AP EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया समीकरण $z^3+\bar{z}=0$ है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|z^3| = |-\bar{z}|$,जिसका अर्थ है $|z|^3 = |z|$।
इससे $|z|(|z|^2 - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $|z| = 0$,जिसका अर्थ है $z = 0$। यह $1$ हल है।
स्थिति $2$: $|z|^2 = 1$,जिसका अर्थ है $z\bar{z} = 1$,इसलिए $\bar{z} = \frac{1}{z}$।
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर: $z^3 + \frac{1}{z} = 0$,जो $z^4 + 1 = 0$ देता है।
समीकरण $z^4 = -1$ के $4$ भिन्न हल होते हैं।
अतः,हलों की कुल संख्या $1 + 4 = 5$ है।

(C) दिया गया समीकरण $|z - 1 + i| = 1$ है।
इसे $|z - (1 - i)| = 1$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
सम्मिश्र तल में वृत्त के मानक समीकरण $|z - z_0| = r$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $z_0$ केंद्र है और $r$ त्रिज्या है,हमें $z_0 = 1 - i$ और $r = 1$ प्राप्त होता है।
कार्तीय निर्देशांक में,$z_0 = 1 - i$ बिंदु $(1, -1)$ के अनुरूप है।
अतः,$S$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(1, -1)$ है और त्रिज्या $1$ इकाई है।

(C) दिया गया है $\left|z-\frac{2}{z}\right|=2$।
त्रिभुज असमिका गुण $||z_1|-|z_2|| \leq |z_1-z_2|$ का उपयोग करने पर:
$||z|-\left|\frac{2}{z}\right|| \leq \left|z-\frac{2}{z}\right| = 2$।
मान लीजिए $|z| = r$। तब $|r - \frac{2}{r}| \leq 2$।
इसका अर्थ है $-2 \leq r - \frac{2}{r} \leq 2$।
दाहिनी ओर की असमिका लेने पर: $r - \frac{2}{r} \leq 2
\Rightarrow r^2 - 2r - 2 \leq 0$।
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $r^2 - 2r - 2 = 0$ को हल करने पर:
$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$।
चूंकि $r = |z| > 0$,इसलिए $r \leq 1 + \sqrt{3}$।
अतः,$|z|$ का अधिकतम मान $\sqrt{3} + 1$ है।

(D) माना $z = -3-4i$ है। हमें $\sqrt{z} = re^{i\theta}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$z = r^2 e^{i2\theta} = r^2(\cos 2\theta + i \sin 2\theta)$ प्राप्त होता है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना $z = -3-4i$ से करने पर:
$r^2 \cos 2\theta = -3$ और $r^2 \sin 2\theta = -4$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $r^2 = |z| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5$ है।
टैंजेंट के लिए डबल एंगल सूत्र का उपयोग करने पर: $\tan 2\theta = \frac{r^2 \sin 2\theta}{r^2 \cos 2\theta} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$।
$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{4}{3}$ का उपयोग करने पर,$6 \tan \theta = 4 - 4 \tan^2 \theta$,या $4 \tan^2 \theta + 6 \tan \theta - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,$2 \tan^2 \theta + 3 \tan \theta - 2 = 0$।
गुणनखंड करने पर $(2 \tan \theta - 1)(\tan \theta + 2) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\tan \theta = \frac{1}{2}$ या $\tan \theta = -2$ है।
$\tan \theta = -2$ लेने पर,$r^2 \tan \theta = 5 \times (-2) = -10$ प्राप्त होता है।

(D) दिया है $z = \sqrt{\frac{1-i}{1+i}}$.
अंश और हर को $(1-i)$ से गुणा करने पर:
$z = \sqrt{\frac{(1-i)^2}{1^2+1^2}} = \sqrt{\frac{(1-i)^2}{2}} = \pm \frac{1-i}{\sqrt{2}}$.
अतः,$z_1 = \frac{1-i}{\sqrt{2}}$ और $z_2 = \frac{-1+i}{\sqrt{2}}$.
$z_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,कोणांक $\arg(z_1) = \tan^{-1}\left(\frac{-1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi}{4}$.
$z_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,कोणांक $\arg(z_2) = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{1/\sqrt{2}}{-1/\sqrt{2}}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
शर्त $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \pi$ संतुष्ट होती है।
इसलिए,$\arg(z_1) + \arg(z_2) = -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

(B) बिंदु $A(-2, 1)$ और $B(3, -4)$ हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $C$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$C = \left( \frac{1(3) + 2(-2)}{1+2}, \frac{1(-4) + 2(1)}{1+2} \right) = \left( -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right)$.
चूंकि $C$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसका कोणांक $\theta = \tan^{-1}\left( \frac{y}{x} \right) - \pi$ होगा।
$\text{arg}(C) = \tan^{-1}\left( \frac{-2/3}{-1/3} \right) - \pi = \tan^{-1}(2) - \pi$.

(B) दिया गया है $z_1 = 4+3 i$.
मापांक $\alpha = |z_1| = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = 5$.
क्षेत्र $|z - \overline{z_1}| \leq 5$ द्वारा परिभाषित है।
चूँकि $\overline{z_1} = 4-3 i$,असमिका $|z - (4-3 i)| \leq 5$ है।
विकल्प $B$ के लिए,$z = z_1 = 4+3 i$ रखने पर:
$|(4+3 i) - (4-3 i)| = |6 i| = 6$.
चूँकि $6 > 5$,बिंदु $z_1$ असमिका को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,$z_1$ क्षेत्र में स्थित नहीं है।

(A) दिया गया है कि $z_1, z_2, z_3$ एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं और $z$ इसका परिकेंद्र है।
चूंकि $z$ परिकेंद्र है,इसलिए $z$ से प्रत्येक शीर्ष की दूरी परित्रिज्या $R$ के बराबर होती है।
अतः,$|z-z_1| = |z-z_2| = |z-z_3| = R$.
अब,अनुपात $\frac{|z-z_1|}{|z-z_2|} = \frac{R}{R} = 1$ पर विचार करें।
साथ ही,$\frac{|z-z_3|}{|z-z_1|} = \frac{R}{R} = 1$ है।
इस प्रकार,$\frac{|z-z_1|}{|z-z_2|} = \frac{|z-z_3|}{|z-z_1|} = 1$।

(C) दिया गया समीकरण: $4a + i(3a - b) = b - 6i$
दोनों पक्षों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
वास्तविक भाग: $4a = b$
काल्पनिक भाग: $3a - b = -6$
दूसरे समीकरण में $b = 4a$ रखने पर:
$3a - 4a = -6$ $\Rightarrow -a = -6$ $\Rightarrow a = 6$
अतः,$b = 4(6) = 24$
अब,$z$ में $a$ और $b$ का मान रखने पर:
$z = 6 + \frac{24}{4}i = 6 + 6i$
मापांक $|z|$ है:
$|z| = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
अंत में,$\frac{|z|}{a}$ की गणना करने पर:
$\frac{|z|}{a} = \frac{6\sqrt{2}}{6} = \sqrt{2}$

(B) दिया गया है $z = \frac{-2+i}{(1-2i)^2}$.
हर का सरलीकरण करने पर: $(1-2i)^2 = 1 - 4 - 4i = -3 - 4i$.
अतः,$z = \frac{-2+i}{-3-4i} = \frac{2-i}{3+4i}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3-4i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(2-i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \frac{6 - 11i - 4}{25} = \frac{2 - 11i}{25}$.
अतः,$\bar{z} = \frac{2 + 11i}{25}$.
मापांक $|\bar{z}| = |z| = \sqrt{(\frac{2}{25})^2 + (-\frac{11}{25})^2} = \sqrt{\frac{125}{625}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(B) दिया गया है कि सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ का आयाम (argument) $\theta$ है।
परिभाषा के अनुसार,$\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \theta$ है।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,हमें $\frac{y}{x} = \tan \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु का बिंदुपथ $y = x \tan \theta$ है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(D) दी गई असमिका $|z - (1 - i)| \leq 2$ है। यह आर्गंड समतल में केंद्र $(1, -1)$ और त्रिज्या $r = 2$ वाला एक डिस्क (वृत्त और उसके भीतर का भाग) है।
प्रत्येक बिंदु $z$ के लिए $|z - (1 - i)| \leq 2$ की जाँच करने पर:
$(A)$ $z = \frac{1 - i}{2}$ के लिए,$|z - (1 - i)| = \frac{1}{\sqrt{2}} \leq 2$. (अंदर है)
$(B)$ $z = 1$ के लिए,$|z - (1 - i)| = 1 \leq 2$. (अंदर है)
$(C)$ $z = \frac{1 - i}{4}$ के लिए,$|z - (1 - i)| = \frac{3\sqrt{2}}{4} \leq 2$. (अंदर है)
$(D)$ $z = i$ के लिए,$|z - (1 - i)| = \sqrt{5} > 2$. (बाहर है)
अतः,बिंदु $i$ क्षेत्र में नहीं है।

(B) दिया गया है कि $-3+ix^2y$ और $x^2+y+4i$ सम्मिश्र संयुग्मी हैं।
अतः,$-3-ix^2y = x^2+y+4i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x^2+y = -3$ $(i)$
$-x^2y = 4$ $(ii)$
$(ii)$ से,$y = -\frac{4}{x^2}$.
$y$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$x^2 - \frac{4}{x^2} = -3$
माना $x^2 = t$,तो $t - \frac{4}{t} = -3 \implies t^2 + 3t - 4 = 0$.
$(t+4)(t-1) = 0$.
चूंकि $t = x^2$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t = 1$.
$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

(D) दिया गया है $z = 1 + \cos \theta - i \sin \theta$.
$z - 1 = \cos \theta - i \sin \theta$.
$|z - 1| = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = 1$.
$|z|^2 = (1 + \cos \theta)^2 + (-\sin \theta)^2 = 1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 2 + 2 \cos \theta$.
अब,इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\left[|z - 1|^2 - \frac{|z|^2}{4}\right]^{1/2} = \left[1^2 - \frac{2 + 2 \cos \theta}{4}\right]^{1/2} = \left[1 - \frac{1 + \cos \theta}{2}\right]^{1/2} = \left[\frac{2 - 1 - \cos \theta}{2}\right]^{1/2} = \left[\frac{1 - \cos \theta}{2}\right]^{1/2}$.
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\left[\frac{2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)}{2}\right]^{1/2} = \sqrt{\sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)} = \sin \left(\frac{\theta}{2}\right)$ (चूंकि $0 < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin \left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$).

(A) दिया गया समीकरण: $|z-1|=|i(z+1)|$
चूंकि $|i|=1$,हम लिख सकते हैं: $|z-1|=|z+1|$
माना $z = x+iy$. तब: $|x+iy-1|=|x+iy+1|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|(x-1)+iy|^2 = |(x+1)+iy|^2$
$(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2 + y^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$
$-2x = 2x$
$4x = 0 \Rightarrow x = 0$
समीकरण $x=0$ आर्गंड समतल में $Y$-अक्ष को दर्शाता है।

(A) सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करें:
$\frac{4+2 i}{1-2 i} = 2 i$
$\frac{3+4 i}{2+3 i} = \frac{18-i}{13}$
दोनों का योग करने पर:
$\frac{18}{13} + \frac{25}{13} i$
कोणांक $\tan^{-1}\left(\frac{25}{18}\right)$ होगा।
चूँकि $\frac{25}{18} > 1$,इसलिए $\tan^{-1}\left(\frac{25}{18}\right) > \frac{\pi}{4}$।
अतः,यह $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ अंतराल में स्थित है।

(B) हम जानते हैं कि $(1+i)^2 = 2i$ और $(1-i)^2 = -2i$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1+i)^{2024} + (1-i)^{2024} = [(1+i)^2]^{1012} + [(1-i)^2]^{1012}$
$= (2i)^{1012} + (-2i)^{1012}$
$= 2^{1012} \cdot i^{1012} + (-2)^{1012} \cdot i^{1012}$
चूंकि $1012$ एक सम संख्या है,इसलिए $(-2)^{1012} = 2^{1012}$ और $i^{1012} = (i^4)^{253} = 1$ होता है।
$= 2^{1012} \cdot 1 + 2^{1012} \cdot 1$
$= 2 \cdot 2^{1012} = 2^{1013}$.

(C) एक सम्मिश्र संख्या $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ के $n^{\text{th}}$ मूल $z_k = r^{1/n} \operatorname{cis} \left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right)$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $k = 0, 1, \dots, n-1$ है।
$z = -1$ के लिए,$r = 1$ और $\theta = \pi$ है।
अतः,$15^{\text{th}}$ मूल $\operatorname{cis} \left( \frac{\pi + 2k\pi}{15} \right)$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, \dots, 14$ है।
$k = 6$ के लिए,मूल $\operatorname{cis} \left( \frac{\pi + 12\pi}{15} \right) = \operatorname{cis} \left( \frac{13\pi}{15} \right)$ है।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+x+1=0$ के मूल हैं।
ये मूल इकाई के घनमूल हैं,अर्थात् $\omega$ और $\omega^2$।
माना $\alpha = \omega = e^{i \frac{2\pi}{3}}$ और $\beta = \omega^2 = e^{i \frac{4\pi}{3}}$।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^{2023}$ और $\beta^{1012}$ हैं।
सबसे पहले,$\alpha^{2023} = (\omega)^{2023} = \omega^{2023 \pmod 3} = \omega^{2022+1} = \omega^1 = \alpha$ की गणना करें।
इसके बाद,$\beta^{1012} = (\omega^2)^{1012} = \omega^{2024} = \omega^{2022+2} = \omega^2 = \beta$ की गणना करें।
चूंकि नए समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,इसलिए आवश्यक द्विघात समीकरण मूल समीकरण के समान ही है: $x^2+x+1=0$।

(C) दिया गया है $|z|=1$ और $\operatorname{Arg}(z)=\frac{\pi}{6}$।
$z = |z|e^{i \operatorname{Arg}(z)} = 1 \cdot e^{i \frac{\pi}{6}} = e^{i \frac{\pi}{6}}$।
तब $z^6 = (e^{i \frac{\pi}{6}})^6 = e^{i \pi} = -1$।
और $z^{12} = (e^{i \frac{\pi}{6}})^{12} = e^{2 \pi i} = 1$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{z^{12}+1-z^6}{z^{12}+i z^6-1} = \frac{1+1-(-1)}{1+i(-1)-1} = \frac{3}{-i} = \frac{3}{-i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{3i}{-i^2} = 3i$।

(D) डी मोइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$[r(\cos \theta + i \sin \theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i \sin n\theta)$.
दिया गया व्यंजक: $[\sqrt{2}(\cos 56^{\circ} 15^{\prime} + i \sin 56^{\circ} 15^{\prime})]^8$.
यहाँ,$r = \sqrt{2}$,$\theta = 56^{\circ} 15^{\prime} = 56.25^{\circ}$,और $n = 8$.
प्रमेय लागू करने पर:
$= (\sqrt{2})^8 [\cos(8 \times 56.25^{\circ}) + i \sin(8 \times 56.25^{\circ})]$.
$= 2^4 [\cos(450^{\circ}) + i \sin(450^{\circ})]$.
चूंकि $450^{\circ} = 360^{\circ} + 90^{\circ}$,इसलिए $\cos(450^{\circ}) = \cos(90^{\circ}) = 0$ और $\sin(450^{\circ}) = \sin(90^{\circ}) = 1$.
$= 16(0 + i(1)) = 16i$.

(A) हमें $\cos \left(\sum_{k=1}^7(k-\omega)(k-\omega^2) \frac{\pi}{175}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\omega^2+\omega+1=0$ और $\omega^3=1$,इसलिए $(k-\omega)(k-\omega^2) = k^2 - k(\omega+\omega^2) + \omega^3 = k^2 - k(-1) + 1 = k^2+k+1$ है।
अतः,व्यंजक $\cos \left(\frac{\pi}{175} \sum_{k=1}^7 (k^2+k+1)\right)$ हो जाता है।
योग की गणना: $\sum_{k=1}^7 k^2 = \frac{7(8)(15)}{6} = 140$,$\sum_{k=1}^7 k = \frac{7(8)}{2} = 28$,और $\sum_{k=1}^7 1 = 7$ है।
योग $= 140 + 28 + 7 = 175$ है।
इसलिए,$\cos \left(\frac{\pi}{175} \times 175\right) = \cos(\pi) = -1$।

(A) दिया गया है कि $1+\omega+\omega^2 = 0$,इसलिए $1+\omega^2 = -\omega$ और $1+\omega = -\omega^2$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1-\omega+\omega^2)^{3k} + (1-\omega^2+\omega)^{3k} = (1-\omega+\omega^2)^{3k+1} + (1+\omega-\omega^2)^{3k+1}$
$(-2\omega)^{3k} + (-2\omega^2)^{3k} = (-2\omega)^{3k+1} + (-2\omega^2)^{3k+1}$
$(-2)^{3k} \omega^{3k} + (-2)^{3k} \omega^{6k} = (-2)^{3k+1} \omega^{3k+1} + (-2)^{3k+1} \omega^{2(3k+1)}$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{3k} = 1$ और $\omega^{6k} = 1$:
$(-2)^{3k}(1+1) = (-2)^{3k} \cdot (-2) \cdot (\omega + \omega^2)$
$2 = -2(\omega + \omega^2)$
चूंकि $\omega + \omega^2 = -1$,हमें $2 = -2(-1) = 2$ प्राप्त होता है।
यह कथन सभी $k \in N$ के लिए सत्य है। अतः,$k = r$ जहाँ $r \in N$।

(A) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
सबसे पहले,$\omega$ की घातों को सरल करने पर:
$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$
$\omega^{23} = (\omega^3)^7 \cdot \omega^2 = \omega^2$
अब इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\sin \left[ (\omega + \omega^2) \pi - \frac{\pi}{4} \right]$
चूंकि $\omega + \omega^2 = -1$ है:
$\sin \left[ (-1) \pi - \frac{\pi}{4} \right] = \sin \left( -\frac{5\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(B) दिया गया समीकरण: $8z^3 - 12z^2 + 6z - 28 = 0$ ...$(i)$
निरीक्षण द्वारा,$z = 2$ एक मूल है क्योंकि $8(8) - 12(4) + 6(2) - 28 = 0$.
समीकरण को $(z - 2)$ से विभाजित करने पर:
$(z - 2)(8z^2 + 4z + 14) = 0$
$(z - 2)(4z^2 + 2z + 7) = 0$
$4z^2 + 2z + 7 = 0$ के लिए,मूल $z = \frac{-1 \pm 3\sqrt{3}i}{4}$ प्राप्त होते हैं।
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\frac{3\omega + 1}{2} = \frac{-1 + 3i\sqrt{3}}{4}$ और $\frac{3\omega^2 + 1}{2} = \frac{-1 - 3i\sqrt{3}}{4}$।
इस प्रकार,मूल $2, \frac{3\omega + 1}{2}, \frac{3\omega^2 + 1}{2}$ हैं।

(B) दिया गया है $f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$ जहाँ $a_i \in \mathbb{Z}$ है।
चूंकि गुणांक पूर्णांक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल संयुग्मी युग्मों में होने चाहिए और $a+\sqrt{b}$ रूप के अपरिमेय मूल अपने संयुग्मी $a-\sqrt{b}$ के साथ होने चाहिए।
दिए गए मूल $x_1 = 3+i$ और $x_2 = 2-\sqrt{3}$ हैं।
इसलिए,उनके संयुग्मी $x_3 = 3-i$ और $x_4 = 2+\sqrt{3}$ भी मूल होने चाहिए।
चूंकि कम से कम $4$ मूल हैं,इसलिए न्यूनतम घात $n=4$ है।
$4$ घात वाले बहुपद के लिए,अचर पद $a_0$ मूलों के गुणनफल के बराबर होता है: $a_0 = x_1 x_2 x_3 x_4$.
$a_0 = (3+i)(3-i) \times (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$
$a_0 = (9+1) \times (4-3) = 10 \times 1 = 10$.
अतः,$n=4$ और $a_0=10$।

(A) दिया गया है $z_1 = 2 - i$ और $z_2 = 6 + 3i$।
हमें $\operatorname{amp}\left(\frac{z_1-z_2}{z_1+z_2}\right)$ ज्ञात करना है।
पहले,$z_1 - z_2 = (2 - 6) + (-1 - 3)i = -4 - 4i$।
फिर,$z_1 + z_2 = (2 + 6) + (-1 + 3)i = 8 + 2i$।
अब,$\operatorname{amp}\left(\frac{z_1-z_2}{z_1+z_2}\right) = \operatorname{amp}(z_1-z_2) - \operatorname{amp}(z_1+z_2)$।
$\operatorname{amp}(-4-4i) = -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{-4}{-4}\right) = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$।
$\operatorname{amp}(8+2i) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{8}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$।
अतः,परिणाम $-\frac{3\pi}{4} - \tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$ है।

(A) इकाई के $4^{th}$ मूल $1, -1, i, -i$ हैं। वास्तविक मूल $\alpha=1, \beta=-1$ हैं और अन्य मूल $\gamma=i, \delta=-i$ हैं।
प्रथम शांकव $|z-1|+|z+1|=4$ के लिए,यह एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जिसकी नाभियाँ $(\pm 1, 0)$ पर हैं और मुख्य अक्ष $2a=4$ है,इसलिए $a=2$ है। नाभियों के बीच की दूरी $2ae_1=2$ है,इसलिए $e_1=\frac{1}{2}$ है।
दूसरे शांकव $|z-i|+|z+i|=6$ के लिए,यह एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जिसकी नाभियाँ $(0, \pm 1)$ पर हैं और मुख्य अक्ष $2a=6$ है,इसलिए $a=3$ है। नाभियों के बीच की दूरी $2ae_2=2$ है,इसलिए $e_2=\frac{1}{3}$ है।
उत्केंद्रताओं का योग $e_1+e_2 = \frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ है।

(D) दिया गया है $x^3-a^3=0 \Rightarrow (x-a)(x^2+ax+a^2)=0$.
चूंकि $a>0$,वास्तविक मूल $\alpha = a$ है।
अन्य मूल $\beta = a \omega = a(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$ और $\gamma = a \omega^2 = a(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})$ हैं।
पहला वक्र $|z - \beta| = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ है,जो केंद्र $\beta = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2})$ और त्रिज्या $R = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ वाला एक वृत्त है।
दूसरा वक्र $|z - \gamma| = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ है,जो केंद्र $\gamma = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2})$ और त्रिज्या $R = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ वाला एक वृत्त है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(-\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}))^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2} - (-\frac{a\sqrt{3}}{2}))^2} = a\sqrt{3}$ है।
त्रिज्याओं का योग $R_1 + R_2 = a\sqrt{3}$ है।
चूंकि केंद्रों के बीच की दूरी $d$ त्रिज्याओं के योग $R_1 + R_2$ के बराबर है,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को एक बिंदु पर स्पर्श करते हैं।
अतः,उभयनिष्ठ बिंदुओं की संख्या $1$ है।

(A) $z_3 = \frac{z_1+z_2}{2} = \frac{(2+3i)+(4-5i)}{2} = 3-i$.
दिया गया है $5z_1+xz_2+yz_3=0$.
मान रखने पर: $5(2+3i) + x(4-5i) + y(3-i) = 0$.
$(10+15i) + (4x-5xi) + (3y-yi) = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को समूहित करने पर: $(10+4x+3y) + i(15-5x-y) = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$4x+3y = -10$ $(i)$
$5x+y = 15$ (ii)
(ii) से,$y = 15-5x$.
$(i)$ में मान रखने पर: $4x + 3(15-5x) = -10$.
$4x + 45 - 15x = -10$.
$-11x = -55 \Rightarrow x = 5$.
$y = 15 - 5(5) = 15-25 = -10$.
अतः,$x+y = 5-10 = -5$.

(B) कोई संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
दिए गए अंक $4, 6, 9, 5, 3, x, y$ हैं।
अंकों का योग $= 4 + 6 + 9 + 5 + 3 + x + y = 27 + x + y$ है।
संख्या के $3$ से विभाज्य होने के लिए $(27 + x + y)$ को $3$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $27$ स्वयं $3$ का गुणज है,इसलिए $(x + y)$ को $3$ का गुणज होना चाहिए।
अंक भिन्न होने चाहिए,इसलिए $x, y \in \{0, 1, 2, 7, 8\}$।
संभावित युग्म $(x, y)$ जहाँ $x + y$ का योग $3$ का गुणज हो:
यदि $x = 1$,तो $y = 2, 8$। युग्म: $(1, 2), (1, 8)$।
यदि $x = 2$,तो $y = 1, 7$। युग्म: $(2, 1), (2, 7)$।
यदि $x = 7$,तो $y = 2, 8$। युग्म: $(7, 2), (7, 8)$।
यदि $x = 8$,तो $y = 1, 7$। युग्म: $(8, 1), (8, 7)$।
कुल $8$ युग्म संभव हैं।

(D) यदि किसी संख्या का अंतिम अंक $0$ या $5$ है,तो वह $5$ से विभाज्य है। हम बिना पुनरावृत्ति के $1, 2, 3$ या $4$ अंकों की संख्याएँ देखते हैं।
स्थिति $1$: $0$ पर समाप्त होने वाली संख्याएँ।
- $1$ अंक: $0$ प्राकृतिक संख्या नहीं है,अतः $0$.
- $2$ अंक: पहले अंक के लिए $9$ विकल्प,अंतिम के लिए $1$। कुल $= 9 \times 1 = 9$.
- $3$ अंक: पहले के लिए $9$,दूसरे के लिए $8$,अंतिम के लिए $1$। कुल $= 9 \times 8 \times 1 = 72$.
- $4$ अंक: पहले के लिए $9$,दूसरे के लिए $8$,तीसरे के लिए $7$,अंतिम के लिए $1$। कुल $= 9 \times 8 \times 7 \times 1 = 504$.
स्थिति $1$ का योग $= 9 + 72 + 504 = 585$.
स्थिति $2$: $5$ पर समाप्त होने वाली संख्याएँ।
- $1$ अंक: ${5}$। कुल $= 1$.
- $2$ अंक: पहले के लिए $8$ विकल्प,अंतिम के लिए $1$। कुल $= 8 \times 1 = 8$.
- $3$ अंक: पहले के लिए $8$,दूसरे के लिए $7$,अंतिम के लिए $1$। कुल $= 8 \times 7 \times 1 = 56$.
- $4$ अंक: पहले के लिए $7$,दूसरे के लिए $7$,तीसरे के लिए $6$,अंतिम के लिए $1$। कुल $= 7 \times 7 \times 6 \times 1 = 294$.
स्थिति $2$ का योग $= 1 + 8 + 56 + 294 = 359$.
कुल $= 585 + 359 = 944$.

(D) हमें $\{0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ अंकों का उपयोग करके छह अंकों की संख्या बनानी है।
कुल $8$ अंक उपलब्ध हैं।
छह अंकों की संख्या के लिए,पहला अंक (लाख के स्थान पर) $0$ नहीं हो सकता है। इसलिए,पहले अंक के लिए $7$ विकल्प हैं $(\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\})$।
चूंकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है,शेष $5$ स्थानों में से प्रत्येक को $8$ उपलब्ध अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है।
इसलिए,छह अंकों की संख्याओं की कुल संख्या:
$7 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 7 \times 8^5$
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$।
अतः,ऐसी छह अंकों की संख्याओं की कुल संख्या $7 \times 2^{15}$ है।

(D) सर्वसमिका ${ }^n C_r + { }^n C_{r-1} = { }^{n+1} C_r$ का उपयोग करने पर,हमें ${ }^{(n-1)} C_2 + { }^{(n-1)} C_3 = { }^n C_3$ प्राप्त होता है।
दी गई असमिका ${ }^n C_3 > { }^n C_2$ है।
क्रमचय-संचय के विस्तार से: $\frac{n!}{3!(n-3)!} > \frac{n!}{2!(n-2)!}$.
सरल करने पर: $\frac{1}{3} > \frac{1}{n-2}$.
$n-2 > 3 \Rightarrow n > 5$.
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $6$ है।

(B) दिया गया अनुपात: $\frac{^{2n}C_4}{^nC_3} = \frac{99}{4}$
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{(2n)!}{4!(2n-4)!}}{\frac{n!}{3!(n-3)!}} = \frac{99}{4}$
$\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{3 \times 2 \times 1}{n(n-1)(n-2)} = \frac{99}{4}$
$\frac{(2n)(2n-1) \times 2(n-1)(2n-3)}{4 \times n(n-1)(n-2)} = \frac{99}{4}$
$\frac{2(2n-1)(2n-3)}{n-2} = 99$
$4(4n^2 - 6n - 2n + 3) = 99(n-2)$
$16n^2 - 32n + 12 = 99n - 198$
$16n^2 - 131n + 210 = 0$
$(n-6)(16n-35) = 0$
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 6$।

(C) $ARRANGEMENT$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $A(2), R(2), N(2), E(2), G(1), M(1), T(1)$.
कुल विन्यास $= \frac{11!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{11!}{16}$.
उन विन्यासों को ज्ञात करने के लिए जिनमें दो $E$ एक साथ न हों,हम कुल विन्यासों में से उन विन्यासों को घटाएंगे जिनमें $E$ एक साथ हैं।
दो $E$ को एक इकाई $(EE)$ मानकर,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $10$ वस्तुएं हैं: $A(2), R(2), N(2), G(1), M(1), T(1), (EE)(1)$.
$E$ के एक साथ होने वाले विन्यासों की संख्या $= \frac{10!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{10!}{8}$.
$E$ के एक साथ न होने वाले विन्यासों की संख्या $= \frac{11!}{16} - \frac{10!}{8} = \frac{11 \cdot 10!}{16} - \frac{2 \cdot 10!}{16} = \frac{9 \cdot 10!}{16} = \frac{9}{16}(10!)$.

(B) $VOWEL$ शब्द में $5$ अलग-अलग अक्षर हैं: $V, O, W, E, L$।
इसमें $2$ स्वर हैं: $O$ और $E$।
चूंकि स्वर हमेशा एक साथ रहने चाहिए,हम $(OE)$ को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास $4$ इकाइयाँ हैं: $V, W, L, (OE)$।
इन $4$ इकाइयों को $4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$(OE)$ इकाई के भीतर के $2$ स्वरों को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल शब्दों की संख्या $24 \times 2 = 48$ है।

(A) एक $8$-अंकीय संख्या $8$ स्थानों से बनती है।
संख्या के विषम होने के लिए,अंतिम अंक (इकाई का स्थान) $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ में से एक होना चाहिए,जो $5$ विकल्प देता है।
पहला अंक $0$ नहीं हो सकता,इसलिए इसके पास $9$ विकल्प हैं $(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\})$।
शेष $6$ स्थानों ($2$ से $7$ अंक तक) को $10$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है $(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\})$,जो $10^6$ तरीके देता है।
अतः,$8$-अंकीय विषम संख्याओं की कुल संख्या $9 \times 10^6 \times 5 = 45 \times 10^6$ है।

(A) चार अंकों की संख्या में चार स्थान होते हैं: $ABCD$।
यह दिया गया है कि पहला अंक $A$,$4$ के रूप में निश्चित है,इसलिए इस स्थान को भरने का केवल $1$ तरीका है।
अंतिम अंक $D$,$0$ या $5$ हो सकता है,इसलिए इस स्थान को भरने के $2$ तरीके हैं।
दूसरा अंक $B$,$0$ से $9$ तक का कोई भी अंक हो सकता है,इसलिए $10$ तरीके हैं।
तीसरा अंक $C$,$0$ से $9$ तक का कोई भी अंक हो सकता है,इसलिए $10$ तरीके हैं।
अतः,ऐसी चार अंकों की संख्याओं की कुल संख्या $1 \times 10 \times 10 \times 2 = 200$ है।

(D) $KANGAROO$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $K, A, N, G, A, R, O, O$। इसमें $A$ दो बार और $O$ दो बार आता है।
कुल विन्यासों की संख्या $= \frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = 10080$।
उन विन्यासों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें $A$ एक साथ न आएं,हम कुल विन्यासों में से उन विन्यासों को घटाएंगे जिनमें $A$ एक साथ हैं।
दोनों $A$ को एक इकाई $(AA)$ मानने पर,हमारे पास $7$ इकाइयाँ हैं: $(AA), K, N, G, R, O, O$।
जिन विन्यासों में $A$ एक साथ हैं,उनकी संख्या $= \frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$।
अतः,अभीष्ट विन्यासों की संख्या $= 10080 - 2520 = 7560$।

(C) $500$ से कम ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ जिनमें अंकों की पुनरावृत्ति न हो,ज्ञात करने के लिए हम $1, 2$ और $3$ अंकों वाली संख्याओं को अलग-अलग गिनेंगे।
$1$. $1$ अंक वाली संख्याएँ: संभावित संख्याएँ $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ हैं। कुल = $9$।
$2$. $2$ अंकों वाली संख्याएँ: पहला अंक $9$ अंकों $(1-9)$ में से कोई भी हो सकता है और दूसरा अंक शेष $9$ अंकों ($0$ सहित) में से कोई भी हो सकता है। कुल = $9 \times 9 = 81$।
$3$. $500$ से कम $3$ अंकों वाली संख्याएँ: सैकड़े के स्थान को $1, 2, 3$ या $4$ द्वारा भरा जा सकता है ($4$ तरीके)। दहाई के स्थान को शेष $9$ अंकों में से किसी से और इकाई के स्थान को शेष $8$ अंकों में से किसी से भरा जा सकता है। कुल = $4 \times 9 \times 8 = 288$।
कुल संख्या = $9 + 81 + 288 = 378$।

(D) छात्र को कुल $10$ प्रश्न चुनने हैं,जिसमें खंड-$A$ से कम से कम $4$ और खंड-$B$ से कम से कम $3$ प्रश्न होने चाहिए।
संभावित संयोजन $(A, B)$ इस प्रकार हैं:
$(i)$ $A$ से $4$ और $B$ से $6$: $\binom{8}{4} \times \binom{6}{6} = 70 \times 1 = 70$
(ii) $A$ से $5$ और $B$ से $5$: $\binom{8}{5} \times \binom{6}{5} = 56 \times 6 = 336$
(iii) $A$ से $6$ और $B$ से $4$: $\binom{8}{6} \times \binom{6}{4} = 28 \times 15 = 420$
(iv) $A$ से $7$ और $B$ से $3$: $\binom{8}{7} \times \binom{6}{3} = 8 \times 20 = 160$
कुल तरीके $= 70 + 336 + 420 + 160 = 986$.

(B) $5$ पासों पर योग $7$ प्राप्त करने के लिए,प्रत्येक पासे पर कम से कम $1$ होना चाहिए। मान लीजिए परिणाम $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ हैं जहाँ $x_i \ge 1$ है। योग $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 7$ है।
चूंकि प्रत्येक $x_i \ge 1$ है,हम $x_i = 1 + y_i$ लिख सकते हैं जहाँ $y_i \ge 0$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 = 2$ प्राप्त होता है।
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+r-1}{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है जहाँ $n=2$ और $r=5$ है।
यह $\binom{2+5-1}{5-1} = \binom{6}{4} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ है।
वैकल्पिक रूप से,स्थितियाँ हैं:
$(i)$ चार $1$ और एक $3$: $\frac{5!}{4!1!} = 5$ तरीके।
(ii) तीन $1$ और दो $2$: $\frac{5!}{3!2!} = 10$ तरीके।
कुल तरीके = $5 + 10 = 15$।

(C) सबसे पहले,$67500$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$67500 = 675 \times 100 = (25 \times 27) \times (4 \times 25) = 5^2 \times 3^3 \times 2^2 \times 5^2 = 2^2 \times 3^3 \times 5^4$.
विषम धनात्मक भाजकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम केवल विषम अभाज्य गुणनखंडों पर विचार करते हैं,जो $3$ और $5$ हैं।
विषम भाजक $3^a \times 5^b$ के रूप में होते हैं,जहाँ $0 \le a \le 3$ और $0 \le b \le 4$ है।
$a$ के लिए विकल्पों की संख्या $(3+1) = 4$ है।
$b$ के लिए विकल्पों की संख्या $(4+1) = 5$ है।
अतः,विषम धनात्मक भाजकों की कुल संख्या $4 \times 5 = 20$ है।

(D) सबसे पहले,$6300$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:
$6300 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^1$.
कुल भाजकों की संख्या प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की (घात $+ 1$) के गुणनफल द्वारा प्राप्त होती है:
कुल भाजक $= (2+1)(2+1)(2+1)(1+1) = 54$.
विषम भाजक $2$ को छोड़कर प्राप्त होते हैं:
विषम भाजक $= (2+1)(2+1)(1+1) = 18$.
अतः,सम भाजकों की संख्या कुल भाजकों में से विषम भाजकों को घटाने पर प्राप्त होती है:
सम भाजक $= 54 - 18 = 36$.

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$।
अतः,$a = k \sin A$,$b = k \sin B$,और $c = k \sin C$।
चूंकि $C = 2A$,हमारे पास $\sin C = \sin 2A = 2 \sin A \cos A$ है।
$2b = a + c$ से,हमें $2 \sin B = \sin A + \sin C$ प्राप्त होता है।
$B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - 3A$ का उपयोग करते हुए,$\sin B = \sin 3A$ है।
अतः,$2 \sin 3A = \sin A + \sin 2A$।
$2(3 \sin A - 4 \sin^3 A) = \sin A + 2 \sin A \cos A$।
$\sin A$ से विभाजित करने पर $(\sin A \neq 0)$: $6 - 8 \sin^2 A = 1 + 2 \cos A$।
$6 - 8(1 - \cos^2 A) = 1 + 2 \cos A \Rightarrow 8 \cos^2 A - 2 \cos A - 3 = 0$।
$(4 \cos A - 3)(2 \cos A + 1) = 0$।
चूंकि $A$ एक त्रिभुज का कोण है,$\cos A = \frac{3}{4}$।
तब $\frac{a}{c} = \frac{\sin A}{\sin C} = \frac{\sin A}{2 \sin A \cos A} = \frac{1}{2 \cos A} = \frac{1}{2(3/4)} = \frac{2}{3}$।

(B) दिया गया समीकरण $16x^3 - 44x^2 + 36x - 9 = 0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हरात्मक श्रेणी ($H$.$P$.) में हैं।
तब $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं।
इसका अर्थ है $\frac{2}{\beta} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\gamma}$।
मूलों के गुणों से,$\sum \alpha\beta = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$ और $\alpha\beta\gamma = \frac{9}{16}$।
साथ ही,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma} = \frac{9/4}{9/16} = 4$।
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\gamma} = \frac{2}{\beta}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2}{\beta} + \frac{1}{\beta} = 4$ $\Rightarrow \frac{3}{\beta} = 4$ $\Rightarrow \beta = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,$\alpha + \gamma = \frac{44}{16} - \frac{3}{4} = 2$ और $\alpha\gamma = \frac{3}{4}$।
$t^2 - 2t + \frac{3}{4} = 0$ को हल करने पर,$4t^2 - 8t + 3 = 0 \Rightarrow (2t - 1)(2t - 3) = 0$।
अतः,मूल $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{2}$ हैं।
सबसे बड़ा मूल $\frac{3}{2}$ है।

(B) $m!$ के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या $p$ का घातांक लेजेंड्रे के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $E_p(m!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{m}{p^k} \right]$.
यहाँ,$m = 16$ और $p = 2$ है।
$n = \left[ \frac{16}{2} \right] + \left[ \frac{16}{4} \right] + \left[ \frac{16}{8} \right] + \left[ \frac{16}{16} \right]$.
$n = 8 + 4 + 2 + 1 = 15$.
अतः,$n$ का मान $15$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\cot 18^{\circ} \cot 36^{\circ}+1 = \frac{\cos 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ}} \cdot \frac{\cos 36^{\circ}}{\sin 36^{\circ}}+1$.
$\cos 36^{\circ} = 1-2\sin^2 18^{\circ}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos 18^{\circ}(1-2\sin^2 18^{\circ})}{\sin 18^{\circ} \cdot 2 \sin 18^{\circ} \cos 18^{\circ}}+1 = \frac{1-2\sin^2 18^{\circ}}{2\sin^2 18^{\circ}}+1 = \frac{1}{2\sin^2 18^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$,इसलिए $\sin^2 18^{\circ} = \frac{5+1-2\sqrt{5}}{16} = \frac{6-2\sqrt{5}}{16} = \frac{3-\sqrt{5}}{8}$.
यह मान रखने पर:
$\frac{1}{2(\frac{3-\sqrt{5}}{8})} = \frac{4}{3-\sqrt{5}} = \frac{4(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{4(3+\sqrt{5})}{4} = 3+\sqrt{5}$.

(D) दिया है: $\sin \theta = \frac{3}{5}$.
चूंकि $\theta$ प्रथम चतुर्थांश में नहीं है और $\sin \theta$ धनात्मक है,इसलिए $\theta$ द्वितीय चतुर्थांश में होना चाहिए।
अतः,$\cos \theta = -\sqrt{1 - \sin^2 \theta} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\frac{4}{5}$.
अब,$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \left(\frac{3}{5}\right) \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25}$.
$\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta = 1 - 2 \left(\frac{9}{25}\right) = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}$.
$\tan 2 \theta = \frac{\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta} = \frac{-24/25}{7/25} = -\frac{24}{7}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$15 \sin 2 \theta - 20 \cos 2 \theta - 7 \tan 2 \theta = 15 \left(-\frac{24}{25}\right) - 20 \left(\frac{7}{25}\right) - 7 \left(-\frac{24}{7}\right)$.
$= -\frac{72}{5} - \frac{28}{5} + 24 = -\frac{100}{5} + 24 = -20 + 24 = 4$.

(D) दिया गया है $f(g(x+y)) = f(g(x)) + f(g(y))$ ... $(i)$
मान लीजिए $h(x) = f(g(x))$ है। तब समीकरण $h(x+y) = h(x) + h(y)$ बन जाता है,जो कौशी का कार्यात्मक समीकरण है।
इसका हल $h(x) = cx$ है,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है।
दिया गया है $g(1) = 2$ और $f(2) = 1$,इसलिए $h(1) = f(g(1)) = f(2) = 1$ है।
चूंकि $h(1) = c(1) = 1$,इसलिए $c = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$h(x) = f(g(x)) = x$ है।
चूंकि $f(g(x)) = x$ है,इसलिए $f$ और $g$ एक-दूसरे के प्रतिलोम फलन हैं।
इसलिए,सभी $x \in R$ के लिए $g(f(x)) = x$ है।
फलन $g(f(x)) = x$ एक बहुपद फलन है,जो वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ पर हर जगह सतत है।
अतः,वह समुच्चय जहाँ $g(f(x))$ असंतत है,रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{\log_{10}\left(\frac{3-x}{x}\right)}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए और लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए।
$1$. लघुगणक के लिए शर्त: $\frac{3-x}{x} > 0$.
इस असमिका को हल करने पर,हमें $x \in (0, 3)$ प्राप्त होता है।
$2$. वर्गमूल के लिए शर्त: $\log_{10}\left(\frac{3-x}{x}\right) \geq 0$.
इसका अर्थ है $\frac{3-x}{x} \geq 10^0$,अतः $\frac{3-x}{x} \geq 1$.
$\frac{3-x}{x} - 1 \geq 0 \implies \frac{3-x-x}{x} \geq 0 \implies \frac{3-2x}{x} \geq 0$.
$-1$ से गुणा करने पर (और असमिका को पलटने पर),हमें $\frac{2x-3}{x} \leq 0$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदु $x = 0$ और $x = \frac{3}{2}$ हैं। अंतरालों की जाँच करने पर,हमें $x \in (0, \frac{3}{2}]$ प्राप्त होता है।
दोनों शर्तों को मिलाने पर: $(0, 3) \cap (0, \frac{3}{2}] = (0, \frac{3}{2}]$.
अतः,$f$ का प्रांत $\left(0, \frac{3}{2}\right]$ है।

(C) फलन $f: A \rightarrow B$ को $f(x)=x^2-3x+2$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
बाइजेक्शन होने के लिए,फलन को एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) दोनों होना चाहिए।
अवकलन $f'(x) = 2x - 3$ है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,शीर्ष $x = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
फलन का न्यूनतम मान $f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) + 2 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2 = \frac{9-18+8}{4} = -\frac{1}{4}$ है।
फलन को एकैकी बनाने के लिए,हमें प्रांत को $A = \left(-\infty, \frac{3}{2}\right]$ या $A = \left[\frac{3}{2}, \infty\right)$ तक सीमित करना होगा।
फलन को आच्छादक बनाने के लिए,सह-प्रांत $B$ को परिसर $\left[-\frac{1}{4}, \infty\right)$ के बराबर होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ और $C$ सही हैं। सामान्यतः,ऐसे प्रश्नों में शीर्ष से शुरू होने वाले अंतराल को चुना जाता है। इसलिए,$A = \left[\frac{3}{2}, \infty\right)$ और $B = \left[-\frac{1}{4}, \infty\right)$ एक मान्य बाइजेक्शन है।

(C) $n$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ से स्वयं पर परिभाषित कुल फलनों की संख्या $n^n$ होती है।
एक फलन एकैकी (one-one) होता है यदि डोमेन के प्रत्येक अवयव का कोडोमेन में एक अद्वितीय प्रतिबिंब हो। $n$ अवयवों के लिए,एकैकी फलनों की संख्या $n!$ होती है।
अतः,उन फलनों की संख्या जो एकैकी नहीं हैं,कुल फलनों की संख्या में से एकैकी फलनों की संख्या को घटाकर प्राप्त की जाती है।
एकैकी न होने वाले फलनों की संख्या $= n^n - n!$.

(A) दिया गया है कि $g(x)$ फलन $f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $f(g(x)) = x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = 1$ प्राप्त होता है।
इससे $g^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(g(x))}$ मिलता है।
हमें दिया गया है कि $f^{\prime}(x) = \frac{1}{h(x)}$,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(g(x)) = \frac{1}{h(g(x))}$।
इस मान को $g^{\prime}(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$g^{\prime}(x) = \frac{1}{1 / h(g(x))} = h(g(x))$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)+f(y)$ सभी $x, y \in R$ के लिए है,जो कौशी का फलन समीकरण है,जिसका अर्थ है कि $f(x)=ax$ किसी स्थिरांक $a \in R$ के लिए।
दिया गया है कि $f(1)=7$,इसलिए $f(x)=ax$ में $x=1$ रखने पर $7=a(1)$ प्राप्त होता है,अर्थात $a=7$।
अतः,फलन $f(x)=7x$ है।
हमें योग $\sum_{r=1}^{n} f(r) = \sum_{r=1}^{n} 7r$ ज्ञात करना है।
स्थिरांक $7$ को बाहर लेने पर,हमें $7 \sum_{r=1}^{n} r$ प्राप्त होता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$।
इसलिए,$\sum_{r=1}^{n} f(r) = 7 \times \frac{n(n+1)}{2} = \frac{7n(n+1)}{2}$।

(D) दिया गया है: $f(x) = x + \frac{1}{x}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(f(x))^2 = (x + \frac{1}{x})^2$
$(f(x))^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$
$(f(x))^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$
अब,$f(x^2) = x^2 + \frac{1}{x^2}$ और $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ लें।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(f(x))^2 = f(x^2) + f(1)$

(A) दिए गए फलन $f(x) = |x|$ और $g(x) = |x| + a$ हैं,जहाँ $a > 0$ है।
$0 \leq x \leq b$ के लिए,क्षेत्र $g(x) \leq y \leq f(x)$ द्वारा परिभाषित है।
दी गई आकृति के अनुसार,यह क्षेत्र $x=0$,$x=b$,$y=|x|$ और $y=|x|+a$ रेखाओं द्वारा घिरा हुआ है।
$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = x$ और $g(x) = x + a$ होता है।
अतः,क्षेत्र $x=0$,$x=b$,$y=x$ और $y=x+a$ रेखाओं के बीच स्थित है।
यहाँ $y-x=0$ और $y-x=a$ समांतर रेखाएँ हैं,और $x=0$ तथा $x=b$ भी समांतर रेखाएँ हैं।
इसलिए,यह क्षेत्र एक समांतर चतुर्भुज है।

(D) दिया गया है कि $g(x)=1, \forall x \in R$ और सिग्नम फलन $f(x)= \begin{cases}-1, & x < 0 \\ 0, & x=0 \\ 1, & x>0\end{cases}$ है।
$x < 0$ के लिए,$f(x)=-1$,इसलिए $g(x)=1 = 2+(-1) = 2+f(x)$.
$x=0$ के लिए,$f(x)=0$,इसलिए $g(x)=1 = 1+0 = 1+f(x)$.
$x>0$ के लिए,$f(x)=1$,इसलिए $g(x)=1 = 0+1 = 0+f(x) = f(x)$.
अतः,$g(x)= \begin{cases}f(x)+2, & x < 0 \\ 1+f(x), & x=0 \\ f(x), & x>0\end{cases}$.

(A) $f(x)$ को $x=1$ पर सतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x=1$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = 1 + 6(1) - 3(1)^2 = 1 + 6 - 3 = 4$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + \log_2(b^2+7)) = 1 + \log_2(b^2+7)$.
सीमाओं की तुलना करने पर: $1 + \log_2(b^2+7) = 4$.
$\log_2(b^2+7) = 3$.
$b^2+7 = 2^3 = 8$.
$b^2 = 8 - 7 = 1$.
$b = \pm 1$.

(A) चूंकि $f(x)$ $R$ पर सतत है,इसलिए $x=0$ पर बायां सीमा (left-hand limit) $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
$f(0) = \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(-h)$
$f(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(-h) - \sin(-\frac{h}{2})}{-h}$
$f(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-\sin h + \sin(\frac{h}{2})}{-h}$
$f(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \left[ \frac{\sin h}{h} - \frac{\sin(\frac{h}{2})}{h} \right]$
$f(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \left[ \frac{\sin h}{h} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}} \right]$
मानक सीमा $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = 1 - \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2}$.

(C) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{3x^2-5x-2}{2x^2-7x+5}}$ वहाँ परिभाषित है जहाँ वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक है,अर्थात $\frac{3x^2-5x-2}{2x^2-7x+5} \ge 0$।
असंततता वहाँ होती है जहाँ हर शून्य होता है या जहाँ फलन अपरिभाषित होता है।
सबसे पहले,हर का गुणनखंड करें: $2x^2-7x+5 = 2x^2-2x-5x+5 = 2x(x-1)-5(x-1) = (2x-5)(x-1)$।
हर $x = 1$ और $x = 5/2$ पर शून्य है।
इन बिंदुओं पर फलन अपरिभाषित है,जो असंततता के बिंदुओं की ओर ले जाता है।
अतः,फलन $x = 1$ और $x = 5/2$ पर असतत है।

(C) दिया गया है कि $f(x)$ $R$ पर सतत है। $x=2$ के लिए,$\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = f(2)$.
$\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{x-[x]}{x-2}$. चूँकि $x \rightarrow 2^{+}$,$[x]=2$,इसलिए $\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{x-2}{x-2} = 1$. अतः,$b=1$.
$x=2$ के लिए,$\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = f(2)$.
$\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{|(x-2)(x+1)|}{a(2+x-x^2)} = \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{|(x-2)(x+1)|}{-a(x-2)(x+1)}$.
चूँकि $x \rightarrow 2^{-}$,$x-2 < 0$,इसलिए $|x-2| = -(x-2)$.
$\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{-(x-2)(x+1)}{-a(x-2)(x+1)} = \frac{1}{a} = 1 \Rightarrow a=1$.
अब,$a=1, b=1$ के साथ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 ax+x \tan bx}{x^2}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x+x \tan x}{x^2} = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin ^2 x}{x^2} + \frac{\tan x}{x} \right) = 1^2 + 1 = 2$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{5+[x]}{\sqrt{11+[x]-6 \sqrt{2+[x]}}}$ है।
फलन के असंतत होने के लिए,हर (denominator) शून्य होना चाहिए या वर्गमूल के अंदर का मान ऋणात्मक होना चाहिए।
मान लीजिए $n = [x]$। हर तब शून्य होता है जब $11+n - 6\sqrt{2+n} = 0$ हो।
मान लीजिए $u = \sqrt{2+n}$,तो $n = u^2 - 2$ होगा।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $11 + (u^2 - 2) - 6u = 0$ प्राप्त होता है।
$u^2 - 6u + 9 = 0$।
$(u-3)^2 = 0$,जिससे $u = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $u = \sqrt{2+n} = 3$,इसलिए $2+n = 9$,जिसका अर्थ है $n = 7$।
अतः,$[x] = 7$,जिसका अर्थ है $x \in [7, 8)$।
साथ ही,वर्गमूल को परिभाषित होने के लिए $11+[x]-6\sqrt{2+[x]} \ge 0$ होना चाहिए। चूंकि $([x]-7)^2 \ge 0$,यह व्यंजक $n \ge -2$ के लिए हमेशा गैर-ऋणात्मक है। असंततता तभी होती है जब हर शून्य होता है,जो $[x] = 7$ पर होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{(3^x - 1)^2}{\sin x \log(1 + x)}$,$x \neq 0$ के लिए।
चूंकि फलन $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होगा।
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(3^x - 1)^2}{\sin x \log(1 + x)}$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{\left(\frac{3^x - 1}{x}\right)^2}{\left(\frac{\sin x}{x}\right) \left(\frac{\log(1 + x)}{x}\right)}$.
मानक सीमाओं $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \log a$,$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,और $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = \frac{(\log 3)^2}{1 \times 1} = (\log 3)^2$.

(B) मान लीजिए $g(x) = x^{1/x}$ है। हम $x \in (0, \infty)$ के लिए $g(x)$ के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं।
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(g(x)) = \frac{\ln(x)}{x}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $h(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ है। तब $h'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$ है।
फलन $h(x)$ का मान $x = e$ पर अधिकतम होता है,जहाँ $h(e) = \frac{1}{e} \approx 0.367$ है।
इस प्रकार,$g(x) = e^{h(x)}$ का मान $x = e$ पर अधिकतम होता है,जहाँ $g(e) = e^{1/e} \approx e^{0.367} \approx 1.44$ है।
जैसे $x \to 0^+$,$g(x) \to 0$,और जैसे $x \to \infty$,$g(x) \to 1$ होता है।
$g(x)$ का परिसर $(0, e^{1/e}]$ है।
महत्तम पूर्णांक फलन $[g(x)]$ तब असतत होता है जब $g(x)$ एक पूर्णांक मान लेता है।
चूंकि परिसर $(0, 1.44]$ है,इसलिए $g(x)$ केवल $1$ पूर्णांक मान ले सकता है।
$x^{1/x} = 1$ का अर्थ है $x = 1$ है।
$x = 1$ पर,$f(1) = [1^{1/1}] = [1] = 1$ है।
$x$ के $1$ से थोड़े कम मान के लिए,$x^{1/x} < 1$,इसलिए $[x^{1/x}] = 0$ है।
$x$ के $1$ से थोड़े अधिक मान के लिए,$x^{1/x} > 1$ (लेकिन $1.44$ से कम),इसलिए $[x^{1/x}] = 1$ है।
चूंकि $x = 1$ पर बायां सीमा और दायां सीमा अलग-अलग हैं,इसलिए फलन $x = 1$ पर असतत है।
अतः,असतत बिंदुओं की संख्या केवल $1$ है।

(C) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x=2$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2)$.
$\lim_{x \to 2^-} (ae^x + [x-2]) = [e^{-2}] - C$
$ae^2 + [0^-] = 0 - (1 - 2e^2)$
$ae^2 - 1 = -1 + 2e^2 \Rightarrow a = 2$.
अब,$x=0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
$LHL = \lim_{x \to 0^-} [e^x] = [e^0] = [1] = 1$.
$RHL = \lim_{x \to 0^+} (2e^x + [x-2]) = 2(1) + [-2] = 2 - 2 = 0$.
चूँकि $LHL \neq RHL$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर असतत है।
$x=1$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
$f(1) = 2e^1 + [1-2] = 2e - 1$.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2e - 1$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2e + [1-2] = 2e - 1$.
चूँकि $LHL = RHL = f(1)$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=1$ पर सतत है।
अतः,$f(x)$ केवल $x=0$ पर असतत है।

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \frac{5 e^{1/x} + 2}{3 - e^{1/x}}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$.
तब $x f(x) = \begin{cases} \frac{x(5 e^{1/x} + 2)}{3 - e^{1/x}}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$.
$x = 0$ पर $x f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने पर:
$\text{L.H.L} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(-h)(5 e^{-1/h} + 2)}{3 - e^{-1/h}} = \frac{0(0 + 2)}{3 - 0} = 0$.
$\text{R.H.L} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h(5 e^{1/h} + 2)}{3 - e^{1/h}} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h e^{1/h}(5 + 2e^{-1/h})}{e^{1/h}(3e^{-1/h} - 1)} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h(5 + 0)}{0 - 1} = 0$.
चूँकि $\text{L.H.L} = \text{R.H.L} = f(0) = 0$,इसलिए $x f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$\text{L.H.D} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{5 e^{-1/h} + 2}{3 - e^{-1/h}} - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2}{3(-h)} = -\infty$.
चूँकि सीमा परिमित नहीं है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$x f(x)$ सतत है और $f(x)$ अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया है $\lim_{x \rightarrow \frac{3}{2}} f(x) = 14$। चूँकि $\frac{3}{2} > 1$,हम $f(x) = cx^2 + bx + a$ का उपयोग करेंगे।
$c(\frac{3}{2})^2 + b(\frac{3}{2}) + a = 14 \Rightarrow \frac{9c}{4} + \frac{3b}{2} + a = 14 \Rightarrow 9c + 6b + 4a = 56$ ... $(i)$
चूँकि $f(x)$,$x = -1$ पर संतत है,$\lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = f(-1)$।
$a(-1)^2 + b(-1) + c = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 \Rightarrow a - b + c = -1$ ... (ii)
चूँकि $f(x)$,$x = 1$ पर संतत है,$\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = f(1)$।
$2(1)^2 + 4(1) + 1 = c(1)^2 + b(1) + a \Rightarrow a + b + c = 7$ ... (iii)
(ii) और (iii) को जोड़ने पर: $2a + 2c = 6 \Rightarrow a + c = 3 \Rightarrow c = 3 - a$।
(iii) में से (ii) घटाने पर: $2b = 8 \Rightarrow b = 4$।
$b = 4$ और $c = 3 - a$ को $(i)$ में रखने पर: $9(3 - a) + 6(4) + 4a = 56 \Rightarrow 27 - 9a + 24 + 4a = 56 \Rightarrow -5a = 5 \Rightarrow a = -1$।
अतः $c = 3 - (-1) = 4$।
$x = -2$ के लिए,$f(x) = ax^2 + bx + c$।
$\lim_{x \rightarrow -2} f(x) = a(-2)^2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c = 4(-1) - 2(4) + 4 = -4 - 8 + 4 = -8$.

(B) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 3x$ है।
चूंकि $-\frac{1}{3} < x < \frac{1}{3}$,इसलिए $-1 < 3x < 1$ है,जिसका अर्थ है कि $|r| < 1$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \frac{1}{1-3x}$ प्राप्त होता है।
फलन $f(x) = \frac{1}{1-3x}$ एक परिमेय फलन है जो हर के शून्य होने के अलावा हर जगह सतत है।
हर $1 - 3x = 0$ तब होता है जब $x = \frac{1}{3}$ हो।
अतः,$f(x)$ बिंदु $x = \frac{1}{3}$ पर असंतत है।

(C) फलन $f(x) = [10^x]$ तब असंतत होता है जब $10^x$ एक पूर्णांक हो।
दिए गए अंतराल $0 < x < 10$ के लिए,$10^x$ का परिसर $10^0 < 10^x < 10^{10}$ है,जिसे $1 < 10^x < 10^{10}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
फलन $[10^x]$ अंतराल $(1, 10^{10})$ में $10^x$ के सभी पूर्णांक मानों पर असंतत है।
इस अंतराल में आने वाले पूर्णांक ${2, 3, 4, \dots, 10^{10}-1}$ हैं।
ऐसे पूर्णांकों की संख्या $(10^{10}-1) - 2 + 1 = 10^{10}-2$ है।
अतः,दिए गए अंतराल में असंतत बिंदुओं की संख्या $10^{10}-2$ है।

(D) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime}(x)$ एक स्थिरांक है।
मान लीजिए $f^{\prime}(x) = a$,जहाँ $a$ एक स्थिरांक है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f(x) = ax + b$ प्राप्त होता है,जहाँ $b$ एक स्वेच्छ स्थिरांक है।
$f(0) = 2$ दिया गया है,$f(x) = ax + b$ में $x = 0$ रखने पर,हमें $a(0) + b = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b = 2$।
$f^{\prime}(0) = 1$ दिया गया है,और चूंकि सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) = a$ है,इसलिए $a = 1$ है।
अतः,फलन $f(x) = x + 2$ है।
चूंकि $f(x) = x + 2$ एक बहुपद फलन है,इसलिए यह सभी वास्तविक संख्याओं $x \in R$ के लिए संतत है।

(C) दी गई सीमा अभिव्यक्ति: $\lim _{x \rightarrow m} \frac{x f(m)-m f(x)}{x-m}+f^{\prime}(m)=f(m)$।
हम अंश में $m f(m)$ जोड़कर और घटाकर इसे फिर से लिख सकते हैं:
$\lim _{x \rightarrow m} \frac{x f(m)-m f(m)+m f(m)-m f(x)}{x-m}+f^{\prime}(m)=f(m)$
$\lim _{x \rightarrow m} \left[ f(m) \frac{x-m}{x-m} - m \frac{f(x)-f(m)}{x-m} \right] + f^{\prime}(m) = f(m)$
$f(m) - m f^{\prime}(m) + f^{\prime}(m) = f(m)$
$-m f^{\prime}(m) + f^{\prime}(m) = 0$
$f^{\prime}(m)(1-m) = 0$
चूंकि यह दिया गया है कि $f^{\prime}(m) \neq 0$,इसलिए $1-m = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $m = 1$।

(D) दिया गया है $f(1)=2$,$f(2)=6$ और $f(x+y)=f(x)+kxy+\frac{4}{3}y^2$।
फलन समीकरण में $x=1$ और $y=1$ रखने पर:
$f(1+1) = f(1) + k(1)(1) + \frac{4}{3}(1)^2$
$f(2) = f(1) + k + \frac{4}{3}$
$6 = 2 + k + \frac{4}{3}$
$4 = k + \frac{4}{3}$
$k = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$।
अब,$k = \frac{8}{3}$ को मूल समीकरण में रखने पर:
$f(x+y) = f(x) + \frac{8}{3}xy + \frac{4}{3}y^2$।
$f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज की परिभाषा का उपयोग करते हैं:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{8}{3}xh + \frac{4}{3}h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (\frac{8}{3}x + \frac{4}{3}h) = \frac{8}{3}x$।
$f'(x) = \frac{8}{3}x$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = \int \frac{8}{3}x \, dx = \frac{8}{3} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{4}{3}x^2 + C$।
$f(1)=2$ का उपयोग करने पर:
$2 = \frac{4}{3}(1)^2 + C \Rightarrow C = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$।
अतः,$f(x) = \frac{4}{3}x^2 + \frac{2}{3}$।

(D) दिया गया है $f(x) = |(|x| + \alpha)(|x| - 1)|$।
माना $g(x) = (|x| + \alpha)(|x| - 1)$।
फलन $f(x) = |g(x)|$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ $g(x) = 0$ (यदि मूल सरल हैं) और $|x|$ पद के कारण $x = 0$ पर।
स्थिति $1$: यदि $\alpha > 0$ है,तो $|x| + \alpha = 0$ का कोई वास्तविक हल नहीं है। $g(x) = 0$ के मूल $|x| = 1$ हैं,अर्थात $x = 1, -1$।
$x = 1, -1$ पर,फलन $f(x)$ में तीक्ष्ण मोड़ (sharp corners) हैं। साथ ही,$x = 0$ पर,$f(x) = |\alpha(-1)| = |-\alpha| = \alpha$। $|x|$ पद के कारण $f'(0^+)$ और $f'(0^-)$ अलग होंगे,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$\alpha > 0$ के लिए,$3$ बिंदु $(x = -1, 0, 1)$ हैं जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $\alpha < 0$ और $\alpha \neq -1$ है,तो माना $\alpha = -k$ जहाँ $k > 0$ और $k \neq 1$। तब $g(x) = (|x| - k)(|x| - 1)$।
मूल $|x| = k$ और $|x| = 1$ हैं,जो $x = \pm k$ और $x = \pm 1$ देते हैं।
ये $4$ अलग-अलग बिंदु हैं जहाँ $f(x) = 0$ है। इसके अतिरिक्त,$|x|$ पद के कारण $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$\alpha < 0$ (और $\alpha \neq -1$) के लिए,$5$ बिंदु $(x = -1, -k, 0, k, 1)$ हैं जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है।
विकल्पों की तुलना करने पर,$D$ सही उत्तर है।

(D) $x = a$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ हाथ का अवकलज ($L$.$H$.$D$.) और दाएँ हाथ का अवकलज ($R$.$H$.$D$.) ज्ञात करते हैं।
$x = a$ पर $L$.$H$.$D$. = $\lim_{h \to 0} \frac{f(a-h) - f(a)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2}(b^2 - a^2) - \frac{1}{2}(b^2 - a^2)}{-h} = 0$.
अब,$x = a$ पर $R$.$H$.$D$. = $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2}b^2 - \frac{(a+h)^2}{6} - \frac{a^3}{3(a+h)} - \frac{1}{2}(b^2 - a^2)}{h}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{1}{2}a^2 - \frac{(a+h)^3 + 2a^3}{6(a+h)} \right]$.
जैसे-जैसे $h \to 0$ होता है,यह व्यंजक किसी निश्चित मान की ओर नहीं बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि $x = a$ पर अवकलज का अस्तित्व नहीं है।
चूंकि $f(x)$,$x = a$ पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए $f'(x)$ भी $x = a$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) चूंकि $f(x)$ प्रत्येक $x \in R$ के लिए अवकलनीय है,इसलिए यह $x = 3$ पर भी अवकलनीय होगा।
$x = 3$ पर अवकलनीयता के लिए,बायां अवकलज $(LHD)$ दाएं अवकलज $(RHD)$ के बराबर होना चाहिए।
$LHD$ = $\frac{d}{dx}(ax^2 - bx + 2) = 2ax - b$,$x = 3$ पर $6a - b$ है।
$RHD$ = $\frac{d}{dx}(bx^2 - 3) = 2bx$,$x = 3$ पर $6b$ है।
अतः $6a - b = 6b \Rightarrow 6a = 7b \Rightarrow a = \frac{7b}{6}$।
साथ ही,$f(x)$ को $x = 3$ पर सतत होना चाहिए,इसलिए $LHL$ = $RHL$।
$LHL$ = $a(3)^2 - b(3) + 2 = 9a - 3b + 2$।
$RHL$ = $b(3)^2 - 3 = 9b - 3$।
अतः $9a - 3b + 2 = 9b - 3 \Rightarrow 9a - 12b = -5$।
$a = \frac{7b}{6}$ को समीकरण में रखने पर: $9(\frac{7b}{6}) - 12b = -5 \Rightarrow \frac{21b}{2} - 12b = -5 \Rightarrow \frac{21b - 24b}{2} = -5 \Rightarrow -3b = -10 \Rightarrow b = \frac{10}{3}$।
तब $a = \frac{7}{6} \times \frac{10}{3} = \frac{70}{18} = \frac{35}{9}$।
रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ के लिए,अंतःखंड $x = a$ और $y = b$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times |a| \times |b| = \frac{1}{2} \times \frac{35}{9} \times \frac{10}{3} = \frac{350}{54} = \frac{175}{27}$ वर्ग इकाई।

(B) एक फलन $f(x)$,$x=\alpha$ पर संतत (continuous) होता है यदि और केवल यदि $\lim _{x \rightarrow \alpha^{-}} f(x) = \lim _{x \rightarrow \alpha^{+}} f(x) = f(\alpha)$ हो।
चूंकि फलन $f(x)$ को $x=\alpha \in(a, b)$ पर असंतत दिया गया है,इसलिए संततता की शर्त का उल्लंघन होता है।
इसका अर्थ है कि या तो सीमा (limit) का अस्तित्व नहीं है,या सीमा का अस्तित्व है लेकिन वह $f(\alpha)$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,फलन के उस बिंदु पर असंतत होने के लिए $\lim _{x \rightarrow \alpha} f(x) \neq f(\alpha)$ शर्त का पालन होना चाहिए।
विकल्प $(A)$ संततता की शर्त को दर्शाता है,जो यहाँ गलत है।
विकल्प $(B)$ $x=\alpha$ पर असंततता की शर्त को सही ढंग से पहचानता है।
विकल्प $(C)$ और $(D)$ में डोमेन $[a, b]$ के बाहर की सीमाओं की बात की गई है,जहाँ फलन परिभाषित नहीं है,इसलिए वे अप्रासंगिक या गलत हैं।

(A) कलन (calculus) में एक मूलभूत प्रमेय यह है कि यदि कोई फलन $f(x)$ किसी बिंदु $x=a$ पर अवकलनीय है,तो वह उस बिंदु $x=a$ पर अनिवार्य रूप से संतत होगा।
इस कथन का प्रतिधनात्मक (contrapositive) यह है: यदि $f(x)$,$x=a$ पर संतत नहीं है,तो $f(x)$,$x=a$ पर अवकलनीय नहीं होगा।
चूंकि कारण $(R)$ वह सीधा प्रमेय प्रदान करता है जो कथन $(A)$ को सही ठहराता है,इसलिए दोनों सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) माना $y = \tan^{-1}(\cos \sqrt{x}) + \sec^{-1}(e^x)$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(\cos \sqrt{x})) + \frac{d}{dx}(\sec^{-1}(e^x))$
$= \frac{1}{1 + (\cos \sqrt{x})^2} \cdot (-\sin \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{|e^x| \sqrt{(e^x)^2 - 1}} \cdot e^x$
$= \frac{-\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}(1 + \cos^2 \sqrt{x})} + \frac{1}{\sqrt{e^{2x} - 1}}$.
अब,$x = \frac{\pi^2}{4}$ रखने पर,अतः $\sqrt{x} = \frac{\pi}{2}$:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin(\frac{\pi}{2})}{2(\frac{\pi}{2})(1 + \cos^2(\frac{\pi}{2}))} + \frac{1}{\sqrt{e^{2(\frac{\pi^2}{4})} - 1}}$
$= \frac{-1}{\pi(1 + 0)} + \frac{1}{\sqrt{e^{\frac{\pi^2}{2}} - 1}}$
$= \frac{1}{\sqrt{e^{\frac{\pi^2}{2}} - 1}} - \frac{1}{\pi}$.

(B) दिया गया है कि $f^{\prime}(x) = \sqrt{f^2(x)-1}$.
इसे हम $\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f^2(x)-1}} = 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f^2(x)-1}} dx = \int 1 dx$ प्राप्त होता है।
मानक समाकलन $\int \frac{1}{\sqrt{t^2-1}} dt = \log |t + \sqrt{t^2-1}| + C$ का उपयोग करते हुए,हमें $\log |f(x) + \sqrt{f^2(x)-1}| = x + C$ मिलता है।
चूंकि $f(0) = 1$ दिया गया है,$x=0$ रखने पर $\log |f(0) + \sqrt{f^2(0)-1}| = 0 + C$ प्राप्त होता है।
$\log |1 + \sqrt{1-1}| = C \Rightarrow \log(1) = C \Rightarrow C = 0$।
अतः,$\log |f(x) + \sqrt{f^2(x)-1}| = x$।
$x=1$ पर,$\log |f(1) + \sqrt{f^2(1)-1}| = 1$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$f(1) + \sqrt{f^2(1)-1} = e^1 = e$।
$\sqrt{f^2(1)-1} = e - f(1)$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$f^2(1) - 1 = e^2 + f^2(1) - 2ef(1)$।
$-1 = e^2 - 2ef(1) \Rightarrow 2ef(1) = e^2 + 1$।
इस प्रकार,$f(1) = \frac{e^2+1}{2e}$।

(C) दिया गया है $u=\sin \left(\frac{x}{y}\right)$,$x=e^t$,और $y=t^2$। $u$ में $x$ और $y$ का मान रखने पर,हमें $u=\sin \left(\frac{e^t}{t^2}\right)$ प्राप्त होता है।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $u$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d u}{d t}=\cos \left(\frac{e^t}{t^2}\right) \cdot \frac{d}{d t}\left(\frac{e^t}{t^2}\right)$
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करते हुए $\frac{d}{d t}\left(\frac{e^t}{t^2}\right) = \frac{t^2 e^t - e^t(2t)}{(t^2)^2} = \frac{t e^t(t-2)}{t^4} = \frac{e^t(t-2)}{t^3}$।
अतः,$\frac{d u}{d t} = \cos \left(\frac{e^t}{t^2}\right) \cdot \frac{e^t(t-2)}{t^3}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left(\frac{d u}{d t}\right)^2 = \cos^2 \left(\frac{e^t}{t^2}\right) \cdot \frac{e^{2t}(t-2)^2}{t^6}$।
व्यंजक $t^6\left(\frac{d u}{d t}\right)^2 \div \left(e^{2 t}(t-2)^2\right)$ को व्यवस्थित करने पर:
$= \frac{t^6 \cdot \cos^2 \left(\frac{e^t}{t^2}\right) \cdot e^{2t}(t-2)^2}{t^6 \cdot e^{2t}(t-2)^2} = \cos^2 \left(\frac{e^t}{t^2}\right)$।
चूंकि $u = \sin \left(\frac{e^t}{t^2}\right)$,इसलिए $\sin^2 \left(\frac{e^t}{t^2}\right) = u^2$।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos^2 \left(\frac{e^t}{t^2}\right) = 1 - u^2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $x = t^5 + 5t^3 + 20t + 7$ और $y = 4t^3 - 3t^2 - 18t + 3$.
सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 5t^4 + 15t^2 + 20 = 5(t^4 + 3t^2 + 4)$.
ध्यान दें कि $t^4 + 3t^2 + 4$ सभी वास्तविक $t$ के लिए हमेशा धनात्मक है (क्योंकि इसका विविक्तकर $D = 3^2 - 4(1)(4) = -7 < 0$ है)।
$\frac{dy}{dt} = 12t^2 - 6t - 18 = 6(2t^2 - t - 3)$.
अब,वक्र का अवकलज $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{6(2t^2 - t - 3)}{5(t^4 + 3t^2 + 4)}$ है।
वक्र ह्रासमान है यदि $\frac{dy}{dx} < 0$ हो।
चूंकि हर $5(t^4 + 3t^2 + 4)$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए अंश को ऋणात्मक होना चाहिए:
$6(2t^2 - t - 3) < 0$
$2t^2 - t - 3 < 0$
गुणनखंड करने पर: $(2t - 3)(t + 1) < 0$.
शून्यक $t = -1$ और $t = 3/2$ हैं।
अंतराल की जाँच करने पर,$t \in (-1, 3/2)$ के लिए फलन ह्रासमान है।

(A) दिया गया है कि $f(x)$ अंतराल $[2, 6]$ पर एक अवकलनीय फलन है और सभी $x \in [2, 6]$ के लिए $f^{\prime}(x) \geq 5$ है।
माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार,किसी भी $x_1, x_2 \in [2, 6]$ जहाँ $x_2 > x_1$ है,के लिए एक ऐसा $c \in (x_1, x_2)$ विद्यमान होता है कि $f^{\prime}(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ हो।
चूँकि $f^{\prime}(x) \geq 5$ है,इसलिए $\frac{f(6) - f(2)}{6 - 2} \geq 5$ होगा।
$f(2) = 4$ का मान रखने पर:
$\frac{f(6) - 4}{4} \geq 5$
$f(6) - 4 \geq 20$
$f(6) \geq 24$.
अतः,$f(6)$ का एक संभावित मान $24$ है।

(A) दिया गया है $y = \frac{\log x}{x}$।
सबसे पहले,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(\frac{1}{x}) - \log x(1)}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$।
इसके बाद,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3x + 2x \log x}{x^4}$।
अब,इन मानों को $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 3x \frac{dy}{dx} + y$ में प्रतिस्थापित करें:
$= x^2 \left( \frac{-3x + 2x \log x}{x^4} \right) + 3x \left( \frac{1 - \log x}{x^2} \right) + \frac{\log x}{x}$
$= \frac{-3x + 2x \log x}{x^2} + \frac{3 - 3 \log x}{x} + \frac{\log x}{x}$
$= \frac{-3 + 2 \log x}{x} + \frac{3 - 3 \log x}{x} + \frac{\log x}{x}$
$= \frac{-3 + 2 \log x + 3 - 3 \log x + \log x}{x} = \frac{0}{x} = 0$।
अतः,सभी $x > 0$ के लिए मान $0$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $f(x+ay)+g(x-ay)=0$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x+ay)(1+a \frac{dy}{dx}) + g^{\prime}(x-ay)(1-a \frac{dy}{dx}) = 0$।
पदों का विस्तार करने पर:
$f^{\prime}(x+ay) + a \frac{dy}{dx} f^{\prime}(x+ay) + g^{\prime}(x-ay) - a \frac{dy}{dx} g^{\prime}(x-ay) = 0$।
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को अलग करने पर:
$a \frac{dy}{dx} [f^{\prime}(x+ay) - g^{\prime}(x-ay)] = -[f^{\prime}(x+ay) + g^{\prime}(x-ay)]$।
अतः:
$a \frac{dy}{dx} = \frac{-(f^{\prime}(x+ay) + g^{\prime}(x-ay))}{f^{\prime}(x+ay) - g^{\prime}(x-ay)} = \frac{f^{\prime}(x+ay) + g^{\prime}(x-ay)}{g^{\prime}(x-ay) - f^{\prime}(x+ay)}$।

(C) दिया गया है कि $\frac{f(x)}{g(x)} = c$,जहाँ $c$ एक शून्येतर स्थिरांक है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{\prime} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\beta(x) = \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{\prime}$,इसलिए $\beta(x) = 0$ होगा।
साथ ही,$\frac{f(x)}{g(x)} = c$ से,$f(x) = c \cdot g(x)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$f^{\prime}(x) = c \cdot g^{\prime}(x)$,जिसका अर्थ है कि $\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} = c$।
चूंकि $\alpha(x) = \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$,इसलिए $\alpha(x) = c$ होगा।
अब,इन मानों को व्यंजक $\frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x) + \beta(x)}$ में रखने पर,हमें $\frac{c - 0}{c + 0} = \frac{c}{c} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)-y^2 \tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)=k$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x^2 \cdot \frac{1}{1+(y/x)^2} \cdot \frac{x(dy/dx)-y}{x^2} + 2x \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - y^2 \cdot \frac{1}{1+(x/y)^2} \cdot \frac{y-x(dy/dx)}{y^2} - 2y \tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) \frac{dy}{dx} = 0$.
पदों को सरल करने पर:
$\frac{x^2}{x^2+y^2} \cdot \frac{x(dy/dx)-y}{1} + 2x \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y^2}{x^2+y^2} \cdot \frac{y-x(dy/dx)}{1} - 2y \tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) \frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(1,1)$ पर,$x=1, y=1$ और $dy/dx = y_1$ रखने पर:
$\frac{1}{2}(y_1-1) + 2(1) \tan ^{-1}(1) - \frac{1}{2}(1-y_1) - 2(1) \tan ^{-1}(1) y_1 = 0$.
यहाँ $\tan ^{-1}(1) = \pi/4$ है।
$\frac{1}{2}y_1 - \frac{1}{2} + 2(\pi/4) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}y_1 - 2(\pi/4)y_1 = 0$.
$y_1 - 1 + \pi/2 - \pi/2 y_1 = 0$.
$y_1(1 - \pi/2) = 1 - \pi/2$.
अतः,$y_1 = 1$.

(A) दिया गया है $x^x y^y=e^e$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln(x^x y^y) = \ln(e^e)$
$x \ln x + y \ln y = e$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x \ln x) + \frac{d}{dx}(y \ln y) = \frac{d}{dx}(e)$
$(1 + \ln x) + (1 + \ln y) \frac{dy}{dx} = 0$
बिंदु $(e, e)$ पर,$\ln e = 1$:
$(1 + 1) + (1 + 1) \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(e, e)} = 0$
$2 + 2 \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(e, e)} = 0 \Rightarrow \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(e, e)} = -1$
$(1 + \ln x) + (1 + \ln y) y' = 0$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} y' \cdot y' + (1 + \ln y) y'' = 0$
$\frac{1}{x} + \frac{(y')^2}{y} + (1 + \ln y) y'' = 0$
$(e, e)$ पर जहाँ $y' = -1$:
$\frac{1}{e} + \frac{(-1)^2}{e} + (1 + \ln e) y'' = 0$
$\frac{1}{e} + \frac{1}{e} + 2 y'' = 0$
$\frac{2}{e} + 2 y'' = 0 \Rightarrow y'' = -\frac{1}{e}$
चूंकि $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(e, e)} = -1$,हम लिख सकते हैं कि $y'' = \frac{-1}{e} = \frac{1}{e} \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(e, e)}$।

(C) दिया गया समीकरण $x^3+y^3=3axy$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3x^2+3y^2 \frac{dy}{dx} = 3ay + 3ax \frac{dy}{dx}$
$(y^2-ax) \frac{dy}{dx} = ay-x^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{ay-x^2}{y^2-ax}$
बिंदु $\left(\frac{3a}{2}, \frac{3a}{2}\right)$ पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{a(\frac{3a}{2}) - (\frac{3a}{2})^2}{(\frac{3a}{2})^2 - a(\frac{3a}{2})} = \frac{\frac{3a^2}{2} - \frac{9a^2}{4}}{\frac{9a^2}{4} - \frac{3a^2}{2}} = \frac{-\frac{3a^2}{4}}{\frac{3a^2}{4}} = -1$.
$\frac{dy}{dx}(y^2-ax) = ay-x^2$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(2y \frac{dy}{dx} - a) \frac{dy}{dx} + (y^2-ax) \frac{d^2y}{dx^2} = a \frac{dy}{dx} - 2x$
बिंदु $\left(\frac{3a}{2}, \frac{3a}{2}\right)$ और $\frac{dy}{dx} = -1$ रखने पर:
$(2(\frac{3a}{2})(-1) - a)(-1) + ((\frac{3a}{2})^2 - a(\frac{3a}{2})) y^{\prime \prime} = a(-1) - 2(\frac{3a}{2})$
$(-3a-a)(-1) + (\frac{9a^2}{4} - \frac{6a^2}{4}) y^{\prime \prime} = -a - 3a$
$4a + \frac{3a^2}{4} y^{\prime \prime} = -4a$
$\frac{3a^2}{4} y^{\prime \prime} = -8a$
$3ay^{\prime \prime} = -32$
अतः,$3ay^{\prime \prime} + 40 = -32 + 40 = 8$.

(D) दिया गया है $f(x)=\sqrt{x+\sin x}$।
$f^{\prime}(x)=0$ के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+\sin x}} \cdot (1+\cos x) = 0$।
इसका अर्थ है $1+\cos x = 0$,इसलिए $\cos x = -1$।
अतः,$x = (2n+1)\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
अब,इन बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f((2n+1)\pi) = \sqrt{(2n+1)\pi + \sin((2n+1)\pi)}$।
चूँकि सभी $n \in \mathbb{Z}$ के लिए $\sin((2n+1)\pi) = 0$ होता है,इसलिए $f((2n+1)\pi) = \sqrt{(2n+1)\pi}$।
मान लीजिए $x = (2n+1)\pi$ और $y = f(x) = \sqrt{x}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = x$ प्राप्त होता है,जो एक परवलय का समीकरण है।

(A) दिया गया फलन $f(x)=|x-5|+|x+5|+|x-4|+|x+4|$ है।
हम $f(x)$ को विभिन्न अंतरालों में परिभाषित कर सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} -4x & x \leq -5 \\ -2x+10 & -5 < x \leq -4 \\ 18 & -4 < x \leq 4 \\ 2x+10 & 4 < x \leq 5 \\ 4x & x > 5 \end{cases}$
अब,अवकलज $f^{\prime}(x)$ इस प्रकार है:
$f^{\prime}(x) = \begin{cases} -4 & x < -5 \\ -2 & -5 < x < -4 \\ 0 & -4 < x < 4 \\ 2 & 4 < x < 5 \\ 4 & x > 5 \end{cases}$
आवश्यक मानों का मूल्यांकन करने पर:
$f^{\prime}(1) = 0$ (क्योंकि $-4 < 1 < 4$)
$f^{\prime}(-6) = -4$ (क्योंकि $-6 < -5$)
$f^{\prime}(-1) = 0$ (क्योंकि $-4 < -1 < 4$)
$f^{\prime}(6) = 4$ (क्योंकि $6 > 5$)
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{f^{\prime}(1)-f^{\prime}(-6)}{f^{\prime}(-1)+f^{\prime}(6)} = \frac{0-(-4)}{0+4} = \frac{4}{4} = 1$.

(B) दिया गया है $f(t) = \frac{t}{2} + \frac{1}{4} \log(2t - 1)$.
सबसे पहले,अवकलज $f^{\prime}(t)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{t}{2} + \frac{1}{4} \log(2t - 1) \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2t - 1} \cdot 2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2(2t - 1)}$.
अब,$f^{\prime}(t)$ में $t$ के स्थान पर $\frac{t+1}{2t+1}$ रखें:
$f^{\prime}\left(\frac{t+1}{2t+1}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\left(2\left(\frac{t+1}{2t+1}\right) - 1\right)}$.
हर (denominator) के पद को सरल करें:
$2\left(\frac{t+1}{2t+1}\right) - 1 = \frac{2t + 2 - (2t + 1)}{2t + 1} = \frac{1}{2t + 1}$.
इस मान को समीकरण में वापस रखें:
$f^{\prime}\left(\frac{t+1}{2t+1}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\left(\frac{1}{2t+1}\right)} = \frac{1}{2} + \frac{2t+1}{2} = \frac{1 + 2t + 1}{2} = \frac{2t + 2}{2} = t + 1$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $f(x) f^{\prime}(-x) - f(-x) f^{\prime}(x) = 0$ है।
इसे $\frac{d}{dx} [f(x) f(-x)] = f^{\prime}(x) f(-x) - f(x) f^{\prime}(-x) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$f(x) f(-x) = c$,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है।
$x = 0$ पर,$f(0) f(0) = c \Rightarrow 3 \times 3 = 9$,इसलिए $c = 9$ है।
इस प्रकार,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) f(-x) = 9$ है।
$x = 3$ के लिए,$f(3) f(-3) = 9 \Rightarrow 9 \times f(-3) = 9 \Rightarrow f(-3) = 1$ है।
अंत में,$(1 + f(-3))^3 + 1 = (1 + 1)^3 + 1 = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9$।

(A) बिंदु $A(0, \alpha)$ वक्र $y=f(x)$ पर स्थित है,इसलिए $f(0)=\alpha$ है।
दिया गया है कि $f(0)=2$,इसलिए $\alpha=2$ है।
बिंदुओं $A(0, 2)$ और $B(8, \beta)$ को जोड़ने वाली जीवा $AB$ की ढाल इस प्रकार है:
$m_{chord} = \frac{\beta - 2}{8 - 0} = \frac{\beta - 2}{8}$
वक्र $y=f(x)$ की $x=4$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $f^{\prime}(4) = \frac{-3}{4}$ है।
चूंकि जीवा $AB$,$x=4$ पर स्पर्श रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$\frac{\beta - 2}{8} = \frac{-3}{4}$
दोनों पक्षों को $8$ से गुणा करने पर:
$\beta - 2 = -3 \times 2$
$\beta - 2 = -6$
$\beta = -6 + 2 = -4$
अतः,$\beta$ का मान $-4$ है।

(D) वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4t+3}{3t^2-8t-3}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि अभिलंब $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए उस बिंदु पर स्पर्श रेखा $Y$-अक्ष के समांतर होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि स्पर्श रेखा की ढाल अपरिभाषित होनी चाहिए,अर्थात $\frac{dx}{dt} = 0$।
हर को शून्य के बराबर रखने पर: $3t^2-8t-3 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(3t+1)(t-3) = 0$।
इससे $t = 3$ और $t = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होते हैं।
$t$ के इन मानों के लिए स्पर्श रेखा की ढाल अपरिभाषित है,जिसका अर्थ है कि अभिलंब $X$-अक्ष के समांतर है।
अतः,ऐसे कुल $2$ बिंदु हैं।

(B) दिया गया है $A=\{x : 9x \geq x^2+20\}$.
असमिका $x^2-9x+20 \leq 0$ को हल करने पर,हमें $(x-4)(x-5) \leq 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \in [4, 5]$.
अतः,$A=[4, 5]$.
दिया गया है $f(x)=2x^3-15x^2+36x-48$.
अवकलन करने पर,$f'(x)=6x^2-30x+36=6(x^2-5x+6)=6(x-3)(x-2)$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x)=0$ रखने पर,$x=2$ और $x=3$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि दोनों क्रांतिक बिंदु $x=2$ और $x=3$ अंतराल $A=[4, 5]$ के बाहर हैं,इसलिए फलन $f(x)$ इस अंतराल में एकदिष्ट है।
अंतराल $[4, 5]$ के लिए $f'(x)$ का चिह्न जाँचने पर: $f'(4)=6(4-3)(4-2)=12 > 0$.
चूंकि $x \in [4, 5]$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए $f(x)$ अंतराल $[4, 5]$ पर एक वर्धमान फलन है।
अतः,अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x=5$ पर प्राप्त होगा।
$f(5)=2(5)^3-15(5)^2+36(5)-48 = 2(125)-15(25)+180-48 = 250-375+180-48 = 7$.

(A) दिए गए वक्र $y=e^{2(1+x)-4}$ और $x^2 y=1$ हैं।
बिंदु $(1,1)$ पर,हम दोनों वक्रों के स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करते हैं।
प्रथम वक्र $y=e^{2(1+x)-4}$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $y' = e^{2(1+x)-4} \cdot 2$ प्राप्त होता है।
$(1,1)$ पर,ढाल $m_1 = y'(1) = e^{2(1+1)-4} \cdot 2 = e^0 \cdot 2 = 2$ है।
दूसरे वक्र $x^2 y = 1$ के लिए,$y = x^{-2}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $y' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$ प्राप्त होता है।
$(1,1)$ पर,ढाल $m_2 = y'(1) = -\frac{2}{1^3} = -2$ है।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{2 - (-2)}{1 + (2)(-2)} \right| = \left| \frac{4}{1 - 4} \right| = \left| \frac{4}{-3} \right| = \frac{4}{3}$।
चूंकि $\tan \theta = \frac{4}{3}$,हम एक समकोण त्रिभुज पर विचार कर सकते हैं जिसकी सम्मुख भुजा $4$ और आसन्न भुजा $3$ है। कर्ण $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ है।
अतः,$\sin \theta = \frac{4}{5}$ और $\cos \theta = \frac{3}{5}$।
इसलिए,$|\sin \theta| + |\cos \theta| = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$।

(C) माना रेखा के $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं। रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
दिया गया है कि अंतःखंडों का योग $a + b = 12$ है,इसलिए $b = 12 - a$ है।
रेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}ab$ है।
$b = 12 - a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = \frac{1}{2}a(12 - a) = 6a - \frac{1}{2}a^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{da} = 6 - a = 0 \Rightarrow a = 6$।
चूंकि $a = 6$,इसलिए $b = 12 - 6 = 6$ है।
रेखा का समीकरण $\frac{x}{6} + \frac{y}{6} = 1$ है,जो सरल होकर $x + y = 6$ हो जाता है।

(B) दिया गया वक्र $y=2x^3-15x^2+36x+c$ है।
स्थिर बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ $\frac{dy}{dx} = 0$ हो।
$\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 30x + 36 = 6(x^2 - 5x + 6) = 6(x-2)(x-3)$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $x=2$ और $x=3$ प्राप्त होते हैं।
चूँकि $(2, a)$ वक्र पर एक बिंदु है,$a = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 36(2) + c = 16 - 60 + 72 + c = 28 + c$.
चूँकि $(b, 19)$ वक्र पर एक बिंदु है,$b$ दूसरा $x$-निर्देशांक होना चाहिए,इसलिए $b=3$.
$x=3$ और $y=19$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $19 = 2(3)^3 - 15(3)^2 + 36(3) + c$.
$19 = 54 - 135 + 108 + c \Rightarrow 19 = 27 + c \Rightarrow c = -8$.
अब,$a = 28 + (-8) = 20$.
अतः,$a+b+c = 20 + 3 - 8 = 15$.