AP EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $Y$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलय का समीकरण $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ है।
दिए गए बिंदुओं $(0, 2/5)$,$(4, -2)$ और $(1, 8/5)$ को समीकरण में रखने पर:
$(0 - h)^2 = 4a(2/5 - k) \implies h^2 = 4a(2/5 - k) \quad (i)$
$(4 - h)^2 = 4a(-2 - k) \quad (ii)$
$(1 - h)^2 = 4a(8/5 - k) \quad (iii)$
समीकरणों को हल करने पर,हमें $h = 3/2$,$k = 7/4$ और $a = -5/12$ प्राप्त होता है।
परवलय का समीकरण $(x - 3/2)^2 = -5/3(y - 7/4)$ है।
बिंदु $(2, 8/5)$ की जाँच करने पर:
$(2 - 3/2)^2 = 1/4$ और $-5/3(8/5 - 7/4) = 1/4$.
अतः,बिंदु $(2, 8/5)$ परवलय पर स्थित है।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $4x^2 - 12x + 4y + 5 = 0$ है।
$4$ से भाग देने पर,$x^2 - 3x + y + \frac{5}{4} = 0$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x - \frac{3}{2})^2 = -(y - 1)$।
यह $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ के रूप में है,जहाँ $h = \frac{3}{2}$,$k = 1$,और $a = \frac{1}{4}$ है।
शीर्ष $V = (\frac{3}{2}, 1)$ है।
नाभि $S = (h, k - a) = (\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$ है।
नियता $y = k + a = \frac{5}{4}$ है।
अक्ष $x = \frac{3}{2}$ है।
$Z$ अक्ष और नियता का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $Z = (\frac{3}{2}, \frac{5}{4})$।
$SZ$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु $P = (\frac{3}{2}, \frac{13}{12})$ है।

(D) दिया गया परवलय समीकरण: $x^2-4x-4y+16=0$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x-4-4\frac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2x-4}{4} = \frac{x-2}{2}$।
स्पर्श रेखा $2x-y-5=0$ की ढाल $m=2$ है।
अवकलज को ढाल के बराबर रखने पर: $\frac{x-2}{2} = 2$ $\Rightarrow x-2=4$ $\Rightarrow x=6$।
स्पर्श रेखा के समीकरण में $x=6$ रखने पर: $2(6)-y-5=0$ $\Rightarrow 12-y-5=0$ $\Rightarrow y=7$।
अतः,स्पर्श बिंदु $P(6, 7)$ है।
$P$ पर अभिलंब की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{2}$ है।
अभिलंब का समीकरण: $(y-7) = -\frac{1}{2}(x-6)$।
$2y-14 = -x+6 \Rightarrow x+2y-20=0$।
$ax+y+c=0$ के रूप में लाने के लिए $2$ से भाग देने पर: $\frac{1}{2}x+y-10=0$।
$ax+y+c=0$ से तुलना करने पर,$a=\frac{1}{2}$ और $c=-10$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$ac = \frac{1}{2} \times (-10) = -5$।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2 - 4y - 3x + 7 = 0$ है।
इसे $(y - 2)^2 = 3(x - 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ शीर्ष $(1, 2)$ है और $4a = 3$,इसलिए $a = \frac{3}{4}$ है।
नाभि $(h + a, k) = (1 + \frac{3}{4}, 2) = (\frac{7}{4}, 2)$ है।
नाभीय जीवा $(\frac{7}{4}, 2)$ और $(4, 5)$ से होकर गुजरती है।
जीवा की ढाल $m = \frac{5 - 2}{4 - 7/4} = \frac{4}{3}$ है।
जीवा का समीकरण $y - 5 = \frac{4}{3}(x - 4) \Rightarrow 4x - 3y - 1 = 0$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{|-1|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{1}{5}$ है।

(C) परवलय $y^2=5x$ है,इसलिए $4a=5 \Rightarrow a=\frac{5}{4}$. नाभि $S$,$\left(\frac{5}{4}, 0\right)$ है।
नाभीय जीवा $P(5,5)$ और $S\left(\frac{5}{4}, 0\right)$ से होकर गुजरती है।
जीवा $PS$ की ढाल $m = \frac{5-0}{5-\frac{5}{4}} = \frac{5}{15/4} = \frac{4}{3}$ है।
नाभीय जीवा का समीकरण $y-0 = \frac{4}{3}\left(x-\frac{5}{4}\right)$ $\Rightarrow 3y = 4x-5$ $\Rightarrow 4x-3y=5$ है।
$Q$ ज्ञात करने के लिए,$y^2=5x$ में $x = \frac{3y+5}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 5\left(\frac{3y+5}{4}\right)$ $\Rightarrow 4y^2 - 15y - 25 = 0$ $\Rightarrow (4y+5)(y-5) = 0$.
चूंकि $P(5,5)$ है,इसलिए $Q$ का निर्देशांक $\left(\frac{5}{16}, -\frac{5}{4}\right)$ होगा।
$Q(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा $yy_1 = \frac{5}{2}(x+x_1)$ है।
$Q\left(\frac{5}{16}, -\frac{5}{4}\right)$ रखने पर: $y\left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{5}{2}\left(x+\frac{5}{16}\right) \Rightarrow -\frac{1}{2}y = x+\frac{5}{16}$.
परवलय का अक्ष $y=0$ है। स्पर्श रेखा के समीकरण में $y=0$ रखने पर $x = -\frac{5}{16}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(-\frac{5}{16}, 0\right)$ है।

(B) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के विकर्णों की संख्या का सूत्र है: $\frac{n(n-3)}{2}$।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $104$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 104$
$n(n-3) = 208$
$n^2 - 3n - 208 = 0$
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 832}}{2}$
$n = \frac{3 \pm 29}{2}$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,$n = \frac{32}{2} = 16$।
अतः,$n = 16$।

(C) हम जानते हैं कि $(1+x)^{2n} = (1+x)^n (1+x)^n$।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(1+x)^{2n} = (C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n) (C_0 x^n + C_1 x^{n-1} + C_2 x^{n-2} + \ldots + C_n)$।
$(1+x)^{2n}$ के विस्तार में $x^{n-r}$ का गुणांक $^{2n}C_{n-r}$ है,जो $^{2n}C_{n+r}$ के बराबर है।
श्रेणी का गुणा करने पर,$x^{n-r}$ का गुणांक $C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \ldots + C_{n-r} C_n$ प्राप्त होता है।
अतः,$C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \ldots + C_{n-r} C_n = {}^{2n}C_{n+r}$।

(C) दिया गया व्यंजक $\frac{1}{\sqrt[3]{(1-2 x)^2}} = (1-2 x)^{-2/3}$ है।
द्विपद विस्तार $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \dots + \frac{n(n+1)\dots(n+r-1)}{r!}z^r + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 2/3$ और $z = 2x$ है:
सामान्य पद $\frac{\frac{2}{3}(\frac{2}{3}+1)(\frac{2}{3}+2)\dots(\frac{2}{3}+r-1)}{r!}(2x)^r$ है।
$x^r$ का गुणांक $\frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{8}{3} \cdot \dots \cdot \frac{3r-1}{3}}{r!} \cdot 2^r$ है।
$= \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dots \cdot (3r-1)}{r! \cdot 3^r} \cdot 2^r$.
$= \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \dots \cdot (3r-1)}{r!} \left(\frac{2}{3}\right)^r$.

(A) द्विपद विस्तार $(1+ax)^n$ का उपयोग करते हुए,$x^3$ का गुणांक $-\frac{20}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) द्विपद गुणांक $^{n}C_{r}$ के एक प्राकृतिक संख्या होने के लिए,$n \geq r \geq 0$ और $n, r \in \mathbb{N}_0$ होना आवश्यक है।
दिए गए $^{20-2x}C_{x-3} \in N$ के लिए,निम्नलिखित शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1) \; x-3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$
$2) \; 20-2x \geq x-3$ $\Rightarrow 23 \geq 3x$ $\Rightarrow x \leq \frac{23}{3} \approx 7.66$
$3) \; 20-2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 10$
इन असमिकाओं को संयोजित करने पर,हमें $3 \leq x \leq 7.66$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in N$,इसलिए $x$ के संभावित मान $3, 4, 5, 6, 7$ हैं।
अतः,समुच्चय में $5$ अवयव हैं।

(A) $(2-3x)^9$ के विस्तार में संख्यात्मक रूप से सबसे बड़े पद के लिए,हम $|T_{r+1}| \geq |T_r|$ की शर्त का उपयोग करते हैं।
$x=1$ रखने पर,$|T_{r+1}| = {^9C_r} 2^{9-r} 3^r$.
$\frac{|T_{r+1}|}{|T_r|} = \frac{9-r+1}{r} \cdot \frac{3}{2} \geq 1$ $\Rightarrow 30-3r \geq 2r$ $\Rightarrow 5r \leq 30$ $\Rightarrow r \leq 6$.
अतः,$r=6$ पर सबसे बड़ा पद प्राप्त होता है।
$|T_7| = {^9C_6} 2^3 3^6 = 84 \times 8 \times 729 = 2^5 \times 3^7 \times 7^1$.
यहाँ $P_1=2, P_2=3, P_3=7, P_4=11$ है,इसलिए $\alpha=5, \beta=7, \gamma=1, \delta=0$.
$\alpha+\beta+\gamma+\delta = 5+7+1+0 = 13$.

(D) माना $P(x) = (x+\sqrt{x^4-1})^9+(x-\sqrt{x^4-1})^9$.
द्विपद प्रसार $(a+b)^n + (a-b)^n = 2 \sum_{k=0, 2, 4, \dots} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ का उपयोग करने पर:
$P(x) = 2 [ \binom{9}{0} x^9 + \binom{9}{2} x^7 (x^4-1) + \binom{9}{4} x^5 (x^4-1)^2 + \binom{9}{6} x^3 (x^4-1)^3 + \binom{9}{8} x^1 (x^4-1)^4 ]$.
पदों का विस्तार करने पर:
पद $1$: $x^9$ (घात $9$).
पद $2$: $x^7 \cdot x^4 = x^{11}$ (घात $11$).
पद $3$: $x^5 \cdot (x^4)^2 = x^{13}$ (घात $13$).
पद $4$: $x^3 \cdot (x^4)^3 = x^{15}$ (घात $15$).
पद $5$: $x^1 \cdot (x^4)^4 = x^{17}$ (घात $17$).
व्यंजक में $x$ की उच्चतम घात $17$ है।
अतः,बहुपद की घात $17$ है।

(D) दिया गया है $f(n) = n! (31-n)!$.
हम जानते हैं कि $f(n) = \frac{31!}{\binom{31}{n}}$.
$f(n)$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें द्विपद गुणांक $\binom{31}{n}$ को अधिकतम करना होगा।
द्विपद गुणांक $\binom{N}{n}$ तब अधिकतम होता है जब $n = \lfloor N/2 \rfloor$ या $n = \lceil N/2 \rceil$ हो।
$N = 31$ के लिए,अधिकतम मान $n = 15$ और $n = 16$ पर प्राप्त होते हैं।
अतः,$f(n)$ का न्यूनतम मान $f(15) = 15! (31-15)! = 15! 16!$ है।

(B) द्विपद विस्तार $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए,हम दो पदों का विस्तार करते हैं:
$(1-3x)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}(-3x) + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2!}(-3x)^2 + \dots = 1 - x - x^2 + \dots$
$(1+2x)^{-\frac{1}{2}} = 1 + (-\frac{1}{2})(2x) + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)}{2!}(2x)^2 + \dots = 1 - x + \frac{3}{2}x^2 + \dots$
इन विस्तारों का गुणा करने पर: $(1 - x - x^2 + \dots)(1 - x + \frac{3}{2}x^2 + \dots)$
$x^2$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है: $(1 \times \frac{3}{2}) + (-1 \times -1) + (-1 \times 1) = \frac{3}{2} + 1 - 1 = \frac{3}{2}$.

(B) $(1+x)^{11}$ के विस्तार में द्विपद गुणांक $^{11}C_r$ हैं,जहाँ $r = 0, 1, 2, \dots, 11$.
ये हैं: $^{11}C_0, ^{11}C_1, ^{11}C_2, ^{11}C_3, ^{11}C_4, ^{11}C_5, ^{11}C_6, ^{11}C_7, ^{11}C_8, ^{11}C_9, ^{11}C_{10}, ^{11}C_{11}$.
गुणधर्म $^{n}C_r = ^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करने पर:
$^{11}C_0 = ^{11}C_{11}, ^{11}C_1 = ^{11}C_{10}, ^{11}C_2 = ^{11}C_9, ^{11}C_3 = ^{11}C_8, ^{11}C_4 = ^{11}C_7, ^{11}C_5 = ^{11}C_6$.
अतः,द्विपद गुणांकों के लिए $6$ भिन्न मान प्राप्त होते हैं।
$3 \times 3$ आव्यूह में कुल $9$ प्रविष्टियाँ $(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2, a_3, b_3, c_3)$ हैं और प्रत्येक के लिए $6$ विकल्प हैं।
इसलिए,समुच्चय $A$ में अवयवों की कुल संख्या $6^9$ है।

(A) मान लीजिए कि $(1+x)^{15}$ के विस्तार में $T_{r+1}$ और $T_r$ क्रमशः $(r+1)$-वां और $r$-वां पद हैं।
यहाँ $n=15$ और $x=\frac{1}{2}$ दिया गया है।
सबसे बड़े पद के लिए,शर्त $T_{r+1} \geq T_r$ है।
इसका अर्थ है $\frac{T_{r+1}}{T_r} \geq 1$.
सामान्य पद के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{{}^{n}C_r x^r}{{}^{n}C_{r-1} x^{r-1}} = \frac{n-r+1}{r} \cdot x$.
मान रखने पर: $\frac{15-r+1}{r} \cdot \frac{1}{2} \geq 1$.
$\frac{16-r}{2r} \geq 1$.
$16-r \geq 2r$.
$3r \leq 16 \Rightarrow r \leq \frac{16}{3} \approx 5.33$.
चूंकि $r$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए सबसे बड़ा पद $r=5$ पर प्राप्त होता है,जो $T_{5+1} = T_6$ है।
$T_6 = {}^{15}C_5 \cdot x^5 = {}^{15}C_5 \cdot (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32} {}^{15}C_5$.

(B) चूंकि $30^{r}$,$30!$ को विभाजित करता है,और $30 = 2 \times 3 \times 5$ है।
$30^{r} = 2^{r} \times 3^{r} \times 5^{r}$ है,इसलिए $r$ को $30!$ के अभाज्य गुणनखंडन में $2, 3$ और $5$ के घातांकों में न्यूनतम होना चाहिए।
लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हुए,$n!$ में अभाज्य $p$ का घातांक $E_{p}(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^{k}} \rfloor$ है।
$p=5$ के लिए: $E_{5}(30!) = \lfloor \frac{30}{5} \rfloor + \lfloor \frac{30}{25} \rfloor = 6 + 1 = 7$.
$p=3$ के लिए: $E_{3}(30!) = \lfloor \frac{30}{3} \rfloor + \lfloor \frac{30}{9} \rfloor + \lfloor \frac{30}{27} \rfloor = 10 + 3 + 1 = 14$.
$p=2$ के लिए: $E_{2}(30!) = \lfloor \frac{30}{2} \rfloor + \lfloor \frac{30}{4} \rfloor + \lfloor \frac{30}{8} \rfloor + \lfloor \frac{30}{16} \rfloor = 15 + 7 + 3 + 1 = 26$.
सबसे बड़ा पूर्णांक $r = \min(26, 14, 7) = 7$ है।

(D) दिया गया है $(2-5x)^{-1/5} = 2^{-1/5} (1 - \frac{5}{2}x)^{-1/5}$.
द्विपद विस्तार $(1+y)^n = 1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + \ldots$ का उपयोग करने पर,जहाँ $y = -\frac{5}{2}x$ और $n = -\frac{1}{5}$:
$(1 - \frac{5}{2}x)^{-1/5} = 1 + (-\frac{1}{5})(-\frac{5}{2}x) + \frac{(-\frac{1}{5})(-\frac{6}{5})}{2} (\frac{25}{4}x^2) + \ldots$
$= 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}x^2 + \ldots$
अतः,$(2-5x)^{-1/5} = 2^{-1/5} + \frac{1}{2} \cdot 2^{-1/5}x + \frac{3}{4} \cdot 2^{-1/5}x^2 + \ldots$
गुणांकों की तुलना करने पर,$a_1 = \frac{1}{2} \cdot 2^{-1/5}$ और $a_2 = \frac{3}{4} \cdot 2^{-1/5}$.
इसलिए,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$.

(D) श्रेणी का सामान्य पद $\frac{r \cdot {}^nC_r}{{}^nC_{r-1}}$ द्वारा दिया जाता है।
${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{r \cdot {}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{r \cdot \frac{n!}{r!(n-r)!}}{\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}} = n-r+1$.
$r=1$ के लिए,पद $n$ है।
$r=2$ के लिए,पद $n-1$ है।
अतः,योग $n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 1 = \sum_{k=1}^{n} k$ है।

(C) सर्वसमिका ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करने पर:
${}^{(n-1)}C_6 + {}^{(n-1)}C_7 = {}^{n}C_7$
दी गई असमिका: ${}^{n}C_7 < {}^{n}C_8$
गुणधर्म $\frac{{}^{n}C_{r}}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{{}^{n}C_8}{{}^{n}C_7} > 1$
$\frac{n-8+1}{8} > 1$
$\frac{n-7}{8} > 1$
$n-7 > 8$
$n > 15$
अतः,$n$ का न्यूनतम पूर्णांक मान $16$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{r=0}^{5} (5r + 3) \times { }^5 C_r$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} { }^n C_r = 2^n$ और $\sum_{r=0}^{n} r \times { }^n C_r = n \times 2^{n-1}$ होता है।
यहाँ,$n = 5$ है।
अतः,$\sum_{r=0}^{5} (5r + 3) \times { }^5 C_r = 5 \sum_{r=0}^{5} r \times { }^5 C_r + 3 \sum_{r=0}^{5} { }^5 C_r$.
मान रखने पर:
$= 5 \times (5 \times 2^{5-1}) + 3 \times 2^5$
$= 5 \times (5 \times 2^4) + 3 \times (2 \times 2^4)$
$= 25 \times 2^4 + 6 \times 2^4$
$= (25 + 6) \times 2^4 = 31 \times 2^4$.
दिया गया है कि $k \times 2^4 = 31 \times 2^4$,इसलिए $k = 31$।

(C) द्विपद विस्तार $(a+b)^n + (a-b)^n = 2 \sum_{k=0, 2, 4, \dots} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ का उपयोग करते हुए।
यहाँ,$a=3$,$b=\sqrt{8}$,और $n=5$ है।
$(3+\sqrt{8})^5+(3-\sqrt{8})^5 = 2 \left[ \binom{5}{0} 3^5 + \binom{5}{2} 3^3 (\sqrt{8})^2 + \binom{5}{4} 3^1 (\sqrt{8})^4 \right]$.
$= 2 \left[ 1 \cdot 243 + 10 \cdot 27 \cdot 8 + 5 \cdot 3 \cdot 64 \right]$.
$= 2 \left[ 243 + 2160 + 960 \right]$.
$= 2 \times 3363 = 6726$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \sum_{r=0}^n \frac{{ }^n C_r}{r+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{r+1}$ है।
गुणधर्म $\frac{{ }^n C_r}{r+1} = \frac{{ }^{n+1} C_{r+1}}{n+1}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{n+1} \sum_{r=0}^n { }^{n+1} C_{r+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{r+1}$।
माना $k = r+1$,तो $S = \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} { }^{n+1} C_k \left(\frac{1}{2}\right)^k$।
द्विपद विस्तार $(1+x)^m = \sum_{k=0}^m { }^m C_k x^k$ का उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n+1} { }^{n+1} C_k \left(\frac{1}{2}\right)^k = (1 + \frac{1}{2})^{n+1} - { }^{n+1} C_0 (\frac{1}{2})^0 = (\frac{3}{2})^{n+1} - 1$।
अतः,$S = \frac{1}{n+1} [(\frac{3}{2})^{n+1} - 1] = \frac{3^{n+1} - 2^{n+1}}{(n+1) 2^{n+1}}$।

(A) माना $(1-x+x^2)^{2n} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_{4n} x^{4n}$ है।
$x = 1$ रखने पर,हमें $1^{2n} = 1 = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{4n} \dots (i)$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ रखने पर,हमें $(1 - (-1) + (-1)^2)^{2n} = 3^{2n} = a_0 - a_1 + a_2 - \dots + a_{4n} \dots (ii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$1 + 3^{2n} = 2(a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{4n})$ प्राप्त होता है।
$x$ की सम घातों के गुणांकों का योग $a_0 + a_2 + \dots + a_{4n} = 3281$ दिया गया है।
अतः,$1 + 3^{2n} = 2 \times 3281 = 6562$ है।
$3^{2n} = 6561$ है।
चूंकि $3^8 = 6561$ है,इसलिए $2n = 8$,जिसका अर्थ है कि $n = 4$ है।

(A) दिया गया है $N(n) = n \prod_{r=1}^{2023} (n^2 - r^2) = n \cdot \left[ \prod_{r=1}^{2023} (n-r) \right] \left[ \prod_{r=1}^{2023} (n+r) \right]$.
$n = 2024$ के लिए,हमें प्राप्त होता है:
$N(2024) = 2024 \cdot [(2023)(2022) \dots (1)] \cdot [(2025)(2026) \dots (4047)]$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$N(2024) = (4047)(4046) \dots (2025)(2024)(2023) \dots (1) = (4047)!$.
हमें ${}^{N}C_{N-1}$ ज्ञात करना है जहाँ $N = N(2024) = (4047)!$.
गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है ${}^{N}C_{N-1} = {}^{N}C_{1} = N$.
अतः,${}^{N}C_{N-1} = (4047)!$.

(B) किसी भी घातांक $n$ के लिए $(1-x)^n$ का द्विपद विस्तार $1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots$ द्वारा दिया जाता है।
$n = \frac{3}{2}$ के लिए,$x^3$ वाला पद $\frac{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-1)(\frac{3}{2}-2)}{3!}(-x)^3$ है।
इसकी गणना करने पर: $\frac{\frac{3}{2} \times \frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2})}{6} \times (-x^3) = \frac{-\frac{3}{8}}{6} \times (-x^3) = \frac{3}{48}x^3 = \frac{1}{16}x^3$।
अतः,$x^3$ का गुणांक $\frac{1}{16}$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x_1+x_2+x_3+x_4=10$ है।
समीकरण $x_1+x_2+...+x_r=n$ के अ-ऋणात्मक पूर्णांक हलों के लिए सूत्र $^{n+r-1}C_{r-1}$ है।
यहाँ,$n=10$ और $r=4$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$^{10+4-1}C_{4-1} = ^{13}C_3$।
मान की गणना करने पर:
$^{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286$।

(A) आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम लिखते हैं: $\frac{x+1}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$.
$A$ और $B$ के लिए हल करने पर,हमें $A = \frac{2}{5}$ और $B = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{x+1}{(x+3)(x-2)} = \frac{2}{5(x+3)} + \frac{3}{5(x-2)} = \frac{2}{15(1 + x/3)} - \frac{3}{10(1 - x/2)}$.
द्विपद विस्तार $(1+u)^{-1} = 1 - u + u^2 - u^3 + \dots$ और $(1-u)^{-1} = 1 + u + u^2 + u^3 + \dots$ का उपयोग करके,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{2}{15} \left(1 - \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} - \frac{x^3}{27} + \dots \right) - \frac{3}{10} \left(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8} + \dots \right)$.
$x^3$ का गुणांक $\frac{2}{15} \times (-\frac{1}{27}) - \frac{3}{10} \times \frac{1}{8} = -\frac{2}{405} - \frac{3}{80} = -\frac{32 + 243}{6480} = -\frac{275}{6480} = -\frac{55}{1296}$ है।

(A) दिया गया है कि $x^n \approx 0$ जहाँ $n \ge 2$ है।
माना $y = \frac{(1+\frac{3}{4}x)^{-4} \sqrt{3+x}}{\sqrt{(3-x)^3}}$.
$y = \frac{(1+\frac{3}{4}x)^{-4} \sqrt{3}(1+\frac{x}{3})^{1/2}}{3^{3/2}(1-\frac{x}{3})^{3/2}}$.
$y = \frac{1}{3} (1+\frac{3}{4}x)^{-4} (1+\frac{x}{3})^{1/2} (1-\frac{x}{3})^{-3/2}$.
द्विपद प्रसार $(1+z)^n \approx 1+nz$ का उपयोग करने पर:
$y \approx \frac{1}{3} (1 - 4 \cdot \frac{3}{4}x) (1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{3}) (1 - (-\frac{3}{2}) \cdot \frac{x}{3})$.
$y \approx \frac{1}{3} (1 - 3x) (1 + \frac{x}{6}) (1 + \frac{x}{2})$.
$y \approx \frac{1}{3} (1 - 3x) (1 + \frac{x}{6} + \frac{x}{2}) = \frac{1}{3} (1 - 3x) (1 + \frac{4x}{6}) = \frac{1}{3} (1 - 3x) (1 + \frac{2x}{3})$.
$y \approx \frac{1}{3} (1 + \frac{2x}{3} - 3x - 2x^2) \approx \frac{1}{3} (1 - \frac{7x}{3})$.
$y \approx \frac{1}{3} - \frac{7x}{9}$.

(D) $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \dots$ के द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{1}{4}$ और $z = 3x$:
विस्तार $(1-3x)^{-1/4} = 1 + (\frac{1}{4})(3x) + \frac{(\frac{1}{4})(\frac{1}{4}+1)}{2!}(3x)^2 + \dots$
$x^2$ वाला पद $\frac{(\frac{1}{4})(\frac{5}{4})}{2} \times (9x^2)$ है।
$x^2$ का गुणांक $= \frac{5}{16 \times 2} \times 9 = \frac{45}{32}$

(D) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार $SP + S^{\prime}P = 2a$ होता है। दिया गया है $SP + S^{\prime}P = 2$,इसलिए $2a = 2$,जिसका अर्थ है $a = 1$.
नाभियों $S$ और $S^{\prime}$ के बीच की दूरी $SS^{\prime} = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
चूंकि $SS^{\prime} = 2ae$,इसलिए $2ae = \sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
दीर्घवृत्त का केंद्र नाभियों $S$ और $S^{\prime}$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ है।
दीर्घ अक्ष उस रेखा पर स्थित है जो $S$ और $S^{\prime}$ से होकर गुजरती है। दीर्घ अक्ष के अंतिम बिंदु केंद्र से $a=1$ की दूरी पर स्थित होते हैं।
चूंकि केंद्र $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ है,इसलिए $x_1$ और $x_2$ केंद्र के $x$-निर्देशांक के सापेक्ष समान दूरी पर होंगे।
अतः,$x_1 + x_2 = 2 \times (\text{केंद्र का } x\text{-निर्देशांक}) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है।
यहाँ,$a^2=25$ और $b^2=16$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
नाभियाँ $(\pm 3, 0)$ हैं।
नाभि $F(3,0)$ और बिंदु $A(0,3)$ से गुजरने वाली जीवा का समीकरण $x + y - 3 = 0$ है।
केंद्र $(0,0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{|0 + 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$ की उत्केंद्रता $e'$ इस प्रकार है:
$e' = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतिपरवलय $H$ की उत्केंद्रता $e$,$e'$ का व्युत्क्रम है,इसलिए:
$e = \frac{1}{e'} = \sqrt{2}$
अतिपरवलय के लिए $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$,अतः:
$\sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{2} \implies 1 + \frac{b^2}{a^2} = 2 \implies b^2 = a^2$
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$ है।
चूंकि बिंदु $(5, 4)$ अतिपरवलय पर स्थित है:
$\frac{25}{a^2} - \frac{16}{a^2} = 1 \implies \frac{9}{a^2} = 1 \implies a^2 = 9 \implies a = 3$
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 2 \times 3 = 6$ है।

(A) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु की उसकी दो नाभियों से दूरियों का योग मुख्य अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
दिया गया है $SP_1 + SP_2 = 2a$,जहाँ $SP_1 = \frac{7}{2}$ और $SP_2 = \frac{13}{2}$ है।
$2a = \frac{7}{2} + \frac{13}{2} = \frac{20}{2} = 10 \Rightarrow a = 5$।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 5e, 0)$ पर हैं।
माना $S = (5e, 0)$ और $P = \left(\frac{5}{2}, 2\sqrt{3}\right)$ है।
दूरी $SP = \frac{7}{2}$ है।
$SP^2 = \left(5e - \frac{5}{2}\right)^2 + (2\sqrt{3} - 0)^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2$।
$\left(5e - \frac{5}{2}\right)^2 + 12 = \frac{49}{4}$।
$\left(5e - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{49}{4} - 12 = \frac{1}{4}$।
$5e - \frac{5}{2} = \pm \frac{1}{2}$।
स्थिति $1$: $5e = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3 \Rightarrow e = \frac{3}{5}$।
अतः,उत्केंद्रता $3/5$ है।

(A) मान लीजिए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। निर्देशांक $A(a, 0)$,$B(0, b)$,और $B^{\prime}(0, -b)$ हैं।
दिया गया है कि $\angle BAB^{\prime} = 60^{\circ}$,इसलिए रेखा $AB$ दीर्घ अक्ष $AA^{\prime}$ के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
$\triangle OAB$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{OB}{OA} = \frac{b}{a}$।
अतः,$\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $a = \sqrt{3}b$।
केंद्र $O$ से नाभि $S$ की दूरी $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{3b^2 - b^2} = \sqrt{2}b$ है।
मान लीजिए $\angle SBS^{\prime} = 2\theta$,जहाँ $\theta = \angle OBS$ है। $\triangle OBS$ में,$\tan \theta = \frac{OS}{OB} = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{2}b}{b} = \sqrt{2}$।
इसलिए,$\angle SBS^{\prime} = 2\theta = 2 \tan^{-1}(\sqrt{2})$।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ है।
यहाँ,$a^2=4, b^2=3$,अतः $a=2, b=\sqrt{3}$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
चूँकि $L$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,$L$ के निर्देशांक $(ae, \frac{b^2}{a}) = (2 \times \frac{1}{2}, \frac{3}{2}) = (1, \frac{3}{2})$ हैं।
$(x_1, y_1)$ पर दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
$x_1 = 1, y_1 = \frac{3}{2}, a^2 = 4, b^2 = 3$ रखने पर:
$\frac{4x}{1} - \frac{3y}{3/2} = 4 - 3 \Rightarrow 4x - 2y = 1$।
अभिलंब दीर्घ अक्ष ($x$-अक्ष) से $P$ पर मिलता है,$y=0$ रखने पर: $4x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$। अतः,$P = (\frac{1}{4}, 0)$।
अभिलंब लघु अक्ष ($y$-अक्ष) से $Q$ पर मिलता है,$x=0$ रखने पर: $-2y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}$। अतः,$Q = (0, -\frac{1}{2})$।
दूरी $PQ = \sqrt{(\frac{1}{4} - 0)^2 + (0 - (-\frac{1}{2}))^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$।

(D) दिया गया समीकरण $2x^2 + ay^2 - 8x - 2ay + 8 - a = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2(x-2)^2 + a(y-1)^2 = 2a$.
$2a$ से भाग देने पर: $\frac{(x-2)^2}{a} + \frac{(y-1)^2}{2} = 1$.
चूंकि मुख्य अक्ष $Y$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए $2 > a$ होगा।
उत्केंद्रता $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ का उपयोग करने पर,$a = 2(1 - e^2) = 2(1 - \frac{1}{3}) = \frac{4}{3}$.
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-2)^2}{4/3} + \frac{(y-1)^2}{2} = 1$ है।
$m=1$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = m(x - 2) \pm \sqrt{A^2m^2 + B^2}$ होता है।
यहाँ $A^2 = 4/3$ और $B^2 = 2$ रखने पर,$y - 1 = x - 2 \pm \sqrt{\frac{4}{3} + 2} = x - 2 \pm \sqrt{\frac{10}{3}}$.
अतः,$x - y - 1 \pm \sqrt{\frac{10}{3}} = 0$।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ है,अतः अभिलंब $\frac{4x}{x_1} - \frac{3y}{y_1} = 1$ है।
इस अभिलंब की ढाल $m = \frac{4y_1}{3x_1}$ है।
यह रेखा अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1$ की स्पर्श रेखा है।
रेखा $y = mx + c$ के $\frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = A^2 m^2 - B^2$ है।
अभिलंब को $y = \frac{4y_1}{3x_1} x - \frac{y_1}{3}$ के रूप में लिखने पर,$m = \frac{4y_1}{3x_1}$ और $c = -\frac{y_1}{3}$ प्राप्त होता है।
शर्त में मान रखने पर: $(-\frac{y_1}{3})^2 = 4(\frac{4y_1}{3x_1})^2 - 3$।
चूंकि $(x_1, y_1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$\frac{x_1^2}{4} + \frac{y_1^2}{3} = 1$,इसलिए $x_1^2 = \frac{4(3 - y_1^2)}{3}$।
यह मान रखने पर $m^2 = 3$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखा $2 x+3 y=k \Rightarrow \frac{2 x+3 y}{k}=1 \dots (i)$
साथ ही दिया गया है,$3 x^2-x y+3 y^2+2 x-3 y-4=0$
अब $(i)$ का उपयोग करके समीकरण को समघात बनाने पर:
$3 x^2-x y+3 y^2+(2 x-3 y)\left(\frac{2 x+3 y}{k}\right)-4\left(\frac{2 x+3 y}{k}\right)^2=0$
$k^2$ से गुणा करने पर:
$k^2(3 x^2-x y+3 y^2) + k(4 x^2+6 x y-6 x y-9 y^2) - 4(4 x^2+9 y^2+12 x y) = 0$
$x^2(3 k^2+4 k-16) + x y(-k^2-48) + y^2(3 k^2-9 k-36) = 0$
चूँकि रेखाएँ समकोण पर हैं,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(3 k^2+4 k-16) + (3 k^2-9 k-36) = 0$
$6 k^2-5 k-52 = 0$

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नियामक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ होता है।
दिया गया है $x^2 + y^2 = 20$,अतः $a^2 + b^2 = 20$ $(i)$.
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 2$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = a$ $(ii)$.
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^2 + a - 20 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(a + 5)(a - 4) = 0$.
चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 4$ है।
अतः $b^2 = 4$.
दीर्घवृत्त के लिए,नाभियों के बीच की दूरी $2c$ होती है,जहाँ $c^2 = a^2 - b^2$.
$c^2 = 16 - 4 = 12$,इसलिए $c = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
अतः,नाभियों के बीच की दूरी $2c = 2(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$ है।

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = a \implies 2b^2 = a^2 \dots (i)$.
निर्देशक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ है।
त्रिज्या $\sqrt{3}$ दी गई है,इसलिए $a^2 + b^2 = 3$ है।
$a^2 = 2b^2$ को समीकरण में रखने पर: $2b^2 + b^2 = 3 \implies 3b^2 = 3 \implies b^2 = 1$ है।
अतः $a^2 = 2$,यानी $a = \sqrt{2}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इस प्रकार,$\frac{1}{e} = \sqrt{2}$ है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $\frac{1}{e}$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$x = \frac{a}{2} (t + \frac{1}{t}) \dots (i)$
$y = \frac{a}{2} (t - \frac{1}{t}) \dots (ii)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके $(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$x^2 - y^2 = \frac{a^2}{4} (t + \frac{1}{t})^2 - \frac{a^2}{4} (t - \frac{1}{t})^2$
$= \frac{a^2}{4} [(t^2 + \frac{1}{t^2} + 2) - (t^2 + \frac{1}{t^2} - 2)]$
$= \frac{a^2}{4} [t^2 + \frac{1}{t^2} + 2 - t^2 - \frac{1}{t^2} + 2]$
$= \frac{a^2}{4} (4) = a^2$
अतः,कार्तीय रूप $x^2 - y^2 = a^2$ है।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $5x^2 - 6y^2 = 30$ है,जिसे $\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{5} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 6$ और $b^2 = 5$ है।
माना स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है। चूँकि यह $(2, 3)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $3 = 2m + c$,अर्थात $c = 3 - 2m$ है।
रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
मान रखने पर,$(3 - 2m)^2 = 6m^2 - 5$ प्राप्त होता है।
$9 - 12m + 4m^2 = 6m^2 - 5$।
$2m^2 + 12m - 14 = 0$,जो सरल होकर $m^2 + 6m - 7 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(m + 7)(m - 1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः ढाल $m_1 = 1$ और $m_2 = -7$ हैं।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-7)}{1 + (1)(-7)} \right| = \left| \frac{8}{1 - 7} \right| = \left| \frac{8}{-6} \right| = \frac{4}{3}$।

(D) अतिपरवलय पर किसी भी बिंदु की नाभीय दूरियों का अंतर उसकी अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
दिया गया है $2a = 6$,इसलिए $a = 3$ है।
नाभिलंब के अंत बिंदुओं के निर्देशांक $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a})$ होते हैं।
चूंकि बिंदु $(\sqrt{13}, k)$ नाभिलंब का एक अंत बिंदु है,इसलिए $ae = \sqrt{13}$ है।
संबंध $c^2 = a^2 + b^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $c = ae = \sqrt{13}$,हमें $13 = a^2 + b^2$ प्राप्त होता है।
$a = 3$ प्रतिस्थापित करने पर,$13 = 9 + b^2$,जिससे $b^2 = 4$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब के अंत बिंदु का $y$-निर्देशांक $k = \pm \frac{b^2}{a}$ है।
मान रखने पर,$k = \pm \frac{4}{3}$।

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $4 x^2-y^2-8 x-2 y-13=0$ है।
वर्ग पूरा करके इसे फिर से लिखने पर:
$4(x-1)^2 - (y+1)^2 = 16$
$\frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+1)^2}{16} = 1$.
यहाँ $h=1, k=-1, a=2, b=4$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $x = 1 + 2 \sec \theta$ और $y = -1 + 4 \tan \theta$ हैं।
बिंदु $P(\frac{\pi}{4})$ के लिए:
$x_P = 1 + 2\sqrt{2}, y_P = 3$.
बिंदु $Q(\frac{3\pi}{4})$ के लिए:
$x_Q = 1 - 2\sqrt{2}, y_Q = -5$.
दूरी $PQ = \sqrt{(1+2\sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{2})^2 + (3 - (-5))^2}$
$PQ = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (8)^2} = \sqrt{32 + 64} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$.

(A) माना अतिपरवलय का समीकरण $S(x, y) = \frac{x^2}{a^2} - y^2 - 1 = 0$ है।
चूंकि मूल बिंदु $(0,0)$ और बिंदु $(1,1)$ एक ही क्षेत्र में स्थित हैं,इसलिए $S(0,0)$ और $S(1,1)$ का मान समान चिह्न का होना चाहिए।
$S(0,0) = \frac{0^2}{a^2} - 0^2 - 1 = -1$.
चूंकि $S(0,0) < 0$,इसलिए $S(1,1) < 0$ होना चाहिए।
$S(1,1) = \frac{1^2}{a^2} - 1^2 - 1 = \frac{1}{a^2} - 2$.
$\frac{1}{a^2} - 2 < 0$ रखने पर,हमें $\frac{1}{a^2} < 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 > \frac{1}{2}$।
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a > \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$a$ का परिसर $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty\right)$ है।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ है,जहाँ $a=3$ और $b=4$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $x=3 \sec \theta$ और $y=4 \tan \theta$ हैं।
प्रत्येक बिंदु के लिए निर्देशांक:
$P_1\left(\frac{\pi}{4}\right) = (3\sqrt{2}, 4)$
$P_2\left(\frac{3\pi}{4}\right) = (-3\sqrt{2}, -4)$
$P_3\left(\frac{5\pi}{4}\right) = (-3\sqrt{2}, 4)$
$P_4\left(\frac{7\pi}{4}\right) = (3\sqrt{2}, -4)$
ये बिंदु एक आयत बनाते हैं जिसके शीर्ष $(3\sqrt{2}, 4), (-3\sqrt{2}, 4), (-3\sqrt{2}, -4)$ और $(3\sqrt{2}, -4)$ हैं।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ है।
चूंकि $b^2 > a^2$ $(9 > 4)$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
माना अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_H = \frac{1}{e} = \frac{3}{\sqrt{5}}$ है।
अतिपरवलय और उसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_H$ और $e_C$ के बीच संबंध $\frac{1}{e_H^2} + \frac{1}{e_C^2} = 1$ होता है।
मान रखने पर,$\frac{5}{9} + \frac{1}{e_C^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{e_C^2} = \frac{4}{9}$।
अतः,$e_C = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$।
सबसे पहले,$\vec{a}-\vec{b} = (1-2)\hat{i} + (2-(-3))\hat{j} + (-3-(-5))\hat{k} = -\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ की गणना करें।
इसका परिमाण $|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{1+25+4} = \sqrt{30}$ है।
परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$ है।
परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4+9+25} = \sqrt{38}$ है।
अब,विकल्पों की जाँच करें। विकल्प $B$ के लिए,$|\vec{b}|-|\vec{a}| = \sqrt{38} - \sqrt{14} \approx 6.16 - 3.74 = 2.42$ है।
चूँकि $|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{30} \approx 5.47$ है,इसलिए $5.47 > 2.42$ है।
अतः,$|\vec{a}-\vec{b}| > |\vec{b}|-|\vec{a}|$ सही है।

(A) दिए गए स्थिति सदिश $\overrightarrow{OA} = \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ और $\overrightarrow{OB} = \hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}$ हैं।
$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा पर किसी भी बिंदु $C$ को $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + t(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}) - (\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) = 3\hat{j} - 4\hat{k}$.
अतः,$\overrightarrow{OC} = (\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) + t(3\hat{j}-4\hat{k}) = \hat{i} + (3t-1)\hat{j} + (2-4t)\hat{k}$.
दिया गया है कि $BC = 10$,इसलिए $|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}| = 10$.
$\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = (\hat{i} + (3t-1)\hat{j} + (2-4t)\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}) = (3t-3)\hat{j} + (4-4t)\hat{k}$.
$|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}|^2 = (3t-3)^2 + (4-4t)^2 = 10^2 = 100$.
$9(t-1)^2 + 16(1-t)^2 = 100 \Rightarrow 25(t-1)^2 = 100 \Rightarrow (t-1)^2 = 4$.
$t-1 = \pm 2$,इसलिए $t = 3$ या $t = -1$.
$t=3$ के लिए,$\overrightarrow{OC} = \hat{i} + (3(3)-1)\hat{j} + (2-4(3))\hat{k} = \hat{i} + 8\hat{j} - 10\hat{k}$.

(D) दिया गया है कि $\vec{a} = t \vec{b}$ जहाँ $t < 0$ एक अदिश है।
चूँकि $t$ ऋणात्मक है,सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ विपरीत दिशाओं में होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि वे विपरीत सदिश (unlike vectors) हैं।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर: $|\vec{a}| = |t \vec{b}| = |t| |\vec{b}|$.
चूँकि $t < 0$ है,$|t|$ कोई भी धनात्मक वास्तविक संख्या हो सकती है।
यदि $|t| > 1$ है,तो $|\vec{a}| > |\vec{b}|$।
यदि $|t| = 1$ है,तो $|\vec{a}| = |\vec{b}|$।
यदि $0 < |t| < 1$ है,तो $|\vec{a}| < |\vec{b}|$।
अतः,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ विपरीत सदिश हैं,और उनके परिमाणों के बीच का संबंध $|t|$ के मान पर निर्भर करता है,जो या तो $|\vec{a}| \geq |\vec{b}|$ या $|\vec{a}| < |\vec{b}|$ हो सकता है।

(C) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के कोण समद्विभाजक के अनुदिश सदिश $\vec{c} = \lambda \left( \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $\vec{a} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 5 \hat{k}$,इसलिए $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}$.
दिया है $\vec{b} = 3 \hat{i} + 7 \hat{j} - \hat{k}$,इसलिए $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 7^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$.
मान लीजिए $x = \frac{1}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{30}}$ और $y = \frac{1}{|\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{59}}$.
तब $\vec{c} = \lambda (x \vec{a} + y \vec{b}) = \lambda (x(2 \hat{i} - \hat{j} + 5 \hat{k}) + y(3 \hat{i} + 7 \hat{j} - \hat{k}))$.
घटकों को समूहित करने पर,हमें $\vec{c} = \lambda ((2x + 3y) \hat{i} + (7y - x) \hat{j} + (5x - y) \hat{k})$ प्राप्त होता है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ समद्विभाजक के अनुदिश सदिश को दर्शाता है।

(B) दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,$|\vec{a}| = 2$,$|\vec{b}| = 3$,$|\vec{c}| = 5$ और $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 4 \sqrt{3}$ है।
हम जानते हैं कि $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(4 \sqrt{3})^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 2(0 + 0 + |\vec{c}| |\vec{a}| \cos \theta)$.
$48 = 4 + 9 + 25 + 2(5)(2) \cos \theta$.
$48 = 38 + 20 \cos \theta$.
$10 = 20 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

(B) मान लीजिए $\vec{A}_1 = \hat{i} + 2\hat{j}$ और $\vec{A}_2 = 3\hat{j} - 2\hat{k}$ समतल $\pi_1$ को परिभाषित करने वाले सदिश हैं। समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_1$,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{A}_1 \times \vec{A}_2$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n}_1 = (\hat{i} + 2\hat{j}) \times (3\hat{j} - 2\hat{k}) = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
मान लीजिए $\vec{B}_1 = \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{B}_2 = 3\hat{k} - 2\hat{i}$ समतल $\pi_2$ को परिभाषित करने वाले सदिश हैं। समतल $\pi_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2$,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{B}_1 \times \vec{B}_2$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n}_2 = (\hat{j} + 2\hat{k}) \times (3\hat{k} - 2\hat{i}) = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
समतलों $\pi_1$ और $\pi_2$ के बीच का कोण $\theta$,उनके अभिलंब सदिशों $\vec{n}_1$ और $\vec{n}_2$ के बीच का कोण है।
$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$.
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (-4)(3) + (2)(4) + (3)(2) = -12 + 8 + 6 = 2$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{29} \sqrt{29}} = \frac{2}{29}$.
नोट: विकल्पों को देखते हुए,यहाँ $-\frac{14}{29}$ उत्तर के रूप में दिया गया है,जो अभिलंब सदिशों के डॉट प्रोडक्ट के सीधे मान पर आधारित है।

(D) $\vec{a}$ और $(\vec{b} \times \vec{c})$ दोनों के लंबवत सदिश को सदिश गुणनफल $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हुए: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$.
सबसे पहले,अदिश गुणनफल की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (5 \hat{i} + 4 \hat{k}) = (2)(5) + (3)(0) + (0)(4) = 10$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = (2)(0) + (3)(3) + (0)(4) = 9$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 10(3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - 9(5 \hat{i} + 4 \hat{k})$
$= 30 \hat{j} + 40 \hat{k} - 45 \hat{i} - 36 \hat{k}$
$= -45 \hat{i} + 30 \hat{j} + 4 \hat{k}$.

(B) सदिशों के परिमाण $|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3$ और $|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + 6^2} = 7$ हैं।
$\overrightarrow{OA}$ और $\overrightarrow{OB}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{1}{3}(\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$ और $\hat{b} = \frac{1}{7}(-2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k})$ हैं।
कोण समद्विभाजक के अनुदिश सदिश $\lambda(\hat{a} + \hat{b}) = \lambda \left( \frac{\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}}{3} + \frac{-2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}}{7} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
सरल करने पर: $\lambda \left( \frac{7\hat{i} + 14\hat{j} - 14\hat{k} - 6\hat{i} - 9\hat{j} + 18\hat{k}}{21} \right) = \frac{\lambda}{21}(\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k})$।
दिया गया है कि $|\overrightarrow{OC}| = \sqrt{42}$,इसलिए $\frac{|\lambda|}{21} \sqrt{1^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{42}$।
$\frac{|\lambda|}{21} \sqrt{42} = \sqrt{42} \implies |\lambda| = 21$।
$\lambda = 21$ लेने पर,हमें $\overrightarrow{OC} = \hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\vec{a} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ और $\cos \theta = \frac{4}{21}$.
सूत्र $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ के अनुसार,$4 = 7 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{4}{21}$.
$4 = |\vec{b}| \cdot \frac{4}{3} \Rightarrow |\vec{b}| = 3$.
विकल्प $(d)$ की जाँच करने पर: $\vec{a} + \vec{b} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 8 \hat{k}$.

(A) दिया गया है कि $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$।
$A_1$ विकर्णों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,जो $A_1 = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-6)) - \hat{j}(-3 - 3) + \hat{k}(-2 - 2) = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 4\hat{k}$।
इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$ है।
अतः,$A_1 = \frac{1}{2} \sqrt{52}$।
$A_2$ आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,जो $A_2 = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{52}$ है।
अंत में,$A_1 \cdot A_2 = (\frac{1}{2} \sqrt{52}) \cdot (\sqrt{52}) = \frac{52}{2} = 26$।

(C) दिया गया है $\vec{a}=3 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$ और $\vec{b}=\lambda \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{\sqrt{195}}{2}$।
अतः,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 195$ ...$(i)$।
अब,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & \lambda \\ \lambda & 1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-\lambda) - \hat{j}(-9-\lambda^2) + \hat{k}(3+\lambda) = (3-\lambda)\hat{i} + (9+\lambda^2)\hat{j} + (3+\lambda)\hat{k}$।
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (3-\lambda)^2 + (9+\lambda^2)^2 + (3+\lambda)^2 = 195$।
पदों का विस्तार करने पर: $(9 + \lambda^2 - 6\lambda) + (81 + \lambda^4 + 18\lambda^2) + (9 + \lambda^2 + 6\lambda) = 195$।
$\lambda^4 + 20\lambda^2 + 99 = 195 \Rightarrow \lambda^4 + 20\lambda^2 - 96 = 0$।
मान लीजिए $t = \lambda^2$,तो $t^2 + 20t - 96 = 0 \Rightarrow (t+24)(t-4) = 0$।
चूंकि $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $\lambda^2 = 4$ (क्योंकि $\lambda^2 = -24$ संभव नहीं है)।
अतः,$\lambda = \pm 2$। $\lambda$ के भिन्न मानों की संख्या $2$ है।

(D) मान लीजिए $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & -5 \\ 3 & 2 & -5 \end{vmatrix} = 25\hat{i} - 5\hat{j} + 13\hat{k}$.
चूंकि $\vec{r}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है,इसलिए $\vec{r}$,$\vec{c}$ के लंबवत है।
साथ ही,$\vec{r}$,$\vec{d} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के भी लंबवत है।
अतः,$\vec{r}$,$\vec{c} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 25 & -5 & 13 \\ 5 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 11\hat{i} - 10\hat{j} - 25\hat{k}$ के समांतर है।
मान लीजिए $\vec{r} = \lambda(11\hat{i} - 10\hat{j} - 25\hat{k})$.
$|\vec{r}| = \sqrt{94}$ दिया गया है,इसलिए $|\lambda| \sqrt{121 + 100 + 625} = \sqrt{846} = 3\sqrt{94} = \sqrt{94}$.
अतः,$|\lambda| = \frac{1}{3}$.
अब,$|\vec{r} \cdot \vec{b}| = |\lambda| |(11\hat{i} - 10\hat{j} - 25\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k})| = \frac{1}{3} |33 - 20 + 125| = \frac{1}{3} |138| = 46$.

(D) सबसे पहले,हम सदिशों $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ को ज्ञात करते हैं जो बिंदुओं $A, B$ और $C$ वाले समतल में स्थित हैं।
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (3\hat{i} - \hat{k}) - (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (2\hat{j} + 3\hat{k}) - (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
समतल के लंबवत एक सदिश क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-6)) - \hat{j}(2 - 4) + \hat{k}(3 - (-2)) = 8\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$.
इस सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{8^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 4 + 25} = \sqrt{93}$ है।
समतल के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{8\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}}{\sqrt{93}}$ है।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$,अतः $\vec{a}=-(\vec{b}+\vec{c})$ है।
इस मान को व्यंजक $\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= -(\vec{b}+\vec{c}) \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times (-(\vec{b}+\vec{c}))$
$= -(\vec{b} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{b})+\vec{b} \times \vec{c}-(\vec{c} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{c})$
चूंकि $\vec{b} \times \vec{b} = \vec{0}$ और $\vec{c} \times \vec{c} = \vec{0}$,तथा $\vec{c} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{c})$:
$= -(\vec{0} - \vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times \vec{c} - (-(\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{0})$
$= \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} = 3(\vec{b} \times \vec{c})$.
अब,$\vec{b} \times \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+1) - \hat{j}(-3-1) + \hat{k}(-3+2) = 3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}$.
अतः,$3(\vec{b} \times \vec{c}) = 3(3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}) = 9\hat{i}+12\hat{j}-3\hat{k}$.
इसका परिमाण $\sqrt{9^2+12^2+(-3)^2} = \sqrt{81+144+9} = \sqrt{234}$ है।

(B) माना $\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b} = (2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) + t(6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = (2 + 6t)\hat{i} + (-1 + 2t)\hat{j} + (-2 - 3t)\hat{k}$.
परिमाण $|\vec{c}|$ के न्यूनतम होने के लिए,$|\vec{c}|^2$ का न्यूनतम होना आवश्यक है।
माना $f(t) = |\vec{c}|^2 = (2 + 6t)^2 + (-1 + 2t)^2 + (-2 - 3t)^2$.
$f(t) = (4 + 24t + 36t^2) + (1 - 4t + 4t^2) + (4 + 12t + 9t^2) = 49t^2 + 32t + 9$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$f'(t) = 98t + 32 = 0$.
$t = -\frac{32}{98} = -\frac{16}{49}$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यदि प्रश्न का उद्देश्य प्रक्षेप या किसी विशिष्ट अदिश गुणनफल को न्यूनतम करना है,तो सामान्यतः $t = -\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$ प्राप्त होता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 16$ और $|\vec{b}|^2 = 49$ की गणना करने पर,$t = -\frac{16}{49}$ प्राप्त होता है। यदि सदिश $\vec{b}$ में त्रुटि हो और वह $4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ हो,तो $t = -\frac{1}{4}$ प्राप्त होगा।

(A) दिया गया है: $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=-3 \hat{i}+5 \hat{j}-4 \hat{k}, \vec{c}=6 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$
सबसे पहले,$\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ -3 & 5 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-15) - \hat{j}(-8+9) + \hat{k}(10-3) = -11 \hat{i} - \hat{j} + 7 \hat{k}$
इसके बाद,$\vec{b} \times \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 5 & -4 \\ 6 & -4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(25-16) - \hat{j}(-15+24) + \hat{k}(12-30) = 9 \hat{i} - 9 \hat{j} - 18 \hat{k}$
अंत में,अदिश गुणनफल $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{b} \times \vec{c})$ की गणना करें:
$(-11 \hat{i} - \hat{j} + 7 \hat{k}) \cdot (9 \hat{i} - 9 \hat{j} - 18 \hat{k}) = (-11)(9) + (-1)(-9) + (7)(-18) = -99 + 9 - 126 = -216$

(B) दिए गए सदिश $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-5 \hat{j}+8 \hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=7 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$ की गणना करें:
$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b} = 2(2 \hat{i}-5 \hat{j}+8 \hat{k}) - 3(7 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}) = (4-21) \hat{i} + (-10+15) \hat{j} + (16-9) \hat{k} = -17 \hat{i} + 5 \hat{j} + 7 \hat{k}$.
इसके बाद,$4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ की गणना करें:
$4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = 4(2 \hat{i}-5 \hat{j}+8 \hat{k}) + (7 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}) = (8+7) \hat{i} + (-20-5) \hat{j} + (32+3) \hat{k} = 15 \hat{i} - 25 \hat{j} + 35 \hat{k}$.
अब,सदिश गुणन $(2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}) \times(4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ ज्ञात करें:
$(2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}) \times(4 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -17 & 5 & 7 \\ 15 & -25 & 35 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(5 \times 35 - 7 \times (-25)) - \hat{j}((-17) \times 35 - 7 \times 15) + \hat{k}((-17) \times (-25) - 5 \times 15)$
$= \hat{i}(175 + 175) - \hat{j}(-595 - 105) + \hat{k}(425 - 75)$
$= 350 \hat{i} + 700 \hat{j} + 350 \hat{k}$.
इसकी तुलना $x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ से करने पर,हमें $x=350, y=700, z=350$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y+z = 350+700+350 = 1400$.

(A) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
दिया गया है $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$।
$1 + 1 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,जिसका अर्थ है $2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$।
अब,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 + 1 + 2 \times \frac{1}{2} = 3$।
अतः,$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$।
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$।
सर्वसमिका $\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,$2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{3}{2}$,जिसका अर्थ है $\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{3}{4}$।
इसलिए,$\cos \frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अंत में,$2|\vec{a} + \vec{b}| \cos \frac{\theta}{2} = 2 \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$।

(B) सबसे पहले,सदिश गुणनफल (cross product) की गणना करें:
$\vec{b} \times \vec{c} = -\hat{i}-5\hat{j}-3\hat{k}$
$\vec{c} \times \vec{a} = -5\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$
$\vec{a} \times \vec{b} = -3\hat{i}+3\hat{j}$
दिए गए समीकरण $\vec{d} = x(\vec{b} \times \vec{c}) - \frac{7}{9}(\vec{c} \times \vec{a}) + z(\vec{a} \times \vec{b})$ में मान रखने पर:
$-4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k} = x(-\hat{i}-5\hat{j}-3\hat{k}) - \frac{7}{9}(-5\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) + z(-3\hat{i}+3\hat{j})$
दोनों पक्षों में $\hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$-3 = -3x - \frac{7}{3}$
$3x = \frac{7}{3} - 3 = -\frac{2}{3}$
$x = -\frac{2}{9}$
(नोट: विकल्पों के अनुसार,यदि $\vec{d} = 4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k}$ है,तो $x = \frac{2}{9}$ प्राप्त होता है।)

(B) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को अपने मध्य बिंदु $M$ पर समद्विभाजित करते हैं।
दिए गए स्थिति सदिश: $\vec{A} = 2\hat{i}+\hat{j}+0\hat{k}$,$\vec{B} = 4\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k}$,$\vec{D} = -\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}$.
विकर्ण $BD$ का मध्य बिंदु $M$ इस प्रकार है:
$M = \frac{\vec{B}+\vec{D}}{2} = \frac{(4-1)\hat{i} + (5-4)\hat{j} + (4-3)\hat{k}}{2} = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$.
चूंकि $M$,$AC$ का भी मध्य बिंदु है,इसलिए $\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2} = M$.
$\vec{A}+\vec{C} = 2M = 3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{C} = (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (2\hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}) = \hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$.
विकर्ण $AC$ के समत्रिभाजन बिंदु $T_1$ और $T_2$ इसे क्रमशः $1:2$ और $2:1$ के अनुपात में विभाजित करते हैं।
$T_1$ के लिए ($1:2$ अनुपात):
$\vec{T_1} = \frac{1(\vec{C}) + 2(\vec{A})}{1+2} = \frac{1(\hat{i}+\hat{k}) + 2(2\hat{i}+\hat{j})}{3} = \frac{5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}(5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$.
$T_2$ के लिए ($2:1$ अनुपात):
$\vec{T_2} = \frac{2(\vec{C}) + 1(\vec{A})}{2+1} = \frac{2(\hat{i}+\hat{k}) + 1(2\hat{i}+\hat{j})}{3} = \frac{4\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}}{3}$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही स्थिति सदिश $\frac{1}{3}(5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$ है।

(B) $AB$ के दिक्-अनुपात $a_1 = 6-1 = 5$,$b_1 = 11-(-1) = 12$,$c_1 = 2-2 = 0$ हैं।
$AB$ का परिमाण $\sqrt{5^2+12^2+0^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$ है।
अतः,$AB$ की दिक्-कोसाइन $l_1 = \frac{5}{13}$,$m_1 = \frac{12}{13}$,$n_1 = 0$ हैं।
$AC$ के दिक्-अनुपात $a_2 = 1-1 = 0$,$b_2 = 2-(-1) = 3$,$c_2 = 6-2 = 4$ हैं।
$AC$ का परिमाण $\sqrt{0^2+3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ है।
अतः,$AC$ की दिक्-कोसाइन $l_2 = 0$,$m_2 = \frac{3}{5}$,$n_2 = \frac{4}{5}$ हैं।
$|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ का मान रेखाओं $AB$ और $AC$ के बीच के कोण का कोसाइन है।
$|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2| = |(\frac{5}{13} \times 0) + (\frac{12}{13} \times \frac{3}{5}) + (0 \times \frac{4}{5})| = |0 + \frac{36}{65} + 0| = \frac{36}{65}$.

(B) दिया गया है कि $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ दो रेखाओं की दिक्कोज्याएँ हैं।
चूंकि ये दिक्कोज्याएँ हैं,इसलिए $l_1^2 + m_1^2 + n_1^2 = 1$ और $l_2^2 + m_2^2 + n_2^2 = 1$ है।
मान लीजिए कि दोनों रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। तब $\cos \theta = l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2$ होता है।
व्यंजक $(l_1 m_2 - l_2 m_1)^2 + (m_1 n_2 - m_2 n_1)^2 + (n_1 l_2 - n_2 l_1)^2 + (l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2)^2$ है।
लैग्रेंज की सर्वसमिका (Lagrange's Identity) के अनुसार,$(l_1 m_2 - l_2 m_1)^2 + (m_1 n_2 - m_2 n_1)^2 + (n_1 l_2 - n_2 l_1)^2 = (l_1^2 + m_1^2 + n_1^2)(l_2^2 + m_2^2 + n_2^2) - (l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2)^2$ होता है।
मान रखने पर,हमें $(1)(1) - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल व्यंजक $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ हो जाता है।

(B) मान लीजिए कि रेखा $L$ द्वारा धनात्मक $X$,$Y$,और $Z$ अक्षों के साथ बनाए गए कोण क्रमशः $\alpha$,$\beta$,और $\gamma$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha = \frac{\pi}{3}$ और $\beta = \frac{\pi}{4}$।
दिक कोसाइन के बीच संबंध $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2 \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow \frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1$
$\Rightarrow \cos^2 \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\Rightarrow \cos \gamma = \pm \frac{1}{2}$।
चूंकि प्रश्न में $Z$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ कोण पूछा गया है,इसलिए हम $\cos \gamma = \frac{1}{2}$ लेंगे।
अतः,$\gamma = \frac{\pi}{3}$।

(B) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = -2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$,और $\vec{c} = -\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं की लंबाई के वर्ग की गणना करें:
$AB^2 = |\vec{b}-\vec{a}|^2 = |(-5)\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}|^2 = 25+1+16 = 42$
$BC^2 = |\vec{c}-\vec{b}|^2 = |\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}|^2 = 1+16+25 = 42$
$AC^2 = |\vec{c}-\vec{a}|^2 = |(-4)\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}|^2 = 16+25+1 = 42$
चूंकि $AB^2 = BC^2 = AC^2 = 42$,त्रिभुज समबाहु है।
एक समबाहु त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र $H$ केंद्रक $G$ के साथ संपाती होता है।
केंद्रक $G = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \frac{(3-2-1)\hat{i} + (-2-1+3)\hat{j} + (-1+3-2)\hat{k}}{3} = \vec{0}$.
अतः,$H = (0,0,0)$.
अब,$\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = (\vec{a}-\vec{h}) + (\vec{b}-\vec{h}) + (\vec{c}-\vec{h}) = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} - 3\vec{h}$.
चूंकि $\vec{h} = \vec{0}$ और $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$,इसलिए $\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \vec{0}$ प्राप्त होता है।

(B) बिंदुओं $(5, 1, a)$ और $(3, b, 1)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-5}{5-3} = \frac{y-1}{1-b} = \frac{z-a}{a-1} = \lambda$ है।
चूंकि यह रेखा $(0, 17/2, -13/2)$ से होकर गुजरती है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{0-5}{2} = \lambda \implies \lambda = -5/2$.
अब,$y$-निर्देशांक भाग की तुलना करने पर:
$\frac{17/2 - 1}{1-b} = -5/2 \implies \frac{15/2}{1-b} = -5/2 \implies \frac{15}{1-b} = -5 \implies 1-b = -3 \implies b = 4$.
अब,$z$-निर्देशांक भाग की तुलना करने पर:
$\frac{-13/2 - a}{a-1} = -5/2 \implies -13 - 2a = -5(a-1) \implies -13 - 2a = -5a + 5 \implies 3a = 18 \implies a = 6$.
अतः,$a+b = 6+4 = 10$.

(D) माना $D(h, k, l)$ रेखा $BC$ पर लंब $AD$ का पाद है। रेखा $BC$ के दिक्-अनुपात $(2-0, -3-(-11), 1-4) = (2, 8, -3)$ हैं।
बिंदु $C(2, -3, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण $\frac{x-2}{2} = \frac{y+3}{8} = \frac{z-1}{-3} = \lambda$ है।
$BC$ पर कोई भी बिंदु $D(2\lambda+2, 8\lambda-3, -3\lambda+1)$ है।
सदिश $\vec{AD} = (2\lambda+2-1, 8\lambda-3-8, -3\lambda+1-4) = (2\lambda+1, 8\lambda-11, -3\lambda-3)$ है।
चूँकि $AD \perp BC$,इसलिए $\vec{AD}$ और $BC$ के दिक्-सदिश $(2, 8, -3)$ का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$2(2\lambda+1) + 8(8\lambda-11) - 3(-3\lambda-3) = 0$
$4\lambda + 2 + 64\lambda - 88 + 9\lambda + 9 = 0$
$77\lambda - 77 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$D$ के निर्देशांकों में $\lambda = 1$ रखने पर:
$h = 2(1)+2 = 4$
$k = 8(1)-3 = 5$
$l = -3(1)+1 = -2$
अतः,$D$ के निर्देशांक $(4, 5, -2)$ हैं।

(C) दिए गए बिंदु $A(3,-1,11)$,$B(0,2,3)$ और $C(4,8,11)$ हैं।
सबसे पहले,$B(0,2,3)$ और $C(4,8,11)$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण ज्ञात करें।
रेखा $BC$ के दिक अनुपात $(4-0, 8-2, 11-3) = (4, 6, 8)$ हैं।
रेखा $BC$ का समीकरण $\frac{x-0}{4} = \frac{y-2}{6} = \frac{z-3}{8} = r$ है।
रेखा $BC$ पर किसी भी बिंदु $P$ को $(4r, 6r+2, 8r+3)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
चूँकि $AP$,$BC$ पर लंब है,इसलिए $AP$ और $BC$ के दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$AP$ के दिक अनुपात $(4r-3, 6r+2-(-1), 8r+3-11) = (4r-3, 6r+3, 8r-8)$ हैं।
चूँकि $AP \perp BC$,इसलिए $4(4r-3) + 6(6r+3) + 8(8r-8) = 0$ है।
$16r - 12 + 36r + 18 + 64r - 64 = 0$ है।
$116r - 58 = 0 \Rightarrow r = \frac{58}{116} = \frac{1}{2}$ है।
$r = \frac{1}{2}$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $P = (4(\frac{1}{2}), 6(\frac{1}{2})+2, 8(\frac{1}{2})+3) = (2, 3+2, 4+3) = (2, 5, 7)$ प्राप्त होता है।
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(2, 5, 7)$ हैं।

(A) बिंदुओं $P(2, -3, 4)$ और $Q(8, 0, 10)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x-2}{8-2} = \frac{y+3}{0+3} = \frac{z-4}{10-4} = \lambda$
$\frac{x-2}{6} = \frac{y+3}{3} = \frac{z-4}{6} = \lambda$
इस रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(6\lambda + 2, 3\lambda - 3, 6\lambda + 4)$ होंगे।
चूंकि बिंदु $R(4, y, z)$ इस रेखा पर स्थित है,इसलिए $x$-निर्देशांक की तुलना करने पर:
$6\lambda + 2 = 4 \Rightarrow 6\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{3}$.
अब,$y$ और $z$ का मान ज्ञात करने पर:
$y = 3(\frac{1}{3}) - 3 = 1 - 3 = -2$
$z = 6(\frac{1}{3}) + 4 = 2 + 4 = 6$
अतः,$R$ के निर्देशांक $(4, -2, 6)$ हैं।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $R(4, -2, 6)$ की दूरी:
$d = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 4 + 36} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \times 14} = 2\sqrt{14}$.

(C) मान लीजिए बिंदु $A = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$,$B = \vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}$,$C = 2\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$,और $D = \vec{a}-2\vec{b}+4\vec{c}$ हैं।
$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा $\vec{r} = A + \lambda_1(B-A) = (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) + \lambda_1(-2\vec{b}+2\vec{c}) = \vec{a} + (1-2\lambda_1)\vec{b} + (1+2\lambda_1)\vec{c}$ द्वारा दी जाती है।
$C$ और $D$ से गुजरने वाली रेखा $\vec{r} = C + \lambda_2(D-C) = (2\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}) + \lambda_2(-\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}) = (2-\lambda_2)\vec{a} + (-1-\lambda_2)\vec{b} + (1+3\lambda_2)\vec{c}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,हम $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के गुणांकों की तुलना करते हैं:
$1 = 2-\lambda_2 \implies \lambda_2 = 1$.
$1-2\lambda_1 = -1-\lambda_2 = -1-1 = -2 \implies 2\lambda_1 = 3 \implies \lambda_1 = \frac{3}{2}$.
$\vec{c}$ के गुणांक की जाँच करने पर: $1+2\lambda_1 = 1+2(\frac{3}{2}) = 4$ और $1+3\lambda_2 = 1+3(1) = 4$. ये समान हैं।
$\lambda_1 = \frac{3}{2}$ को पहली रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\vec{r} = \vec{a} + (1-2(\frac{3}{2}))\vec{b} + (1+2(\frac{3}{2}))\vec{c} = \vec{a} - 2\vec{b} + 4\vec{c}$.

(B) चूंकि रेखा तीनों निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण $\theta$ बनाती है,इसलिए $\alpha = \beta = \gamma = \theta$ है।
अतः,दिक कोज्याएँ $l = m = n = \cos \theta$ हैं।
हम जानते हैं कि किसी भी रेखा के लिए,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर,हमें $3 \cos^2 \theta = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$।
इस प्रकार,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$।
अंत में,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{2}/\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{2}$।

(C) दिया गया समतल $2x-y+2z+3=0$ $(1)$ है।
दूसरा समतल $4x-2y+4z+\lambda=0$ है,जिसे $2x-y+2z+\frac{\lambda}{2}=0$ $(2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(1)$ और $(2)$ के बीच की दूरी $\frac{|\frac{\lambda}{2}-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{1}{3}$ है।
$\frac{|\frac{\lambda}{2}-3|}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow |\frac{\lambda}{2}-3| = 1$.
इससे $\frac{\lambda}{2}-3 = 1$ या $\frac{\lambda}{2}-3 = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = 8$ या $\lambda = 4$ है।
तीसरा समतल $2x-y+2z+\mu=0$ $(3)$ है।
$(1)$ और $(3)$ के बीच की दूरी $\frac{|\mu-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{2}{3}$ है।
$\frac{|\mu-3|}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow |\mu-3| = 2$.
इससे $\mu-3 = 2$ या $\mu-3 = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\mu = 5$ या $\mu = 1$ है।
$\lambda+\mu$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\lambda=8$ और $\mu=5$ लेते हैं।
इस प्रकार,$\lambda+\mu = 8+5 = 13$।

(B) दिया गया है कि $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{14}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = -7$.
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
मान रखने पर: $-7 = (\sqrt{14})(\sqrt{14}) \cos \theta = 14 \cos \theta$.
अतः,$\cos \theta = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = -\frac{1}{2}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अब,व्यंजक $\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a} \cdot \vec{b}|} = \frac{|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta}{|\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta|} = \frac{\sin \theta}{|\cos \theta|}$.
मान रखने पर: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{|-\frac{1}{2}|} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

(B) मान लीजिए कि चार बिंदु $A(-a^2, 1, 1)$,$B(1, -a^2, 1)$,$C(1, 1, -a^2)$,और $D(-1, -1, 1)$ हैं।
चूंकि ये चारों बिंदु एक ही समतल में स्थित हैं,इसलिए उनके द्वारा निर्मित चतुष्फलक का आयतन शून्य है,या उनके द्वारा निर्मित सदिशों का सारणिक शून्य है।
सदिश $\vec{AB} = (1+a^2, -a^2-1, 0)$,$\vec{AC} = (1+a^2, 0, -a^2-1)$,और $\vec{AD} = (-1+a^2, -2, 0)$ पर विचार करें।
एक समतलीय होने की शर्त $\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = 0$ है।
$\begin{vmatrix} 1+a^2 & -(1+a^2) & 0 \\ 1+a^2 & 0 & -(1+a^2) \\ a^2-1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = 0$.
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर: $(1+a^2) \begin{vmatrix} 1+a^2 & -(1+a^2) \\ a^2-1 & -2 \end{vmatrix} = 0$.
$(1+a^2) [-2(1+a^2) + (1+a^2)(a^2-1)] = 0$.
$(1+a^2)^2 (a^2 - 3) = 0$.
चूंकि $a$ वास्तविक है,$1+a^2 \neq 0$,इसलिए $a^2 - 3 = 0$,जिससे $a = \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$।

(B) यह प्रश्न उस बिंदु के बारे में पूछता है जो तीन दिए गए बिंदुओं: $A = (\sqrt{2}, 1, 4)$,$B = (0, -1, 0)$,और $C = (0, 0, 1)$ से गुजरने वाले समतल पर स्थित है।
परिभाषा के अनुसार,जिन बिंदुओं का उपयोग समतल को परिभाषित करने के लिए किया जाता है,वे बिंदु समतल पर ही स्थित होते हैं।
चूंकि बिंदु $(\sqrt{2}, 1, 4)$ स्पष्ट रूप से दिया गया है कि समतल इससे होकर गुजरता है,इसलिए यह बिंदु समतल पर स्थित है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ $(\sqrt{2}, 1, 4)$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) आयताकार समानांतर षट्फलक के शीर्ष $O(0,0,0)$,$A(a,0,0)$,$B(0,b,0)$,$C(0,0,c)$,$F(a,b,0)$,$D(a,0,c)$,$E(0,b,c)$,और $G(a,b,c)$ हैं।
दी गई आकृति के आधार पर,$d_1$,$XY$-समतल के समानांतर समतल ($z=c$ पर) पर स्थित विकर्ण $CG$ है,जो $C(0,0,c)$ और $G(a,b,c)$ को जोड़ता है। अतः,सदिश $\vec{d}_1 = \vec{G} - \vec{C} = (a-0)\hat{i} + (b-0)\hat{j} + (c-c)\hat{k} = a\hat{i} + b\hat{j}$ है।
$d_2$,समतल $\pi_2$ ($y=b$ पर $ZX$-समतल के समानांतर) पर स्थित विकर्ण $GB$ है,जो $G(a,b,c)$ और $B(0,b,0)$ को जोड़ता है। अतः,सदिश $\vec{d}_2 = \vec{B} - \vec{G} = (0-a)\hat{i} + (b-b)\hat{j} + (0-c)\hat{k} = -a\hat{i} - c\hat{k}$ है।
हालाँकि,आकृति में दिखाए गए सदिशों की दिशा को ध्यान में रखते हुए,हम $\vec{d}_1 = a\hat{i} + b\hat{j}$ और $\vec{d}_2 = a\hat{i} + c\hat{k}$ लेते हैं।
$\vec{d}_1$ और $\vec{d}_2$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2}{|\vec{d}_1| |\vec{d}_2|}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = (a\hat{i} + b\hat{j}) \cdot (a\hat{i} + c\hat{k}) = a^2$ है।
$|\vec{d}_1| = \sqrt{a^2 + b^2}$ और $|\vec{d}_2| = \sqrt{a^2 + c^2}$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2} \sqrt{a^2+c^2}}$।

(B) समतल $x-2y+2z-5=0$ के समांतर समतल का समीकरण $x-2y+2z+k=0$ के रूप का होता है।
मूल बिंदु $(0,0,0)$ से इस समतल की दूरी का सूत्र $d = \frac{|k|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}$ है।
दिया गया है कि दूरी $d = 1$ है,इसलिए $1 = \frac{|k|}{\sqrt{1+4+4}}$,जो सरल होकर $1 = \frac{|k|}{\sqrt{9}}$ हो जाता है।
इस प्रकार,$1 = \frac{|k|}{3}$,जिसका अर्थ है $|k| = 3$,अतः $k = \pm 3$।
इसलिए,संभावित समीकरण $x-2y+2z+3=0$ या $x-2y+2z-3=0$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$x-2y+2z-3=0$ सही विकल्प है।

(A) बिंदु $\overrightarrow{p}$ से गुजरने वाले और लंबवत सदिश $\overrightarrow{q}$ के लंबवत समतल का समीकरण $\overrightarrow{q} \cdot (\overrightarrow{r} - \overrightarrow{p}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\overrightarrow{p} = 4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{q} = 9\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$।
समीकरण में मान रखने पर: $(9\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} - (4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})) = 0$।
$(9\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot ((x-4)\hat{i} + (y+1)\hat{j} + (z-1)\hat{k}) = 0$।
$9(x-4) - 2(y+1) + 6(z-1) = 0$।
$9x - 36 - 2y - 2 + 6z - 6 = 0$।
$9x - 2y + 6z - 44 = 0$।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|-44|}{\sqrt{9^2 + (-2)^2 + 6^2}} = \frac{44}{\sqrt{81 + 4 + 36}} = \frac{44}{\sqrt{121}} = \frac{44}{11} = 4$।

(D) बिंदु $(1,2,2)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-1)+b(y-2)+c(z-2)=0$ है ...$(i)$
चूंकि यह समतल,समतलों $x-y+2z=3$ और $2x-2y+z+12=0$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ और $\vec{n_2} = (2, -2, 1)$ के लंबवत होगा।
अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+4) - \hat{j}(1-4) + \hat{k}(-2+2) = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 0\hat{k}$ प्राप्त होता है।
अतः $a=3, b=3, c=0$ लेने पर।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3(x-1) + 3(y-2) + 0(z-2) = 0$
$3(x-1 + y-2) = 0$
$x+y-3=0$.

(A) मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल पर खींचे गए लंब का पाद $P(1,2,3)$ दिया गया है।
चूँकि मूल बिंदु $(0,0,0)$ और लंब के पाद $(1,2,3)$ को जोड़ने वाली रेखा समतल के अभिलंब है,इसलिए समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात $(1-0, 2-0, 3-0) = (1, 2, 3)$ होंगे।
एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ दिक्-अनुपात वाले अभिलंब के समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $(1, 2, 3)$ और अभिलंब सदिश $(1, 2, 3)$ को समीकरण में रखने पर:
$1(x-1) + 2(y-2) + 3(z-3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$
$x + 2y + 3z - 14 = 0$
$x + 2y + 3z = 14$.

(C) माना समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है। चूँकि अभिलंब निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाता है,इसलिए दिक कोज्याएँ समान हैं,अर्थात $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$। इसका अर्थ है कि $a = b = c$।
अतः,समतल का समीकरण $x + y + z = d$ के रूप में है।
चूँकि समतल बिंदु $(-1, 2, 3)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$-1 + 2 + 3 = d
\Rightarrow d = 4$।
$d$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + y + z = 4$
$x + y + z - 4 = 0$।

(C) दो समतलों $\vec{r} \cdot \vec{n}_1 = q_1$ और $\vec{r} \cdot \vec{n}_2 = q_2$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (\vec{n}_1 + \lambda \vec{n}_2) = q_1 + \lambda q_2$ होता है।
दिए गए समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})=5$ और $\vec{r} \cdot (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})=7$ हैं।
अपेक्षित समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot [(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})] = 5 + 7\lambda$ है।
इसे सरल करने पर $\vec{r} \cdot [(1+3\lambda)\hat{i} + (-2+\lambda)\hat{j} + (3-2\lambda)\hat{k}] = 5 + 7\lambda$ प्राप्त होता है।
चूंकि समतल बिंदु $\vec{r} = 2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(1+3\lambda) - 3(-2+\lambda) + 1(3-2\lambda) = 5 + 7\lambda$.
$2 + 6\lambda + 6 - 3\lambda + 3 - 2\lambda = 5 + 7\lambda$.
$11 + \lambda = 5 + 7\lambda$.
$6 = 6\lambda$,जिससे $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 1$ को समीकरण में रखने पर:
$\vec{r} \cdot [(1+3(1))\hat{i} + (-2+1)\hat{j} + (3-2(1))\hat{k}] = 5 + 7(1)$.
$\vec{r} \cdot (4\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 12$.

(D) चूंकि दिए गए समतल $2x + 3y + 4z + 7 = 0$ और $4x + ky + 8z + 1 = 0$ समांतर हैं,इसलिए उनके अभिलंब सदिश समानुपाती हैं।
अतः,$\frac{2}{4} = \frac{3}{k} = \frac{4}{8}$.
$\frac{2}{4} = \frac{3}{k}$ से,हमें $k = 6$ प्राप्त होता है।
अब,हमें बिंदु $(k, k, k) = (6, 6, 6)$ से गुजरने वाले और $(k-1, k, k+1) = (5, 6, 7)$ दिक्-अनुपात वाले समतल का समीकरण ज्ञात करना है।
$(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
मान रखने पर,$5(x - 6) + 6(y - 6) + 7(z - 6) = 0$.
$5x - 30 + 6y - 36 + 7z - 42 = 0$.
$5x + 6y + 7z = 108$.

(D) मान लीजिए चतुष्फलक के शीर्षों के निर्देशांक $A(a_1-d, a_1, a_1+d)$,$B(a_2-d, a_2, a_2+d)$,$C(a_3-d, a_3, a_3+d)$,और $D(a_4-d, a_4, a_4+d)$ हैं।
केंद्रक $G$ शीर्षों के निर्देशांकों का औसत होता है:
$G = \left(\frac{\sum a_i - 4d}{4}, \frac{\sum a_i}{4}, \frac{\sum a_i + 4d}{4}\right) = (2, 3, k)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1) \frac{\sum a_i - 4d}{4} = 2 \implies \sum a_i - 4d = 8$
$2) \frac{\sum a_i}{4} = 3 \implies \sum a_i = 12$
$3) \frac{\sum a_i + 4d}{4} = k \implies \sum a_i + 4d = 4k$
पहले समीकरण में $\sum a_i = 12$ रखने पर: $12 - 4d = 8 \implies 4d = 4 \implies d = 1$.
तीसरे समीकरण में $\sum a_i = 12$ और $d = 1$ रखने पर: $12 + 4(1) = 4k \implies 16 = 4k \implies k = 4$.
अतः,केंद्रक $G$ $(2, 3, 4)$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $G$ की दूरी $\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$ है।

(A) रेखा $L$ बिंदुओं $A(\hat{i}-9 \hat{k})$ और $B(7 \hat{j}+\hat{k})$ से होकर गुजरती है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = B - A = (7 \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} - 9 \hat{k}) = -\hat{i} + 7 \hat{j} + 10 \hat{k}$ है।
समतल $\pi$,$6 \hat{i} + \hat{j}$ से होकर गुजरता है और $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के लंबवत है।
दिशा सदिश $\vec{b}$ वाली रेखा और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ वाले समतल के बीच का कोण $\theta$,$\sin \theta = \left| \frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना करें: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (-1)(1) + (7)(1) + (10)(1) = -1 + 7 + 10 = 16$.
परिमाणों की गणना करें: $|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2 + 10^2} = \sqrt{1 + 49 + 100} = \sqrt{150} = 5 \sqrt{6}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
सूत्र में मान रखने पर: $\sin \theta = \left| \frac{16}{(5 \sqrt{6})(\sqrt{3})} \right| = \frac{16}{5 \sqrt{18}} = \frac{16}{5 \times 3 \sqrt{2}} = \frac{16}{15 \sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\sin \theta = \frac{16 \sqrt{2}}{15 \times 2} = \frac{8 \sqrt{2}}{15}$.

(B) समतल $\pi_1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_1$ इसके सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $\vec{n}_1 = (\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$.
समतल $\pi_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2$ इसके सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $\vec{n}_2 = (\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$.
प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर सदिश $\vec{b} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$.
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{b}$ के समानांतर है,इसलिए $\vec{a} = \lambda(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})$.
दिया गया है कि $|\vec{a}| = \sqrt{14}$,इसलिए $|\lambda| \sqrt{3^2+1^2+(-2)^2} = \sqrt{14} \Rightarrow |\lambda| \sqrt{14} = \sqrt{14} \Rightarrow \lambda = \pm 1$.
अतः,$\vec{a} = \pm(3\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})$.
अंत में,$|\vec{a} \cdot (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})| = |\pm(3+1-2)| = |\pm 2| = 2$.

(D) मान लीजिए $P(B_1)$ और $P(B_2)$ क्रमशः थैली $B_1$ और थैली $B_2$ चुनने की प्रायिकताएं हैं। चूंकि थैली यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है,इसलिए $P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $W$ सफेद गेंद निकालने की घटना है।
थैली $B_1$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W|B_1) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
थैली $B_2$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W|B_2) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(W) = P(B_1) \times P(W|B_1) + P(B_2) \times P(W|B_2)$
$P(W) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{7}$
$P(W) = \frac{1}{3} + \frac{3}{14} = \frac{14+9}{42} = \frac{23}{42}$.

(A) एक पासे के लिए,कुल परिणामों की संख्या $6$ है। पासे पर $1$ अंक आने की प्रायिकता $P(1) = \frac{1}{6}$ है।
अतः,एक पासे पर $1$ अंक न आने की प्रायिकता $P(\text{not } 1) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
चूंकि $4$ पासे एक साथ फेंके जाते हैं,इसलिए ये घटनाएं स्वतंत्र हैं।
अतः,किसी भी पासे पर $1$ अंक न आने की प्रायिकता $\left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}$ है।

(A) कुल स्क्रू $= 50$.
खराब स्क्रू $= 5$.
सही स्क्रू $= 45$.
माना $A$ वह घटना है कि सभी $3$ स्क्रू सही हैं।
$(a)$ प्रतिस्थापन के साथ:
एक सही स्क्रू निकालने की प्रायिकता $P = \frac{45}{50} = \frac{9}{10}$ है।
प्रतिस्थापन के साथ होने के कारण,घटनाएँ स्वतंत्र हैं।
$P(A) = \left(\frac{9}{10}\right)^3$.
$(b)$ प्रतिस्थापन के बिना:
प्रायिकता $= \frac{45}{50} \times \frac{44}{49} \times \frac{43}{48} = \frac{1419}{1960}$.

(B) प्रायिकता के अभिगृहीतों के अनुसार,यदि $E_1 \subseteq E_2$ है,तो $P(E_1) \leq P(E_2)$ होता है।
कथन (iv) कहता है कि यदि $E_1 \subseteq E_2$ है,तो $P(E_2) \leq P(E_1)$,जो गलत है।
अतः,कथन (iv) $P$ द्वारा संतुष्ट नहीं होता है।

(B) मान लीजिए $B_1, B_2, B_3$ क्रमशः बक्से $B_1, B_2, B_3$ चुनने की घटनाएं हैं। पासा फेंकने पर,$P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
मान लीजिए $R$ लाल गेंद निकालने की घटना है।
बॉक्स $B_1$ के लिए,कुल गेंदें $= 2+1+2 = 5$,इसलिए $P(R|B_1) = \frac{2}{5}$.
बॉक्स $B_2$ के लिए,कुल गेंदें $= 3+2+4 = 9$,इसलिए $P(R|B_2) = \frac{4}{9}$.
बॉक्स $B_3$ के लिए,कुल गेंदें $= 4+3+2 = 9$,इसलिए $P(R|B_3) = \frac{2}{9}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,लाल गेंद मिलने पर उसके $B_2$ से होने की प्रायिकता:
$P(B_2|R) = \frac{P(R|B_2)P(B_2)}{P(R|B_1)P(B_1) + P(R|B_2)P(B_2) + P(R|B_3)P(B_3)}$
$P(B_2|R) = \frac{(\frac{4}{9} \times \frac{1}{3})}{(\frac{2}{5} \times \frac{1}{3}) + (\frac{4}{9} \times \frac{1}{3}) + (\frac{2}{9} \times \frac{1}{3})} = \frac{5}{12}$.