AP EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) हम जानते हैं कि $r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$,$r_2 = 4R \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$,$r_3 = 4R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$,और $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$.
इन मानों को $r_1+r_2+r_3-r$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 4R [\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} + \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} + \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} - \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}]$
$= 4R [\cos \frac{C}{2} (\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}) + \sin \frac{C}{2} (\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} - \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2})]$
$= 4R [\cos \frac{C}{2} \sin (\frac{A+B}{2}) + \sin \frac{C}{2} \cos (\frac{A+B}{2})]$
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
$= 4R [\cos \frac{C}{2} \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) + \sin \frac{C}{2} \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2})]$
$= 4R [\cos \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2} \sin \frac{C}{2}]$
$= 4R [\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}] = 4R(1) = 4R$.

(C) माना $n(M)$ गणित में कुशल सदस्यों की संख्या है और $n(S)$ सांख्यिकी में कुशल सदस्यों की संख्या है।
दिया गया है $n(M \cup S) = 25$,$n(M) = 19$,और $n(S) = 16$।
सूत्र $n(M \cup S) = n(M) + n(S) - n(M \cap S)$ का उपयोग करने पर:
$25 = 19 + 16 - n(M \cap S)$
$25 = 35 - n(M \cap S)$
$n(M \cap S) = 35 - 25 = 10$।
यादृच्छिक रूप से चुने गए व्यक्ति के दोनों में कुशल होने की प्रायिकता $P(M \cap S) = \frac{n(M \cap S)}{n(M \cup S)} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ है।

(C) जब केवल घटना $A$ घटित होती है,तो इसे $(A \cap B^c)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
जब केवल घटना $B$ घटित होती है,तो इसे $(A^c \cap B)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,'घटनाओं $A$ और $B$ में से ठीक एक घटना घटित हो' को $(A \cap B^c) \cup (A^c \cap B)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिए गए समीकरण $4a = 5b$ से,हम $a = \frac{5}{4}b$ लिख सकते हैं।
चूंकि $a$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $b$ को $4$ का गुणज होना चाहिए।
$b \in \{1, 2, 3, \dots, 30\}$ को देखते हुए,$b$ के संभावित मान $4, 8, 12, 16, 20, 24, 28$ हैं।
प्रत्येक $b$ के लिए,हम $a = \frac{5}{4}b$ की गणना करते हैं:
यदि $b = 4, a = 5$।
यदि $b = 8, a = 10$।
यदि $b = 12, a = 15$।
यदि $b = 16, a = 20$।
यदि $b = 20, a = 25$।
यदि $b = 24, a = 30$।
यदि $b = 28, a = 35$ (जो समुच्चय $\{1, 2, \dots, 30\}$ में नहीं है)।
अतः,मान्य क्रमित युग्म $(a, b)$ हैं: $(5, 4), (10, 8), (15, 12), (20, 16), (25, 20), (30, 24)$।
ऐसे युग्मों की कुल संख्या $6$ है।

(C) दिया गया है $S = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 - 7x + 6 \leq 0 \text{ और } x^2 - 3x > 0\}$ ...$(i)$
सबसे पहले,असमिका $x^2 - 7x + 6 \leq 0$ को हल करें:
$(x - 6)(x - 1) \leq 0$
इसका अर्थ है $x \in [1, 6]$.
इसके बाद,असमिका $x^2 - 3x > 0$ को हल करें:
$x(x - 3) > 0$
इसका अर्थ है $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.
अब,इन दो अंतरालों का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें:
$S = \{x \in \mathbb{Z} : x \in [1, 6] \cap ((-\infty, 0) \cup (3, \infty))\}$
$S = \{x \in \mathbb{Z} : x \in (3, 6] \cap \mathbb{Z}\}$
$S = \{4, 5, 6\}$.
अतः समुच्चय $S$ में अवयवों की संख्या $3$ है.

(C) चूंकि $2$ विशेष छात्रों को हमेशा टीम में शामिल किया जाना है,इसलिए हमने पहले ही $2$ सदस्यों का चयन कर लिया है।
चयन किए जाने वाले शेष सदस्य $= 5 - 2 = 3$।
चयन के लिए उपलब्ध शेष छात्र $= 12 - 2 = 10$।
इसलिए,$10$ उपलब्ध छात्रों में से शेष $3$ छात्रों का चयन करने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
तरीकों की संख्या $= {}^{10}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$।

(A) दिया गया पुनरावृत्ति संबंध $f(x)=f(x-2)+f(x-3)$ है,जहाँ प्रारंभिक मान $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2$ हैं।
हम क्रमिक रूप से मानों की गणना करते हैं:
$f(3)=f(1)+f(0)=1+0=1$
$f(4)=f(2)+f(1)=2+1=3$
$f(5)=f(3)+f(2)=1+2=3$
$f(6)=f(4)+f(3)=3+1=4$
$f(7)=f(5)+f(4)=3+3=6$
$f(8)=f(6)+f(5)=4+3=7$
$f(9)=f(7)+f(6)=6+4=10$
$f(10)=f(8)+f(7)=7+6=13$

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{\cos^2 x + \sin^4 x}{\sin^2 x + \cos^4 x}$.
हम जानते हैं कि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ और $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
अंश और हर में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
अंश: $\cos^2 x + \sin^4 x = \cos^2 x + \sin^2 x \cdot \sin^2 x = \cos^2 x + \sin^2 x(1 - \cos^2 x) = \cos^2 x + \sin^2 x - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
हर: $\sin^2 x + \cos^4 x = \sin^2 x + \cos^2 x \cdot \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x(1 - \sin^2 x) = \sin^2 x + \cos^2 x - \cos^2 x \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \sin^2 x$.
अतः,$f(x) = \frac{1 - \sin^2 x \cos^2 x}{1 - \cos^2 x \sin^2 x} = 1$.
चूंकि $f(x) = 1$ सभी $x \in R$ के लिए है,इसलिए $f(2023) = 1$ होगा।

(B) दिया गया है $\frac{x^2-7 x+2}{x^4+3 x^2+4}=\frac{A x+B}{x^2+a x+2}+\frac{C x+D}{x^2+b x+2}$ ...$(i)$
हर का गुणनखंड करने पर: $x^4+3 x^2+4 = (x^2+2)^2 - x^2 = (x^2+x+2)(x^2-x+2)$.
अतः,$\frac{x^2-7 x+2}{(x^2+x+2)(x^2-x+2)} = \frac{Px+Q}{x^2+x+2} + \frac{Rx+S}{x^2-x+2}$.
अंशों की तुलना करने पर: $x^2-7x+2 = (Px+Q)(x^2-x+2) + (Rx+S)(x^2+x+2)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $x^2-7x+2 = x^3(P+R) + x^2(-P+Q+R+S) + x(2P-Q+2R+S) + (2Q+2S)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$P+R=0$
$-P+Q+R+S=1$
$2P-Q+2R+S=-7$
$2Q+2S=2 \Rightarrow Q+S=1$
इन्हें हल करने पर,हमें $P=0, Q=4, R=0, S=-3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{x^2-7x+2}{x^4+3x^2+4} = \frac{4}{x^2+x+2} + \frac{-3}{x^2-x+2}$.
समीकरण $(i)$ से तुलना करने पर,$a=1, b=-1$ (चूंकि $a>b$),$A=0, B=4, C=0, D=-3$ प्राप्त होता है।
तब $B+D = 4-3 = 1$.
विकल्पों की जाँच करने पर: $2a+b = 2(1) + (-1) = 1$.
अतः,$B+D = 2a+b$.

(C) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{2 x^2+5 x+6}{(x+2)^3}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{(x+2)^2}+\frac{c}{(x+2)^3}$
दोनों पक्षों को $(x+2)^3$ से गुणा करने पर:
$2 x^2+5 x+6 = a(x+2)^2 + b(x+2) + c$
माना $x+2 = t$,तो $x = t-2$। इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$2(t-2)^2 + 5(t-2) + 6 = a t^2 + b t + c$
$2(t^2 - 4t + 4) + 5t - 10 + 6 = a t^2 + b t + c$
$2t^2 - 8t + 8 + 5t - 4 = a t^2 + b t + c$
$2t^2 - 3t + 4 = a t^2 + b t + c$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$a = 2, b = -3, c = 4$
अब,$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a$ की गणना करने पर:
$a \cdot b = 2 \cdot (-3) = -6$
$b \cdot c = (-3) \cdot 4 = -12$
$c \cdot a = 4 \cdot 2 = 8$
योग $= -6 - 12 + 8 = -10$

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{-x^2+6x+1}{(x-1)^2(x^2+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx-3}{x^2+2}$.
दोनों पक्षों को $(x-1)^2(x^2+2)$ से गुणा करने पर:
$-x^2+6x+1 = A(x-1)(x^2+2) + B(x^2+2) + (Cx-3)(x-1)^2$.
$x=1$ रखने पर: $-1+6+1 = B(1+2) \Rightarrow 6 = 3B \Rightarrow B=2$.
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $-x^2+6x+1 = A(x^3-x^2+2x-2) + B(x^2+2) + (Cx-3)(x^2-2x+1)$.
$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = A + C \Rightarrow C = -A$.
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $-1 = -A + B + (-2C - 3) = -A + 2 - 2C - 3 = -A - 2C - 1$.
अतः,$A + 2C = 0$. चूँकि $C = -A$,इसलिए $A - 2A = 0 \Rightarrow -A = 0 \Rightarrow A = 0$.
इसलिए,$C = -A = 0$.
अंत में,$A+B+C = 0 + 2 + 0 = 2$.

(B) यह क्षेत्र रेखाओं $x=4$,$y=-4$ और $y=x$ द्वारा परिबद्ध है।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $x=4$ और $y=x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(4, 4)$ है।
$2$. $y=-4$ और $y=x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(-4, -4)$ है।
$3$. $x=4$ और $y=-4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(4, -4)$ है।
यह क्षेत्र एक समकोण त्रिभुज $ABC$ है जिसके शीर्ष $A(-4, -4)$,$B(4, 4)$ और $C(4, -4)$ हैं।
आधार $AC$ की लंबाई $(-4, -4)$ और $(4, -4)$ के बीच की दूरी है,जो $|4 - (-4)| = 8$ इकाई है।
ऊंचाई $BC$ की लंबाई $(4, -4)$ और $(4, 4)$ के बीच की दूरी है,जो $|4 - (-4)| = 8$ इकाई है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32$ वर्ग इकाई।

(A) माना मूल निर्देशांक $(x, y, z) = (3, -7, 5)$ हैं।
माना मूल बिंदु को $(h, k, l) = (-1, -1, -1)$ पर स्थानांतरित किया गया है।
नए निर्देशांक $(x', y', z')$ रूपांतरण द्वारा प्राप्त होते हैं:
$x' = x - h$
$y' = y - k$
$z' = z - l$
मान रखने पर:
$x' = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$
$y' = -7 - (-1) = -7 + 1 = -6$
$z' = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6$
अतः,नए निर्देशांक $(4, -6, 6)$ हैं।

(C) माना $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
दिया गया है कि $AB, BC, CA$ के मध्य-बिंदु क्रमशः $(l, 0, 0), (0, m, 0), (0, 0, n)$ हैं।
$AB$ के मध्य-बिंदु के लिए: $\frac{x_1+x_2}{2}=l, \frac{y_1+y_2}{2}=0, \frac{z_1+z_2}{2}=0 \Rightarrow x_1+x_2=2l, y_1+y_2=0, z_1+z_2=0$ ... $(i)$
$BC$ के मध्य-बिंदु के लिए: $\frac{x_2+x_3}{2}=0, \frac{y_2+y_3}{2}=m, \frac{z_2+z_3}{2}=0 \Rightarrow x_2+x_3=0, y_2+y_3=2m, z_2+z_3=0$ ... (ii)
$CA$ के मध्य-बिंदु के लिए: $\frac{x_3+x_1}{2}=0, \frac{y_3+y_1}{2}=0, \frac{z_3+z_1}{2}=n \Rightarrow x_3+x_1=0, y_3+y_1=0, z_3+z_1=2n$ ... (iii)
इन समीकरणों को हल करने पर:
समीकरणों $(i)$,(ii) और (iii) को हल करने पर हमें प्राप्त होता है: $x_1=l, y_1=m, z_1=-n$,$x_2=l, y_2=-m, z_2=n$,$x_3=-l, y_3=m, z_3=n$.
अतः,$A(l, m, -n), B(l, -m, n), C(-l, m, n)$.
$AB^2 = (l-l)^2 + (m-(-m))^2 + (-n-n)^2 = 4m^2 + 4n^2$.
$BC^2 = (l-(-l))^2 + (-m-m)^2 + (n-n)^2 = 4l^2 + 4m^2$.
$CA^2 = (-l-l)^2 + (m-m)^2 + (n-(-n))^2 = 4l^2 + 4n^2$.
$AB^2+BC^2+CA^2 = 8(l^2+m^2+n^2)$.
इसलिए,$\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{l^2+m^2+n^2} = \frac{8(l^2+m^2+n^2)}{l^2+m^2+n^2} = 8$.

(B) बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक का सूत्र है:
$\left(\frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m - n}\right)$
दिए गए बिंदु $(2, 3, 4)$ और $(3, -4, 7)$ हैं और अनुपात $m:n = 2:4$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{2(3) - 4(2)}{2 - 4} = \frac{6 - 8}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$
$y = \frac{2(-4) - 4(3)}{2 - 4} = \frac{-8 - 12}{-2} = \frac{-20}{-2} = 10$
$z = \frac{2(7) - 4(4)}{2 - 4} = \frac{14 - 16}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(1, 10, 1)$ हैं।

(B) माना कि वर्ग की भुजा $a$ है।
भुजा $a$ वाले वर्ग के विकर्ण की लंबाई $d = a\sqrt{2}$ होती है।
दिए गए दो बिंदुओं $(1, -2, 3)$ और $(2, -3, 5)$ के बीच की दूरी विकर्ण की लंबाई $d$ है।
$d = \sqrt{(2-1)^2 + (-3 - (-2))^2 + (5-3)^2}$
$d = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (2)^2}$
$d = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$
चूंकि $d = a\sqrt{2}$,इसलिए $a\sqrt{2} = \sqrt{6}$ है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $a = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक $\left(\frac{\alpha+7}{2}, \frac{3+5}{2}, \frac{3+\beta}{2}\right) = \left(\frac{\alpha+7}{2}, 4, \frac{3+\beta}{2}\right)$ हैं।
माध्यिका $AD$ के दिक अनुपात $D$ और $A$ के निर्देशांकों के अंतर द्वारा प्राप्त होते हैं:
$\left(\frac{\alpha+7}{2} - 2, 4 - 3, \frac{3+\beta}{2} - 5\right) = \left(\frac{\alpha+3}{2}, 1, \frac{\beta-7}{2}\right)$.
चूँकि माध्यिका $AD$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई है,इसलिए इसके दिक कोज्या समान हैं,जिसका अर्थ है कि इसके दिक अनुपात $(1, 1, 1)$ के समानुपाती होने चाहिए।
अतः,$\frac{\alpha+3}{2} = 1$ और $\frac{\beta-7}{2} = 1$.
$\alpha$ के लिए हल करने पर: $\alpha+3 = 2 \Rightarrow \alpha = -1$.
$\beta$ के लिए हल करने पर: $\beta-7 = 2 \Rightarrow \beta = 9$.
इसलिए,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{9}{-1} = -9$.

(A) मान लीजिए $S$ में $n$ अवयव हैं। प्रत्येक अवयव $x \in S$ के लिए चार स्थितियाँ संभव हैं:
$1. x \in A$ और $x \in B$
$2. x \in A$ और $x \notin B$
$3. x \notin A$ और $x \in B$
$4. x \notin A$ और $x \notin B$
कुल चयन के तरीके $4^n$ हैं।
शर्त $A \cap B = \phi$ और $A \cup B = S$ के अनुसार,प्रत्येक अवयव या तो $A$ में होगा या $B$ में,लेकिन दोनों में नहीं।
अतः प्रत्येक अवयव के लिए $2$ विकल्प हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $2^n$ है।
प्रायिकता $= \frac{2^n}{4^n} = \frac{1}{2^n}$.

(A) एक सिक्के को तीन बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $2^3 = 8$ परिणाम होते हैं: $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$.
घटना $A$ (तीन चित प्राप्त करना) = $\{HHH\}$,इसलिए $P(A) = \frac{1}{8}$.
घटना $B$ (पहली उछाल पर चित प्राप्त करना) = $\{HHH, HHT, HTH, HTT\}$,इसलिए $P(B) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
सर्वनिष्ठ $A \cap B = \{HHH\}$,इसलिए $P(A \cap B) = \frac{1}{8}$.
घटनाओं के स्वतंत्र होने के लिए,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ होना चाहिए।
यहाँ $P(A) \times P(B) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.
चूंकि $P(A \cap B) = \frac{1}{8} \neq \frac{1}{16}$,इसलिए ये घटनाएँ आश्रित हैं।

(C) $8$ कार्डों में से प्रतिस्थापन के साथ दो कार्ड निकालने पर कुल परिणामों की संख्या $8 \times 8 = 64$ है।
माना कि निकाली गई दो संख्याएँ $(x, y)$ हैं जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ है।
हमें $xy$ का गुणनफल एक पूर्ण वर्ग चाहिए।
वे जोड़े $(x, y)$ जिनका गुणनफल एक पूर्ण वर्ग है,वे हैं:
$(1, 1), (1, 4), (2, 2), (2, 8), (3, 3), (4, 1), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 2), (8, 8)$।
ऐसे $12$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$ है।

(D) कुल परिणामों की संख्या $= 30$ है।
$1$ से $30$ के बीच $3$ के गुणज हैं: $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$ (कुल $10$)।
$1$ से $30$ के बीच $5$ के गुणज हैं: $5, 10, 15, 20, 25, 30$ (कुल $6$)।
$3$ और $5$ दोनों के गुणज (अर्थात $15$ के गुणज) हैं: $15, 30$ (कुल $2$)।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 10 + 6 - 2 = 14$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$ है।

(A) एक सिक्के को $3$ बार उछालने पर कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ है। प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ है।
लड़का तब जीतता है जब सभी उछालों में समान परिणाम मिलते हैं,जो कि $\{HHH, TTT\}$ हैं।
जीतने वाले परिणामों की संख्या $2$ है।
हारने वाले परिणामों की संख्या $8 - 2 = 6$ है। ये परिणाम $\{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\}$ हैं।
लड़के के खेल हारने की प्रायिकता $P(\text{Lose}) = \frac{\text{हारने वाले परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ है।

(B) कुल सिक्के = $12 + 7 + 4 = 23$। $3$ सिक्के चुनने के कुल तरीके = ${}^{23}C_3$। \\ सिक्कों के मूल्यों का योग एक रुपये का पूर्णांक गुणज नहीं होगा यदि चुने गए $50$ पैसे के सिक्कों की संख्या विषम हो। \\ $50$ पैसे के सिक्कों की संख्या विषम होने की स्थितियाँ: \\ $(i)$ $1$ पचास पैसे का सिक्का और $2$ अन्य सिक्के: ${}^{4}C_1 \times {}^{19}C_2$। \\ $(ii)$ $3$ पचास पैसे के सिक्के: ${}^{4}C_3$। \\ कुल अनुकूल तरीके = ${}^{4}C_1 \times {}^{19}C_2 + {}^{4}C_3$। \\ अतः,प्रायिकता $\frac{4({}^{12}C_1 \times {}^{7}C_1 + {}^{12}C_2 + {}^{7}C_2) + {}^{4}C_3}{{}^{23}C_3}$ है।

(C) एक गोल मेज के चारों ओर $20$ व्यक्तियों को बैठाने के कुल तरीके $(20-1)! = 19!$ हैं।
व्यक्ति $A$ को एक स्थान पर स्थिर करें।
व्यक्ति $B$ के लिए $19$ शेष सीटें हैं।
$A$ और $B$ के बीच ठीक $6$ व्यक्ति होने के लिए,$B$ को $A$ के सापेक्ष एक विशिष्ट स्थान पर बैठना होगा।
$A$ से घड़ी की दिशा में $6$ सीटें गिनने पर,$7$वीं सीट पर $B$ बैठता है।
$A$ से घड़ी की विपरीत दिशा में $6$ सीटें गिनने पर,$7$वीं सीट पर भी $B$ बैठता है।
इस प्रकार,$19$ संभावित सीटों में से $B$ के लिए $2$ अनुकूल स्थान हैं।
अतः,प्रायिकता $\frac{2}{19}$ है।

(A) एक सामान्य वर्ष में $365$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन के बराबर है।
चूंकि $52$ सप्ताह होते हैं,इसलिए $52$ रविवार तो निश्चित रूप से होंगे।
वर्ष में $53$ रविवार होने के लिए,अतिरिक्त दिन का रविवार होना आवश्यक है।
अतिरिक्त दिन के लिए संभावित परिणामों का समुच्चय $\{ \text{सोमवार}, \text{मंगलवार}, \text{बुधवार}, \text{गुरुवार}, \text{शुक्रवार}, \text{शनिवार}, \text{रविवार} \}$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 7$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या (दिन का रविवार होना) $= 1$ है।
अतः,प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{7}$।

(C) हम जानते हैं कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,प्रायिकता का योग नियम है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.65 = P(A) + P(B) - 0.15$
$P(A) + P(B) = 0.65 + 0.15 = 0.8$
हमें $P(\overline{A}) + P(\overline{B})$ ज्ञात करना है।
पूरक घटना नियम $P(\overline{E}) = 1 - P(E)$ का उपयोग करते हुए:
$P(\overline{A}) + P(\overline{B}) = (1 - P(A)) + (1 - P(B))$
$= 2 - (P(A) + P(B))$
$= 2 - 0.8 = 1.2$

(A) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $= 52$ है।
प्रतिदर्श समष्टि $n(S) = 52$ है।
मान लीजिए $A$ इक्का निकालने की घटना है और $B$ हुकुम (spade) का पत्ता निकालने की घटना है।
इक्कों की संख्या $n(A) = 4$ है।
हुकुम के पत्तों की संख्या $n(B) = 13$ है।
ऐसे पत्तों की संख्या जो इक्का और हुकुम दोनों हैं,$n(A \cap B) = 1$ है।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}$।
भिन्न को सरल करने पर,हमें $\frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि दो घटनाओं के संघ की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.3 = 0.6$।
न तो $A$ और न ही $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)$ है।
अतः,$P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.6 = 0.4$।

(A) दिया गया है,$P(A)=0.4, P(B)=0.3$ और $P(A \cap B)=0.2$।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है जिसमें न तो $A$ और न ही $B$ घटित हो,जो कि $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$।
सबसे पहले,$P(A \cup B)$ की गणना करें:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.4 + 0.3 - 0.2 = 0.5$।
अतः,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0.5 = 0.5$।

(C) $A =$ घटना कि $A$ सच बोलता है।
$B =$ घटना कि $B$ सच बोलता है।
$P(A) = 4/5 \implies P(A^c) = 1/5$.
$P(B) = 3/4 \implies P(B^c) = 1/4$.
$A$ और $B$ एक-दूसरे का खंडन तब करते हैं जब एक सच बोलता है और दूसरा झूठ बोलता है।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(A) \cdot P(B^c) + P(A^c) \cdot P(B)$.
$= (4/5 \times 1/4) + (1/5 \times 3/4)$.
$= 4/20 + 3/20 = 7/20$.

(C) चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ है।
दिया गया है कि $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$,मान लीजिए $P(A) = x$ और $P(B) = y$ है। अतः,$xy = \frac{1}{6}$ है।
दोनों में से किसी के भी न घटित होने की प्रायिकता $P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = \frac{1}{3}$ है।
इसलिए,$P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर,हमें $x + y - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x + y = \frac{5}{6}$ है।
$y = \frac{5}{6} - x$ को $xy = \frac{1}{6}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x(\frac{5}{6} - x) = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $6x^2 - 5x + 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(2x - 1)(3x - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{1}{2}$ या $x = \frac{1}{3}$ है।
इसलिए,$A$ के घटित होने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ या $\frac{1}{3}$ है।

(B) $n$ स्वतंत्र घटनाओं $X_1, X_2, \ldots, X_n$ में से किसी के भी न होने की प्रायिकता $P(X_1' \cap X_2' \cap \ldots \cap X_n')$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,यह $P(X_1') P(X_2') \ldots P(X_n')$ के बराबर है।
दिया गया है $P(X_r) = \frac{1}{r+1}$,इसलिए पूरक घटना की प्रायिकता $P(X_r') = 1 - P(X_r) = 1 - \frac{1}{r+1} = \frac{r}{r+1}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता:
$P(X_1') P(X_2') \ldots P(X_n') = \left(1 - \frac{1}{2}\right) \left(1 - \frac{1}{3}\right) \ldots \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)$
$= \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \ldots \times \frac{n}{n+1}$
$= \frac{1}{n+1}$.

(A) मान लीजिए कि घोड़ों $A$,$B$ और $C$ के जीतने की प्रायिकताएं क्रमशः $a$,$b$ और $c$ हैं।
चूंकि उनमें से कोई एक अवश्य जीतेगा,इसलिए उनकी प्रायिकताओं का योग $a + b + c = 1$ होगा ... $(i)$
दिया गया है कि $a = 2b$ और $b = 2c$ है।
$b = 2c$ को $a$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a = 2(2c) = 4c$ प्राप्त होता है।
अब,$a = 4c$ और $b = 2c$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करें:
$4c + 2c + c = 1$
$7c = 1$
$c = \frac{1}{7}$
अब,$b$ और $a$ का मान ज्ञात करें:
$b = 2c = 2 \times \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$
$a = 2b = 2 \times \frac{2}{7} = \frac{4}{7}$
अतः,घोड़ों $A$,$B$ और $C$ के जीतने की प्रायिकताएं क्रमशः $\frac{4}{7}, \frac{2}{7}, \frac{1}{7}$ हैं।

(B) $100$ छात्रों में से $2$ छात्रों को चुनने के कुल तरीके ${ }^{100} C_2$ हैं।
उन तरीकों की संख्या जिनमें आप और आपका मित्र दोनों पहले अनुभाग ($40$ की क्षमता) में रखे जाते हैं,${ }^{40} C_2$ है।
उन तरीकों की संख्या जिनमें आप और आपका मित्र दोनों दूसरे अनुभाग ($60$ की क्षमता) में रखे जाते हैं,${ }^{60} C_2$ है।
चूंकि ये परस्पर अपवर्जी घटनाएं हैं,इसलिए अनुकूल तरीकों की कुल संख्या ${ }^{40} C_2 + { }^{60} C_2$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{{ }^{40} C_2 + { }^{60} C_2}{{ }^{100} C_2}$ है।

(A) रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2+2 \sqrt{2} x y+k y^2=0$ है।
$ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=\sqrt{2}, b=k$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,अतः $\tan 45^{\circ} = 1 = \frac{2\sqrt{2-k}}{1+k}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(1+k)^2 = 4(2-k)$ $\Rightarrow k^2+2k+1 = 8-4k$ $\Rightarrow k^2+6k-7=0$।
गुणनखंड करने पर $(k+7)(k-1)=0$ प्राप्त होता है। चूँकि $k>0$,इसलिए $k=1$ है।
रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2+2\sqrt{2}xy+y^2=0$ हो जाता है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ $\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{1-1} = \frac{xy}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow x^2-y^2=0$ है।
यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $x-y=0$ और $x+y=0$।
तीसरी रेखा $x+2y+1=0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन तीन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$) $x-y=0$ और $x+y=0 \Rightarrow (0,0)$।
$2$) $x-y=0$ और $x+2y+1=0 \Rightarrow y=-1/3, x=-1/3$।
$3$) $x+y=0$ और $x+2y+1=0 \Rightarrow y=-1, x=1$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ सूत्र से प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + 1/3 + 1/3| = \frac{1}{3}$।

(D) रेखाओं के युग्म $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ को रेखा $x+y=k$ का उपयोग करके समघात (homogenize) बनाने पर,हम $\frac{x+y}{k}=1$ का उपयोग करते हैं।
समीकरण में मान रखने पर:
$x^2+y^2-2x(\frac{x+y}{k})-4y(\frac{x+y}{k})+2(\frac{x+y}{k})^2=0$.
चूंकि रेखाएं $OA$ और $OB$ लंबवत हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
समीकरण का विस्तार करने पर:
$(1-\frac{2}{k}+\frac{2}{k^2})x^2 + (1-\frac{4}{k}+\frac{2}{k^2})y^2 + (\dots)xy = 0$.
$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य रखने पर:
$(1-\frac{2}{k}+\frac{2}{k^2}) + (1-\frac{4}{k}+\frac{2}{k^2}) = 0$.
$2 - \frac{6}{k} + \frac{4}{k^2} = 0$.
$k^2$ से गुणा करने पर:
$2k^2 - 6k + 4 = 0 \Rightarrow k^2 - 3k + 2 = 0$.
$(k-1)(k-2) = 0$.
अतः,$k=1$ या $k=2$.
चूंकि $k>1$ दिया गया है,इसलिए $k=2$ सही उत्तर है।