કઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \in N$ માટે,અસમતા $2^n > n+1$ સાચી છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$7^{n}-3^{n}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવો કે શ્રેણી $d_{1}, d_{2}, d_{3}, \ldots$ માટે,જ્યાં $d_{1}=2$ અને $d_{k}=\frac{d_{k-1}}{k}$ તમામ $k \geq 2$ માટે આપેલ છે,ત્યારે તેનું સામાન્ય પદ $d_{n}=\frac{2}{n!}$ તમામ $n \in N$ માટે થાય છે.

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: $\sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}}$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \geq 2$ માટે.

ધારો કે $P(n): 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 = \frac{6(n-1)(n-2) \ldots(n-2020)+2n^3+3n^2+n}{6}$,તમામ $n \in N$ માટે. તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવો કે તમામ $n \in N$ માટે $\frac{n^{5}}{5}+\frac{n^{3}}{3}+\frac{7n}{15}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.