P वृत्तों S equiv x^2+y^2-6x+2ky+1=0 और S' eq | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए वृत्तों $S=0$ और $S'=0$ के केंद्र क्रमशः $C$ और $C'$ हैं।$S \equiv x^2+y^2-6x+2ky+1=0$ के लिए,केंद्र $C = (3, -k)$ और त्रिज्या $r = \sqr

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$\frac{\sqrt{65}}{2}$

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(D) मान लीजिए वृत्तों $S=0$ और $S'=0$ के केंद्र क्रमशः $C$ और $C'$ हैं।$S \equiv x^2+y^2-6x+2ky+1=0$ के लिए,केंद्र $C = (3, -k)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2+(-k)^2-1} = \sqrt{8+k^2}$ है।$S' \equiv x^2+y^2+2kx-6y-7=0$ के लिए,केंद्र $C' = (-k, 3)$ और त्रिज्या $r' = \sqrt{(-k)^2+3^2-(-7)} = \sqrt{k^2+16}$ है।चूंकि $S=0$ पर $P$ पर स्पर्शरेखा $C'$ से गुजरती है,इसलिए $CP \perp C'P$ है। इसी प्रकार,$S'=0$ पर $P$ पर स्पर्शरेखा $C$ से गुजरती है,इसलिए $C'P \perp CP$ है।अतः,$	riangle CPC'$ बिंदु $P$ पर एक समकोण त्रिभुज है,जहाँ $CP = r$ और $C'P = r'$ है।पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$CP^2 + C'P^2 = CC'^2$ है।$r^2 + r'^2 = (3 - (-k))^2 + (-k - 3)^2$ है।$(8+k^2) + (k^2+16) = (3+k)^2 + (-(k+3))^2$ है।$2k^2 + 24 = 2(k+3)^2 = 2(k^2+6k+9) = 2k^2+12k+18$ है।$24 = 12k + 18$ $\Rightarrow 12k = 6$ $\Rightarrow k = \frac{1}{2}$ है।$S'=0$ की त्रिज्या $r' = \sqrt{k^2+16} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2+16} = \sqrt{\frac{1}{4}+16} = \sqrt{\frac{65}{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}$ है।

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यदि दो वृत्त $2x^2 + 2y^2 - 3x + 6y + k = 0$ और $x^2 + y^2 - 4x + 10y + 16 = 0$ लंबकोणीय (orthogonally) प्रतिच्छेद करते हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(p, q)$ उस वृत्त का केंद्र है जो तीन वृत्तों $x^2+y^2-2x-4y+4=0$,$x^2+y^2+2x-4y+1=0$ और $x^2+y^2-4x-2y-11=0$ को लंबकोणीय रूप से काटता है,तो $p+q=$

वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ पर स्थित किसी भी बिंदु से वृत्त $x^2 + y^2 = a^2 \sin^2 \alpha$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं। उनके बीच का कोण क्या है?

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