अवकल समीकरण (1+y^2) dx - xy dy = 0 का प्रतिबं | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2) dx - xy dy = 0$ चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{x} = \frac{y}{1+y^2} dy$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \fra

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अतिपरवलय का एक भाग

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2) dx - xy dy = 0$ चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{x} = \frac{y}{1+y^2} dy$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{y}{1+y^2} dy$ $\ln |x| = \frac{1}{2} \ln(1+y^2) + C$ $2$ से गुणा करने पर: $2 \ln |x| = \ln(1+y^2) + 2C$ $\ln(x^2) - \ln(1+y^2) = C'$ (जहाँ $C' = 2C$) $\ln \left( \frac{x^2}{1+y^2} \right) = C'$ $\frac{x^2}{1+y^2} = e^{C'} = k$ प्रतिबंध $y(1) = 0$ दिया गया है,अतः $x=1$ और $y=0$ रखने पर: $\frac{1^2}{1+0^2} = k \Rightarrow k = 1$ अतः,$\frac{x^2}{1+y^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 1+y^2 \Rightarrow x^2 - y^2 = 1$ यह समीकरण एक अतिपरवलय (hyperbola) को दर्शाता है।

अवकल समीकरण $(1+y^2) dx - xy dy = 0$ का प्रतिबंध $y(1) = 0$ के साथ विशिष्ट हल क्या दर्शाता है?

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