k}$ और $\vec{b}=t \hat{i}-2 \hat{j}+6 \hat{k}$.
सबसे पहले,सदिशों का योग ज्ञात करें: $\vec{a}+\vec{b} = (-2+t) \hat{i} + (9-2) \hat{j} + (-6+6) \hat{k} = (t-2) \hat{i} + 7 \hat{j} + 0 \hat{k}$.
दिया गया है कि $|\vec{a}+\vec{b}|=25$,इसलिए $\sqrt{(t-2)^2 + 7^2 + 0^2} = 25$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(t-2)^2 + 49 = 625$.
$(t-2)^2 = 625 - 49 = 576$.
वर्गमूल लेने पर,$t-2 = \pm 24$.
स्थिति $1$: $t-2 = 24 \Rightarrow t = 26$.
स्थिति $2$: $t-2 = -24 \Rightarrow t = -22$.
$t$ के मानों का योग $26 + (-22) = 4$ है।

(C) सदिश $\vec{a}$ का $\vec{b}$ की दिशा में घटक $\vec{p} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (3)(-4) + (13)(3) = 2 - 12 + 39 = 29$ की गणना करें।
इसके बाद,परिमाण का वर्ग $|\vec{b}|^2 = (2)^2 + (-4)^2 + (3)^2 = 4 + 16 + 9 = 29$ की गणना करें।
अतः,$\vec{a}$ का $\vec{b}$ की दिशा में घटक $\vec{p} = \left( \frac{29}{29} \right) \vec{b} = \vec{b} = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$\vec{b}$ के लंबवत $\vec{a}$ का घटक $\vec{x} = \vec{a} - \vec{p} = \vec{a} - \vec{b}$ है।
$\vec{x} = (\hat{i} + 3\hat{j} + 13\hat{k}) - (2\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}) = (1-2)\hat{i} + (3+4)\hat{j} + (13-3)\hat{k} = -\hat{i} + 7\hat{j} + 10\hat{k}$।

(A) दिया गया है $\vec{a}+\vec{b}=m \vec{d}-\vec{c} \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=m \vec{d} \quad (i)$
और $\vec{b}+\vec{c}=n \vec{a}-\vec{d} \Rightarrow \vec{d}=n \vec{a}-\vec{b}-\vec{c} \quad (ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=m(n \vec{a}-\vec{b}-\vec{c})$
$\Rightarrow \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=mn \vec{a}-m \vec{b}-m \vec{c}$
$\Rightarrow (1-mn) \vec{a}+(1+m) \vec{b}+(1+m) \vec{c}=\vec{0}$
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं,वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
इसलिए,गुणांक शून्य होने चाहिए:
$1-mn=0 \Rightarrow mn=1$ और $1+m=0 \Rightarrow m=-1$.
$m=-1$ को $mn=1$ में रखने पर,हमें $n=-1$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ से,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=(-1) \vec{d} \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\vec{0}$.
अब,$3 \vec{a}+2 \vec{b}+2 \vec{c}+\vec{d} = \vec{a} + 2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) + \vec{d} = \vec{a} + 2(-\vec{d}) + \vec{d} = \vec{a}-\vec{d}$.

(D) दिए गए स्थिति सदिश $\overrightarrow{OA} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\overrightarrow{OB} = \hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$,और $\overrightarrow{OC} = -3\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिशों की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{53}$.
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = -4\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + (-1)^2} = \sqrt{66}$.
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = 5\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{59}$.
चूंकि $|\overrightarrow{AB}| \neq |\overrightarrow{BC}| \neq |\overrightarrow{CA}|$,तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग है।
इसलिए,$\triangle ABC$ एक विषमबाहु त्रिभुज है।

(B) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{OA} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{OB} = \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (1-2)\hat{i} + (-1-3)\hat{j} + (2-(-1))\hat{k} = -\hat{i} - 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$ ज्ञात करते हैं।
इसके बाद,हम सदिश $\overrightarrow{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} = (2-1)\hat{i} + (3-(-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + 4 \hat{j} - 3 \hat{k}$ ज्ञात करते हैं।
$\overrightarrow{BA}$ का परिमाण $|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}$ है।
$\overrightarrow{BA}$ के अनुदिश और $\overrightarrow{AB}$ की दिशा में इकाई सदिश को $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{BA}|}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,अभीष्ट इकाई सदिश $\frac{-\hat{i} - 4 \hat{j} + 3 \hat{k}}{\sqrt{26}}$ है।

(A) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{a} = -3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $\vec{b} = 4 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k}$ हैं।
चूंकि $L$,$OA$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,$L$ का स्थिति सदिश $\vec{OL} = \frac{2}{5} \vec{a} = \frac{2}{5}(-3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})$ है।
चूंकि $M$,$OB$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,$M$ का स्थिति सदिश $\vec{OM} = \frac{3}{5} \vec{b} = \frac{3}{5}(4 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k})$ है।
चूंकि $LP \parallel OB$ और $PM \parallel OA$,इसलिए $OMPL$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः,$P$ का स्थिति सदिश $\vec{OP} = \vec{OL} + \vec{OM}$ है।
$\vec{OP} = \frac{2}{5}(-3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}) + \frac{3}{5}(4 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k})$
$\vec{OP} = \frac{1}{5}(-6 \hat{i}-6 \hat{j}+8 \hat{k} + 12 \hat{i}-12 \hat{j}-9 \hat{k})$
$\vec{OP} = \frac{1}{5}(6 \hat{i}-18 \hat{j}-\hat{k})$.
$O$ से $P$ की दूरी $|\vec{OP}| = \frac{1}{5} \sqrt{6^2 + (-18)^2 + (-1)^2} = \frac{1}{5} \sqrt{36 + 324 + 1} = \frac{\sqrt{361}}{5} = \frac{19}{5}$ है।

(D) दिए गए सदिश $\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{b}=-5 \hat{i}+7 \hat{j}$,और $\vec{c}=3 \hat{i}+y \hat{j}$ हैं।
सबसे पहले,$\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{a}-\vec{b}+\vec{c} = (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}) - (-5 \hat{i}+7 \hat{j}) + (3 \hat{i}+y \hat{j})$
$= (3+5+3) \hat{i} + (1-7+y) \hat{j} - 2 \hat{k}$
$= 11 \hat{i} + (y-6) \hat{j} - 2 \hat{k}$.
अब,परिमाण $|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{11^2 + (y-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{121 + (y-6)^2 + 4} = \sqrt{125 + (y-6)^2}$ ज्ञात करें।
दिया गया है कि $|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{141}$,इसलिए:
$\sqrt{125 + (y-6)^2} = \sqrt{141}$
$125 + (y-6)^2 = 141$
$(y-6)^2 = 141 - 125 = 16$
$y-6 = \pm 4$.
अतः,$y_1 = 6+4 = 10$ और $y_2 = 6-4 = 2$.
$|y_1-y_2| = |10-2| = 8$ होगा।