नीचे दिए गए अवकल समीकरण का हल ज्ञात कीजिए:
$\frac{dy}{dx} + y \cdot \csc^2 (x) = \csc^2 (x) \cdot \cot (x)$

Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण है:$\frac{dy}{dx} + \csc^2 (x) \cdot y = \csc^2 (x) \cdot \cot x . . . . . . . . . . (1)$इसे रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}

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$y e^{- \cot x} = (1 + \cot x) e^{- \cot x} + c$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण है:$\frac{dy}{dx} + \csc^2 (x) \cdot y = \csc^2 (x) \cdot \cot x . . . . . . . . . . (1)$इसे रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ से तुलना करने पर:$P = \csc^2 x$$Q = \csc^2 x \cdot \cot x$अब,समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:$IF = e^{\int P \ dx} = e^{\int \csc^2 x \ dx} = e^{- \cot x}$व्यापक हल इस प्रकार है:$y \cdot IF = \int Q \cdot IF \ dx + C$$y \cdot e^{- \cot x} = \int \csc^2 x \cdot \cot x \cdot e^{- \cot x} \ dx + C$माना $t = \cot x$,तब $dt = - \csc^2 x \ dx$,जिसका अर्थ है $\csc^2 x \ dx = - dt$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$y \cdot e^{- \cot x} = \int t \cdot e^{- t} (- dt) = - \int t e^{- t} \ dt$खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए $\int u \ dv = uv - \int v \ du$,जहाँ $u = t$ और $dv = e^{- t} \ dt$:$- \int t e^{- t} \ dt = - [t (- e^{- t}) - \int (- e^{- t}) \ dt] = - [- t e^{- t} - e^{- t}] + C = t e^{- t} + e^{- t} + C$$t = \cot x$ वापस रखने पर:$y \cdot e^{- \cot x} = e^{- \cot x} (\cot x + 1) + C$.

नीचे दिए गए अवकल समीकरण का हल ज्ञात कीजिए:
$\frac{dy}{dx} + y \cdot \csc^2 (x) = \csc^2 (x) \cdot \cot (x)$

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