मान लीजिए कि वृत्त S equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c= | vedclass

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Question

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है जिसका केंद्र $(-g, -f)$ है।दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2

Vedclass · Accepted Answer

$c-f$

Vedclass · Answer

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है जिसका केंद्र $(-g, -f)$ है।दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ है।पहले वृत्त $x^2+y^2-2x+2y-2=0$ के लिए,$g_2=-1, f_2=1, c_2=-2$ है। शर्त लागू करने पर: $2g(-1)+2f(1)=c-2 \Rightarrow -2g+2f=c-2$ (समीकरण $1$)।दूसरे वृत्त $x^2+y^2+4x-6y+9=0$ के लिए,$g_3=2, f_3=-3, c_3=9$ है। शर्त लागू करने पर: $2g(2)+2f(-3)=c+9 \Rightarrow 4g-6f=c+9$ (समीकरण $2$)।केंद्र $(-g, -f)$ रेखा $2x+3y-2=0$ पर स्थित है,अतः $2(-g)+3(-f)-2=0 \Rightarrow -2g-3f=2$ (समीकरण $3$)।समीकरणों को हल करने पर,हमें $f=-1, g=1/2, c=-1$ प्राप्त होता है।अतः $2g+f = 2(1/2)+(-1) = 0$ है।विकल्पों की जाँच करने पर: $c-f = -1-(-1) = 0$ है। अतः,$2g+f = c-f$।

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $S_\alpha=0$ के बिंदु वृत्त	$(i)$ अस्तित्व में नहीं हैं
$(B)$ $S_\beta=0$ के बिंदु वृत्त	(ii) प्रतिच्छेदी
$(C)$ $S_\alpha=0$ में वृत्त हैं	(iii) गैर-प्रतिच्छेदी
$(D)$ $S_\beta=0$ में वृत्त हैं	(iv) $(\pm \sqrt{k}, 0)$
	$(v)$ $(0, \pm \sqrt{k})$

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