જો $|z_1+z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2$,જ્યાં $z_1$ અને $z_2$ બે સંકર સંખ્યાઓ હોય,તો

કોઈપણ સંકર સંખ્યા $z$ માટે,$|z| + |z - 1|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $v = |z|^{2} + |z-3|^{2} + |z-6i|^{2}$,જ્યાં $z \in \mathbb{C}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $v_{0}$ એ $z = z_{0}$ આગળ મળે છે. તો $|2z_{0}^{2} - \bar{z}_{0}^{3} + 3|^{2} + v_{0}^{2}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\omega = z \bar{z} + k_1 z + k_2 i z + \lambda(1 + i)$,જ્યાં $k_1, k_2 \in R$. ધારો કે $\operatorname{Re}(\omega) = 0$ એ પ્રથમ ચરણમાં $y = 1$ રેખા અને $y$-અક્ષને સ્પર્શતું $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ $C$ છે. જો વક્ર $\operatorname{Im}(\omega) = 0$ એ $C$ ને $A$ અને $B$ બિંદુએ છેદે,તો $30(AB)^2$ ની કિંમત $.......$ થાય.

જો નિયમિત અષ્ટકોણના આઠ શિરોબિંદુઓ સંકર સંખ્યાઓ $z_j = \frac{1}{x_j - 2i}$ $(j = 1, 2, \dots, 8)$ દ્વારા આપવામાં આવે,જ્યાં $x_j$ એ $x^8 - 1 = 0$ ના બીજ છે,તો અષ્ટકોણના પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $r$ માટે, ધારો કે $A_r = \{e^{i \pi r n} : n \in \mathbb{N}\}$ એ સંકર સંખ્યાઓનો ગણ છે. તો,