AP EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है कि $\cos \theta, \sin \theta, \cot \theta$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
अतः,$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cot \theta}{\sin \theta}$.
$\Rightarrow \tan \theta = \frac{\cos \theta}{\sin ^2 \theta}$ $\Rightarrow \sin ^3 \theta = \cos ^2 \theta$.
चूंकि $\cos ^2 \theta = 1 - \sin ^2 \theta$,इसलिए $\sin ^3 \theta = 1 - \sin ^2 \theta$,जिसका अर्थ है $\sin ^3 \theta + \sin ^2 \theta = 1$.
अब,व्यंजक $E = \sin ^9 \theta + \sin ^6 \theta + 3 \sin ^5 \theta + \sin ^3 \theta + \sin ^2 \theta$ पर विचार करें।
$\sin ^3 \theta = \cos ^2 \theta$ और $\sin ^2 \theta = 1 - \sin ^3 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = (\sin ^3 \theta)^3 + (\sin ^3 \theta)^2 + 3 \sin ^5 \theta + (\sin ^3 \theta + \sin ^2 \theta)$.
$E = (\cos ^2 \theta)^3 + (\cos ^2 \theta)^2 + 3 \sin ^5 \theta + 1$.
$\cos ^2 \theta = \sin ^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$E = (\sin ^3 \theta)^3 + (\sin ^3 \theta)^2 + 3 \sin ^5 \theta + 1 = \sin ^9 \theta + \sin ^6 \theta + 3 \sin ^5 \theta + 1$.
चूंकि $\sin ^3 \theta + \sin ^2 \theta = 1$,सरल करने पर उत्तर $2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया है $\cosh x = \operatorname{cosec} \theta$.
सर्वसमिका $\cosh x = \frac{1 + \tanh^2(x/2)}{1 - \tanh^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1 + \tanh^2(x/2)}{1 - \tanh^2(x/2)} = \operatorname{cosec} \theta$.
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{2 \tanh^2(x/2)} = \frac{\operatorname{cosec} \theta + 1}{\operatorname{cosec} \theta - 1}$.
$\coth^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta} = \frac{(\cos(\theta/2) + \sin(\theta/2))^2}{(\cos(\theta/2) - \sin(\theta/2))^2}$.
अंश और हर को $\cos^2(\theta/2)$ से विभाजित करने पर:
$\coth^2 \frac{x}{2} = \left( \frac{1 + \tan(\theta/2)}{1 - \tan(\theta/2)} \right)^2 = \tan^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right)$.
नोट: $\tan^2(\pi/4 + \theta/2)$ का मान $\cot^2(\pi/4 - \theta/2)$ के बराबर है।

(D) दिया गया है $\cos A+\cos B+\cos C=0$ और $\sin A+\sin B+\sin C=0$.
माना $x_1 = \cos A + i \sin A$,$x_2 = \cos B + i \sin B$,और $x_3 = \cos C + i \sin C$.
तब $x_1 + x_2 + x_3 = 0$.
सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्म से,$x_1+x_2+x_3=0$ का अर्थ है $x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=0$.
अतः,$x_1, x_2, x_3$ समीकरण $z^3 - k = 0$ के मूल हैं जहाँ $k = x_1x_2x_3$.
$x_1+x_2 = -x_3$ का वर्ग करने पर,$x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 = x_3^2$.
$x_1x_2$ से भाग देने पर,$x_1/x_2 + x_2/x_1 + 2 = x_3^2/(x_1x_2) = x_3^3/k = 1$.
अतः $2 \cos(A-B) + 2 = 1$,जिसका अर्थ है $2 \cos(A-B) = -1$.
इसलिए,$\cos(A-B) = -\frac{1}{2}$.

(A) माना $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ $AB=AC$ है। $\angle BAC$ का कोण समद्विभाजक आधार $BC$ पर लंब होता है।
रेखाओं $7x-y+3=0$ और $x+y-3=0$ के कोण समद्विभाजकों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$\frac{7x-y+3}{\sqrt{7^2+(-1)^2}} = \pm \frac{x+y-3}{\sqrt{1^2+1^2}}$
$\frac{7x-y+3}{5\sqrt{2}} = \pm \frac{x+y-3}{\sqrt{2}}$
$7x-y+3 = \pm 5(x+y-3)$
स्थिति $1$: $7x-y+3 = 5x+5y-15 \Rightarrow x-3y+9=0$। इस समद्विभाजक का ढाल $m_1 = \frac{1}{3}$ है।
स्थिति $2$: $7x-y+3 = -5x-5y+15 \Rightarrow 3x+y-3=0$। इस समद्विभाजक का ढाल $m_2 = -3$ है।
चूँकि तीसरी भुजा $BC$ कोण समद्विभाजक पर लंब है,इसलिए $BC$ का ढाल $m$ शर्त $m \cdot m_{bisector} = -1$ को पूरा करता है।
$m_1 = \frac{1}{3}$ के लिए,$m = -3$ है।
$m_2 = -3$ के लिए,$m = \frac{1}{3}$ है।
चूँकि $m$ एक पूर्णांक है,इसलिए $m = -3$ है।

(B) दिया गया है कि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ $\angle C = 90^{\circ}$ है।
अतः,$AC = BC$। मान लीजिए $AC = BC = a$ है।
$\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$c = a\sqrt{2}$
हम जानते हैं कि अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ और बाह्यत्रिज्या $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है।
अतः,$\frac{r}{r_3} = \frac{s-c}{s} = \frac{a+b-c}{a+b+c} = \frac{a+a-a\sqrt{2}}{a+a+a\sqrt{2}} = \frac{2a-a\sqrt{2}}{2a+a\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$
अतः,$r : r_3 = (\sqrt{2}-1) : (\sqrt{2}+1)$।

(A) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के ढालों का अंतर $\frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{|b|}$ होता है।
दिए गए समीकरण $y^2 - 2xy \sec^2 \alpha + (3 + \tan^2 \alpha)(\tan^2 \alpha - 1) x^2 = 0$ के लिए,$a = (3 + \tan^2 \alpha)(\tan^2 \alpha - 1)$,$h = -\sec^2 \alpha$,और $b = 1$ है।
ढालों का अंतर $\frac{2 \sqrt{(-\sec^2 \alpha)^2 - (3 + \tan^2 \alpha)(\tan^2 \alpha - 1)(1)}}{|1|}$ है।
गणना करने पर,हमें $2 \sqrt{4} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$A$ और $R$ दोनों सत्य हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(C) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं। $\triangle PAB$ का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{2} |x(3-5) + 2(5-y) + (-4)(y-3)| = 12$
$\frac{1}{2} |-2x + 10 - 2y - 4y + 12| = 12$
$|-2x - 6y + 22| = 24$
$|x + 3y - 11| = 12$
इसका अर्थ है कि $x + 3y - 11 = 12$ या $x + 3y - 11 = -12$।
अतः,बिंदुपथ $(x + 3y - 23)(x + 3y + 1) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर: $x^2 + 3xy + x + 3xy + 9y^2 + 3y - 23x - 69y - 23 = 0$
$x^2 + 6xy + 9y^2 - 22x - 66y - 23 = 0$।

(C) त्रिभुज की भुजाओं के दिए गए समीकरण हैं:
$L_1: 3x+2y-6=0$
$L_2: 2x-3y+6=0$
$L_3: x+2y+2=0$
बिंदु $P(0, b)$ के त्रिभुज पर या अंदर स्थित होने के लिए $b$ का मान ज्ञात करने हेतु,हम $y$-अक्ष के साथ इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं ($x=0$ रखकर):
$L_1$ के लिए: $3(0)+2y-6=0 \implies 2y=6 \implies y=3$
$L_2$ के लिए: $2(0)-3y+6=0 \implies -3y=-6 \implies y=2$
$L_3$ के लिए: $0+2y+2=0 \implies 2y=-2 \implies y=-1$
ग्राफ को देखने पर,त्रिभुज इन रेखाओं द्वारा घिरा हुआ है। बिंदु $P(0, b)$,$y$-अक्ष पर स्थित है। $y$-अक्ष का वह भाग जो त्रिभुज के अंदर आता है,वह $L_3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $(y=-1)$ से $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $(y=2)$ तक है।
अतः,$b$ का अंतराल $[-1, 2]$ है।

(A) मान लीजिए $P$ एक बिंदु $(x, y)$ है जो निर्देशांक अक्षों से समान दूरी पर है।
इसका अर्थ है $|x| = |y|$,इसलिए बिंदु को रेखाओं $y = x$ या $y = -x$ पर स्थित होना चाहिए।
स्थिति $1$: $3x + 5y = 15$ और $y = x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु।
समीकरण में $y = x$ रखने पर: $3x + 5x = 15$ $\Rightarrow 8x = 15$ $\Rightarrow x = \frac{15}{8}$.
अतः,$y = \frac{15}{8}$। बिंदु $(\frac{15}{8}, \frac{15}{8})$ है,जो $1^{\text{st}}$ चतुर्थांश में है।
स्थिति $2$: $3x + 5y = 15$ और $y = -x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु।
समीकरण में $y = -x$ रखने पर: $3x + 5(-x) = 15$ $\Rightarrow 3x - 5x = 15$ $\Rightarrow -2x = 15$ $\Rightarrow x = -\frac{15}{2}$.
अतः,$y = -(-\frac{15}{2}) = \frac{15}{2}$। बिंदु $(-\frac{15}{2}, \frac{15}{2})$ है,जो $2^{\text{nd}}$ चतुर्थांश में है।
अतः,बिंदु $1^{\text{st}}$ या $2^{\text{nd}}$ चतुर्थांश में स्थित है।

(A) दिए गए समीकरण $x=t^2+t+1$ और $y=t^2-t+1$ हैं।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $x+y = 2t^2+2 = 2(t^2+1)$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $x-y = 2t$,जिसका अर्थ है $t = \frac{x-y}{2}$।
$t$ का मान $x+y$ के व्यंजक में रखने पर:
$x+y = 2\left(\left(\frac{x-y}{2}\right)^2 + 1\right)$
$x+y = 2\left(\frac{x^2+y^2-2xy}{4} + 1\right)$
$x+y = \frac{x^2+y^2-2xy}{2} + 2$
$2$ से गुणा करने पर: $2x+2y = x^2+y^2-2xy+4$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2-2xy+y^2-2x-2y+4=0$।

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(-2, 3)$,$B(2, -1)$,और $C(4, 0)$ हैं।
माना $O(x, y)$ त्रिभुज का परिकेंद्र है।
परिभाषा के अनुसार,परिकेंद्र सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है,इसलिए $OA = OB = OC$,जिसका अर्थ है $OA^2 = OB^2 = OC^2$।
सबसे पहले,$OA^2 = OB^2$ लें:
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 2)^2 + (y + 1)^2$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1$
$8x - 8y = -8 \Rightarrow x - y = -1$ ... $(i)$
इसके बाद,$OB^2 = OC^2$ लें:
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = (x - 4)^2 + (y - 0)^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = x^2 - 8x + 16 + y^2$
$4x + 2y = 11$ ... $(ii)$
समीकरणों $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$(i)$ से,$y = x + 1$।
$(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $4x + 2(x + 1) = 11$ $\Rightarrow 6x = 9$ $\Rightarrow x = \frac{3}{2}$।
तब $y = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$।
अतः,परिकेंद्र $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$ है।

(D) चूंकि $S$,$QR$ का मध्य बिंदु है,इसके निर्देशांक $S = \left(\frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = \left(\frac{13}{2}, 1\right)$ हैं।
माध्यिका $PS$ की ढाल $m = \frac{1-2}{\frac{13}{2}-2} = \frac{-1}{\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$ है।
$PS$ के समानांतर रेखा की ढाल भी $m = -\frac{2}{9}$ होगी।
$(1, -1)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{2}{9}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
$y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$
$9(y + 1) = -2(x - 1)$
$9y + 9 = -2x + 2$
$2x + 9y + 7 = 0$.

(B) एक समबाहु त्रिभुज में,केंद्रक,परिकेंद्र और अंतःकेंद्र संपाती होते हैं। मान लीजिए $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ है,जो केंद्रक है।
अंतःत्रिज्या $r$,केंद्रक $O(0,0)$ से भुजा $x+y-3=0$ की लंबवत दूरी है।
$r = \left| \frac{0+0-3}{\sqrt{1^2+1^2}} \right| = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
एक समबाहु त्रिभुज में,परिवृत्त त्रिज्या $R$,अंतःत्रिज्या $r$ की दोगुनी होती है,इसलिए $R = 2r$.
$R = 2 \times \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}$.
अतः,$R+r = \frac{6}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$.

(B) माना $B$ और $C$ से होकर जाने वाली माध्यिकाओं के समीकरण $L_1: x+y=5$ और $L_2: x=4$ हैं। इन माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु केंद्रक $G$ है। $x+y=5$ और $x=4$ को हल करने पर,हमें $G=(4, 1)$ प्राप्त होता है।
माना $C$,$x=4$ पर स्थित है,अतः $C=(4, y_C)$। माना $B$,$x+y=5$ पर स्थित है,अतः $B=(x_B, 5-x_B)$।
केंद्रक सूत्र $G = (\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3})$ का उपयोग करने पर:
$4 = \frac{1+x_B+4}{3}$ $\Rightarrow 12 = 5+x_B$ $\Rightarrow x_B=7$। अतः $B=(7, 5-7) = (7, -2)$।
$1 = \frac{2+y_B+y_C}{3}$ $\Rightarrow 3 = 2+(-2)+y_C$ $\Rightarrow y_C=3$। अतः $C=(4, 3)$।
शीर्ष $A(1, 2)$,$B(7, -2)$,और $C(4, 3)$ हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)|$
$= \frac{1}{2} |1(-2-3) + 7(3-2) + 4(2-(-2))|$
$= \frac{1}{2} |-5 + 7 + 16| = \frac{1}{2} |18| = 9$.

(C) दिया गया है: $r_1: r_2 = 7: 8$ और $r_1: r_3 = 3: 4$।
हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$।
अतः,$\frac{1}{s-a}: \frac{1}{s-b}: \frac{1}{s-c} = r_1: r_2: r_3$।
सबसे पहले,अनुपात $r_1: r_2: r_3$ ज्ञात करें:
$r_1: r_2 = 7: 8 = 21: 24$
$r_1: r_3 = 3: 4 = 21: 28$
अतः,$r_1: r_2: r_3 = 21: 24: 28$।
मान लीजिए $s-a = \frac{k}{21}$,$s-b = \frac{k}{24}$,और $s-c = \frac{k}{28}$।
इनका योग करने पर: $(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$।
अतः,$s = k(\frac{1}{21} + \frac{1}{24} + \frac{1}{28}) = k(\frac{8+7+6}{168}) = k(\frac{21}{168}) = \frac{k}{8}$।
अब,$a = s - (s-a) = k(\frac{1}{8} - \frac{1}{21}) = k(\frac{21-8}{168}) = \frac{13k}{168}$।
$b = s - (s-b) = k(\frac{1}{8} - \frac{1}{24}) = k(\frac{3-1}{24}) = \frac{2k}{24} = \frac{14k}{168}$।
$c = s - (s-c) = k(\frac{1}{8} - \frac{1}{28}) = k(\frac{7-2}{56}) = \frac{5k}{56} = \frac{15k}{168}$।
इसलिए,$a: b: c = 13: 14: 15$।

(A) माना तीसरा शीर्ष $B(x, y)$ है। कर्ण के सिरे $A(0, a)$ और $C(a, 0)$ हैं।
चूंकि $\triangle ABC$,$B$ पर एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए $\angle ABC = 90^{\circ}$ है।
$AB$ की ढाल $m_1 = \frac{y-a}{x-0} = \frac{y-a}{x}$ है।
$BC$ की ढाल $m_2 = \frac{y-0}{x-a} = \frac{y}{x-a}$ है।
चूंकि $AB \perp BC$,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$\left(\frac{y-a}{x}\right) \times \left(\frac{y}{x-a}\right) = -1$
$y(y-a) = -x(x-a)$
$y^2 - ay = -x^2 + ax$
$x^2 + y^2 - ax - ay = 0$.

(D) माना $M$, $O(0,0)$ से रेखा $3x + 4y + 15 = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है।
अतः, लंब की लंबाई $OM = \left| \frac{3(0) + 4(0) + 15}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = \frac{15}{5} = 3$.
समकोण त्रिभुज $\triangle OMQ$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$MQ = \sqrt{OQ^2 - OM^2} = \sqrt{9^2 - 3^2} = \sqrt{81 - 9} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$.
$\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= 2 \times (\triangle OMQ$ का क्षेत्रफल)।
$\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \left( \frac{1}{2} \times OM \times MQ \right) = OM \times MQ$.
$\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= 3 \times 6 \sqrt{2} = 18 \sqrt{2}$.

(C) माना बिंदु $P(-3, 4)$ और $Q(2, -8)$ हैं। $P$ और $Q$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-8 - 4)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ इकाई है।
$P$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा को रेखा $PQ$ के साथ किसी कोण $\theta$ पर दर्शाया जा सकता है। ऐसी रेखा पर $Q$ से लंबवत दूरी $d \sin \theta$ है,जहाँ $d = 13$ है।
हम चाहते हैं कि दूरी $5$ इकाई हो,इसलिए $13 \sin \theta = 5$,जिससे $\sin \theta = \frac{5}{13}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\sin \theta| \le 1$ और $\frac{5}{13} < 1$,इसलिए $[0, 2\pi)$ की सीमा में $\theta$ के लिए दो संभावित मान हैं,अर्थात् $\theta = \arcsin(\frac{5}{13})$ और $\theta = \pi - \arcsin(\frac{5}{13})$।
अतः,ऐसी $2$ रेखाएँ संभव हैं।

(A) बिंदुओं $(ct_1, c/t_1)$ और $(ct_2, c/t_2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ इस प्रकार है:
$m = \frac{\frac{c}{t_2} - \frac{c}{t_1}}{ct_2 - ct_1} = \frac{c(t_1 - t_2)}{t_1 t_2} \cdot \frac{1}{c(t_2 - t_1)} = -\frac{1}{t_1 t_2}$
बिंदु-ढाल रूप $(y - y_1) = m(x - x_1)$ का उपयोग करते हुए:
$y - \frac{c}{t_1} = -\frac{1}{t_1 t_2}(x - ct_1)$
दोनों पक्षों को $t_1 t_2$ से गुणा करने पर:
$t_1 t_2 y - ct_2 = -(x - ct_1)$
$t_1 t_2 y - ct_2 = -x + ct_1$
$x + t_1 t_2 y = c(t_1 + t_2)$

(C) अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ है।
चूँकि रेखा $(a \cos \alpha, b \sin \alpha)$ और $(a \cos \beta, b \sin \beta)$ से गुजरती है,इसलिए:
$\frac{a \cos \alpha}{p} + \frac{b \sin \alpha}{q} = 1$ $(i)$
$\frac{a \cos \beta}{p} + \frac{b \sin \beta}{q} = 1$ (ii)
इन समीकरणों को हल करने पर,$\frac{a^2}{p^2} + \frac{b^2}{q^2} = \sec^2 \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

(A) वर्ग का केंद्र $P(3,7)$ है और भुजा की लंबाई $4$ है। विकर्ण की लंबाई $4\sqrt{2}$ है,इसलिए केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी $r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ है।
एक विकर्ण $y=x$ के समानांतर है,इसलिए इसका ढाल $m_1 = 1$ है। यह $x$-अक्ष के साथ $\theta_1 = 45^\circ$ का कोण बनाता है।
दूसरा विकर्ण पहले के लंबवत है,इसलिए इसका ढाल $m_2 = -1$ है और इसका कोण $\theta_2 = 135^\circ$ है।
रेखा के प्राचलिक रूप का उपयोग करते हुए,शीर्षों के निर्देशांक $(x, y) = (3 + r \cos \theta, 7 + r \sin \theta)$ हैं।
पहले विकर्ण के लिए $(\theta = 45^\circ)$: $(3 \pm 2\sqrt{2} \cos 45^\circ, 7 \pm 2\sqrt{2} \sin 45^\circ) = (3 \pm 2, 7 \pm 2)$,जो बिंदु $(5,9)$ और $(1,5)$ देते हैं।
दूसरे विकर्ण के लिए $(\theta = 135^\circ)$: $(3 \pm 2\sqrt{2} \cos 135^\circ, 7 \pm 2\sqrt{2} \sin 135^\circ) = (3 \mp 2, 7 \pm 2)$,जो बिंदु $(1,9)$ और $(5,5)$ देते हैं।
शीर्ष $(1,5), (5,5), (5,9), (1,9)$ हैं।
अतः,$\frac{y_1 y_2 y_3 y_4}{x_1 x_2 x_3 x_4} = \frac{5 \times 5 \times 9 \times 9}{1 \times 5 \times 5 \times 1} = \frac{2025}{25} = 81$.

(A) दी गई रेखाएँ $x=0$ ($y$-अक्ष),$y=0$ ($x$-अक्ष) और $3x+4y=12$ हैं।
रेखा $3x+4y=12$ के अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ में लिखते हैं।
समीकरण को $12$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{3x}{12} + \frac{4y}{12} = \frac{12}{12}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$ हो जाता है।
इसका अर्थ है कि रेखा $x$-अक्ष को बिंदु $B(4, 0)$ पर और $y$-अक्ष को बिंदु $A(0, 3)$ पर काटती है।
इन रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज $O(0, 0)$,$A(0, 3)$ और $B(4, 0)$ शीर्षों वाला एक समकोण त्रिभुज है।
त्रिभुज का आधार $OB = 4$ इकाई है और ऊँचाई $OA = 3$ इकाई है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ वर्ग इकाई है।

(D) दी गई रेखा $L \equiv x-y-4=0$ है। रेखा $L$ की ढाल $m_1 = 1$ है।
चूंकि रेखा $PQ$,$L$ के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल भी $m_1 = 1$ होगी।
बिंदु $P(2, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $PQ$ का समीकरण $y-1 = 1(x-2)$ अर्थात $y = x-1$ है।
माना $Q$ के निर्देशांक $(x, x-1)$ हैं। दूरी $PQ = 2\sqrt{3}$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(x-2)^2 + ((x-1)-1)^2} = 2\sqrt{3}$.
$\sqrt{(x-2)^2 + (x-2)^2} = 2\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{2(x-2)^2} = 2\sqrt{3}$.
$|x-2|\sqrt{2} = 2\sqrt{3} \Rightarrow |x-2| = \sqrt{6}$.
अतः,$x-2 = \sqrt{6}$ या $x-2 = -\sqrt{6}$.
$x = 2+\sqrt{6}$ या $x = 2-\sqrt{6}$.
चूंकि $Q$ तीसरे चतुर्थांश में है,दोनों निर्देशांक ऋणात्मक होने चाहिए। $x = 2-\sqrt{6}$ के लिए,$y = 1-\sqrt{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$Q = (2-\sqrt{6}, 1-\sqrt{6})$.
$L$ के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -1/m_1 = -1$ है।
$Q$ से गुजरने वाली और $-1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y-(1-\sqrt{6}) = -1(x-(2-\sqrt{6}))$.
$y-1+\sqrt{6} = -x+2-\sqrt{6}$.
$x+y = 3-2\sqrt{6}$.

(B) माना $C = (h, k)$ है। चूँकि $C$ कोण समद्विभाजक $7x - 4y - 1 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $7h - 4k - 1 = 0$ या $h = \frac{4k + 1}{7}$ है।
$M$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,अतः $M = \left(\frac{-3 + h}{2}, \frac{1 + k}{2}\right) = \left(\frac{2k - 10}{7}, \frac{1+k}{2}\right)$ है।
चूँकि $M$ माध्यिका $BM$ $(2x + y - 3 = 0)$ पर स्थित है,इसलिए $2\left(\frac{2k - 10}{7}\right) + \frac{1+k}{2} - 3 = 0$ है।
$14$ से गुणा करने पर,$4(2k - 10) + 7(1+k) - 42 = 0$ $\Rightarrow 15k = 75$ $\Rightarrow k = 5$ प्राप्त होता है।
अतः $h = 3$ है। इस प्रकार,$C = (3, 5)$ है।
$AC$ की ढाल $m_{AC} = \frac{2}{3}$ और समद्विभाजक $CN$ की ढाल $m_{bisector} = \frac{7}{4}$ है।
माना $BC$ की ढाल $m$ है। कोण समद्विभाजक के गुणधर्म से,$\left|\frac{m - 7/4}{1 + m(7/4)}\right| = \frac{1}{2}$ है।
इसे हल करने पर $m = 18$ प्राप्त होता है।
$BC$ का समीकरण $y - 5 = 18(x - 3) \Rightarrow 18x - y = 49$ है।

(A) बिंदुओं के निर्देशांक $P(-1,0)$,$Q(0,0)$ और $R(3,3\sqrt{3})$ हैं।
रेखा $QP$ ऋणात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए धनात्मक $x$-अक्ष के साथ इसका कोण $180^\circ$ है।
रेखा $QR$ बिंदु $(0,0)$ और $(3,3\sqrt{3})$ से गुजरती है। इसकी ढाल $m = \frac{3\sqrt{3}-0}{3-0} = \sqrt{3}$ है।
रेखा $QR$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\tan \theta = \sqrt{3}$ यानी $\theta = 60^\circ$ का कोण बनाती है।
$\angle PQR$ रेखा $QP$ $(180^\circ)$ और $QR$ $(60^\circ)$ के बीच का कोण है,जो $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ है।
$\angle PQR$ का समद्विभाजक धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $60^\circ + \frac{120^\circ}{2} = 120^\circ$ का कोण बनाएगा।
समद्विभाजक की ढाल $\tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$ है।
चूंकि समद्विभाजक मूल बिंदु $Q(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $y = -\sqrt{3}x$ यानी $\sqrt{3}x + y = 0$ है।

(B) वक्र का समीकरण $x^2+2y^2=2$ है और रेखा $x+y=1$ है।
रेखाओं $OP$ और $OQ$ को प्राप्त करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात बनाते हैं:
$x^2+2y^2=2(1)^2$
$x^2+2y^2=2(x+y)^2$
$x^2+2y^2=2(x^2+y^2+2xy)$
$x^2+2y^2=2x^2+2y^2+4xy$
$x^2+4xy=0$
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है। इसे सामान्य रूप $ax^2+2hxy+by^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=1$,$h=2$,और $b=0$ प्राप्त होता है।
इन रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{2^2-(1)(0)}}{1+0} \right| = \left| \frac{2\sqrt{4}}{1} \right| = 4$.

(C) $PQ$ का मध्यबिंदु $M = \left(\frac{1+k}{2}, \frac{7}{2}\right)$ है।
रेखा $PQ$ की ढाल $m = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$ है।
लंब समद्विभाजक की ढाल $m' = k-1$ है।
लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - \frac{7}{2} = (k-1)(x - \frac{1+k}{2})$ है।
$y$-अंतःखंड के लिए $x=0$ और $y=-4$ रखने पर:
$-4 - \frac{7}{2} = (k-1)(-\frac{1+k}{2})$
$-\frac{15}{2} = -\frac{k^2-1}{2}$
$15 = k^2 - 1$ $\Rightarrow k^2 = 16$ $\Rightarrow k = \pm 4$.
अतः,$k$ का एक संभावित मान $-4$ है।

(A) दी गई रेखा $x \cos \theta - y \sin \theta = a$ है।
इसकी ढाल $m' = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta$ है।
इस पर लंब रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{m'} = -\tan \theta$ होगी।
बिंदु $(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ से गुजरने वाली और $m = -\tan \theta$ ढाल वाली रेखा का समीकरण है:
$y - a \sin^3 \theta = -\tan \theta (x - a \cos^3 \theta)$
$y - a \sin^3 \theta = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - a \cos^3 \theta)$
$y \cos \theta - a \sin^3 \theta \cos \theta = -x \sin \theta + a \cos^3 \theta \sin \theta$
$x \sin \theta + y \cos \theta = a \sin \theta \cos \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
$x \sin \theta + y \cos \theta = a \sin \theta \cos \theta$
$2$ से गुणा करने पर:
$2x \sin \theta + 2y \cos \theta = a \sin 2\theta$.

(C) माना आपतित किरण की प्रवणता $m$ है। दर्पण रेखा $7x - y + 1 = 0$ है,जिसकी प्रवणता $m_1 = 7$ है। परावर्तित किरण $y + 2x = 1$ है,जिसकी प्रवणता $m_2 = -2$ है। आपतन बिंदु $(0, 1)$ है।
चूंकि आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है,इसलिए आपतित किरण और दर्पण के बीच का कोण,परावर्तित किरण और दर्पण के बीच के कोण के बराबर होता है।
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\left| \frac{m - 7}{1 + 7m} \right| = \left| \frac{7 - (-2)}{1 + 7(-2)} \right| = \left| \frac{9}{1 - 14} \right| = \frac{9}{13}$.
$\frac{m - 7}{1 + 7m} = \frac{9}{13}$ या $\frac{m - 7}{1 + 7m} = -\frac{9}{13}$.
स्थिति $1$: $13(m - 7) = 9(1 + 7m)$ $\Rightarrow 13m - 91 = 9 + 63m$ $\Rightarrow -50m = 100$ $\Rightarrow m = -2$ (यह परावर्तित किरण की प्रवणता है)।
स्थिति $2$: $13(m - 7) = -9(1 + 7m)$ $\Rightarrow 13m - 91 = -9 - 63m$ $\Rightarrow 76m = 82$ $\Rightarrow m = \frac{41}{38}$.
$(0, 1)$ से गुजरने वाली और $m = \frac{41}{38}$ प्रवणता वाली आपतन रेखा का समीकरण:
$y - 1 = \frac{41}{38}(x - 0)$ $\Rightarrow 38y - 38 = 41x$ $\Rightarrow 41x - 38y + 38 = 0$.

(A) रेखा $L$,$3x - 4y = 6$ के लंबवत है। दी गई रेखा की ढाल $3/4$ है,इसलिए रेखा $L$ की ढाल $-4/3$ है।
माना रेखा $L$ का समीकरण $4x + 3y = k$ है।
अक्षों पर अंतःखंड $x = k/4$ और $y = k/3$ हैं।
अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\frac{k}{4}| |\frac{k}{3}| = 6$ है।
$|k^2| / 24 = 6$ $\Rightarrow k^2 = 144$ $\Rightarrow k = \pm 12$.
$L$ के लिए संभावित समीकरण $4x + 3y - 12 = 0$ और $4x + 3y + 12 = 0$ हैं।
बिंदु $(1, 1)$ से $ax + by + c = 0$ की दूरी $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
$4x + 3y - 12 = 0$ के लिए,$d_1 = \frac{|4(1) + 3(1) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|7 - 12|}{5} = \frac{5}{5} = 1$.
$4x + 3y + 12 = 0$ के लिए,$d_2 = \frac{|4(1) + 3(1) + 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|19|}{5} = 3.8$.
न्यूनतम दूरी $1$ है।

(B) चूंकि $\triangle PQR$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $P$ पर है,इसलिए $\angle PQR = \angle PRQ = 45^{\circ}$ है।
रेखा $QR$ की ढाल $m = -2$ है।
मान लीजिए $PQ$ की ढाल $m_1$ है। $PQ$ और $QR$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए:
$\tan 45^{\circ} = |\frac{m_1 - (-2)}{1 + m_1(-2)}| = 1$
$|\frac{m_1 + 2}{1 - 2m_1}| = 1$
इससे $m_1 = -\frac{1}{3}$ या $m_1 = 3$ प्राप्त होता है।
$P(2, 1)$ से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण:
$m_1 = -\frac{1}{3}$ के लिए: $y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 2) \Rightarrow x + 3y - 5 = 0$.
$m_2 = 3$ के लिए: $y - 1 = 3(x - 2) \Rightarrow 3x - y - 5 = 0$.
अतः,सही विकल्प $3x - y - 5 = 0$ है।

(A) माना रेखा $L$ की ढाल $m$ है। चूँकि दी गई दोनों रेखाएँ रेखा $L$ पर लंब हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के समांतर होनी चाहिए।
दोनों रेखाओं की ढाल क्रमशः $m_1$ और $m_2$ हैं।
पहली रेखा $p(p^2+1)x - y + q = 0$ के लिए,ढाल $m_1 = p(p^2+1)$ है।
दूसरी रेखा $(p^2+1)^2 x + (p^2+1)y + 2q = 0$ के लिए,ढाल $m_2 = -\frac{(p^2+1)^2}{(p^2+1)} = -(p^2+1)$ है।
चूँकि रेखाएँ समांतर हैं,$m_1 = m_2$:
$p(p^2+1) = -(p^2+1)$.
किसी भी वास्तविक $p$ के लिए $(p^2+1) \neq 0$ है,इसलिए हम $(p^2+1)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$p = -1$.
अतः,$p$ का केवल एक मान प्राप्त होता है।

(C) समचतुर्भुज की दो भुजाओं के समीकरण $L_1: x-y+1=0$ और $L_2: 7x-y-5=0$ हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें शीर्ष $V_1(1,2)$ प्राप्त होता है।
विकर्ण एक-दूसरे को $(-1,-2)$ पर समद्विभाजित करते हैं।
$V_1(1,2)$ के सम्मुख शीर्ष $V_3$ के लिए,मध्यबिंदु सूत्र से:
$-1 = \frac{1+x_3}{2} \Rightarrow x_3 = -3$ और $-2 = \frac{2+y_3}{2} \Rightarrow y_3 = -6$.
अतः $V_3 = (-3,-6)$।
दूसरे विकर्ण की ढाल $m' = -\frac{1}{2}$ है और यह $(-1,-2)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $x + 2y + 5 = 0$ है।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\frac{1}{3} + 2(-\frac{8}{3}) + 5 = 0$।
अतः,$\left(\frac{1}{3}, -\frac{8}{3}\right)$ एक शीर्ष है।

(C) दिया गया समीकरण $2x^2-5xy+2y^2=0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(2x-y)(x-2y)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो भुजाएँ $y=2x$ और $y=\frac{1}{2}x$ हैं।
मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$A(a, 2a)$ और $B(2b, b)$ हैं।
केंद्रक $(1,1)$ दिया गया है।
केंद्रक सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{0+a+2b}{3}=1 \Rightarrow a+2b=3$ $(i)$ और $\frac{0+2a+b}{3}=1 \Rightarrow 2a+b=3$ (ii)।
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर,हमें $a=1$ और $b=1$ प्राप्त होता है।
अतः,शीर्ष $O(0,0)$,$A(1,2)$ और $B(2,1)$ हैं।
तीसरी भुजा $A(1,2)$ और $B(2,1)$ से होकर गुजरती है।
$(1,2)$ और $(2,1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y-2 = \frac{1-2}{2-1}(x-1)$ है,जो सरल होकर $y-2 = -1(x-1) \Rightarrow x+y-3=0$ हो जाता है।

(C) माना रेखा $L$,$x + 3y = 7$ है और बिंदु $P$,$(3, 8)$ है। माना $Q(h, k)$ रेखा $L$ में बिंदु $P$ का प्रतिबिंब है।
चूंकि $L$ एक दर्पण के रूप में कार्य करती है,रेखा $PQ$,$L$ के लंबवत है और $PQ$ का मध्यबिंदु $R$,$L$ पर स्थित है।
रेखा $L$ की ढाल $m_1 = -1/3$ है।
चूंकि $PQ \perp L$,$PQ$ की ढाल $m_2 = 3$ होगी।
$(3, 8)$ से गुजरने वाली और $3$ ढाल वाली रेखा $PQ$ का समीकरण $y - 8 = 3(x - 3) \Rightarrow y = 3x - 1$ है।
$PQ$ का मध्यबिंदु $R$,$(\frac{h+3}{2}, \frac{k+8}{2})$ है।
चूंकि $R$,$x + 3y = 7$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{h+3}{2} + 3(\frac{k+8}{2}) = 7 \Rightarrow h + 3k = -13$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $k = 3h - 1$ रखने पर: $h + 3(3h - 1) = -13$ $\Rightarrow 10h = -10$ $\Rightarrow h = -1$.
अतः $k = 3(-1) - 1 = -4$.
इस प्रकार,$(\alpha, \beta) = (-1, -4)$.
इसलिए,$\alpha + \beta = -1 + (-4) = -5$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(p^2-q^2) x^2+(q^2-r^2) xy+(r^2-p^2) y^2=0$ ...$(i)$
$(l-m) x^2+(m-n) xy+(n-l) y^2=0$ ...(ii)
$Ax^2+Bxy+Cy^2=0$ के रूप के किसी भी समीकरण के लिए,यदि $A+B+C=0$ है,तो $(x-y)$ समीकरण का एक गुणनखंड है।
समीकरण $(i)$ के लिए: $(p^2-q^2) + (q^2-r^2) + (r^2-p^2) = 0$। अतः,$(x-y)$ एक गुणनखंड है।
समीकरण (ii) के लिए: $(l-m) + (m-n) + (n-l) = 0$। अतः,$(x-y)$ एक गुणनखंड है।
चूंकि दोनों समीकरण मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म को दर्शाते हैं और $(x-y)$ गुणनखंड साझा करते हैं,इसलिए उभयनिष्ठ रेखा $x-y=0$ है।

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $ax^2+2hxy-ay^2+2gx+2fy+c=0$ है।
माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ है।
रेखाओं के युग्म $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक $x_0 = \frac{HF-BG}{AB-H^2}$ और $y_0 = \frac{GH-AF}{AB-H^2}$ सूत्रों द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$A=a$,$H=h$,$B=-a$,$G=g$,$F=f$,$C=c$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x_0 = \frac{hf+ag}{-(a^2+h^2)}$
$y_0 = \frac{af-gh}{a^2+h^2}$.
मूल बिंदु $(0,0)$ से दूरी का वर्ग $x_0^2 + y_0^2$ है।
$x_0^2 + y_0^2 = \frac{(hf+ag)^2 + (af-gh)^2}{(a^2+h^2)^2} = \frac{f^2(h^2+a^2) + g^2(a^2+h^2)}{(a^2+h^2)^2} = \frac{f^2+g^2}{a^2+h^2}$.

(A) रेखा $x+y+1=0$ की ढाल $m = -1$ है। मान लीजिए कि आवश्यक रेखाओं की ढाल $m'$ है।
चूंकि रेखाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,हम सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ का उपयोग करते हैं।
$\tan 45^{\circ} = |\frac{m' - (-1)}{1 + m'(-1)}| \Rightarrow 1 = |\frac{m'+1}{1-m'}|$.
इससे दो स्थितियां प्राप्त होती हैं: $\frac{m'+1}{1-m'} = 1$ या $\frac{m'+1}{1-m'} = -1$.
स्थिति $1$: $m'+1 = 1-m'$ $\Rightarrow 2m' = 0$ $\Rightarrow m' = 0$.
रेखा का समीकरण $y-4 = 0(x-3) \Rightarrow y-4 = 0$ है।
स्थिति $2$: $m'+1 = -(1-m')$ $\Rightarrow m'+1 = -1+m'$ $\Rightarrow 1 = -1$,जिसका अर्थ है कि रेखा ऊर्ध्वाधर है $(m' = \infty)$.
रेखा का समीकरण $x-3 = 0$ है।
संयुक्त समीकरण $(x-3)(y-4) = 0 \Rightarrow xy-4x-3y+12 = 0$ है।

(D) चूँकि $BD=2 \sqrt{2}$,इसलिए $OB=OD=\sqrt{2}$.
दिया गया है कि $(3,4)$ $AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $C=(5,6)$.
अतः,$OA=OC=\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{4+4}=2 \sqrt{2}$.
$\triangle AOB$ में,$OA^2+OB^2=AB^2$,इसलिए $AB^2=(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=8+2=10$,जिसका अर्थ है $AB=\sqrt{10}$.
चूँकि $O(3,4)$ $BD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\alpha+\gamma=6$ और $\beta+\delta=8$.
साथ ही,$OB^2=(\alpha-3)^2+(\beta-4)^2=2$ और $OD^2=(\gamma-3)^2+(\delta-4)^2=2$.
चूँकि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है,$AB=BC=CD=DA=\sqrt{10}$.
$CD^2=10$ के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $(\gamma-5)^2+(\delta-6)^2=10$ प्राप्त होता है।
$\alpha < \delta < \gamma < \beta$ शर्त के साथ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ के समीकरणों को हल करने पर,हमें $\beta-\delta=-2\alpha+6$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\beta+\gamma-\delta=(\beta-\delta)+\gamma=(-2\alpha+6)+(6-\alpha)=-3\alpha+12$.

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: y-x=0$,$L_2: 2x+y=0$,और $L_3: y+2=0$ हैं।
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $y=-2$ को $y-x=0$ में रखने पर $x=-2$ प्राप्त होता है। अतः,$P = (-2, -2)$.
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $y=-2$ को $2x+y=0$ में रखने पर $2x-2=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=1$. अतः,$Q = (1, -2)$.
मूल बिंदु $O$ $(0, 0)$ है। लंबाइयाँ $OP = \sqrt{(-2-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ और $OQ = \sqrt{(1-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ हैं।
$\triangle OPQ$ में कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle POQ$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $PQ$ को आसन्न भुजाओं $OP$ और $OQ$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$PR : RQ = OP : OQ = 2\sqrt{2} : \sqrt{5}$. इसलिए,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ असत्य है क्योंकि त्रिभुज का कोण समद्विभाजक उसे दो समरूप त्रिभुजों में विभाजित नहीं करता है (जब तक कि त्रिभुज उस कोण के सापेक्ष समद्विबाहु न हो)।
अतः,कथन-$1$ सत्य है और कथन-$2$ असत्य है।

(B) माना $(x, y)$ वह बिंदु है जो बिंदु $(1, 1)$ और रेखा $x+y+1=0$ से समान दूरी पर है।
दूरी के सूत्र के अनुसार,$(x, y)$ की $(1, 1)$ से दूरी $\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}$ है।
$(x, y)$ की रेखा $x+y+1=0$ से दूरी $\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$ है।
दोनों दूरियों को बराबर करने पर:
$\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2} = \frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-1)^2+(y-1)^2 = \frac{(x+y+1)^2}{2}$
$2(x^2-2x+1+y^2-2y+1) = x^2+y^2+1+2xy+2x+2y$
$2x^2+2y^2-4x-4y+4 = x^2+y^2+2xy+2x+2y+1$
$x^2+y^2-2xy-6x-6y+3 = 0$
$(x-y)^2-6(x+y)+3 = 0$.

(A) दिया गया है $x = \frac{3at}{1+t^3}$ और $y = \frac{3at^2}{1+t^3}$.
$x^3 + y^3 = \left(\frac{3at}{1+t^3}\right)^3 + \left(\frac{3at^2}{1+t^3}\right)^3$ लेने पर.
$x^3 + y^3 = \frac{27a^3t^3 + 27a^3t^6}{(1+t^3)^3} = \frac{27a^3t^3(1+t^3)}{(1+t^3)^3} = \frac{27a^3t^3}{(1+t^3)^2}$.
अब,$3axy = 3a \left(\frac{3at}{1+t^3}\right) \left(\frac{3at^2}{1+t^3}\right) = \frac{27a^3t^3}{(1+t^3)^2}$.
अतः,$x^3 + y^3 = 3axy$.

(A) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया है $PA + PB = 8$।
$\sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} + \sqrt{(x-2)^2 + (y+3)^2} = 8$
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर:
$16x^2 + 7y^2 - 64x - 48 = 0$।

(A) दी गई रेखाओं का युग्म $2x^2 - 3xy + y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(x - y)(2x - y) = 0$ प्राप्त होता है,जो रेखाओं $L_1: x - y = 0$ और $L_2: 2x - y = 0$ को दर्शाता है।
तीसरी भुजा $L_3: x + y = 1$ है।
त्रिभुज के शीर्ष:
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल बिंदु $O(0, 0)$ है।
$L_1$ $(x = y)$ और $L_3$ $(x + y = 1)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $2x = 1 \Rightarrow x = 1/2, y = 1/2$। अतः,$A(1/2, 1/2)$।
$L_2$ $(y = 2x)$ और $L_3$ $(x + y = 1)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x + 2x = 1$ $\Rightarrow 3x = 1$ $\Rightarrow x = 1/3, y = 2/3$। अतः,$B(1/3, 2/3)$।
भुजाओं की लंबाई:
$OA^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/2$।
$OB^2 = (1/3)^2 + (2/3)^2 = 5/9$।
$AB^2 = (1/3 - 1/2)^2 + (2/3 - 1/2)^2 = 1/18$।
चूंकि $OA^2 + AB^2 = 1/2 + 1/18 = 5/9 = OB^2$,इसलिए त्रिभुज $A$ पर समकोण है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र और परिकेंद्र के बीच की दूरी कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
दूरी $= \frac{OB}{2} = \frac{\sqrt{5}}{6}$।

(B) दिया गया समीकरण $ax^3+3bx^2y+3cxy^2+dy^3=0$ है।
$x^3$ से विभाजित करने और $m = \frac{y}{x}$ रखने पर,हमें $m$ में त्रिघात समीकरण प्राप्त होता है: $dm^3+3cm^2+3bm+a=0$.
मान लीजिए कि मूल $m_1, m_2, m_3$ हैं।
मूलों के गुणों से,मूलों का गुणनफल $m_1m_2m_3 = -\frac{a}{d}$ है।
चूंकि दो रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए $m_1m_2 = -1$ लें।
इस मान को गुणनफल समीकरण में रखने पर: $(-1)m_3 = -\frac{a}{d} \Rightarrow m_3 = \frac{a}{d}$.
चूंकि $m_3$ त्रिघात समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह $d(\frac{a}{d})^3+3c(\frac{a}{d})^2+3b(\frac{a}{d})+a=0$ को संतुष्ट करेगा।
$d^2$ से गुणा करने पर,हमें $a^3+3a^2c+3abd+ad^2=0$ प्राप्त होता है।
$a$ से विभाजित करने पर ($a \neq 0$ के कारण),हमें $a^2+3ac+3bd+d^2=0$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखाओं के युग्म का समीकरण: $4x^2 - 24xy + 11y^2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(2x - y)(2x - 11y) = 0$.
अतः,दोनों रेखाओं के समीकरण $y = 2x$ और $y = \frac{2}{11}x$ हैं।
इन रेखाओं द्वारा $X$-अक्ष के साथ बनाए गए कोण $\theta_1$ और $\theta_2$ के लिए $\tan \theta_1 = 2$ और $\tan \theta_2 = \frac{2}{11}$ है।
हमें $\tan |\theta_1 - \theta_2|$ ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\theta_1 - \theta_2) = \frac{2 - \frac{2}{11}}{1 + 2 \times \frac{2}{11}} = \frac{\frac{20}{11}}{\frac{15}{11}} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$.
अतः,निरपेक्ष मान $\frac{4}{3}$ है।

(A) दी गई रेखाओं का युग्म $2x^2+5xy+3y^2=0$ है।
इसका गुणनखंड करने पर,हमें $(x+y)(2x+3y)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $x+y=0$ और $2x+3y=0$ हैं।
तीसरी रेखा $y=x+c$ है,या $x-y+c=0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $x+y=0$ और $2x+3y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु मूलबिंदु $(0,0)$ है।
$2$. $x+y=0$ और $x-y+c=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: समीकरणों को जोड़ने पर,$2x+c=0 \Rightarrow x=-\frac{c}{2}$। तब $y=\frac{c}{2}$। अतः,$B = (-\frac{c}{2}, \frac{c}{2})$।
$3$. $2x+3y=0$ और $x-y+c=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: दूसरे समीकरण से,$x=y-c$। पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$2(y-c)+3y=0$ $\Rightarrow 5y=2c$ $\Rightarrow y=\frac{2c}{5}$। तब $x=\frac{2c}{5}-c=-\frac{3c}{5}$। अतः,$C = (-\frac{3c}{5}, \frac{2c}{5})$।
$(0,0)$,$(x_1, y_1)$,और $(x_2, y_2)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(-\frac{c}{2})(\frac{2c}{5}) - (-\frac{3c}{5})(\frac{c}{2})| = \frac{1}{2} |-\frac{c^2}{5} + \frac{3c^2}{10}| = \frac{1}{2} |\frac{c^2}{10}| = \frac{c^2}{20}$।
दिया गया क्षेत्रफल $= \frac{1}{20}$ है,इसलिए $\frac{c^2}{20} = \frac{1}{20}$ $\Rightarrow c^2=1$ $\Rightarrow c = \pm 1$।

(C) दिया गया समीकरण $(x^2+y^2) \sin^2 \alpha = (x \cos \alpha - y \sin \alpha)^2$ है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $(x^2+y^2) \sin^2 \alpha = x^2 \cos^2 \alpha + y^2 \sin^2 \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) + 2xy \sin \alpha \cos \alpha + y^2(\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 0$.
यह सरल होकर $-x^2 \cos 2\alpha + xy \sin 2\alpha = 0$ हो जाता है।
रेखाओं के एक युग्म $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के लंबवत होने के लिए शर्त $A + B = 0$ है।
यहाँ,$A = -\cos 2\alpha$ और $B = 0$ है।
अतः,$-\cos 2\alpha + 0 = 0$,जिसका अर्थ है $\cos 2\alpha = 0$.
चूंकि $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 0$,इसलिए $\sin^2 \alpha = \frac{1}{2}$.
तब $\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1/2}{1/2} = 1$.
अंत में,$\sin^2 \alpha + \tan^2 \alpha = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+6x-8y-11=0$ है। इसका केंद्र $C_1 = (-3, 4)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 - (-11)} = \sqrt{9+16+11} = \sqrt{36} = 6$ है।
माना अभीष्ट वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है,जिसका केंद्र $C_2 = (-g, -f)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
चूंकि वृत्त $(3,0)$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,बिंदु $(3,0)$ केंद्रों $C_1(-3, 4)$ और $C_2(-g, -f)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $r_1:r_2 = 6:3 = 2:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$3 = \frac{2(-g) + 1(-3)}{2+1}$ $\Rightarrow 3 = \frac{-2g-3}{3}$ $\Rightarrow 9 = -2g-3$ $\Rightarrow 2g = -12$ $\Rightarrow g = -6$.
$0 = \frac{2(-f) + 1(4)}{2+1}$ $\Rightarrow 0 = \frac{-2f+4}{3}$ $\Rightarrow 0 = -2f+4$ $\Rightarrow 2f = 4$ $\Rightarrow f = 2$.
दूसरे वृत्त की त्रिज्या $r_2 = \sqrt{g^2+f^2-c} = 3$ है।
$g=-6$ और $f=2$ रखने पर: $\sqrt{(-6)^2 + 2^2 - c} = 3$ $\Rightarrow 36+4-c = 9$ $\Rightarrow 40-c = 9$ $\Rightarrow c = 31$.
अंत में,$3g-4f+c = 3(-6) - 4(2) + 31 = -18 - 8 + 31 = 5$.

(A) दिया गया समीकरण: $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ $(i)$
यदि समीकरण $(i)$ एक वृत्त को दर्शाता है,तो $a=b$ और $h=0$ होगा।
इन मानों को $(i)$ में रखने पर: $bx^2+by^2+2gx+2fy+c=0$।
$b$ से भाग देने पर ($b \neq 0$ होने के कारण): $x^2+y^2+2(\frac{g}{b})x+2(\frac{f}{b})y+\frac{c}{b}=0$।
बिंदु वृत्त के लिए,त्रिज्या $r=0$ होनी चाहिए।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ की त्रिज्या $\sqrt{g^2+f^2-c}$ होती है।
यहाँ,$g' = \frac{g}{b}$,$f' = \frac{f}{b}$,और $c' = \frac{c}{b}$ है।
अतः,$r^2 = (\frac{g}{b})^2 + (\frac{f}{b})^2 - \frac{c}{b} = 0$।
इसका अर्थ है $\frac{g^2+f^2}{b^2} = \frac{c}{b}$।
$b^2$ से गुणा करने पर,हमें $g^2+f^2 = bc$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g^2+f^2 \geq 0$,इसलिए $bc \geq 0$ होगा।
मूल बिंदु के अलावा अन्य बिंदु वृत्त के लिए,$g^2+f^2 > 0$,इसलिए $bc > 0$।

(B) माना $I = \int \sqrt{x}(1-x^3)^{-\frac{1}{2}} dx$ है।
$t = x^{\frac{3}{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} dx$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{x} dx = \frac{2}{3} dt$ है।
चूंकि $x^3 = (x^{\frac{3}{2}})^2 = t^2$ है,इसलिए समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int (1-t^2)^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{2}{3} dt\right) = \frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt$।
समाकलन करने पर,हमें $I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(t) + c$ प्राप्त होता है।
$t = x^{\frac{3}{2}}$ वापस रखने पर,$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(x^{\frac{3}{2}}) + c$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{2}{3} g(f(x)) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$ और $g(x) = \sin^{-1} x$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\int x^{n-2} f(x) dx = \int x^{n-2} \cdot \frac{x}{(1 + nx^n)^{1/n}} dx = \int \frac{x^{n-1}}{(1 + nx^n)^{1/n}} dx$.
माना $t = 1 + nx^n$.
तब $dt = n \cdot n x^{n-1} dx = n^2 x^{n-1} dx$,जिसका अर्थ है कि $x^{n-1} dx = \frac{1}{n^2} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{n^2} \cdot t^{-1/n} dt = \frac{1}{n^2} \left[ \frac{t^{-1/n + 1}}{-1/n + 1} \right] + C$.
$= \frac{1}{n^2} \left[ \frac{t^{(n-1)/n}}{(n-1)/n} \right] + C = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n}{n-1} \cdot t^{(n-1)/n} + C$.
$= \frac{1}{n(n-1)} (1 + nx^n)^{1 - 1/n} + C$.

(D) माना $I = \int \frac{1+x \cos x}{x[1-x^2(e^{\sin x})^2]} dx$.
अंश और हर को $e^{\sin x}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{(1+x \cos x) e^{\sin x}}{x e^{\sin x}[1-(x e^{\sin x})^2]} dx$.
माना $t = x e^{\sin x}$.
तब $dt = [e^{\sin x} + x e^{\sin x} \cos x] dx = e^{\sin x}(1+x \cos x) dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{dt}{t(1-t^2)} = \int \frac{dt}{t(1-t)(1+t)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{t(1-t)(1+t)} = \frac{1}{t} + \frac{1}{2(1-t)} - \frac{1}{2(1+t)}$.
समाकलन करने पर:
$I = \ln|t| - \frac{1}{2} \ln|1-t| - \frac{1}{2} \ln|1+t| + C = \ln|t| - \frac{1}{2} \ln|1-t^2| + C$.
$I = \frac{1}{2} \ln|t^2| - \frac{1}{2} \ln|1-t^2| + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{t^2}{1-t^2} \right| + C$.
$t = x e^{\sin x}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{(x e^{\sin x})^2}{1-(x e^{\sin x})^2} \right| + C = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{(x e^{\sin x})^2}{(x e^{\sin x})^2-1} \right| + C$.

(D) माना $I = \int \frac{d x}{(x-1) \sqrt{x+2}}$.
$t = \sqrt{x+2}$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $t^2 = x+2$,अर्थात $x = t^2 - 2$.
अतः $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2t \, dt}{(t^2 - 2 - 1)t} = \int \frac{2 \, dt}{t^2 - 3}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{3}} \log \left| \frac{t-\sqrt{3}}{t+\sqrt{3}} \right| + C$.
$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \log \left| \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3}} \right| + C$.

(C) दिया गया है $I = \int_{-a}^a (x^4 - 2x^2) dx$.
चूंकि फलन $f(x) = x^4 - 2x^2$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं:
$I = 2 \int_{0}^a (x^4 - 2x^2) dx = 2 \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} \right]_0^a = 2 \left( \frac{a^5}{5} - \frac{2a^3}{3} \right)$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dI}{da} = 2(a^4 - 2a^2) = 2a^2(a^2 - 2)$.
$\frac{dI}{da} = 0$ रखने पर,हमें $a = 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2I}{da^2} = 2(4a^3 - 4a) = 8a(a^2 - 1)$.
$a = \sqrt{2}$ के लिए,$\frac{d^2I}{da^2} = 8(\sqrt{2})(2 - 1) = 8\sqrt{2} > 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,इसलिए $I$ का मान $a = \sqrt{2}$ पर न्यूनतम है।

(C) खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $u = (\log x)^2$ और $dv = x^3 \, dx$.
तब $du = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^4}{4}$ प्राप्त होता है।
$I = \int x^3(\log x)^2 \, dx = (\log x)^2 \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{x^4}{4} \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$I = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{2} \int x^3 \log x \, dx$
अब,$\int x^3 \log x \, dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए:
माना $u = \log x$ और $dv = x^3 \, dx$.
तब $du = \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^4}{4}$ प्राप्त होता है।
$\int x^3 \log x \, dx = \frac{x^4}{4} \log x - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16}$.
इस मान को वापस रखने पर:
$I = \frac{x^4}{4}(\log x)^2 - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16} \right] + C$.

(A) माना $I = \int e^{\sin x} \left( \frac{x \cos^3 x - \sin x}{\cos^2 x} \right) dx$
$= \int e^{\sin x} (x \cos x - \tan x \sec x) dx$
यहाँ,यदि हम $f(x) = e^{\sin x}(x - \sec x)$ लें,तो इसका अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} [e^{\sin x} (x - \sec x)] = e^{\sin x} \cos x (x - \sec x) + e^{\sin x} (1 - \sec x \tan x)$
$= x e^{\sin x} \cos x - e^{\sin x} + e^{\sin x} - e^{\sin x} \sec x \tan x$
$= e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \tan x)$
अतः,समाकलन का उत्तर $e^{\sin x}(x - \sec x) + C$ है।

(B) माना $f(x) = \frac{x^2}{(x+2)(2x+3)} = \frac{x^2}{2x^2+7x+6}$.
हम पहले $f(x)$ का आंशिक भिन्न अपघटन करते हैं:
$\frac{x^2}{(x+2)(2x+3)} = \frac{1}{2} + \frac{-\frac{7}{2}x - 3}{(x+2)(2x+3)} = \frac{1}{2} + \frac{A'}{x+2} + \frac{B'}{2x+3}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए: $\frac{-\frac{7}{2}x - 3}{(x+2)(2x+3)} = \frac{P}{x+2} + \frac{Q}{2x+3}$.
$x = -2$ रखने पर: $P = \frac{-\frac{7}{2}(-2) - 3}{2(-2)+3} = \frac{4}{-1} = -4$.
$x = -3/2$ रखने पर: $Q = \frac{-\frac{7}{2}(-3/2) - 3}{(-3/2)+2} = \frac{21/4 - 12/4}{1/2} = \frac{9/4}{1/2} = 9/2$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{4}{x+2} + \frac{9/2}{2x+3}$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} f(x) = 0 - 4(-1)(x+2)^{-2} + \frac{9}{2}(-1)(2x+3)^{-2} \cdot 2$
$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{4}{(x+2)^2} - \frac{9}{(2x+3)^2}$.
इसकी तुलना $\frac{A}{(x+2)^2} + \frac{B}{(2x+3)^2}$ से करने पर,हमें $A = 4$ और $B = -9$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$A+B = 4 + (-9) = -5$.

(B) माना $I = \int \frac{x^2}{(x^2-1)(x^2+1)} dx$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं $\frac{x^2}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x^2-1} + \frac{1}{x^2+1} \right)$।
अब,$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2-1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$।
मानक समाकलनों $\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + c$ और $\int \frac{1}{x^2+1} dx = \tan^{-1} x + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right) + \frac{1}{2} \tan^{-1} x + c$।
$I = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + \frac{1}{2} \tan^{-1} x + c$।

(A) माना $I = \int \frac{\sqrt{x^4+x^{-4}+2}}{x^3} d x$
वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर:
$x^4 + x^{-4} + 2 = (x^2)^2 + (x^{-2})^2 + 2(x^2)(x^{-2}) = (x^2 + x^{-2})^2$
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{(x^2 + x^{-2})^2}}{x^3} d x = \int \frac{x^2 + x^{-2}}{x^3} d x$
अब,अंश के प्रत्येक पद को $x^3$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \left( \frac{x^2}{x^3} + \frac{x^{-2}}{x^3} \right) d x = \int \left( \frac{1}{x} + x^{-5} \right) d x$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \int \frac{1}{x} d x + \int x^{-5} d x = \ln |x| + \frac{x^{-4}}{-4} + C$
$I = \ln |x| - \frac{1}{4x^4} + C$

(A) माना $I = \int \frac{1}{x[(\log x)^2 + 4 \log x - 1]} dx$.
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{x} dx = dt$ प्राप्त होता है।
अतः समाकलन $I = \int \frac{1}{t^2 + 4t - 1} dt$ हो जाता है।
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $t^2 + 4t - 1 = (t+2)^2 - 5 = (t+2)^2 - (\sqrt{5})^2$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{u^2 - a^2} du = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{u-a}{u+a} \right| + K$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2\sqrt{5}} \log \left| \frac{(t+2) - \sqrt{5}}{(t+2) + \sqrt{5}} \right| + K$.
$t = \log x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2\sqrt{5}} \log \left| \frac{\log x + 2 - \sqrt{5}}{\log x + 2 + \sqrt{5}} \right| + K$.
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$A = \frac{1}{2\sqrt{5}}$,$B = 2 - \sqrt{5}$,और $C = 2 + \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $f(x) = \log(\log x) + (\log x)^{-2}$.
प्रति-अवकलज $g(x) = \int (\log(\log x) + (\log x)^{-2}) dx$.
माना $t = \log x$,तब $x = e^t$ और $dx = e^t dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$g(x) = \int e^t (\log t + t^{-2}) dt$.
हम समाकल्य को $e^t (\log t + t^{-1} - t^{-1} + t^{-2}) = e^t (\log t + t^{-1}) + e^t (-t^{-1} + t^{-2})$ के रूप में लिख सकते हैं।
सूत्र $\int e^t (h(t) + h'(t)) dt = e^t h(t) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $h(t) = \log t$,हमें प्राप्त होता है:
$g(x) = e^t \log t - e^t t^{-1} + C = e^t (\log t - t^{-1}) + C$.
$t = \log x$ वापस रखने पर:
$g(x) = x (\log(\log x) - (\log x)^{-1}) + C$.
चूँकि ग्राफ $(e, 2023 - e)$ से गुजरता है:
$2023 - e = e (\log(\log e) - (\log e)^{-1}) + C$.
$2023 - e = e (\log(1) - 1) + C$.
$2023 - e = e (0 - 1) + C = -e + C$.
अतः,$C = 2023$.
$x$ से स्वतंत्र पद $k = 2023$ है।
$k$ के अंकों का योग $2 + 0 + 2 + 3 = 7$ है।

(B) समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sin(x-a) \cos(x-b)}$ को हल करने के लिए,$\cos(a-b)$ से गुणा और भाग करें:
$I = \frac{1}{\cos(a-b)} \int \frac{\cos((x-b)-(x-a))}{\sin(x-a) \cos(x-b)} dx$
सर्वसमिका $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\cos(a-b)} \int \frac{\cos(x-b)\cos(x-a) + \sin(x-b)\sin(x-a)}{\sin(x-a) \cos(x-b)} dx$
$I = \frac{1}{\cos(a-b)} \int \left( \frac{\cos(x-b)\cos(x-a)}{\sin(x-a) \cos(x-b)} + \frac{\sin(x-b)\sin(x-a)}{\sin(x-a) \cos(x-b)} \right) dx$
$I = \frac{1}{\cos(a-b)} \int (\cot(x-a) + \tan(x-b)) dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{\cos(a-b)} [\ln|\sin(x-a)| - \ln|\cos(x-b)|] + C$
$I = \frac{1}{\cos(a-b)} \ln \left| \frac{\sin(x-a)}{\cos(x-b)} \right| + C$

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x} \right) dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^x \left( \frac{2 + 2 \sin x \cos x}{2 \cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{2(1 + \sin x \cos x)}{2 \cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^x (\sec^2 x + \tan x) dx$
मानक समाकलन रूप $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ को याद करें।
यहाँ,मान लीजिए $f(x) = \tan x$,तो $f'(x) = \sec^2 x$ होगा।
अतः,$I = e^x \tan x + C$।

(B) माना $I = \int_0^{1/2} \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} dx$.
$\sin^{-1} x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = \sin t$ और $dx = \cos t dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $t = 0$ और जब $x = 1/2$,तब $t = \pi/6$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_0^{\pi/6} \frac{\sin t \cdot t}{\sqrt{1-\sin^2 t}} \cdot \cos t dt = \int_0^{\pi/6} t \sin t dt$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: $\int u dv = uv - \int v du$।
$u = t$ और $dv = \sin t dt$ लेने पर,$du = dt$ और $v = -\cos t$ प्राप्त होता है।
$I = [t(-\cos t)]_0^{\pi/6} - \int_0^{\pi/6} (-\cos t) dt$
$I = [-t \cos t + \sin t]_0^{\pi/6}$
$I = [-\frac{\pi}{6} \cos(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{6})] - [0 + \sin(0)]$
$I = [-\frac{\pi}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}] = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{12} \pi$।

(C) दिया गया है $u(n) = \int_0^{\pi/2} (1 + \sin t)^n \sin 2t \, dt$.
सर्वसमिका $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ का उपयोग करने पर:
$u(n) = 2 \int_0^{\pi/2} (1 + \sin t)^n \sin t \cos t \, dt$.
मान लीजिए $x = 1 + \sin t$,तो $dx = \cos t \, dt$.
जब $t = 0$,तो $x = 1$. जब $t = \pi/2$,तो $x = 2$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$u(n) = 2 \int_1^2 x^n (x - 1) \, dx = 2 \int_1^2 (x^{n+1} - x^n) \, dx$.
समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है:
$u(n) = 2 \left[ \frac{x^{n+2}}{n+2} - \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_1^2$.
$n = 4$ के लिए:
$u(4) = 2 \left[ \frac{x^6}{6} - \frac{x^5}{5} \right]_1^2 = 2 \left( (\frac{2^6}{6} - \frac{2^5}{5}) - (\frac{1}{6} - \frac{1}{5}) \right)$.
$u(4) = 2 \left( (\frac{64}{6} - \frac{32}{5}) - (\frac{5 - 6}{30}) \right) = 2 \left( \frac{320 - 192}{30} + \frac{1}{30} \right)$.
$u(4) = 2 \left( \frac{128}{30} + \frac{1}{30} \right) = 2 \left( \frac{129}{30} \right) = \frac{129}{15}$.

(C) माना $I = \int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cdot \sin^2(\cos x) \, dx$.
$t = \cos x$ प्रतिस्थापन करने पर,$dt = -\sin x \, dx$,अतः $\sin x \, dx = -dt$ होगा।
जब $x = -\pi$,तब $t = \cos(-\pi) = -1$.
जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $t = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
अतः,$I = \int_{-1}^{0} \sin^2(t) (-dt) = \int_{0}^{-1} \sin^2(t) \, dt$.
सर्वसमिका $\sin^2(t) = \frac{1 - \cos(2t)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{-1} \frac{1 - \cos(2t)}{2} \, dt = \frac{1}{2} \left[ t - \frac{\sin(2t)}{2} \right]_{0}^{-1}$.
$I = \frac{1}{2} \left[ (-1 - \frac{\sin(-2)}{2}) - (0 - 0) \right]$.
चूँकि $\sin(-2) = -\sin(2)$,इसलिए:
$I = \frac{1}{2} \left[ -1 + \frac{\sin(2)}{2} \right] = \frac{\sin(2) - 2}{4}$.

(D) दिया गया समीकरण $\int_x^1(1-t) dt = \frac{1}{2}$ है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $\left[t - \frac{t^2}{2}\right]_x^1 = \frac{1}{2}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $(1 - \frac{1}{2}) - (x - \frac{x^2}{2}) = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} - x + \frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2}$ घटाने पर: $\frac{x^2}{2} - x = 0$.
$2$ से गुणा करने पर: $x^2 - 2x = 0$.
गुणनखंड करने पर: $x(x - 2) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = 2$.
चूंकि प्रश्न में $x$ का धनात्मक मान पूछा गया है,इसलिए $x = 2$ है।

(B) माना $I = \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} d x$.
$1+x^2 = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$2x d x = 2t d t$ अर्थात $x d x = t d t$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$x^2 = t^2 - 1$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{(t^2-1) t d t}{t} = \int (t^2-1) d t$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{t^3}{3} - t + C$.
$t = (1+x^2)^{1/2}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2} - (1+x^2)^{1/2} + C$.
इसकी तुलना $A(1+x^2)^{3/2} + B(1+x^2)^{1/2} + C$ से करने पर,$A = \frac{1}{3}$ और $B = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.

(D) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx$ $(1)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)} + \sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} dx$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dx$
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$
$I = \frac{\pi}{12}$

(D) माना $I = \int_{\frac{1}{25}}^3 \frac{e^{\frac{3}{x}}}{x^2} d x$.
$t = \frac{3}{x}$ प्रतिस्थापन लेने पर।
अतः $dt = -\frac{3}{x^2} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{3} dt$।
जब $x = 3$ है,तो $t = \frac{3}{3} = 1$।
जब $x = \frac{1}{25}$ है,तो $t = \frac{3}{1/25} = 75$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{75}^1 e^t \left(-\frac{1}{3} dt\right) = -\frac{1}{3} \int_{75}^1 e^t dt$।
$I = -\frac{1}{3} [e^t]_{75}^1 = -\frac{1}{3} (e^1 - e^{75})$।
$I = \frac{1}{3} (e^{75} - e)$।

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{dx}{1+\sin x}$ है।
अंश और हर को $(1-\sin x)$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x} dx = \int \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} dx$
$I = \int (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx = \tan x - \sec x + C$
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$ और $\cos x = \cos^2(\frac{x}{2}) - \sin^2(\frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{\sin x - 1}{\cos x} + C = \frac{-(\cos(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{x}{2}))^2}{(\cos(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{x}{2}))(\cos(\frac{x}{2}) + \sin(\frac{x}{2}))} + C$
$I = -\frac{\cos(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2}) + \sin(\frac{x}{2})} + C = -\tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) + C$
चूंकि $-\tan(A) = \tan(-A)$,इसलिए $I = \tan\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + C$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\tan(\frac{x}{2} - \theta) + C$ से करने पर,हमें $\theta = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समाकलन: $I = \int \left(\frac{8^{1+x}+4^{1+x}}{2^{2x}}\right) dx$
पदों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $8^{1+x} = 8 \cdot 8^x = 8 \cdot (2^3)^x = 8 \cdot 2^{3x}$ और $4^{1+x} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^2)^x = 4 \cdot 2^{2x}$
इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{8 \cdot 2^{3x} + 4 \cdot 2^{2x}}{2^{2x}} dx$
प्रत्येक पद को $2^{2x}$ से विभाजित करने पर: $I = \int (8 \cdot 2^{3x-2x} + 4) dx = \int (8 \cdot 2^x + 4) dx$
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $I = 8 \int 2^x dx + \int 4 dx$
सूत्र $\int a^x dx = \frac{a^x}{\log_e a} + C$ का उपयोग करने पर: $I = 8 \cdot \frac{2^x}{\log_e 2} + 4x + C$

(A) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sum_{n=0}^4 \left(\frac{n \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} dx$ है।
चूंकि $\sum_{n=0}^4 \left(\frac{n \pi}{4}+x\right) = (0+1+2+3+4) \frac{\pi}{4} + (1+1+1+1+1)x = \frac{10 \pi}{4} + 5x = \frac{5 \pi}{2} + 5x = 5 \left(\frac{\pi}{2} + x\right)$ है।
अतः,$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{5 \left(\frac{\pi}{2} + x\right)}{\sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x\right)} dx = \frac{5}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{\pi}{2} + x\right) \sec \left(x - \frac{\pi}{4}\right) dx$ ...$(i)$।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,$x$ को $\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ से बदलने पर:
$I = \frac{5}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[\frac{\pi}{2} + \left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right] \sec \left(\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - \frac{\pi}{4}\right) dx = \frac{5}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\pi - x) \sec \left(\frac{\pi}{4} - x\right) dx$।
चूंकि $\sec(\alpha) = \sec(-\alpha)$,इसलिए $\sec \left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \sec \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$।
अतः,$I = \frac{5}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\pi - x) \sec \left(x - \frac{\pi}{4}\right) dx$ ...(ii)।
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \frac{5}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{\pi}{2} + x + \pi - x\right) \sec \left(x - \frac{\pi}{4}\right) dx = \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{3 \pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sec \left(x - \frac{\pi}{4}\right) dx$।
$2I = \frac{15 \pi}{2 \sqrt{2}} \left[ \log \left| \sec \left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \tan \left(x - \frac{\pi}{4}\right) \right| \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$।
$2I = \frac{15 \pi}{2 \sqrt{2}} \left[ \log |\sec \frac{\pi}{4} + \tan \frac{\pi}{4}| - \log |\sec \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)| \right]$।
$2I = \frac{15 \pi}{2 \sqrt{2}} \left[ \log |\sqrt{2} + 1| - \log |\sqrt{2} - 1| \right] = \frac{15 \pi}{2 \sqrt{2}} \log \left| \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \right| = \frac{15 \pi}{2 \sqrt{2}} \log |(\sqrt{2} + 1)^2| = \frac{15 \pi}{\sqrt{2}} \log |\sqrt{2} + 1|$।
अतः,$I = \frac{15 \pi}{2 \sqrt{2}} \log |\sqrt{2} + 1|$।

(B) हम जानते हैं कि $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ होता है।
इस मान को समाकल में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{50 \pi} \sqrt{2 \sin^2 x} \, dx = \sqrt{2} \int_0^{50 \pi} |\sin x| \, dx$।
चूंकि $|\sin x|$ एक $\pi$ आवर्तकाल वाला फलन है,हम लिख सकते हैं:
$I = \sqrt{2} \times 50 \int_0^{\pi} |\sin x| \, dx$।
अंतराल $[0, \pi]$ में,$\sin x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin x| = \sin x$।
$I = 50 \sqrt{2} \int_0^{\pi} \sin x \, dx$।
समाकल का मान ज्ञात करने पर:
$I = 50 \sqrt{2} [-\cos x]_0^{\pi} = 50 \sqrt{2} (-(\cos \pi - \cos 0)) = 50 \sqrt{2} (-(-1 - 1)) = 50 \sqrt{2} (2) = 100 \sqrt{2}$।

(A) माना $I = \int_{-5}^5 \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}} dx$.
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{-5}^5 \frac{(-5+5-x)^3+5}{\sqrt{12+(-5+5-x)}} dx = \int_{-5}^5 \frac{-x^3+5}{\sqrt{12-x}} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-5}^5 \left( \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}} + \frac{5-x^3}{\sqrt{12-x}} \right) dx$.
चूँकि फलन सम है,हम लिख सकते हैं:
$2I = 2 \int_0^5 \left( \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}} + \frac{5-x^3}{\sqrt{12-x}} \right) dx$.
अतः,$I = \int_0^5 \left( \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}} + \frac{5-x^3}{\sqrt{12-x}} \right) dx$.
दिया गया है कि $\int_{-5}^5 f(x) dx = \int_0^5 (f(x) + g(x)) dx$,तुलना करने पर:
$\int_0^5 (f(x) + g(x)) dx = \int_0^5 \left( \frac{x^3+5}{\sqrt{12+x}} + \frac{5-x^3}{\sqrt{12-x}} \right) dx$.
अतः,$g(x) = \frac{5-x^3}{\sqrt{12-x}}$.

(B) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\sin \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} d x$.
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x + \sin x)$.
$\sin \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right) = \sin \left(\pi - (\frac{\pi}{4} - x)\right) = \sin (\frac{\pi}{4} - x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x - \sin x)$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x + \sin x) + \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x - \sin x)}{\cos x + \sin x} d x$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cos x}{\cos x + \sin x} d x = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} d x$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करते हुए:
$I = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\cos(\frac{\pi}{2}-x) + \sin(\frac{\pi}{2}-x)} d x = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + \sin x}{\cos x + \sin x} d x = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 d x = \sqrt{2} [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{2 \sqrt{2}}$.

(B) माना $I = \int_0^1 (\sqrt{10})^{2x} dx$ है।
चूंकि $(\sqrt{10})^{2x} = (10^{1/2})^{2x} = 10^x$,इसलिए समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int_0^1 10^x dx$।
मानक समाकलन सूत्र $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \left[ \frac{10^x}{\ln 10} \right]_0^1$।
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \frac{10^1}{\ln 10} - \frac{10^0}{\ln 10} = \frac{10}{\ln 10} - \frac{1}{\ln 10} = \frac{9}{\ln 10}$।

(A) $\int_0^2 f(x) \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ की परिभाषा के अनुसार अंतराल $[0, 2]$ को $x = 1$ पर विभाजित करते हैं।
$\int_0^2 f(x) \, dx = \int_0^1 x^2 \, dx + \int_1^2 \sqrt{x} \, dx$
पहले भाग का मूल्यांकन: $\int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$
दूसरे भाग का मूल्यांकन: $\int_1^2 x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_1^2 = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_1^2 = \frac{2}{3} (2^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1)$
दोनों भागों को जोड़ने पर: $\frac{1}{3} + \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1) = \frac{1 + 4\sqrt{2} - 2}{3} = \frac{4\sqrt{2} - 1}{3}$

(B) माना $I = \int_0^{2024 \pi} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x$ है।
चूंकि समाकल्य का आवर्तकाल $\pi$ है,हम लिख सकते हैं $I = 2024 \int_0^{\pi} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x$।
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करते हुए (यदि $f(2a-x) = f(x)$ है),हमें प्राप्त होता है $I = 2024 \times 2 \int_0^{\pi/2} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x$।
माना $J = \int_0^{\pi/2} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $J = \int_0^{\pi/2} \frac{2023^{\cos ^2 x}}{2023^{\cos ^2 x}+2023^{\sin ^2 x}} d x$।
$J$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर,$2J = \int_0^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}$,अतः $J = \frac{\pi}{4}$।
इस प्रकार,$I = 2024 \times 2 \times \frac{\pi}{4} = 1012 \pi$।
दिया गया है $k = I = 1012 \pi$,इसलिए $\frac{2k}{\pi} + 1 = \frac{2(1012 \pi)}{\pi} + 1 = 2024 + 1 = 2025$।

(D) माना $I = \int_0^\pi \frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin^2 x}} dx$.
चूंकि $\sqrt{1-\sin^2 x} = |\cos x|$,समाकलन $I = \int_0^\pi \frac{\cos x}{|\cos x|} dx$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $x \in [0, \pi/2)$ के लिए $\cos x > 0$ और $x \in (\pi/2, \pi]$ के लिए $\cos x < 0$ होता है।
अतः,हम समाकलन को $x = \pi/2$ पर विभाजित करते हैं:
$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x} dx + \int_{\pi/2}^\pi \frac{\cos x}{-\cos x} dx$.
$I = \int_0^{\pi/2} 1 dx - \int_{\pi/2}^\pi 1 dx$.
$I = [x]_0^{\pi/2} - [x]_{\pi/2}^\pi$.
$I = (\pi/2 - 0) - (\pi - \pi/2) = \pi/2 - \pi/2 = 0$.

(A) माना $I = \int_0^\pi x \sin^3 x \cos^2 x \, dx$ ...$(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^3(\pi - x) \cos^2(\pi - x) \, dx$
चूँकि $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$,इसलिए:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^3 x \cos^2 x \, dx$ ...(ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \pi \sin^3 x \cos^2 x \, dx = \pi \int_0^\pi (1 - \cos^2 x) \cos^2 x \sin x \, dx$
माना $t = \cos x$,तब $dt = -\sin x \, dx$. सीमाएँ $0 \to \pi$ से बदलकर $1 \to -1$ हो जाएँगी:
$2I = \pi \int_1^{-1} (1 - t^2) t^2 (-dt) = \pi \int_{-1}^1 (t^2 - t^4) \, dt$
$2I = \pi \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_{-1}^1 = \pi \left( (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) - (-\frac{1}{3} + \frac{1}{5}) \right) = \pi \left( \frac{2}{15} + \frac{2}{15} \right) = \frac{4\pi}{15}$
$I = \frac{2\pi}{15}$

(D) माना $I = \int_0^{2 \pi} |x \sin x| \, dx$. अंतराल $[0, 2 \pi]$ में $x \ge 0$ है,इसलिए $I = \int_0^{2 \pi} x |\sin x| \, dx$ होगा।
अंतराल $[0, \pi]$ में $\sin x \ge 0$ और अंतराल $[\pi, 2 \pi]$ में $\sin x \le 0$ है।
अतः,$I = \int_0^{\pi} x \sin x \, dx - \int_{\pi}^{2 \pi} x \sin x \, dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x$.
प्रथम समाकलन का मान: $\int_0^{\pi} x \sin x \, dx = [-x \cos x + \sin x]_0^{\pi} = (-\pi(-1) + 0) - (0 + 0) = \pi$.
द्वितीय समाकलन का मान: $\int_{\pi}^{2 \pi} x \sin x \, dx = [-x \cos x + \sin x]_{\pi}^{2 \pi} = (-2 \pi(1) + 0) - (-\pi(-1) + 0) = -2 \pi - \pi = -3 \pi$.
इसलिए,$I = \pi - (-3 \pi) = 4 \pi$.
दिया गया है कि $\int_0^{2 \pi} |x \sin x| \, dx = k \pi$,अतः $4 \pi = k \pi$,जिसका अर्थ है कि $k = 4$.

(A) माना $f(x) = \sqrt{3+x+x^2}$ है। चूँकि $f(x)$,$[1, 3]$ पर एक वर्धमान फलन है,इसलिए सभी $x \in [1, 3]$ के लिए $f(1) \le f(x) \le f(3)$ होगा।
$f(1) = \sqrt{3+1+1} = \sqrt{5}$।
$f(3) = \sqrt{3+3+9} = \sqrt{15}$।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,$\int_a^b f(x) dx \le (b-a) \times \max(f(x))$ और $\int_a^b f(x) dx \ge (b-a) \times \min(f(x))$ होता है।
यहाँ,$a=1, b=3$,इसलिए $b-a = 2$ है।
अतः,$2 \times \sqrt{5} \le I \le 2 \times \sqrt{15}$।
इसलिए,$I \in [2 \sqrt{5}, 2 \sqrt{15}]$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही अंतराल $(2 \sqrt{5}, 2 \sqrt{15})$ है।

(D) माना $f(x) = \tan ^9 x \sin ^6 x \cos ^3 x$.
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = [\tan(-x)]^9 [\sin(-x)]^6 [\cos(-x)]^3$
चूँकि $\tan(-x) = -\tan x$,$\sin(-x) = -\sin x$,और $\cos(-x) = \cos x$,इसलिए:
$f(-x) = (-\tan x)^9 (-\sin x)^6 (\cos x)^3$
$f(-x) = -\tan^9 x \cdot \sin^6 x \cdot \cos^3 x = -f(x)$.
यहाँ $f(-x) = -f(x)$ है,अतः फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
इसलिए,$\int_{-4 \pi}^{4 \pi} \tan ^9 x \sin ^6 x \cos ^3 x \, dx = 0$.

(C) दिया गया है $S_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$.
तब $S_{n+1} = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n+1)x)}{\sin x} dx$.
अब,अंतर पर विचार करें:
$S_{n+1} - S_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \sin(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x) = 2 \cos(2nx) \sin(x)$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$S_{n+1} - S_n = \int_0^{\pi/2} \frac{2 \cos(2nx) \sin x}{\sin x} dx = \int_0^{\pi/2} 2 \cos(2nx) dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$S_{n+1} - S_n = [\frac{2 \sin(2nx)}{2n}]_0^{\pi/2} = [\frac{\sin(2nx)}{n}]_0^{\pi/2}$.
सीमाओं को रखने पर:
$S_{n+1} - S_n = \frac{\sin(n\pi) - \sin(0)}{n} = \frac{0 - 0}{n} = 0$,क्योंकि $n$ एक पूर्णांक है।

(A) दिया गया है कि $a=2n$ और $b=2m+1$ जहाँ $m, n \in N$ है।
माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = e^{\sin^a x} \cdot \cot^b((2n+1)x)$ है।
हम फलन $f(x)$ की समता (parity) की जाँच करते हैं:
$f(-x) = e^{\sin^a(-x)} \cdot \cot^b((2n+1)(-x))$।
चूँकि $a=2n$ एक सम संख्या है,$\sin^a(-x) = (\sin(-x))^a = (-\sin x)^a = \sin^a x$।
चूँकि $b=2m+1$ एक विषम संख्या है,$\cot^b((2n+1)(-x)) = (\cot(-(2n+1)x))^b = (-\cot((2n+1)x))^b = -\cot^b((2n+1)x)$।
अतः,$f(-x) = e^{\sin^a x} \cdot (-\cot^b((2n+1)x)) = -f(x)$।
चूँकि $f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए सममित अंतराल $[-\pi, \pi]$ पर इसका समाकलन शून्य होगा।
अतः,$I = 0$।

(D) कथन $(A)$ के लिए: बायां पक्ष $\int_a^b \frac{d}{d x}(f(x)) d x = f(b) - f(a)$ है,जो एक अचर मान है। दायां पक्ष $\frac{d}{d x} \int_a^b f(x) d x$ है। चूंकि $\int_a^b f(x) d x$ एक निश्चित समाकल है जिसका परिणाम एक अचर संख्या होती है,इसलिए $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन $0$ होता है। अतः,सामान्यतः $f(b) - f(a) \neq 0$,इसलिए $(A)$ असत्य है।
कथन $(B)$ के लिए: अनिश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\frac{d}{d x} \int f(x) d x = f(x)$ होता है। अचर $C$ केवल अनिश्चित समाकल के परिणाम में मौजूद होता है,न कि उसके अवकलन में। इसलिए,$\frac{d}{d x} \left( \int f(x) d x \right) = f(x)$ होता है,न कि $f(x) + C$। अतः,$(B)$ भी असत्य है।
निष्कर्ष: $(A)$ और $(B)$ दोनों असत्य हैं।

(A) दिया गया है,$\int_n^{n+1} g(x) dx = n^2, \forall n \in Z$।
हमें $\int_{-3}^3 g(x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
निश्चित समाकल के योग गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\int_{-3}^3 g(x) dx = \int_{-3}^{-2} g(x) dx + \int_{-2}^{-1} g(x) dx + \int_{-1}^0 g(x) dx + \int_0^1 g(x) dx + \int_1^2 g(x) dx + \int_2^3 g(x) dx$।
प्रत्येक अंतराल के लिए दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n = -3$ के लिए: $\int_{-3}^{-2} g(x) dx = (-3)^2 = 9$।
$n = -2$ के लिए: $\int_{-2}^{-1} g(x) dx = (-2)^2 = 4$।
$n = -1$ के लिए: $\int_{-1}^0 g(x) dx = (-1)^2 = 1$।
$n = 0$ के लिए: $\int_0^1 g(x) dx = (0)^2 = 0$।
$n = 1$ के लिए: $\int_1^2 g(x) dx = (1)^2 = 1$।
$n = 2$ के लिए: $\int_2^3 g(x) dx = (2)^2 = 4$।
इन मानों को जोड़ने पर:
$\int_{-3}^3 g(x) dx = 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 19$।

(B) महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ की परिभाषा के आधार पर हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$\int_{-0.5}^{1.5} x^2[x] d x = \int_{-0.5}^{0} x^2[x] d x + \int_{0}^{1} x^2[x] d x + \int_{1}^{1.5} x^2[x] d x$
$-0.5 \le x < 0$ के लिए,$[x] = -1$.
$0 \le x < 1$ के लिए,$[x] = 0$.
$1 \le x < 1.5$ के लिए,$[x] = 1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\int_{-0.5}^{0} x^2(-1) d x + \int_{0}^{1} x^2(0) d x + \int_{1}^{1.5} x^2(1) d x$
$= -\int_{-0.5}^{0} x^2 d x + 0 + \int_{1}^{1.5} x^2 d x$
$= -\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-0.5}^{0} + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{1.5}$
$= -\left( 0 - \frac{(-0.5)^3}{3} \right) + \left( \frac{(1.5)^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right)$
$= -\left( 0 - \frac{-0.125}{3} \right) + \left( \frac{3.375}{3} - \frac{1}{3} \right)$
$= -\frac{0.125}{3} + \frac{2.375}{3} = \frac{2.25}{3} = 0.75 = \frac{3}{4}$

(B) माना $I = \int_0^{\pi/2} (\sin^6 x + \cos^6 x) dx$.
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर,$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = 1 \cdot ((\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3 \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{3}{4} \sin^2(2x)$.
$x \in [0, \pi/2]$ के लिए,$0 \leq \sin^2(2x) \leq 1$,इसलिए $1 - \frac{3}{4} \leq 1 - \frac{3}{4} \sin^2(2x) \leq 1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{4} \leq \sin^6 x + \cos^6 x \leq 1$.
$[0, \pi/2]$ पर समाकलन करने पर,हमें $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{4} dx < I < \int_0^{\pi/2} 1 dx$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{\pi}{8} < I < \frac{\pi}{2}$. अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के लिए,$f(x) = \sin^6 x + \cos^6 x$. तब $f(x + \pi/2) = \sin^6(x + \pi/2) + \cos^6(x + \pi/2) = \cos^6 x + \sin^6 x = f(x)$. अतः,आवर्तकाल $\pi/2$ है। कारण $(R)$ सत्य है।
हालाँकि,फलन की आवर्तिता इस बात का कारण नहीं है कि समाकलन दिए गए अंतराल में क्यों है। इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(B) दिया गया समाकलन $\int_0^a 2^{[x]} dx = 127$ है,जहाँ $a \in Z^{+}$।
हम समाकलन को इकाई अंतरालों में विभाजित कर सकते हैं:
$\int_0^1 2^{[x]} dx + \int_1^2 2^{[x]} dx + \dots + \int_{a-1}^a 2^{[x]} dx = 127$
चूँकि $x \in [k, k+1)$ के लिए $[x] = k$ होता है,इसलिए समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int_0^1 2^0 dx + \int_1^2 2^1 dx + \int_2^3 2^2 dx + \dots + \int_{a-1}^a 2^{a-1} dx = 127$
प्रत्येक पद का मूल्यांकन करने पर:
$2^0(1-0) + 2^1(2-1) + 2^2(3-2) + \dots + 2^{a-1}(a-(a-1)) = 127$
$2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{a-1} = 127$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $n = a$ पद हैं,प्रथम पद $1$ है और सार्व अनुपात $2$ है:
$\frac{1(2^a - 1)}{2 - 1} = 127$
$2^a - 1 = 127$
$2^a = 128$
$2^a = 2^7$
अतः,$a = 7$।

(B) फलन $f(x) = e^{x-[x]}$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 1$ है।
हम $[0, 1000]$ अंतराल पर समाकलन को $1$ लंबाई के $1000$ समाकलनों में विभाजित कर सकते हैं:
$\int_0^{1000} e^{x-[x]} dx = \sum_{k=0}^{999} \int_k^{k+1} e^{x-[x]} dx$.
$x \in [k, k+1)$ के लिए,$[x] = k$ होता है,इसलिए समाकल्य $e^{x-k}$ बन जाता है।
अतः,$\int_k^{k+1} e^{x-k} dx = [e^{x-k}]_k^{k+1} = e^{(k+1)-k} - e^{k-k} = e^1 - e^0 = e-1$.
चूंकि ऐसे $1000$ अंतराल हैं,इसलिए कुल योग $1000 \times (e-1)$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\int_1^{\cos x} t^2 f(t) d t = \cos 2 x$ है।
लेबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \int_1^{\cos x} t^2 f(t) d t = \frac{d}{dx} (\cos 2 x)$
$(\cos x)^2 f(\cos x) \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) = -2 \sin 2 x$
$\cos^2 x \cdot f(\cos x) \cdot (-\sin x) = -2 \sin 2 x$
चूंकि $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$,इसलिए:
$-\cos^2 x \cdot f(\cos x) \cdot \sin x = -2(2 \sin x \cos x)$
$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,$\sin x \neq 0$ और $\cos x \neq 0$ है,इसलिए हम $-\sin x \cos x$ से विभाजित कर सकते हैं:
$f(\cos x) = \frac{4 \sin x \cos x}{\cos^2 x \sin x} = \frac{4}{\cos x}$
हमें $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ज्ञात करना है। मान लीजिए $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{\pi}{4}$।
इस मान को $f(\cos x)$ के व्यंजक में रखने पर:
$f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{4}{1/\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$.

(C) दिया गया समाकलन $\int_3^b \frac{x-1}{2x-x^2} dx = \frac{1}{2}$ है।
हम समाकल्य को $-\frac{1}{2} \int_3^b \frac{-2x+2}{2x-x^2} dx = \frac{1}{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$-2$ से गुणा करने पर,हमें $\int_3^b \frac{2-2x}{2x-x^2} dx = -1$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,$\left[ \ln|2x-x^2| \right]_3^b = -1$ प्राप्त होता है।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $\ln|2b-b^2| - \ln|6-9| = -1$.
$\ln|2b-b^2| - \ln(3) = -1$.
$\ln|2b-b^2| = \ln(3) - 1$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|2b-b^2| = 3e^{-1} = \frac{3}{e}$.
चूंकि $2b-b^2 = -(b^2-2b+1-1) = -(b-1)^2+1$,इसलिए $|1-(b-1)^2| = \frac{3}{e}$.
यह मानते हुए कि $b$ ऐसा है कि $2b-b^2 < 0$ (क्योंकि $b > 3$),हमें $(b-1)^2 - 1 = \frac{3}{e}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(b-1)^2 = 1 + \frac{3}{e}$।

(A) वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए,हमारे पास है $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$.
दिया गया है $n=2m$,तो समाकलन $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^{2m} x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{2m+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{3m+2}{2})}$ हो जाता है।
साथ ही,$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+2}{2})}$.
अतः,$K(m) = \frac{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \cos^{2m} x \, dx}{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \, dx} = \frac{\Gamma(\frac{2m+1}{2}) \Gamma(\frac{m+2}{2})}{\Gamma(\frac{3m+2}{2}) \Gamma(\frac{1}{2})}$.
डुप्लीकेशन सूत्र $\Gamma(z) \Gamma(z + \frac{1}{2}) = 2^{1-2z} \sqrt{\pi} \Gamma(2z)$ का उपयोग करके,$K(m)$ को सरल करने पर गुणन रूप प्राप्त होता है:
$K(m) = \frac{(2m-1)!! (m-1)!}{2^{m-1} (3m-1)!!} \cdot \dots$
$\frac{2^{m-1}(m-1)!}{(2m-1)!} K(m)$ में मान रखने पर,हमें $\frac{1}{m+2} \cdot \frac{1}{m+4} \cdot \dots \cdot \frac{1}{3m}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$f(x) = \int_0^x [(a+1)(t+1)^2 - (a-1)(t^2+t+1)] dt$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f^{\prime}(x) = (a+1)(x+1)^2 - (a-1)(x^2+x+1)$.
पदों का विस्तार करने पर: $f^{\prime}(x) = (a+1)(x^2+2x+1) - (a-1)(x^2+x+1)$.
$f^{\prime}(x) = (a+1)x^2 + 2(a+1)x + (a+1) - (a-1)x^2 - (a-1)x - (a-1)$.
$f^{\prime}(x) = 2x^2 + (a+3)x + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर $D = B^2 - 4AC = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = 2$,$B = (a+3)$,और $C = 2$.
$D = (a+3)^2 - 4(2)(2) = 0$.
$(a+3)^2 - 16 = 0$.
$(a+3)^2 = 16$.
$a+3 = \pm 4$.
स्थिति $1$: $a+3 = 4 \Rightarrow a = 1$.
स्थिति $2$: $a+3 = -4 \Rightarrow a = -7$.
चूंकि प्रश्न में '$a$' का धनात्मक मान पूछा गया है,इसलिए उत्तर $1$ है।

(A) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int_0^{x^3} f(t) d t = x^2 \sin(2 \pi x)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{d}{d x}\left[\int_0^{x^3} f(t) d t\right] = \frac{d}{d x}\left[x^2 \sin(2 \pi x)\right]$
$f(x^3) \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = 2x \sin(2 \pi x) + x^2 \cdot \cos(2 \pi x) \cdot 2 \pi$
$f(x^3) \cdot 3x^2 = 2x \sin(2 \pi x) + 2 \pi x^2 \cos(2 \pi x)$
दोनों पक्षों को $3x^2$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ के लिए):
$f(x^3) = \frac{2x \sin(2 \pi x) + 2 \pi x^2 \cos(2 \pi x)}{3x^2}$
$f(x^3) = \frac{2}{3x} \sin(2 \pi x) + \frac{2 \pi}{3} \cos(2 \pi x)$
$f(8)$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x^3 = 8$ रखने पर,जिसका अर्थ है $x = 2$:
$f(8) = \frac{2}{3(2)} \sin(4 \pi) + \frac{2 \pi}{3} \cos(4 \pi)$
चूंकि $\sin(4 \pi) = 0$ और $\cos(4 \pi) = 1$:
$f(8) = \frac{1}{3}(0) + \frac{2 \pi}{3}(1) = \frac{2 \pi}{3}$.

(D) समाकलन $I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} [2 \sin x] dx$ पर विचार करें।
अंतराल $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ में,$0 \le \sin x \le 1$,इसलिए $0 \le 2 \sin x \le 2$.
विशेष रूप से,$x \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}\right)$ के लिए,$1 \le 2 \sin x < 2 \implies [2 \sin x] = 1$.
$x \in \left[\frac{5\pi}{6}, \pi\right]$ के लिए,$0 \le 2 \sin x < 1 \implies [2 \sin x] = 0$.
$x \in \left[\pi, \frac{7\pi}{6}\right]$ के लिए,$-1 \le 2 \sin x < 0 \implies [2 \sin x] = -1$.
$x \in \left[\frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}\right]$ के लिए,$-2 \le 2 \sin x < -1 \implies [2 \sin x] = -2$.
समाकलन की गणना करने पर: $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{6}} 1 dx + \int_{\frac{5\pi}{6}}^{\pi} 0 dx + \int_{\pi}^{\frac{7\pi}{6}} (-1) dx + \int_{\frac{7\pi}{6}}^{\frac{3\pi}{2}} (-2) dx = \left(\frac{\pi}{3}\right) + 0 - \left(\frac{\pi}{6}\right) - 2\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{2} \neq 0$.
अतः,$A$ असत्य है।
फलन $f(x) = 2 \sin x$ का अवकलज $f'(x) = 2 \cos x$ है। $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ में,$\cos x \le 0$,इसलिए $f'(x) \le 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ एक ह्रासमान फलन है। अतः,$R$ सत्य है।

(C) दिए गए वक्र $x^2=9y$ और $(x-6)^2=9y$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$9y = 9y$ रखें:
$x^2 = (x-6)^2$
$x^2 = x^2 - 12x + 36$
$12x = 36 \implies x = 3$.
$x=3$ पर,$y = \frac{3^2}{9} = 1$ है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 1)$ है।
वक्रों और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $x=0$ से $x=3$ और $x=3$ से $x=6$ तक दोनों परवलयों के अंतर्गत क्षेत्रफलों का योग है:
$\text{Required Area} = \int_0^3 \frac{x^2}{9} dx + \int_3^6 \frac{(x-6)^2}{9} dx$
$= \frac{1}{9} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3 + \frac{1}{9} \left[ \frac{(x-6)^3}{3} \right]_3^6$
$= \frac{1}{27} [3^3 - 0^3] + \frac{1}{27} [(6-6)^3 - (3-6)^3]$
$= \frac{27}{27} + \frac{1}{27} [0 - (-27)]$
$= 1 + \frac{27}{27} = 1 + 1 = 2 \text{ वर्ग इकाई.}$