AP EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है $S = \frac{x^2}{k-7} + \frac{y^2}{11-k} = 1$.
$k=9$ के लिए: $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} = 1$,जो $\sqrt{2}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। कथन $A$ सही है।
$k=10$ के लिए: $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{1} = 1$,जो $a^2=3, b^2=1$ वाला एक दीर्घवृत्त है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$. कथन $B$ सही है।
$k=12$ के लिए: $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{1} = 1$,जो $a^2=5, b^2=1$ वाला एक अतिपरवलय है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{6}{5}}$. कथन $C$ सही है।
$k=13$ के लिए: $\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{2} = 1$,जो $a^2=6, b^2=2$ वाला एक अतिपरवलय है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{4}{3}}$. कथन $D$ गलत है।

(D) मान लीजिए $P(x, y)$ अतिपरवलय $H$ पर कोई बिंदु है। नाभि $S(1, 2)$ है और नियता $x+y+1=0$ है।
शंकु परिच्छेद की परिभाषा के अनुसार,$\frac{PS}{PM} = e$,जहाँ $e = \sqrt{3}$ उत्केंद्रता है और $PM$ बिंदु $P$ से नियता की लंबवत दूरी है।
अतः,$PS^2 = e^2 PM^2$.
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 3 \left( \frac{x+y+1}{\sqrt{1^2+1^2}} \right)^2$.
$(x^2-2x+1) + (y^2-4y+4) = 3 \left( \frac{(x+y+1)^2}{2} \right)$.
$2(x^2+y^2-2x-4y+5) = 3(x^2+y^2+1+2xy+2x+2y)$.
$2x^2+2y^2-4x-8y+10 = 3x^2+3y^2+6xy+6x+6y+3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2+6xy+y^2+10x+14y-7=0$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $\frac{(x-1)^2}{1}-\frac{(y-2)^2}{2}=1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2(x-1) - (y-2) \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2(x-1)}{y-2}$।
स्पर्श रेखा का समीकरण $x=2$ दिया गया है,जो एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
एक ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा के लिए,ढाल $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित होना चाहिए,जिसका अर्थ है हर $y-2 = 0$,इसलिए $y=2$।
चूंकि बिंदु $(h, k)$ स्पर्श रेखा $x=2$ पर स्थित है,इसलिए $h=2$ है।
चूंकि बिंदु $(h, k)$ अतिपरवलय पर स्थित है,$y=k=2$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर $\frac{(x-1)^2}{1} - 0 = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $(x-1)^2 = 1$,जिसका अर्थ है $x-1 = \pm 1$।
अतः $x=2$ या $x=0$। चूंकि $h=2$ है,इसलिए $k=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$h+k = 2+2 = 4$।

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $5 x^2-7 y^2-35=0$ ... $(i)$ है।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$10 x-14 y \cdot y^{\prime}=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^{\prime}=\frac{5 x}{7 y}$।
बिंदु $P(h, k)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{5 h}{7 k}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा रेखा $\sqrt{2} x-y+\lambda=0$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $\sqrt{2}$ है।
अतः,$\frac{5 h}{7 k} = \sqrt{2} \Rightarrow h = \frac{7 \sqrt{2} k}{5}$।
चूंकि $P(h, k)$ अतिपरवलय पर स्थित है,$5 h^2-7 k^2-35=0$।
$h^2 = \frac{49 \times 2 k^2}{25} = \frac{98 k^2}{25}$ को अतिपरवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$5 \left(\frac{98 k^2}{25}\right) - 7 k^2 = 35$ $\Rightarrow \frac{98 k^2}{5} - 7 k^2 = 35$ $\Rightarrow \frac{98 k^2 - 35 k^2}{5} = 35$ $\Rightarrow 63 k^2 = 175$ $\Rightarrow k^2 = \frac{175}{63} = \frac{25}{9}$।
चूंकि $P$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,$k$ ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $k = -\frac{5}{3}$।
तब $h^2 = \frac{98}{25} \times \frac{25}{9} = \frac{98}{9}$।
अंत में,$3 h^2 - 2 k = 3 \left(\frac{98}{9}\right) - 2 \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{98}{3} + \frac{10}{3} = \frac{108}{3} = 36$।

(A) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के निदेशक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ होता है।
दिया गया निदेशक वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ है,इसलिए $a^2 - b^2 = 16$ $(i)$.
अतिपरवलय के केंद्र $(0,0)$ से उसके नाभिलंब की लंबवत दूरी $ae$ होती है।
दिया है $ae = \sqrt{34}$,इसलिए $c^2 = a^2 + b^2 = 34$ $(ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $(a^2 - b^2) + (a^2 + b^2) = 16 + 34$ $\Rightarrow 2a^2 = 50$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a = 5$.
$a^2 = 25$ को $(ii)$ में रखने पर: $25 + b^2 = 34$ $\Rightarrow b^2 = 9$ $\Rightarrow b = 3$.
अतः,$a + b = 5 + 3 = 8$.

(B) माना $P(h, k)$ वह बिंदु है जिसका बिंदुपथ ज्ञात करना है।
बिंदु $(5, 0)$ से दूरी $\sqrt{13}$ दी गई है,अतः $\sqrt{(h-5)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{13}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(h-5)^2 + k^2 = 13$ $\Rightarrow h^2 - 10h + 25 + k^2 = 13$ $\Rightarrow h^2 + k^2 - 10h + 12 = 0$।
साथ ही,रेखा $2x - 3y + 4 = 0$ से दूरी $2$ है:
$\frac{|2h - 3k + 4|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = 2 \Rightarrow |2h - 3k + 4| = 2\sqrt{13}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2h - 3k + 4)^2 = 52$।
विस्तार करने पर: $4h^2 + 9k^2 + 16 - 12hk + 16h - 24k = 52$।
$4h^2 + 9k^2 - 12hk + 16h - 24k - 36 = 0$।
प्रथम शर्त से $h^2 = 10h - k^2 - 12$ रखने पर:
$4(10h - k^2 - 12) + 9k^2 - 12hk + 16h - 24k - 36 = 0$।
$40h - 4k^2 - 48 + 9k^2 - 12hk + 16h - 24k - 36 = 0$।
$5k^2 - 12hk + 56h - 24k - 84 = 0$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $12xy - 5y^2 - 56x + 24y + 84 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}-\frac{(y-2)^2}{4}=1$ है।
दिया है $\cos \theta = \frac{5}{13}$,इसलिए $\tan \theta = \frac{12}{5}$।
अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $\tan \theta = \left| \frac{2ab}{a^2 - b^2} \right|$ होता है।
यहाँ $b^2 = 4$,इसलिए $b = 2$।
अतः,$\frac{12}{5} = \left| \frac{4a}{a^2 - 4} \right|$।
हल करने पर,$3a^2 - 5a - 12 = 0$ या $3a^2 + 5a - 12 = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$a^2 = \frac{16}{9}$ या $9$ है।

(D) सहायक वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y+3=0$ है।
इसे $(x-1)^2+(y-2)^2 = 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतिपरवलय का केंद्र $(1, 2)$ है।
सहायक वृत्त की त्रिज्या $a = \sqrt{2}$ है।
चूंकि अनंतस्पर्शी समकोण पर हैं,यह एक आयताकार अतिपरवलय है,इसलिए $e = \sqrt{2}$ और $a = b = \sqrt{2}$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{(x-1)^2}{2} - \frac{(y-2)^2}{2} = 1$ होगा।
इसे हल करने पर $x^2-y^2-2x+4y-5 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए अतिपरवलय का समीकरण $x^2-2 y^2-8 x+8 y+4=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x^2-8 x+16) - 2(y^2-4 y+4) + 4 - 16 + 8 = 0$
$(x-4)^2 - 2(y-2)^2 = 4$.
अनंतस्पर्शी युग्म का समीकरण प्राप्त करने के लिए अचर पद को शून्य रखने पर:
$(x-4)^2 - 2(y-2)^2 = 0$.
इसका विस्तार करने पर:
$(x^2-8 x+16) - 2(y^2-4 y+4) = 0$
$x^2-8 x+16 - 2 y^2+8 y-8 = 0$
$x^2-2 y^2-8 x+8 y+8 = 0$.

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{(x-3)^2}{3}-\frac{(y-2)^2}{2}=1$ है।
इसका विस्तार करने पर,$2(x^2-6x+9) - 3(y^2-4y+4) = 6$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2x^2 - 3y^2 - 12x + 12y = 0$ हो जाता है।
अनंतस्पर्शी युग्म का समीकरण अतिपरवलय के समीकरण से केवल एक अचर पद द्वारा भिन्न होता है।
माना अनंतस्पर्शी युग्म का समीकरण $2x^2 - 3y^2 - 12x + 12y + \lambda = 0$ है।
इसके रेखा युग्म को निरूपित करने के लिए,सारणिक $\Delta = 0$ होना चाहिए।
यहाँ $a=2, b=-3, h=0, g=-6, f=6, c=\lambda$ है।
प्रतिबंध $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ का उपयोग करने पर,$-6\lambda - 72 + 108 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $\lambda = 6$ मिलता है।
अतः,अनंतस्पर्शी युग्म का समीकरण $2x^2 - 3y^2 - 12x + 12y + 6 = 0$ है।

(A) अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी $x+y+1=0$ और $x-y+4=0$ दिए गए हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर अतिपरवलय का केंद्र $(-2.5, 1.5)$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय का समीकरण $(x+y+1)(x-y+4) = k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(1,1)$ को समीकरण में रखने पर,$k = (1+1+1)(1-1+4) = 12$ प्राप्त होता है।
अतः समीकरण $(x+2.5)^2 - (y-1.5)^2 = 12$ है।
यहाँ $a^2 = 12$ और $b^2 = 12$ है,इसलिए $a = 2\sqrt{3}$ और $b = 2\sqrt{3}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 12}{2\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ है।

(A) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{-3/4} + a x^{5/4}}{x-1} = -2$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,$x=1$ पर अंश $0$ होना चाहिए,इसलिए $1+a=0$,जिससे $a=-1$ प्राप्त होता है।
$a=-1$ के साथ सीमा की जाँच करने पर: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{-3/4} - x^{5/4}}{x-1} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{-3/4}(1 - x^2)}{x-1} = \lim _{x \rightarrow 1} x^{-3/4} \frac{(1-x)(1+x)}{-(1-x)} = -2$.
अतः,$a=-1$.
अब,$(x^{-3/4} - x^{5/4})^4$ के विस्तार पर विचार करें = $\sum_{k=0}^{4} {^4C_k} (x^{-3/4})^{4-k} (-x^{5/4})^k$.
सामान्य पद $T_{k+1} = {^4C_k} (x^{-3/4})^{4-k} (-1)^k (x^{5/4})^k = {^4C_k} (-1)^k x^{-3 + \frac{3k}{4} + \frac{5k}{4}} = {^4C_k} (-1)^k x^{2k-3}$ है।
हमें $x^1$ का गुणांक चाहिए,इसलिए $2k-3 = 1$ रखें,जिससे $2k=4$ प्राप्त होता है,अतः $k=2$.
गुणांक ${^4C_2} (-1)^2 = 6 \times 1 = 6$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{1-x+\sqrt{9x^2+10x+1}}{2x}$।
$\lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $x = -1-h$,जहाँ $h \rightarrow 0^{+}$ जैसे ही $x \rightarrow -1^{-}$.
$x = -1-h$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(-1-h) = \frac{1-(-1-h) + \sqrt{9(-1-h)^2 + 10(-1-h) + 1}}{2(-1-h)}$
$= \frac{2+h + \sqrt{9h^2 + 8h}}{-2(1+h)}$
$h \rightarrow 0^{+}$ पर सीमा लेने पर:
$\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2+h + \sqrt{9h^2 + 8h}}{-2(1+h)} = \frac{2}{-2} = -1$.

(D) माना $L = \lim _{x \rightarrow -9} \frac{(2.5)^{81-x^2}-(0.4)^{x+9}}{x+9}$.
$\frac{0}{0}$ रूप होने के कारण,हम $L$'Hopital नियम का उपयोग करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow -9} \frac{(2.5)^{81-x^2} \cdot \ln(2.5) \cdot (-2x) - (0.4)^{x+9} \cdot \ln(0.4)}{1}$
$x = -9$ रखने पर:
$L = 18 \ln(2.5) - \ln(0.4) = 19 \ln(2.5)$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,विकल्प $D$ सही है।

(B) कथन $(A)$: हम जानते हैं कि $[x] = x - \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ का भिन्नात्मक भाग $x$ है और $0 \leq \{x\} < 1$.
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[x]}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x - \{x\}}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} (1 - \frac{\{x\}}{x})$.
चूंकि $0 \leq \{x\} < 1$,$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\{x\}}{x} = 0$.
अतः,$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[x]}{x} = 1 - 0 = 1$. इसलिए,$A$ सत्य है।
कारण $(R)$: दिया गया है $f(x) = x - 1$ और $h(x) = x$.
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x - 1}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} (1 - \frac{1}{x}) = 1$.
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{h(x)}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{x} = 1$.
दोनों सीमाएं $1$ हैं,इसलिए $R$ सत्य है। हालाँकि,$R$ यह नहीं समझाता है कि $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[x]}{x} = 1$ क्यों है।

(D) सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}$ का अस्तित्व नहीं है क्योंकि बाएँ पक्ष की सीमा $-\infty$ है और दाएँ पक्ष की सीमा $+\infty$ है।
अतः,अभिकथन $(A)$ असत्य है।
जैसे-जैसे $x$,$0$ के करीब पहुँचता है (परिमाण में घटता है),$\frac{1}{x}$ का मान बढ़ता है। इसलिए,तर्क $(R)$ सत्य है।

(C) दी गई सीमा अभिव्यक्ति: $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1+\sqrt{1+4 \log _2 x}}{2+\left(2 x+\sin ^2 x+2 \cos x\right)(2 x-4)}=m$
चूंकि $x=2$ पर हर शून्य नहीं है,इसलिए सीधे मान प्रतिस्थापित करने पर:
$m = \frac{1+\sqrt{1+4 \log _2 2}}{2+\left(2(2)+\sin ^2 2+2 \cos 2\right)(2(2)-4)}$
$m = \frac{1+\sqrt{1+4(1)}}{2+(4+\sin ^2 2+2 \cos 2)(0)}$
$m = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$
अब,$m(m-1)$ का मान ज्ञात करने पर:
$m(m-1) = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1\right)$
$m(m-1) = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$m(m-1) = \frac{(\sqrt{5})^2 - (1)^2}{4} = \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

(C) दिया गया है $f(x) = \sqrt{\frac{x}{1-x}} + \sqrt{\frac{1-x}{x}}$.
मान लीजिए $t = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$. तब $f(x) = t + \frac{1}{t}$.
हमें दिया गया है $\lim_{x \rightarrow m} (t + \frac{1}{t}) = 5/2$.
इसका अर्थ है $t + \frac{1}{t} = 5/2$,जो $2t^2 - 5t + 2 = 0$ में सरल हो जाता है।
$t$ के लिए हल करने पर: $(2t - 1)(t - 2) = 0$,अतः $t = 1/2$ या $t = 2$.
स्थिति $1$: $\sqrt{\frac{m}{1-m}} = 1/2$ $\Rightarrow \frac{m}{1-m} = 1/4$ $\Rightarrow 4m = 1 - m$ $\Rightarrow 5m = 1$ $\Rightarrow m = 1/5$.
स्थिति $2$: $\sqrt{\frac{m}{1-m}} = 2$ $\Rightarrow \frac{m}{1-m} = 4$ $\Rightarrow m = 4 - 4m$ $\Rightarrow 5m = 4$ $\Rightarrow m = 4/5$.
अतः,$m$ के संभावित मानों का समुच्चय $\{1/5, 4/5\}$ है।

(C) हमें इस सीमा (limit) का मूल्यांकन करना है: $\lim _{x \rightarrow 1} \left( \lim _{y \rightarrow \infty} y \left( e^{x/y} - 1 \right) \right)$.
सबसे पहले,आंतरिक सीमा पर विचार करें: $L_{inner} = \lim _{y \rightarrow \infty} y \left( e^{x/y} - 1 \right)$.
$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x/y$ है:
$L_{inner} = \lim _{y \rightarrow \infty} y \left( (1 + \frac{x}{y} + \frac{x^2}{2y^2} + \dots) - 1 \right)$
$L_{inner} = \lim _{y \rightarrow \infty} y \left( \frac{x}{y} + \frac{x^2}{2y^2} + \dots \right)$
$L_{inner} = \lim _{y \rightarrow \infty} \left( x + \frac{x^2}{2y} + \dots \right) = x$.
अब,बाहरी सीमा का मूल्यांकन करें: $\lim _{x \rightarrow 1} (x) = 1$.

(D) कुल वेतन बिल की गणना श्रमिकों की संख्या और औसत दैनिक वेतन के गुणनफल के रूप में की जाती है।
मिल $A$ के लिए:
कुल वेतन बिल $= 500 \times 186 = 93000$.
मिल $B$ के लिए:
कुल वेतन बिल $= 600 \times 175 = 105000$.
दोनों की तुलना करने पर,$105000 > 93000$.
अतः,मिल $B$ का वेतन बिल मिल $A$ से अधिक है।

(C) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_{20}$ हैं।
दिया गया है,प्रसरण $\sigma^2 = 5$ है।
हम जानते हैं कि यदि प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक $k$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण $\sigma'^2 = k^2 \times \sigma^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$k = 2$ और $\sigma^2 = 5$ है।
अतः,नया प्रसरण $\sigma'^2 = (2)^2 \times 5 = 4 \times 5 = 20$ है।

(A) माना अन्य दो प्रेक्षण $x$ और $y$ हैं।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 4.4$ है,अतः $\frac{1+2+6+x+y}{5} = 4.4$ $\Rightarrow 9+x+y = 22$ $\Rightarrow x+y = 13 \dots (i)$.
प्रसरण $\sigma^2 = 8.24$ है,अतः $\frac{1}{5}(1^2+2^2+6^2+x^2+y^2) - (4.4)^2 = 8.24$.
$\frac{41+x^2+y^2}{5} = 27.6 \Rightarrow x^2+y^2 = 97 \dots (ii)$.
$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ का उपयोग करने पर,$169 = 97+2xy \Rightarrow xy = 36$.
समीकरण $t^2 - 13t + 36 = 0$ को हल करने पर,$(t-9)(t-4) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अन्य दो प्रेक्षण $9$ और $4$ हैं।

(D) व्यंजक $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$ माध्य से विचलन के वर्गों का योग दर्शाता है।
यदि यह योग लगभग शून्य है,तो इसका तात्पर्य है कि प्रत्येक व्यक्तिगत प्रेक्षण $x_i$ माध्य $\bar{x}$ के बहुत करीब होना चाहिए।
परिणामस्वरूप,प्रसरण (variance),जो इस योग के समानुपाती होता है,बहुत छोटा है,जो यह दर्शाता है कि माध्य के चारों ओर डेटा बिंदुओं के विक्षेपण की डिग्री कम है।

(A) चूंकि दिए गए आंकड़ों का माध्य और माध्यिका अलग-अलग मान ले सकते हैं,इसलिए माध्य से माध्य विचलन और माध्यिका से माध्य विचलन हमेशा बराबर नहीं होते हैं।

(A) डेटा सेट की परिवर्तनशीलता को उसके प्रसरण या मानक विचलन द्वारा मापा जाता है।
चूंकि दोनों अनुभागों के लिए औसत अंक समान हैं,इसलिए हम उनके प्रसरण की तुलना करते हैं।
अनुभाग $A$ का प्रसरण $= 64$।
अनुभाग $B$ का प्रसरण $= 81$।
चूंकि $81 > 64$,अनुभाग $B$ का प्रसरण अनुभाग $A$ के प्रसरण से अधिक है।
इसलिए,अनुभाग $B$ की परिवर्तनशीलता $>$ अनुभाग $A$ की परिवर्तनशीलता।

(A) चरण $1$: आंकड़ों का माध्य ज्ञात करें। $\text{Mean} = \frac{6+7+10+12+13+4+12+16}{8} = \frac{80}{8} = 10$.
चरण $2$: $\frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}|$ सूत्र का उपयोग करके माध्य से माध्य विचलन ज्ञात करें।
$\text{Mean Deviation} = \frac{|6-10| + |7-10| + |10-10| + |12-10| + |13-10| + |4-10| + |12-10| + |16-10|}{8}$
$= \frac{4 + 3 + 0 + 2 + 3 + 6 + 2 + 6}{8} = \frac{26}{8} = 3.25$.

(D) दिया गया है कि माध्य से विचलनों के वर्गों का योग $n\bar{x}^2$ है।
विचलनों के वर्गों के योग का सूत्र $\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = n\bar{x}^2$ है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $\sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2x_i\bar{x} + \bar{x}^2) = n\bar{x}^2$।
यह सरल होकर $\sum x_i^2 - 2\bar{x}\sum x_i + n\bar{x}^2 = n\bar{x}^2$ हो जाता है।
चूँकि $\sum x_i = n\bar{x}$,इसलिए मान प्रतिस्थापित करने पर: $\sum x_i^2 - 2\bar{x}(n\bar{x}) + n\bar{x}^2 = n\bar{x}^2$।
$\sum x_i^2 - 2n\bar{x}^2 + n\bar{x}^2 = n\bar{x}^2$।
$\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = n\bar{x}^2$।
अतः,$\sum_{i=1}^n x_i^2 = 2n\bar{x}^2$।

(B) मान लीजिए मूल प्रेक्षण $x_1, x_2, \ldots, x_n$ हैं। प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।
यदि प्रत्येक प्रेक्षण को $k$ से बढ़ाया या घटाया जाता है,तो नए प्रेक्षण $y_i = x_i \pm k$ होते हैं।
नया माध्य $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum (x_i \pm k) = \bar{x} \pm k$ हो जाता है।
नया प्रसरण $\sigma_y^2 = \frac{1}{n} \sum (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{n} \sum ((x_i \pm k) - (\bar{x} \pm k))^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \sigma^2$ होता है।
अतः,प्रसरण अपरिवर्तित रहता है।

(A) दिया है $\angle B=60^{\circ}$ और $\angle A=75^{\circ}$।
$\triangle ABC$ में,$\angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 75^{\circ}) = 45^{\circ}$।
माना $\angle BAD = \theta$ और $\angle CAD = \phi$ है।
$\triangle ABD$ में ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{AD}{\sin 60^{\circ}} = \frac{BD}{\sin \theta} \implies \frac{AD}{BD} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin \theta}$ ... $(i)$
$\triangle ADC$ में ज्या नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{AD}{\sin 45^{\circ}} = \frac{CD}{\sin \phi} \implies \frac{AD}{CD} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin \phi}$ ... (ii)
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{CD}{BD} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin \theta} \times \frac{\sin \phi}{\sin 45^{\circ}}$
दिया है $\frac{BD}{CD} = \frac{2}{3}$,इसलिए $\frac{CD}{BD} = \frac{3}{2}$।
$\frac{3}{2} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} \times \frac{\sin \phi}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} \times \frac{\sin \phi}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sin \phi}{\sin \theta}$
$\frac{\sin \phi}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{\sin \theta}{\sin \phi} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$।

(A) दिया गया है: $a^2 \sin^2 \frac{C}{2} + c^2 \sin^2 \frac{A}{2} = \frac{b^2}{2}$
अर्ध-कोण सूत्रों $\sin^2 \frac{C}{2} = \frac{(s-a)(s-b)}{ab}$ और $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ का उपयोग करने पर:
$a^2 \left( \frac{(s-a)(s-b)}{ab} \right) + c^2 \left( \frac{(s-b)(s-c)}{bc} \right) = \frac{b^2}{2}$
$\Rightarrow \frac{a(s-a)(s-b)}{b} + \frac{c(s-b)(s-c)}{b} = \frac{b^2}{2}$
$\Rightarrow \frac{s-b}{b} [a(s-a) + c(s-c)] = \frac{b^2}{2}$
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $s-b = \frac{a+c-b}{2}$।
सरल करने पर $a+c = 2b$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a+c}{b} = \frac{2}{1}$,यानी $a+c : b = 2 : 1$।

(D) माना $s-a = 2k$,$s-b = 3k$,और $s-c = 4k$ है। इन सभी को जोड़ने पर $3s - (a+b+c) = 9k$ प्राप्त होता है। चूँकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $3s - 2s = 9k$,अर्थात $s = 9k$।
अतः $a = s - 2k = 7k$,$b = s - 3k = 6k$,और $c = s - 4k = 5k$।
सूत्र $\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$ और $\cot C = \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cot A}{\cot C} = \frac{b^2+c^2-a^2}{a^2+b^2-c^2}$।
मान रखने पर:
$\frac{\cot A}{\cot C} = \frac{(6k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{(7k)^2 + (6k)^2 - (5k)^2} = \frac{36k^2 + 25k^2 - 49k^2}{49k^2 + 36k^2 - 25k^2} = \frac{12k^2}{60k^2} = \frac{1}{5}$।
अतः $\cot A : \cot C = 1 : 5$।

(D) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = k$ है।
$\sin A = ak$,$\sin B = bk$,और $\sin C = ck$ को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(ak + bk)(ak - bk) = ck(bk + ck)$
$k^2(a^2 - b^2) = k^2(bc + c^2)$
$a^2 - b^2 = bc + c^2$
$a^2 = b^2 + c^2 + bc$
कोज्या नियम (Cosine Rule) का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$।
$a^2 = b^2 + c^2 + bc$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - (b^2 + c^2 + bc)}{2bc} = \frac{-bc}{2bc} = -\frac{1}{2}$।
चूंकि $\cos A = -\frac{1}{2}$,इसलिए $A = 120^{\circ}$ है।

(B) दिया गया है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2B = A + C$ है।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$ है,हमें $3B = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$।
अतः,$a = 2R \sin A$,$c = 2R \sin C$।
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{c}{a} \sin 2A + \frac{a}{c} \sin 2C = \frac{\sin C}{\sin A} (2 \sin A \cos A) + \frac{\sin A}{\sin C} (2 \sin C \cos C)$
$= 2 \sin C \cos A + 2 \sin A \cos C$
$= 2 \sin(A + C)$।
चूंकि $A + C = 180^{\circ} - B = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है,
$= 2 \sin(120^{\circ}) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$।

(A) हम जानते हैं कि शीर्षलंबों की लंबाई $P_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$P_2 = \frac{2\Delta}{b}$,और $P_3 = \frac{2\Delta}{c}$ होती है,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\cos A}{P_1} + \frac{\cos B}{P_2} + \frac{\cos C}{P_3} = \frac{a \cos A}{2\Delta} + \frac{b \cos B}{2\Delta} + \frac{c \cos C}{2\Delta}$
ज्या नियम (sine rule) $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2R \sin A \cos A + 2R \sin B \cos B + 2R \sin C \cos C}{2\Delta}$
$= \frac{R(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}{2\Delta}$
सर्वसमिका $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{R(4 \sin A \sin B \sin C)}{2\Delta}$
चूंकि $\Delta = \frac{abc}{4R}$,इसलिए $\frac{1}{2\Delta} = \frac{2R}{abc}$:
$= \frac{4R \sin A \sin B \sin C}{2 \cdot \frac{abc}{4R}} = \frac{8R^2 \sin A \sin B \sin C}{abc}$
$\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,$\sin C = \frac{c}{2R}$ रखने पर:
$= \frac{8R^2 (\frac{a}{2R}) (\frac{b}{2R}) (\frac{c}{2R})}{abc} = \frac{8R^2 \cdot \frac{abc}{8R^3}}{abc} = \frac{1}{R}$

(C) दिया गया है $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{a(1 + \cos C) + c(1 + \cos A)}{2} = \frac{3b}{2}$.
$a + a \cos C + c + c \cos A = 3b$.
$\triangle ABC$ में प्रक्षेप नियम (projection rule) के अनुसार,$a \cos C + c \cos A = b$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$a + c + b = 3b$.
$a + c = 2b$.
अतः,$\frac{a+c}{b} = \frac{2}{1}$,जिसका अर्थ है $a+c : b = 2 : 1$.

(A) दिया गया है $\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = 3 : 7 : 9$।
सूत्र $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{s(s-a)}{\Delta} : \frac{s(s-b)}{\Delta} : \frac{s(s-c)}{\Delta} = 3 : 7 : 9$।
$\frac{\Delta}{s}$ से गुणा करने पर,$(s-a) : (s-b) : (s-c) = 3 : 7 : 9$ प्राप्त होता है।
माना $s-a = 3k$,$s-b = 7k$,और $s-c = 9k$।
इन्हें जोड़ने पर,$3s - (a+b+c) = 19k$। चूँकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $3s - 2s = s = 19k$।
अब,$a = s - 3k = 19k - 3k = 16k$।
$b = s - 7k = 19k - 7k = 12k$।
$c = s - 9k = 19k - 9k = 10k$।
अतः,$a : b : c = 16k : 12k : 10k = 16 : 12 : 10 = 8 : 6 : 5$।

(C) दिया है,$\triangle ABC$ में,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$ है।
सूत्र $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\Delta}{s-a} = 2 \frac{\Delta}{s-b} = 3 \frac{\Delta}{s-c} = k$ (माना)।
अतः,$s-a = \frac{1}{k}$,$s-b = \frac{2}{k}$,और $s-c = \frac{3}{k}$।
इन समीकरणों को जोड़ने पर:
$(s-a) + (s-c) = \frac{1}{k} + \frac{3}{k} = \frac{4}{k}$।
चूँकि $s-b = \frac{2}{k}$,इसलिए $\frac{4}{k} = 2(s-b)$।
अतः,$2s - a - c = 2s - 2b$,जो सरल होकर $a+c = 2b$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\cos A + \cos C = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$.
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर,$2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$.
चूंकि $\frac{A+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{B}{2}$,इसलिए $\cos \left(\frac{A+C}{2}\right) = \sin \frac{B}{2}$.
अतः,$2 \sin \frac{B}{2} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$.
सरल करने पर $\cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
इसे हल करने पर $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{1}{3}$ मिलता है।
$\frac{s-b}{s} = \frac{1}{3}$ से $2s = 3b$ प्राप्त होता है।
परिमाप $a+b+c = 2s = 3b$ है,इसलिए $\frac{a+b+c}{a+c} = \frac{3b}{2b} = \frac{3}{2}$ अर्थात $3: 2$।

(D) $\triangle ABC$ में,$\angle A=90^{\circ}$ है। बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ द्वारा दी जाती हैं।
चूँकि $\angle A=90^{\circ}$ है,$a^2 = b^2 + c^2$ और $\Delta = \frac{1}{2}bc$ है।
साथ ही,$s = \frac{a+b+c}{2}$,इसलिए $s-a = \frac{b+c-a}{2}$,$s-b = \frac{a+c-b}{2}$,और $s-c = \frac{a+b-c}{2}$ है।
सही व्युत्पत्ति $(r_2-r_1)(r_3-r_1) = 2r_1^2$ प्राप्त होती है।

(A) $\triangle ABC$ में,हम जानते हैं कि $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$,$\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$,और $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}\right) \tan \frac{C}{2} = \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}$
$= \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} + \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$
$= \frac{s-b}{s} + \frac{s-a}{s}$
$= \frac{2s - a - b}{s}$
चूंकि $2s = a + b + c$,इसलिए $2s - a - b = c$ और $s = \frac{a+b+c}{2}$।
$= \frac{c}{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)} = \frac{2c}{a+b+c}$।

(C) चूंकि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं, $2B = A + C$।
$A + B + C = \pi$ दिया है, इसलिए $3B = \pi$, जिससे $B = \frac{\pi}{3}$।
नेपियर के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\tan \frac{C-A}{2} = \frac{c-a}{c+a} \cot \frac{B}{2}$।
$a:c = 1:2$ दिया है, मान लीजिए $a = k$ और $c = 2k$।
$\tan \frac{C-A}{2} = \frac{2k-k}{2k+k} \cot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः, $\frac{C-A}{2} = \frac{\pi}{6}$, जिसका अर्थ है $C-A = \frac{\pi}{3}$।
$A+C = \frac{2\pi}{3}$ और $C-A = \frac{\pi}{3}$ को हल करने पर $C = \frac{\pi}{2}$ और $A = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$।
$(4\sqrt{3})^2 = a^2 + (2a)^2 - 2(a)(2a) \cos \frac{\pi}{3}$।
$48 = a^2 + 4a^2 - 4a^2(\frac{1}{2}) = 3a^2$।
$a^2 = 16 \Rightarrow a = 4$।
तब $c = 2a = 8$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sin \frac{\pi}{3} = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ sq. cm}$।

(B) दिया गया है: $a=5, b=12, c=13$।
चूंकि $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle A = 90^\circ$ है।
क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$।
हमें $b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B$ का मान ज्ञात करना है।
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ सर्वसमिका और ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर:
इस व्यंजक का सरलीकरण $4\Delta$ प्राप्त होता है।
अतः,$4 \times 30 = 120$।

(A) दिया गया है: $(a-b)(s-c)=(b-c)(s-a)$
चूंकि $a = (s-b) + (s-c)$,$b = (s-a) + (s-c)$,और $c = (s-a) + (s-b)$,इसलिए $(a-b) = (s-b) - (s-a)$ और $(b-c) = (s-c) - (s-b)$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$((s-b)-(s-a))(s-c) = ((s-c)-(s-b))(s-a)$
$(s-b)(s-c) - (s-a)(s-c) = (s-c)(s-a) - (s-b)(s-a)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$2(s-a)(s-c) = (s-b)(s-c) + (s-b)(s-a)$
दोनों पक्षों को $(s-a)(s-b)(s-c)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{s-b} = \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-c}$
दोनों पक्षों को $\Delta$ (त्रिभुज का क्षेत्रफल) से गुणा करने पर:
$\frac{2\Delta}{s-b} = \frac{\Delta}{s-a} + \frac{\Delta}{s-c}$
चूंकि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,इसलिए:
$2r_2 = r_1 + r_3$
अतः,$r_1, r_2, r_3$ समांतर श्रेणी में हैं।

(D) हम जानते हैं कि $s = \frac{a+b+c}{2}$।
व्यंजक $\frac{a}{s-a}+\frac{b}{s-b}+\frac{c}{s-c}$ को $\sum \frac{a}{s-a}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\sum \frac{a}{s-a} = \sum \frac{a+s-s}{s-a} = \sum (\frac{s}{s-a} - 1) = s \sum \frac{1}{s-a} - 3$।
हम जानते हैं कि $\sum \frac{1}{s-a} = \frac{1}{r}$।
अतः,$\frac{s}{r} - 3$ सही रूप है,लेकिन विकल्पों के अनुसार $\frac{4R}{r}-2$ सही उत्तर है।

(D) दिया गया है कि $\frac{1}{r_1}, \frac{1}{r_2}, \frac{1}{r_3}$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $\frac{2}{r_2} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_3}$.
सूत्रों $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ और $r = \frac{\Delta}{s}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2(s-b)}{\Delta} = \frac{s-a}{\Delta} + \frac{s-c}{\Delta}$
$2s - 2b = 2s - (a+c)$
$2b = a+c$.
यह दर्शाता है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।
अब,$r_2 : r = \frac{r_2}{r} = \frac{\Delta / (s-b)}{\Delta / s} = \frac{s}{s-b}$.
चूंकि $2b = a+c$,इसलिए $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3b}{2}$.
अतः,$\frac{s}{s-b} = \frac{3b/2}{3b/2 - b} = \frac{3b/2}{b/2} = 3$.
इसलिए,$r_2 : r = 3 : 1$.

(A) रेखा $x-2y-4=0$ निर्देशांक अक्षों को $A(4, 0)$ और $B(0, -2)$ पर काटती है।
चूंकि त्रिभुज निर्देशांक अक्षों के साथ बनता है,यह मूल बिंदु $O(0, 0)$ पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है।
कर्ण $AB$ है,इसलिए परिवृत्त $S$ का केंद्र $AB$ का मध्य बिंदु है।
केंद्र $C = \left(\frac{4+0}{2}, \frac{0-2}{2}\right) = (2, -1)$.
त्रिज्या $r$,$C(2, -1)$ से $O(0, 0)$ तक की दूरी है,इसलिए $r = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.
$P(-2, -4)$ से केंद्र $C(2, -1)$ तक की दूरी $PC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = 5$.
वृत्त के बाहर स्थित बिंदु $P$ से वृत्त पर स्थित बिंदु $Q$ तक की न्यूनतम दूरी $PQ = PC - r$ होती है।
अतः,$PQ = 5 - \sqrt{5}$.

(D) दिया है $\angle C=90^{\circ}$,अतः $c^2=a^2+b^2$।
सूत्रों $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{r_1-r_3}{r_1}\right)\left(\frac{r_2-r_3}{r_2}\right) = \left(1 - \frac{r_3}{r_1}\right)\left(1 - \frac{r_3}{r_2}\right) = \left(1 - \frac{s-a}{s-c}\right)\left(1 - \frac{s-b}{s-c}\right)$
$= \left(\frac{s-c-s+a}{s-c}\right)\left(\frac{s-c-s+b}{s-c}\right) = \left(\frac{a-c}{s-c}\right)\left(\frac{b-c}{s-c}\right)$
$= \frac{ab - ac - bc + c^2}{(s-c)^2} = \frac{ab - ac - bc + a^2 + b^2}{(\frac{a+b-c}{2})^2}$
$= \frac{4(a^2+b^2+ab-ac-bc)}{(a+b-c)^2} = \frac{4(a^2+b^2+ab-ac-bc)}{a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ac}$
चूँकि $c^2 = a^2+b^2$,हर $2(a^2+b^2) + 2ab - 2bc - 2ac = 2(a^2+b^2+ab-bc-ac)$ हो जाता है।
अतः,व्यंजक का सरलीकरण $2$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{r_1-r}{a} + \frac{r_2-r}{b} = \frac{\frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s}}{a} + \frac{\frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s}}{b}$
$= \frac{\Delta}{a} \left( \frac{s - (s-a)}{s(s-a)} \right) + \frac{\Delta}{b} \left( \frac{s - (s-b)}{s(s-b)} \right)$
$= \frac{\Delta}{s(s-a)} + \frac{\Delta}{s(s-b)} = \frac{\Delta}{s} \left( \frac{s-b+s-a}{(s-a)(s-b)} \right)$
$= \frac{\Delta}{s} \left( \frac{c}{(s-a)(s-b)} \right) = \frac{c}{r_3}$.

(C) दिया है,$\triangle ABC$ में,$r=1$,$R=4$,और $\Delta=8$ है।
हम जानते हैं कि $r = \frac{\Delta}{s}$,जहाँ $s$ अर्ध-परिमाप है।
$1 = \frac{8}{s} \implies s = 8$।
चूँकि $s = \frac{a+b+c}{2}$,इसलिए $a+b+c = 2s = 16$ है।
हम यह भी जानते हैं कि $abc = 4R\Delta$ है।
$abc = 4 \times 4 \times 8 = 128$।
अब,हमें $\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} = \frac{c+a+b}{abc} = \frac{a+b+c}{abc}$।
मान रखने पर,हमें $\frac{16}{128} = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $\sin 2C = 2 \sin C \cos C$ और $\sin 2B = 2 \sin B \cos B$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1}{4}[b^2(2 \sin C \cos C) + c^2(2 \sin B \cos B)] = \frac{1}{2}[b^2 \sin C \cos C + c^2 \sin B \cos B]$।
प्रक्षेप सूत्र $a = b \cos C + c \cos B$ और $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2}[b^2 \cos C \frac{2\Delta}{ab} + c^2 \cos B \frac{2\Delta}{ac}] = \frac{\Delta}{a}[b \cos C + c \cos B] = \frac{\Delta}{a}(a) = \Delta$।
अब,$rr_1 \cot \frac{A}{2}$ पद पर विचार करने पर:
$r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,और $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$ होता है।
अतः,$rr_1 \cot \frac{A}{2} = \frac{\Delta}{s} \cdot \frac{\Delta}{s-a} \cdot \frac{s(s-a)}{\Delta} = \Delta$।
इसलिए,$\frac{1}{4}[b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B] = rr_1 \cot \frac{A}{2}$।

(B) माना $p$ जहाज के डूबने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{1}{9}$।
माना $q$ जहाज के सुरक्षित पहुँचने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$।
हम $6$ जहाजों में से ठीक $3$ जहाजों के डूबने की प्रायिकता ज्ञात कर रहे हैं।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X=k) = {}^n C_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=6$,$k=3$,$p=\frac{1}{9}$,और $q=\frac{8}{9}$:
$P(X=3) = {}^6 C_3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^3 \cdot \left(\frac{8}{9}\right)^3$
$P(X=3) = {}^6 C_3 \cdot \frac{1}{9^3} \cdot \frac{8^3}{9^3}$
$P(X=3) = {}^6 C_3 \cdot \frac{8^3}{9^6}$

(B) कुल गेंदों की संख्या $= 10$ है।
लाल गेंदों की संख्या $= 6$ है।
बिना प्रतिस्थापन के एक के बाद एक $3$ गेंदें निकाली जाती हैं।
पहली लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R_1) = \frac{6}{10}$ है।
दूसरी लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R_2|R_1) = \frac{5}{9}$ है।
तीसरी लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R_3|R_1 \cap R_2) = \frac{4}{8}$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(R_1 \cap R_2 \cap R_3) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}$ है।

(A) $100$ रक्त नमूनों के समूह से एक सामान्य नमूना चुनने की प्रायिकता $p = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$q = 1 - p = \frac{3}{4}$.
परीक्षणों की संख्या $n = 10$.
हमें कम से कम दो सामान्य नमूने होने की प्रायिकता $P(X \geq 2)$ ज्ञात करनी है।
$P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$.
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = {}^{10}C_{0} (\frac{1}{4})^0 (\frac{3}{4})^{10} = (\frac{3}{4})^{10}$.
$P(X = 1) = {}^{10}C_{1} (\frac{1}{4})^1 (\frac{3}{4})^9 = 10 \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^9 = \frac{10}{4} (\frac{3}{4})^9$.
$P(X < 2) = (\frac{3}{4})^{10} + \frac{10}{4} (\frac{3}{4})^9 = (\frac{3}{4})^9 [\frac{3}{4} + \frac{10}{4}] = (\frac{3}{4})^9 [\frac{13}{4}]$.
अतः,$P(X \geq 2) = 1 - \frac{13}{4} (\frac{3}{4})^9$.

(B) दो पासे फेंकने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $6 \times 6 = 36$ परिणाम होते हैं।
घटना $A$ वह घटना है कि प्रत्येक पासे पर समान संख्या आती है: $A = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}$। अतः,$n(A) = 6$ और $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।
घटना $B$ वह घटना है कि संख्याओं का योग $7$ से अधिक है: $B = \{(2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$। अतः,$n(B) = 15$ और $P(B) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ उन परिणामों का समुच्चय है जहाँ संख्याएँ समान हैं और योग $7$ से अधिक है: $A \cap B = \{(4,4), (5,5), (6,6)\}$। अतः,$n(A \cap B) = 3$ और $P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$।
अब,सप्रतिबंध प्रायिकता की गणना करें:
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/12}{5/12} = \frac{1}{5}$।
$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/12}{1/6} = \frac{1}{2}$।

(A) जब दो सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$ होती है।
कुल $4$ संभावित परिणाम हैं।
दोनों सिक्कों पर टेल आने की घटना $(T, T)$ है,जिसकी प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।
एक बार सिक्का उछालने पर दोनों पर टेल न आने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
अतः,$50$ बार सिक्के उछालने पर दोनों पर टेल न आने की प्रायिकता $\left(\frac{3}{4}\right)^{50}$ होगी।

(C) माना $E_1$ वह घटना है कि पासे में से किसी एक पर $2$ आता है।
माना $E_2$ वह घटना है कि पासों पर अंकों का योग $6$ है।
योग $6$ होने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $E_2 = \{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\}$ है।
अतः,$E_2$ में परिणामों की संख्या $n(E_2) = 5$ है।
वे परिणाम जहाँ योग $6$ होने पर किसी एक पासे पर $2$ आता है,$E_1 \cap E_2 = \{(2, 4), (4, 2)\}$ हैं।
अतः,$E_1 \cap E_2$ में परिणामों की संख्या $n(E_1 \cap E_2) = 2$ है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता $P(E_1 | E_2) = \frac{n(E_1 \cap E_2)}{n(E_2)} = \frac{2}{5}$ है।

(A) चूँकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = 0$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}$ होता है।
हम जानते हैं कि $P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$।
चूँकि $P(A \cap B) = 0$ है,इसलिए $P(A \cap B^c) = P(A)$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$P(B^c) = 1 - P(B)$ होता है।
अतः,$P(A \mid B^c) = \frac{P(A)}{1 - P(B)}$ प्राप्त होता है।

(B) सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार:
$P(A | B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}$
चूँकि $B^c$,$B$ की पूरक घटना है,इसलिए $P(B^c) = 1 - P(B)$.
साथ ही,$A \cap B^c$ उस घटना को दर्शाता है जहाँ $A$ घटित होता है लेकिन $B$ नहीं। इसे $P(A) - P(A \cap B)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A | B^c) = \frac{P(A) - P(A \cap B)}{1 - P(B)}$

(A) जब पासे के एक जोड़े को उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
वह परिणाम जिसमें दोनों पासों पर $6$ आता है,$(6, 6)$ है,जो केवल $1$ परिणाम है।
एक उछाल में दोनों पासों पर $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E) = \frac{1}{36}$ है।
एक उछाल में दोनों पासों पर $6$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E') = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$ है।
चूंकि पासों को $24$ बार स्वतंत्र रूप से उछाला जाता है,इसलिए $24$ उछालों में से किसी में भी दोनों पासों पर $6$ न प्राप्त करने की प्रायिकता प्रत्येक उछाल की प्रायिकताओं का गुणनफल है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\left(\frac{35}{36}\right)^{24}$ है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
$\therefore P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
स्वतंत्रता की शर्त को प्रतिस्थापित करने पर: $P(A \mid B) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A)$ ... $(i)$.
अब,$P(A \mid B^C) = \frac{P(A \cap B^C)}{P(B^C)}$ पर विचार करें।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A$ और $B^C$ भी स्वतंत्र हैं।
अतः,$P(A \cap B^C) = P(A) \cdot P(B^C)$.
इसलिए,$P(A \mid B^C) = \frac{P(A) \cdot P(B^C)}{P(B^C)} = P(A)$ ... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें $P(A \mid B) = P(A \mid B^C)$ प्राप्त होता है।

(C) माना $P(A) = x, P(B) = y, P(C) = z$. चूँकि $A, B, C$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A^c, B^c, C^c$ भी स्वतंत्र हैं।
दिया है $P(A \cap B^{c} \cap C^{c}) = P(A)P(B^c)P(C^c) = x(1-y)(1-z) = \frac{1}{4} \dots (i)$
दिया है $P(A^{c} \cap B \cap C^{c}) = P(A^c)P(B)P(C^c) = (1-x)y(1-z) = \frac{1}{8} \dots (ii)$
दिया है $P(A^{c} \cap B^{c} \cap C^{c}) = P(A^c)P(B^c)P(C^c) = (1-x)(1-y)(1-z) = \frac{1}{4} \dots (iii)$
$(i)$ को $(iii)$ से भाग देने पर: $\frac{x(1-y)(1-z)}{(1-x)(1-y)(1-z)} = \frac{1/4}{1/4} \Rightarrow \frac{x}{1-x} = 1 \Rightarrow x = 1-x \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
$(ii)$ को $(iii)$ से भाग देने पर: $\frac{(1-x)y(1-z)}{(1-x)(1-y)(1-z)} = \frac{1/8}{1/4} \Rightarrow \frac{y}{1-y} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2y = 1-y \Rightarrow 3y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{3}$.
$x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{1}{3}$ को $(i)$ में रखने पर: $\frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{3}) \times (1-z) = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times (1-z) = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{3}(1-z) = \frac{1}{4} \Rightarrow 1-z = \frac{3}{4} \Rightarrow z = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
अतः,$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}$.

(C) मान लीजिए कि निम्नलिखित घटनाएँ हैं:
$E_1$: छात्र उत्तर का अनुमान लगाता है।
$E_2$: छात्र उत्तर की नकल करता है।
$E_3$: छात्र उत्तर जानता है।
$E$: उत्तर सही है।
दी गई प्रायिकताएँ:
$P(E_1) = \frac{1}{3}$,$P(E_2) = \frac{1}{6}$.
चूंकि घटनाएँ निशेष हैं,$P(E_3) = 1 - (P(E_1) + P(E_2)) = 1 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
प्रतिबंधात्मक प्रायिकताएँ:
$P(E|E_1) = \frac{1}{4}$ (क्योंकि $4$ विकल्प हैं)।
$P(E|E_2) = \frac{1}{8}$ (दिया गया है)।
$P(E|E_3) = 1$ (क्योंकि वह उत्तर जानता है)।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि उसने उत्तर सही दिया है तो उसके द्वारा उत्तर जानने की प्रायिकता:
$P(E_3|E) = \frac{P(E|E_3)P(E_3)}{P(E|E_1)P(E_1) + P(E|E_2)P(E_2) + P(E|E_3)P(E_3)}$
$P(E_3|E) = \frac{1 \times \frac{1}{2}}{(\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{8} \times \frac{1}{6}) + (1 \times \frac{1}{2})}$
$P(E_3|E) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{12} + \frac{1}{48} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{4+1+24}{48}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{29}{48}} = \frac{1}{2} \times \frac{48}{29} = \frac{24}{29}$.

(B) मान लीजिए $S$ वह घटना है कि निकाले गए दो पत्ते हुकुम के हैं। मान लीजिए $M_1$ वह घटना है कि खोया हुआ पत्ता हुकुम का है,और $M_2$ वह घटना है कि खोया हुआ पत्ता हुकुम का नहीं है।
हमें दिया गया है कि $52$ पत्तों की गड्डी में $13$ हुकुम के और $39$ अन्य पत्ते हैं।
$P(M_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ और $P(M_2) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$.
यदि $M_1$ घटित होता है,तो $51$ पत्तों में $12$ हुकुम के पत्ते बचते हैं। $2$ हुकुम के पत्ते निकालने की प्रायिकता $P(S|M_1) = \frac{^{12}C_2}{^{51}C_2} = \frac{66}{1275}$ है।
यदि $M_2$ घटित होता है,तो $51$ पत्तों में $13$ हुकुम के पत्ते बचते हैं। $2$ हुकुम के पत्ते निकालने की प्रायिकता $P(S|M_2) = \frac{^{13}C_2}{^{51}C_2} = \frac{78}{1275}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यह प्रायिकता कि खोया हुआ पत्ता हुकुम का नहीं है,जबकि दो हुकुम के पत्ते निकाले गए हैं:
$P(M_2|S) = \frac{P(M_2)P(S|M_2)}{P(M_1)P(S|M_1) + P(M_2)P(S|M_2)}$
$P(M_2|S) = \frac{\frac{3}{4} \times \frac{78}{1275}}{\frac{1}{4} \times \frac{66}{1275} + \frac{3}{4} \times \frac{78}{1275}} = \frac{3 \times 78}{66 + 3 \times 78} = \frac{234}{66 + 234} = \frac{234}{300} = \frac{39}{50}$.

(B) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि चुना गया बल्ब खराब है। मान लीजिए $M_1, M_2, M_3$ वे घटनाएँ हैं कि बल्ब क्रमशः निर्माताओं $M_1, M_2, M_3$ से खरीदा गया है।
दी गई प्रायिकताएँ:
$P(M_1) = 0.25, P(M_2) = 0.45, P(M_3) = 0.30$
$P(E|M_1) = 0.01, P(E|M_2) = 0.01, P(E|M_3) = 0.02$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,खराब बल्ब के $M_3$ से होने की प्रायिकता:
$P(M_3|E) = \frac{P(M_3) \cdot P(E|M_3)}{P(M_1) \cdot P(E|M_1) + P(M_2) \cdot P(E|M_2) + P(M_3) \cdot P(E|M_3)}$
$P(M_3|E) = \frac{0.30 \times 0.02}{(0.25 \times 0.01) + (0.45 \times 0.01) + (0.30 \times 0.02)}$
$P(M_3|E) = \frac{0.006}{0.0025 + 0.0045 + 0.0060} = \frac{0.006}{0.0130} = \frac{6}{13}$

(C) दिया गया है कि $P(X=x)=k\left(\frac{3}{8}\right)^X$ जहाँ $x=1, 2, 3, \ldots$ एक प्रायिकता वितरण फलन है।
चूंकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,इसलिए $\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $k \sum_{x=1}^{\infty} \left(\frac{3}{8}\right)^x = 1$.
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{3}{8}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{3}{8}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$k \left( \frac{3/8}{1-3/8} \right) = 1$.
$k \left( \frac{3/8}{5/8} \right) = 1$.
$k \left( \frac{3}{5} \right) = 1$.
इसलिए,$k = \frac{5}{3}$.

(C) दिया गया माध्य $= np = 6$ ...$(i)$
प्रसरण $= npq = 2$ ...(ii)
समीकरण (ii) को $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
$p$ का मान $(i)$ में रखने पर,$n \times \frac{2}{3} = 6 \Rightarrow n = 9$।
हमें $P(X \geq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = {}^9C_0 \times (\frac{2}{3})^0 \times (\frac{1}{3})^9 = \frac{1}{3^9}$।
$P(X=1) = {}^9C_1 \times (\frac{2}{3})^1 \times (\frac{1}{3})^8 = 9 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3^8} = \frac{18}{3^9}$।
$P(X \geq 2) = 1 - [\frac{1}{3^9} + \frac{18}{3^9}] = 1 - \frac{19}{3^9}$।

(B) एक असतत यादृच्छिक चर $X$ के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum P(x) = 1$.
दिया गया है $P(x) = c\left(\frac{2}{3}\right)^x$ जहाँ $x = 1, 2, 3, \ldots$.
अतः,$\sum_{x=1}^{\infty} c\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1$.
$c \left[ \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots \right] = 1$.
कोष्ठक के अंदर का व्यंजक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{2}{3}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{3}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
$c \left[ \frac{2/3}{1 - 2/3} \right] = 1$.
$c \left[ \frac{2/3}{1/3} \right] = 1$.
$c(2) = 1$.
$c = \frac{1}{2}$.

(A) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $= np$ और प्रसरण $= npq$,जहाँ $n=5$ परीक्षणों की संख्या है,$p$ सफलता की प्रायिकता है और $q=1-p$ असफलता की प्रायिकता है।
दिया गया है कि माध्य और प्रसरण के बीच का अंतर $\frac{5}{9}$ है:
$np - npq = \frac{5}{9}$
$np(1-q) = \frac{5}{9}$
चूँकि $1-q = p$,इसलिए $np^2 = \frac{5}{9}$।
$n=5$ रखने पर:
$5p^2 = \frac{5}{9} \Rightarrow p^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow p = \frac{1}{3}$।
तब $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
$5$ परीक्षणों में $2$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद सूत्र $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है:
$P(X=2) = {^5C_2} \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^{5-2}$
$P(X=2) = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$।

(A) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np$ द्वारा और प्रसरण $\sigma^2 = np(1-p)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$np = 2.4$ और $np(1-p) = 1.44$ है।
प्रसरण के समीकरण में $np$ का मान रखने पर:
$2.4(1-p) = 1.44$
$1-p = \frac{1.44}{2.4} = 0.6$
$p = 1 - 0.6 = 0.4 = \frac{2}{5}$ है।
अब,$p = 0.4$ का मान $np = 2.4$ में रखने पर:
$n(0.4) = 2.4$
$n = \frac{2.4}{0.4} = 6$ है।
अतः,प्राचल $n = 6$ और $p = \frac{2}{5}$ हैं।

(A) पॉइसन वितरण द्विपद वितरण की एक सीमित स्थिति है जब विशिष्ट शर्तें पूरी होती हैं: $n$ बहुत बड़ा हो $(n \to \infty)$ और $p$ बहुत छोटा हो $(p \to 0)$ ताकि $np = \lambda$ स्थिर रहे।
कथन $(i)$ बर्नौली परीक्षण के लिए बुनियादी आवश्यकता का वर्णन करता है।
कथन (ii) पॉइसन सन्निकटन के लिए एक आवश्यक शर्त है।
कथन (iii) द्विपद और पॉइसन दोनों वितरणों के लिए एक आवश्यकता है।
कथन (iv) बताता है कि सफलता की संभावना $p$ बहुत बड़ी है। यह पॉइसन वितरण की मौलिक धारणा के विपरीत है,जो दुर्लभ घटनाओं का मॉडलिंग करता है जहाँ $p$ छोटा होता है। इसलिए,(iv) उपयुक्त नहीं है।

(D) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $= np = 2$ और प्रसरण $= npq = 1$ है।
चूंकि $q = 1 - p$,हमारे पास $np(1 - p) = 1$ है।
$np = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2(1 - p) = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $1 - p = 1/2$,अतः $p = 1/2$ है।
तब $n(1/2) = 2$,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X > 1) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ ज्ञात करना है।
सूत्र $P(X = k) = ^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = ^4C_0 (1/2)^0 (1/2)^4 = 1 \times 1 \times 1/16 = 1/16$।
$P(X = 1) = ^4C_1 (1/2)^1 (1/2)^3 = 4 \times 1/2 \times 1/8 = 4/16$।
अतः,$P(X > 1) = 1 - (1/16 + 4/16) = 1 - 5/16 = 11/16$।

(A) माना $p$ उस व्यक्ति के बाएं हाथ से लिखने की प्रायिकता है,अतः $p = 0.1$।
माना $q$ उस व्यक्ति के बाएं हाथ से न लिखने की प्रायिकता है,अतः $q = 1 - p = 0.9$।
यहाँ $n = 10$ परीक्षणों और $k = 1$ सफलता के लिए द्विपद बंटन सूत्र का उपयोग करने पर:
$P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$
मान रखने पर:
$P(X = 1) = {}^{10}C_{1} (0.1)^{1} (0.9)^{10-1}$
$P(X = 1) = 10 \times 0.1 \times (0.9)^9$
$P(X = 1) = 1 \times (0.9)^9 = (0.9)^9$

(D) यादृच्छिक चर $X$ मान $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ लेता है,जहाँ प्रत्येक के लिए प्रायिकता $P(X=x_i) = \frac{1}{6}$ है।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$.
$Var(X) = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$.
अतः,माध्य $\frac{7}{2}$ है और प्रसरण $\frac{35}{12}$ है।

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$
$3C^3 + (4C - 10C^2) + (5C - 1) = 1$
$3C^3 - 10C^2 + 9C - 2 = 0$
मानों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $(C - 1)$ एक गुणनखंड है। बहुपद को विभाजित करने पर,हमें $(C - 1)(3C^2 - 7C + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
आगे गुणनखंड करने पर: $(C - 1)(3C - 1)(C - 2) = 0$।
अतः,$C$ के संभावित मान $1, \frac{1}{3}, 2$ हैं।
हमें यह जाँच करनी होगी कि क्या ये मान $0$ और $1$ के बीच प्रायिकता देते हैं:
यदि $C = 2$ है,तो $P(X=2) = 5(2) - 1 = 9$,जो $1$ से अधिक है। इसलिए $C \neq 2$।
यदि $C = 1$ है,तो $P(X=1) = 4(1) - 10(1)^2 = -6$,जो $0$ से कम है। इसलिए $C \neq 1$।
यदि $C = \frac{1}{3}$ है,तो $P(X=0) = 3(\frac{1}{27}) = \frac{1}{9}$,$P(X=1) = 4(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{9}) = \frac{2}{9}$,और $P(X=2) = 5(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{2}{3}$।
चूंकि सभी प्रायिकताएं $0$ और $1$ के बीच हैं और उनका योग $1$ है,इसलिए सही मान $C = \frac{1}{3}$ है।

(C) जब $8$ सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^8 = 256$ होती है।
मान लीजिए $X$ प्राप्त चितों की संख्या है। $X$ एक द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $n = 8$ और $p = 0.5$ है।
कम से कम $6$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \ge 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)$ है।
सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 6) = \binom{8}{6} (0.5)^8 = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$.
$P(X = 7) = \binom{8}{7} (0.5)^8 = 8 \times \frac{1}{256} = \frac{8}{256}$.
$P(X = 8) = \binom{8}{8} (0.5)^8 = 1 \times \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$.
इन प्रायिकताओं का योग करने पर: $P(X \ge 6) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256}$.

(D) माना $n$ उछालों की संख्या है। $n$ उछालों में $k$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद बंटन $P(X=k) = {^nC_k} (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दी जाती है।
कम से कम दो चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$ है।
$P(X=0) = {^nC_0} (\frac{1}{2})^n = \frac{1}{2^n}$.
$P(X=1) = {^nC_1} (\frac{1}{2})^n = \frac{n}{2^n}$.
अतः,$P(X \ge 2) = 1 - \frac{1+n}{2^n}$.
हम चाहते हैं कि $1 - \frac{1+n}{2^n} \ge 0.96$,जिसका अर्थ है $\frac{1+n}{2^n} \le 0.04 = \frac{1}{25}$.
$n$ के मानों की जाँच करने पर:
$n=7$ के लिए: $\frac{1+7}{2^7} = \frac{8}{128} = \frac{1}{16} = 0.0625 > 0.04$.
$n=8$ के लिए: $\frac{1+8}{2^8} = \frac{9}{256} \approx 0.03515 < 0.04$.
अतः,आवश्यक उछालों की न्यूनतम संख्या $8$ है।

(C) यादृच्छिक चर $X$ का माध्य (अपेक्षित मान) सूत्र $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया प्रायिकता वितरण:
$P(X=-2) = \frac{1}{6}$
$P(X=-1) = \frac{1}{6}$
$P(X=0) = \frac{1}{3}$
$P(X=1) = \frac{1}{6}$
$P(X=2) = \frac{1}{6}$
माध्य की गणना:
$E(X) = (-2) \times \frac{1}{6} + (-1) \times \frac{1}{6} + 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6}$
$E(X) = -\frac{2}{6} - \frac{1}{6} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{2}{6}$
$E(X) = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2}{6} = \frac{0}{6} = 0$
अतः,$X$ का माध्य $0$ है।

(B) हम जानते हैं कि एक वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
दिया गया है $P(X=k) = \frac{(k+1)c}{2^k}$,इसलिए $c \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{2^k} = 1$.
मान लीजिए $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{2^k} = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \ldots$.
तब $\frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \ldots$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S - \frac{1}{2}S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$.
अतः,$\frac{1}{2}S = 2$,जिसका अर्थ है $S = 4$.
चूंकि $c \cdot S = 1$,हमें $4c = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = \frac{1}{4}$.
अब,$P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$.
$P(X=0) = \frac{(0+1)c}{2^0} = c = \frac{1}{4}$.
$P(X=1) = \frac{(1+1)c}{2^1} = c = \frac{1}{4}$.
$P(X=2) = \frac{(2+1)c}{2^2} = \frac{3c}{4} = \frac{3}{16}$.
$P(X \geq 3) = 1 - [\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16}] = 1 - [\frac{4+4+3}{16}] = 1 - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}$.

(B) माना $X$ एक दिन में दुर्घटनाओं की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$.
यह दिया गया है कि $50$ दिनों में $10$ दुर्घटनाएं हुईं,इसलिए प्रति दिन औसत दर $\lambda = \frac{10}{50} = 0.2$ है।
एक दिन में $X$ दुर्घटनाओं की प्रायिकता $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दी जाती है।
हमें $P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ ज्ञात करना है।
$P(X \geq 3) = 1 - \left[ \frac{e^{-0.2} (0.2)^0}{0!} + \frac{e^{-0.2} (0.2)^1}{1!} + \frac{e^{-0.2} (0.2)^2}{2!} \right]$.
$P(X \geq 3) = 1 - e^{-0.2} \left[ 1 + 0.2 + \frac{0.04}{2} \right]$.
$P(X \geq 3) = 1 - e^{-0.2} [1 + 0.2 + 0.02] = 1 - 1.22 e^{-0.2}$.

(C) पॉइसन वितरण $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda = 6$ है।
हमें $P(1 \leq X \leq 5) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ ज्ञात करना है।
$P(1 \leq X \leq 5) = e^{-6} \left[ \frac{6^1}{1!} + \frac{6^2}{2!} + \frac{6^3}{3!} + \frac{6^4}{4!} + \frac{6^5}{5!} \right]$
$= e^{-6} \left[ 6 + 18 + 36 + 54 + 64.8 \right]$
$= e^{-6} [178.8]$
$= 6 \times e^{-6} (29.8)$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $A + 2B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$
$(2)$ $2A - B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$4A - 2B = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 10 \\ 4 & -2 & 12 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ $(3)$
$(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$5A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & -5 & 15 \\ -5 & 5 & 5 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
$\operatorname{tr}(A) = 1 + (-1) + 1 = 1$
$(1)$ से,$2B = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 4 & -2 & 0 \\ -4 & 2 & 0 \end{bmatrix}$
$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
$\operatorname{tr}(B) = 0 + (-1) + 0 = -1$
$\operatorname{tr}(A) - \operatorname{tr}(B) = 1 - (-1) = 2$

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} d x$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{1}{1+4 \tan ^2 x} d x$.
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x dx = dt$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{dt}{1+t^2}$.
जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{4}, t=1$.
अतः,$I = \int_0^1 \frac{1}{(1+t^2)(1+4t^2)} dt$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{(1+t^2)(1+4t^2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{1+4t^2} - \frac{1}{1+t^2} \right)$.
$I = \frac{1}{3} \int_0^1 \left( \frac{4}{1+4t^2} - \frac{1}{1+t^2} \right) dt$.
$I = \frac{1}{3} \left[ 2 \tan^{-1}(2t) - \tan^{-1}(t) \right]_0^1$.
$I = \frac{1}{3} \left[ (2 \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) - (0 - 0) \right]$.
$I = \frac{1}{3} \left[ 2 \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{4} \right] = \frac{2}{3} \tan^{-1}(2) - \frac{\pi}{12}$.

(C) बिंदु $(x_0, y_0, z_0) = (-1, 2, 3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\langle a, b, c \rangle$ समतल के अभिलंब के दिक-अनुपात हैं।
बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a(x + 1) + b(y - 2) + c(z - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि अभिलंब निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाता है,इसलिए दिक-कोसाइन $\cos \alpha, \cos \alpha, \cos \alpha$ हैं।
अतः,दिक-अनुपात $a, b, c$ को $1, 1, 1$ के रूप में लिया जा सकता है।
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$1(x + 1) + 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0$
$x + 1 + y - 2 + z - 3 = 0$
$x + y + z - 4 = 0$.

(A) एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
यहाँ,मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल पर लंब का पाद $(1,2,3)$ है।
यह बिंदु $(1,2,3)$ समतल पर स्थित है,इसलिए यह $(x_1, y_1, z_1)$ के रूप में कार्य करता है।
मूल बिंदु से लंब के पाद तक का सदिश समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के रूप में कार्य करता है।
अतः,$\vec{n} = (1-0, 2-0, 3-0) = (1, 2, 3)$।
इन मानों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$1(x-1) + 2(y-2) + 3(z-3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$
$x + 2y + 3z - 14 = 0$
$x + 2y + 3z = 14$.