AP EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है कि $x+iy = \frac{3}{2+\cos \theta + i \sin \theta}$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|x+iy| = \left| \frac{3}{2+\cos \theta + i \sin \theta} \right|$.
चूंकि $|x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$,हमें $\sqrt{x^2+y^2} = \frac{3}{|2+\cos \theta + i \sin \theta|}$ प्राप्त होता है।
हर का मापांक ज्ञात करने पर: $|2+\cos \theta + i \sin \theta| = \sqrt{(2+\cos \theta)^2 + \sin^2 \theta} = \sqrt{5+4\cos \theta}$.
अतः,$\sqrt{x^2+y^2} = \frac{3}{\sqrt{5+4\cos \theta}}$,जिसका अर्थ है $x^2+y^2 = \frac{9}{5+4\cos \theta}$.
अब,$4x-3$ पर विचार करें। $x+iy = \frac{3(2+\cos \theta) - 3i \sin \theta}{5+4\cos \theta}$ से,$x = \frac{3(2+\cos \theta)}{5+4\cos \theta}$.
तब $4x-3 = \frac{12(2+\cos \theta)}{5+4\cos \theta} - 3 = \frac{9}{5+4\cos \theta}$.
अतः,$x^2+y^2 = 4x-3$.

(C) दिया गया है $\bar{z}_1 - i \bar{z}_2 = 0$।
दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,हमें $z_1 + i z_2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $z_1 = -i z_2$।
हम जानते हैं कि $-i = e^{-i \pi / 2}$,इसलिए $z_1 = z_2 e^{-i \pi / 2}$।
दोनों पक्षों का कोणांक (argument) लेने पर,$\arg(z_1) = \arg(z_2) - \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\arg(z_2) = \arg(z_1) + \frac{\pi}{2}$।
दिया गया है $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = \frac{3 \pi}{4}$।
$\arg(z_2)$ का मान रखने पर,हमें $\arg(z_1) + (\arg(z_1) + \frac{\pi}{2}) = \frac{3 \pi}{4}$ प्राप्त होता है।
$2 \arg(z_1) = \frac{3 \pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$।
अतः,$\arg(z_1) = \frac{\pi}{8}$।

(B) माना $z = (1+2i)(-2+i)$ है।
मापांक के गुणधर्म $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|z| = |1+2i| \times |-2+i|$
$|z| = \sqrt{1^2 + 2^2} \times \sqrt{(-2)^2 + 1^2}$
$|z| = \sqrt{1+4} \times \sqrt{4+1}$
$|z| = \sqrt{5} \times \sqrt{5}$
$|z| = 5$

(A) दिया गया है $|z-4+3 i| \leq 1$। यह $C(4, -3)$ केंद्र और $r=1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। मूल बिंदु से केंद्र की दूरी $OC = \sqrt{4^2+(-3)^2} = 5$ है।
$|z|$ का न्यूनतम मान $m = OC - r = 5 - 1 = 4$ है।
$|z|$ का अधिकतम मान $n = OC + r = 5 + 1 = 6$ है।
अब,$f(x) = \frac{x^4+x^2+4}{x} = x^3 + x + \frac{4}{x}$ पर विचार करें,जहाँ $x \in (0, \infty)$ है।
अवकलन करने पर,$f'(x) = 3x^2 + 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{3x^4+x^2-4}{x^2} = \frac{(3x^2+4)(x^2-1)}{x^2}$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,$x^2 = 1$,अतः $x=1$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान $f(1) = 1^3 + 1 + \frac{4}{1} = 6$ है।
अतः,$k=6$ है।
चूंकि $n=6$ है,इसलिए $k=n$ है।

(A) यह दिया गया है कि $(2+i)$ समीकरण $x^3-5x^2+9x-5=0$ का एक मूल है,इसलिए दूसरा अवास्तविक सम्मिश्र मूल $(2-i)$ होगा।
माना कि तीसरा मूल $\alpha$ है,इसलिए मूलों के गुणनफल के नियम से,
$(2+i)(2-i) \alpha = 5 \Rightarrow \alpha = 1$
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(A) $z = \frac{5i}{7+i}$ का संयुग्मी ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(7-i)$ से गुणा करते हैं।
$z = \frac{5i}{7+i} \times \frac{7-i}{7-i} = \frac{35i - 5i^2}{49 - i^2}$
चूंकि $i^2 = -1$ है:
$z = \frac{35i + 5}{50} = \frac{5 + 35i}{50} = \frac{1 + 7i}{10}$
अतः,$\frac{1+7i}{10}$ का संयुग्मी $\frac{1-7i}{10}$ है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(A) दिया गया है $\left|\frac{z-25}{z-1}\right|=5$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left|\frac{z-25}{z-1}\right|^2 = 25$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{(z-25)(\bar{z}-25)}{(z-1)(\bar{z}-1)} = 25$।
पदों का विस्तार करने पर: $(z-25)(\bar{z}-25) = 25(z-1)(\bar{z}-1)$।
$z\bar{z} - 25z - 25\bar{z} + 625 = 25(z\bar{z} - z - \bar{z} + 1)$।
$|z|^2 - 25(z+\bar{z}) + 625 = 25|z|^2 - 25(z+\bar{z}) + 25$।
$|z|^2 + 625 = 25|z|^2 + 25$।
$24|z|^2 = 600$।
$|z|^2 = 25$।
अतः,$|z| = 5$।

(B) दिया गया है $|z - 3i| = 3$,जो $3$ त्रिज्या और $(0, 3)$ केंद्र वाला एक वृत्त है।
माना $z = x + iy$. वृत्त के समीकरण से $x^2 + y^2 - 6y = 0$ प्राप्त होता है।
कोणांक $\theta$ होने के कारण,$\tan \theta = \frac{y}{x}$ अर्थात $x = y \cot \theta$.
इस मान को वृत्त के समीकरण में रखने पर,$y^2 \csc^2 \theta = 6y$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = 6 \sin^2 \theta$.
अतः $x = 6 \sin \theta \cos \theta$.
इस प्रकार,$z = 6 \sin \theta(\cos \theta + i \sin \theta) = 6 \sin \theta e^{i \theta}$.
अब,$\frac{6}{z} = \frac{1}{\sin \theta} e^{-i \theta} = \cot \theta - i$.
अतः,$\cot \theta - \frac{6}{z} = i$.

(C) दिया गया समीकरण: $i x^2 - 3 x - 2 i = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
यहाँ $a = i$,$b = -3$,$c = -2i$ है।
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(i)(-2i)}}{2(i)}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8i^2}}{2i}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2i}$
$x = \frac{3 \pm 1}{2i}$
स्थिति $1$: $x = \frac{4}{2i} = -2i$
स्थिति $2$: $x = \frac{2}{2i} = -i$
अतः,हल $x = -i$ और $x = -2i$ हैं।

(A) माना $z = x + iy$ है। तब $|z|^2 = x^2 + y^2$,$|z-3|^2 = (x-3)^2 + y^2$,और $|z-i|^2 = x^2 + (y-1)^2$ है।
माना $f(x, y) = x^2 + y^2 + (x-3)^2 + y^2 + x^2 + (y-1)^2$ है।
$f(x, y) = 3x^2 - 6x + 9 + 3y^2 - 2y + 1 = 3(x^2 - 2x) + 3(y^2 - \frac{2}{3}y) + 10$ है।
$f(x, y)$ को न्यूनतम करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$f(x, y) = 3(x-1)^2 - 3 + 3(y-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} + 10 = 3(x-1)^2 + 3(y-\frac{1}{3})^2 + \frac{20}{3}$ है।
यह फलन तब न्यूनतम होता है जब $x = 1$ और $y = \frac{1}{3}$ हो।
अतः,$z = 1 + \frac{1}{3}i$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-2x+4=0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,मूल $\alpha, \beta = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ हैं।
मूलों को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करने पर:
$\alpha = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right)$ और $\beta = 2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करने पर,$\alpha^n + \beta^n = 2^n \left(\cos \frac{n\pi}{3} + i \sin \frac{n\pi}{3}\right) + 2^n \left(\cos \left(-\frac{n\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{n\pi}{3}\right)\right)$।
चूंकि $\cos(-\theta) = \cos \theta$ और $\sin(-\theta) = -\sin \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha^n + \beta^n = 2^n \left(2 \cos \frac{n\pi}{3}\right) = 2^{n+1} \cos \left(\frac{n\pi}{3}\right)$।

(A) माना $z = \left(\frac{2+i \sqrt{5}}{2-i \sqrt{5}}\right)^{10} + \left(\frac{2-i \sqrt{5}}{2+i \sqrt{5}}\right)^{10}$.
माना $2 = r \cos \theta$ और $\sqrt{5} = r \sin \theta$. तब $r = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = 3$.
अतः,$\cos \theta = \frac{2}{3}$ और $\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
व्यंजक $z = \left(\frac{\cos \theta + i \sin \theta}{\cos \theta - i \sin \theta}\right)^{10} + \left(\frac{\cos \theta - i \sin \theta}{\cos \theta + i \sin \theta}\right)^{10}$ हो जाता है।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z = (e^{i2\theta})^{10} + (e^{-i2\theta})^{10} = 2 \cos(20\theta)$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{2}{3}$,इसलिए $\theta = \cos^{-1}(\frac{2}{3})$.
अतः,$|z| = 2 \cos(20 \cos^{-1}(\frac{2}{3}))$,क्योंकि $20\theta$ प्रथम चतुर्थांश में है जहाँ कोसाइन धनात्मक होता है।

(C) सम्मिश्र संख्याओं के ध्रुवीय रूप के गुण का उपयोग करते हुए,$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$,दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$e^{i \frac{\pi}{2}} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}} \cdot e^{i \frac{\pi}{8}} \ldots \infty$
$= e^{i(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} + \ldots \infty)}$
घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = \frac{\pi}{2}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$S_{\infty} = \frac{\frac{\pi}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2}} = \pi$.
अतः,व्यंजक $e^{i\pi}$ हो जाता है।
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + i(0) = -1$.
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) माना $z = \frac{1+\cos (3 \theta)+i \sin (3 \theta)}{1+\cos (3 \theta)-i \sin (3 \theta)}$.
सर्वसमिकाओं $1+\cos (2A) = 2\cos^2 A$ और $\sin (2A) = 2\sin A \cos A$ का उपयोग करने पर:
$z = \frac{2\cos^2(\frac{3\theta}{2}) + i 2\sin(\frac{3\theta}{2})\cos(\frac{3\theta}{2})}{2\cos^2(\frac{3\theta}{2}) - i 2\sin(\frac{3\theta}{2})\cos(\frac{3\theta}{2})}$
$z = \frac{2\cos(\frac{3\theta}{2}) [\cos(\frac{3\theta}{2}) + i\sin(\frac{3\theta}{2})]}{2\cos(\frac{3\theta}{2}) [\cos(\frac{3\theta}{2}) - i\sin(\frac{3\theta}{2})]}$
$z = \frac{\cos(\frac{3\theta}{2}) + i\sin(\frac{3\theta}{2})}{\cos(\frac{3\theta}{2}) - i\sin(\frac{3\theta}{2})} = \frac{e^{i(3\theta/2)}}{e^{-i(3\theta/2)}} = e^{i(3\theta/2 + 3\theta/2)} = e^{i(3\theta)}$.
अतः,$z^{20} = (e^{i(3\theta)})^{20} = e^{i(60\theta)} = \cos(60\theta) + i\sin(60\theta)$.

(A) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
$\omega$ की घातों को सरल करने पर:
$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$
$\omega^{23} = (\omega^3)^7 \cdot \omega^2 = \omega^2$
व्यंजक में मान रखने पर:
$\sin \left\{(\omega + \omega^2) \pi - \frac{\pi}{4}\right\}$
चूंकि $\omega + \omega^2 = -1$,इसलिए:
$\sin \left\{-\pi - \frac{\pi}{4}\right\} = \sin \left(-\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right)\right) = -(-\sin \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(B) इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $\omega = e^{i \frac{2\pi}{3}}$ है।
ये बिंदु सम्मिश्र तल में इकाई वृत्त $|z| = 1$ पर स्थित हैं।
किन्हीं दो मूलों के बीच की दूरी $|1 - \omega| = \sqrt{3}$ है।
चूँकि सभी शीर्षों के जोड़ों के बीच की दूरी समान है,इसलिए बनने वाला त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) माना $\omega = a$ है। इकाई के $n$ वें मूल $1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{n-1}$ हैं।
हम जानते हैं कि $x^n - 1 = (x-1)(x-\omega)(x-\omega^2) \ldots (x-\omega^{n-1})$ होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln(x^n - 1) = \ln(x-1) + \ln(x-\omega) + \ln(x-\omega^2) + \ldots + \ln(x-\omega^{n-1})$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{n x^{n-1}}{x^n - 1} = \frac{1}{x-1} + \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{x-\omega^i}$।
योग को अलग करने पर:
$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{x-\omega^i} = \frac{n x^{n-1}}{x^n - 1} - \frac{1}{x-1}$।
$x = 2$ रखने पर:
$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{2-\omega^i} = \frac{n \cdot 2^{n-1}}{2^n - 1} - \frac{1}{2-1} = \frac{n \cdot 2^{n-1}}{2^n - 1} - 1$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{n \cdot 2^{n-1} - (2^n - 1)}{2^n - 1} = \frac{n \cdot 2^{n-1} - 2 \cdot 2^{n-1} + 1}{2^n - 1} = \frac{(n-2) 2^{n-1} + 1}{2^n - 1}$।

(B) दिया गया है कि,$\left|\frac{z-i}{z-2i}\right|=2$.
माना $z=x+iy$.
तब,$|x+i(y-1)|=2|x+i(y-2)|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2+(y-1)^2=4[x^2+(y-2)^2]$.
पदों का विस्तार करने पर,$x^2+y^2-2y+1=4[x^2+y^2-4y+4]$.
$x^2+y^2-2y+1=4x^2+4y^2-16y+16$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$3x^2+3y^2-14y+15=0$.
$3$ से भाग देने पर,$x^2+y^2-\frac{14}{3}y+5=0$.
यह $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के रूप में एक वृत्त का समीकरण है।
अतः,$z$ का बिंदु पथ एक वृत्त है।
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है.

(A) कार्तीय तल में वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ द्वारा दिया जाता है ... $(i)$
माना $z = x + iy$ और $\bar{z} = x - iy$ है।
तब $z + \bar{z} = 2x$ और $z \bar{z} = x^2 + y^2$ होगा।
साथ ही,$y = \frac{z - \bar{z}}{2i} = -\frac{i}{2}(z - \bar{z})$ है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$z \bar{z} + 2g(\frac{z + \bar{z}}{2}) + 2f(\frac{z - \bar{z}}{2i}) + c = 0$
$z \bar{z} + g(z + \bar{z}) - if(z - \bar{z}) + c = 0$
$z \bar{z} + (g - if)z + (g + if)\bar{z} + c = 0$
माना $b = g + if$,तो $\bar{b} = g - if$ होगा।
इन मानों को रखने पर,हमें $z \bar{z} + \bar{b}z + b\bar{z} + c = 0$ प्राप्त होता है।
यह सम्मिश्र तल में एक वृत्त को दर्शाता है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) दी गई असमिका $|z - (2 + 2i)| \leq 1$ है।
मान लीजिए $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है।
असमिका में $z$ का मान रखने पर,हमें $|(x - 2) + i(y - 2)| \leq 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 \leq 1^2$ प्राप्त होता है।
यह सम्मिश्र तल में $(2, 2)$ केंद्र और $r = 1$ त्रिज्या वाली एक बंद वृत्तीय डिस्क को दर्शाता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) $n$ भिन्न वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(n-1)!$ होती है।
चूंकि माला को पलटा जा सकता है,इसलिए दक्षिणावर्त और वामावर्त व्यवस्थाओं को समान माना जाता है।
अतः,$n$ अलग-अलग रंगों के फूलों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली विभिन्न मालाओं की संख्या $\frac{(n-1)!}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n = 5$ के लिए,मालाओं की संख्या $\frac{(5-1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12$ है।

(B) माना कि हर का सामान्य पद $T_n = (n^2+1)n!$ है।
हम इसे $T_n = (n+1)(n+1)! - 2n \cdot n!$ के रूप में लिख सकते हैं।
योग $S = \sum_{n=1}^{100} (n^2+1)n! = 100 \cdot 101!$ होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{10001 \times 100!}{100 \times 101 \times 100!} = \frac{10001}{10100}$ होगा।

(D) दिया गया है कि ${}^n P_4 = 1680$ है।
${}^n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$n(n-1)(n-2)(n-3) = 1680$.
हमें चार ऐसे क्रमागत पूर्णांक खोजने हैं जिनका गुणनफल $1680$ हो।
अभाज्य गुणनखंडन द्वारा: $1680 = 8 \times 7 \times 6 \times 5$.
पदों की तुलना करने पर,हमें $n = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) हमें व्यंजक $\frac{{}^{n+1}C_{r+1}}{{}^{n+1}C_r} = \frac{n-r+1}{m}$ दिया गया है।
सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{{}^{n+1}C_{r+1}}{{}^{n+1}C_r} = \frac{\frac{(n+1)!}{(r+1)!(n-r)!}}{\frac{(n+1)!}{r!(n-r+1)!}} = \frac{r!(n-r+1)!}{(r+1)!(n-r)!}$.
क्रमगुणित (factorial) को सरल करने पर:
$= \frac{r! \times (n-r+1) \times (n-r)!}{(r+1) \times r! \times (n-r)!} = \frac{n-r+1}{r+1}$.
दिए गए व्यंजक $\frac{n-r+1}{m}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m = r+1$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) $8$ पेन में से $4$ पेन चुनने के तरीकों की संख्या ${ }^8 C_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ है।
$5$ पेंसिल में से $3$ पेंसिल चुनने के तरीकों की संख्या ${ }^5 C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ है।
कुल तरीकों की संख्या $= { }^8 C_4 \times { }^5 C_3 = 70 \times 10 = 700$।

(C) '$GOVIND$' में अक्षर $D, G, I, N, O, V$ हैं। कुल अक्षर = $6$। सभी अक्षर भिन्न हैं।
कुल शब्दों की संख्या = $6! = 720$।
'$GOVIND$' का रैंक ज्ञात करने के लिए,अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करें: $D, G, I, N, O, V$।
$1$. $D$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$।
$2$. $G$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $GD...$: $4! = 24$।
- $GI...$: $4! = 24$।
- $GN...$: $4! = 24$।
- $GO...$: अगला अक्षर $D$ है (वर्णानुक्रम के अनुसार)।
- $GOD...$: $3! = 6$।
- $GOI...$: $3! = 6$।
- $GON...$: $3! = 6$।
- $GOV...$: अगला अक्षर $D$ है।
- $GOVD...$: $2! = 2$।
- $GOVI...$: अगला अक्षर $D$ है।
- $GOVIDN$: $1$।
- $GOVIND$: $1$।
'$GOVIND$' का रैंक = $120 + (24 \times 3) + (6 \times 3) + 2 + 1 + 1 = 120 + 72 + 18 + 4 = 214$।
'$GOVIND$' के बाद आने वाले शब्दों की संख्या = $720 - 214 = 506$।

(A) "$INTERMEDIATE$" शब्द में $12$ अक्षर हैं: $I, N, T, E, R, M, E, D, I, A, T, E$.
स्वर हैं: $I, E, E, I, A, E$ (कुल $6$ स्वर: $3$ $E, 2$ $I, 1$ $A$).
व्यंजन हैं: $N, T, R, M, D, T$ (कुल $6$ व्यंजन: $2$ $T, 1$ $N, 1$ $R, 1$ $M, 1$ $D$).
सबसे पहले,$6$ व्यंजनों को व्यवस्थित करें। तरीकों की संख्या $\frac{6!}{2!}$ है।
ये $6$ व्यंजन $7$ रिक्त स्थान बनाते हैं जहाँ $6$ स्वरों को इस प्रकार रखा जा सकता है कि कोई भी दो स्वर एक साथ न हों।
इन $7$ स्थानों में $6$ स्वरों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{^7P_6}{3!2!} = \frac{7!}{3!2!}$ हैं।
कुल व्यवस्था = $\frac{6!}{2!} \times \frac{7!}{3!2!}$.

(C) $6$ अलग-अलग ग्रीटिंग कार्ड में से प्रत्येक कार्ड को $4$ लोगों में से किसी को भी भेजा जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक कार्ड के लिए $4$ विकल्प हैं,इसलिए कार्ड भेजने के कुल तरीके $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^6$ होंगे।
$4^6 = 4096$.

(C) $n \times n$ ग्रिड पर आयतों की कुल संख्या (वर्गों सहित) $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ द्वारा दी जाती है।
$n \times n$ ग्रिड पर वर्गों की कुल संख्या $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ द्वारा दी जाती है।
उन आयतों की संख्या जो वर्ग नहीं हैं,$\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = 350$ है।
$n=6$ के लिए:
$\left(\frac{6 \times 7}{2}\right)^2 - \frac{6 \times 7 \times 13}{6} = 21^2 - 91 = 441 - 91 = 350$.
अतः,$n=6$ है।
वर्गों की कुल संख्या $n^2 = 6^2 = 36$ है।
चूंकि शतरंज बोर्ड में काले और सफेद वर्गों की संख्या समान होती है,इसलिए सफेद वर्गों की संख्या $\frac{36}{2} = 18$ है।

(B) हम जानते हैं कि $k \times k! = (k+1-1) \times k! = (k+1)! - k!$ होता है।
$k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$\sum_{k=1}^{n} k \times k! = \sum_{k=1}^{n} ((k+1)! - k!) = (2! - 1!) + (3! - 2!) + \ldots + ((n+1)! - n!) = (n+1)! - 1!$।
दिया गया है कि योग $11! - 1$ है,इसलिए $(n+1)! - 1 = 11! - 1$,जिसका अर्थ है कि $n+1 = 11$,अर्थात $n = 10$।
${}^n C_r$ का अधिकतम मान $r = n/2$ पर प्राप्त होता है जब $n$ सम संख्या हो।
$n = 10$ के लिए,अधिकतम मान ${}^{10} C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ है।

(A) दो बच्चों के बीच एक मैच $30$ बच्चों में से $2$ बच्चों की जोड़ी चुनने के बराबर है।
चूंकि मैच में चयन का क्रम मायने नहीं रखता,इसलिए हम संचय (combination) के सूत्र का उपयोग करते हैं।
$30$ में से $2$ बच्चों को चुनने के तरीकों की संख्या $^{30}C_2 = \frac{30 \times 29}{2 \times 1} = 435$ मैच है।

(C) शतरंज बोर्ड एक $8 \times 8$ ग्रिड है,जिसमें $9$ क्षैतिज रेखाएँ और $9$ ऊर्ध्वाधर रेखाएँ होती हैं।
एक आयत बनाने के लिए,हमें $9$ में से $2$ क्षैतिज रेखाएँ और $9$ में से $2$ ऊर्ध्वाधर रेखाएँ चुननी होंगी।
$2$ क्षैतिज रेखाओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^9C_2$ है।
$2$ ऊर्ध्वाधर रेखाओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^9C_2$ है।
इसलिए,आयतों की कुल संख्या $^9C_2 \times ^9C_2$ है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(B) हम सर्वसमिका ${}^n C_r + {}^n C_{r-1} = {}^{n+1} C_r$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक ${}^n C_{r+1} + {}^n C_{r-1} + 2{}^n C_r$ है।
इसे $({}^n C_{r+1} + {}^n C_r) + ({}^n C_r + {}^n C_{r-1})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका लागू करने पर,हमें ${}^{n+1} C_{r+1} + {}^{n+1} C_r$ प्राप्त होता है।
पुनः सर्वसमिका लागू करने पर,हमें ${}^{n+2} C_{r+1}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) मान लीजिए शतरंज बोर्ड का आकार $n \times n$ है। $n \times n$ ग्रिड पर आयतों की संख्या $\binom{n+1}{2} \times \binom{n+1}{2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = 1296 = (36)^2$.
अतः,$\frac{n(n+1)}{2} = 36$,जिसका अर्थ है $n(n+1) = 72$,इसलिए $n = 8$.
$n \times n$ बोर्ड पर वर्गों की कुल संख्या $\sum_{k=1}^{n} k^2$ है।
$n = 8$ के लिए,योग $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2$ है।
सूत्र $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{8 \times 9 \times 17}{6} = 4 \times 3 \times 17 = 204$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है कि एक लॉक में $3$ रिंग हैं और प्रत्येक रिंग में $8$ अंक हैं।
प्रत्येक रिंग को $8$ अंकों में से किसी भी एक पर स्वतंत्र रूप से सेट किया जा सकता है।
इसलिए,$3$ रिंगों को घुमाने के कुल अलग-अलग तरीकों की संख्या $8 \times 8 \times 8 = 8^3$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) चूंकि समिति में हमेशा एक विशिष्ट सदस्य शामिल होना चाहिए,इसलिए हमने $6$ में से $1$ स्थान पहले ही भर लिया है।
अतः,हमें शेष $10 - 1 = 9$ सदस्यों में से $6 - 1 = 5$ सदस्यों का चयन करना है।
$9$ में से $5$ सदस्यों को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{9}C_{5}$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) दिए गए अक्षर वर्णानुक्रम में $A, H, L, R, U$ हैं।
कुल अक्षरों की संख्या $5$ है।
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$ शब्द।
$H$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$ शब्द।
$L$ से शुरू होने वाले शब्द: $4! = 24$ शब्द।
अब,$R$ से शुरू होने वाले शब्द:
$RA$ से शुरू होने वाले शब्द:
$RAH...$: $RAHLU, RAHUL$ ($2$ शब्द)।
अतः,$RAHUL$ का रैंक $24 + 24 + 24 + 2 = 74$ है।
इस प्रकार,$RAHUL$ का रैंक $74$ है।

(D) सबसे पहले,$6$ लाल गेंदों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करें। $6$ लाल गेंदों को व्यवस्थित करने के तरीके $6!$ हैं।
अब,$6$ काली गेंदों को रखने के लिए $7$ स्थान उपलब्ध हैं ताकि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ न हों: $\_ R \_ R \_ R \_ R \_ R \_ R \_$.
अतः,$6$ काली गेंदों को व्यवस्थित करने के तरीके $\binom{7}{6} \times 6!$ हैं।
इसलिए,आवश्यक व्यवस्थाओं की कुल संख्या $= 6! \times 7 \times 6! = 7 \times 6! \times 6!$.

(C) "$ASSASSINATION$" शब्द में $13$ अक्षर हैं: $A(3), S(4), I(2), N(2), T(1)$.
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= \frac{13!}{3!4!2!2!}$.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो $A$ एक साथ न आएं,शेष $10$ अक्षरों $(S, S, S, S, I, I, N, N, T)$ को पहले व्यवस्थित करें.
इन $10$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{10!}{4!2!2!}$ हैं.
ये $10$ अक्षर $11$ रिक्त स्थान (सिरों सहित) बनाते हैं जहाँ $3$ $A$ को रखा जा सकता है.
$11$ में से $3$ रिक्त स्थान चुनने के तरीके $^{11}C_3 = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$ हैं.
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{\frac{10!}{4!2!2!} \times ^{11}C_3}{\frac{13!}{3!4!2!2!}} = \frac{10! \times 165 \times 3!}{13!} = \frac{165 \times 6}{13 \times 12 \times 11} = \frac{15}{26}$.

(C) मान लीजिए समिति में पुरुषों की संख्या $m$ और महिलाओं की संख्या $w$ है।
हमें दिया गया है कि $w = 2m$ और $m \ge 2$ है।
चूंकि $4$ पुरुष और $6$ महिलाएं उपलब्ध हैं,इसलिए $m \le 4$ और $w \le 6$ है।
$w = 2m$ को $w \le 6$ में रखने पर,$2m \le 6$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m \le 3$।
अतः,$m$ के संभावित मान $2$ और $3$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $m = 2$,तो $w = 2(2) = 4$। तरीकों की संख्या = $^4C_2 \times ^6C_4 = 6 \times 15 = 90$।
स्थिति $2$: यदि $m = 3$,तो $w = 2(3) = 6$। तरीकों की संख्या = $^4C_3 \times ^6C_6 = 4 \times 1 = 4$।
कुल तरीकों की संख्या = $90 + 4 = 94$।

(A) हमें $5$ व्यंजनों और $5$ स्वरों में से $3$ व्यंजनों और $2$ स्वरों का उपयोग करके शब्द बनाने हैं।
सबसे पहले,हम व्यंजनों और स्वरों का चयन करेंगे:
$5$ में से $3$ व्यंजनों को चुनने के तरीके ${}^5C_3 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
$5$ में से $2$ स्वरों को चुनने के तरीके ${}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
अक्षरों को चुनने के कुल तरीके = $10 \times 10 = 100$ हैं।
अब,इन $5$ चयनित अक्षरों को आपस में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ हैं।
कुल बनने वाले शब्दों की संख्या = $100 \times 120 = 12000$ है।

(C) "$ATTAIN$" शब्द में $6$ अक्षर हैं: $A, T, T, A, I, N$।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि $T$ एक साथ हों,हम $(TT)$ के जोड़े को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,व्यवस्थित किए जाने वाले अक्षर $(TT), A, A, I, N$ हैं।
यह हमें कुल $5$ इकाइयाँ देता है।
इन $5$ इकाइयों में,अक्षर $A$,$2$ बार दोहराया गया है।
इन $5$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ है।
चूंकि दोनों $T$ समान हैं,इसलिए उनके ब्लॉक के भीतर उन्हें व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका है।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $60 \times 1 = 60$ है।

(B) $8$-ओर नाव के लिए स्ट्रोक साइड पर $4$ और बो साइड पर $4$ पुरुषों की आवश्यकता होती है।
कुल $12$ पुरुषों में से $3$ केवल स्ट्रोक साइड के लिए हैं और $9$ दोनों तरफ काम कर सकते हैं।
चयन और व्यवस्था के कुल तरीके $= { }^{9}C_{4} \times { }^{8}C_{4} \times 4! \times 4!$.
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(B) हम जानते हैं कि $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n(1+x)^{n-1} = \sum_{r=1}^n r \cdot C_r x^{r-1}$।
$x=1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n(1+1)^{n-1} = \sum_{r=1}^n r \cdot C_r$।
अतः,$\sum_{r=1}^n r \cdot C_r = n 2^{n-1}$।

(D) हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार इस प्रकार है:
$(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + C_3 x^3 + \ldots + C_n x^n$
$x=1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2^n = C_0 + C_1 + C_2 + C_3 + \ldots + C_n$ $(i)$
$x=-1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0 = C_0 - C_1 + C_2 - C_3 + \ldots + (-1)^n C_n$ (ii)
यदि $n$ सम है,तो $(-1)^n = 1$,इसलिए समीकरण (ii) इस प्रकार हो जाता है:
$0 = C_0 - C_1 + C_2 - C_3 + \ldots + C_n$ (iii)
$(i)$ और (iii) को जोड़ने पर:
$2^n + 0 = 2(C_0 + C_2 + C_4 + \ldots + C_n)$
$\Rightarrow C_0 + C_2 + C_4 + \ldots + C_n = 2^{n-1}$
$(i)$ में से (iii) को घटाने पर:
$2^n - 0 = 2(C_1 + C_3 + C_5 + \ldots + C_{n-1})$
$\Rightarrow C_1 + C_3 + C_5 + \ldots + C_{n-1} = 2^{n-1}$
अतः,दोनों कथन सही हैं।

(C) $n!$ में अंतिम शून्यों की संख्या $n!$ के अभाज्य गुणनखंडन में $5$ के घातांक द्वारा निर्धारित की जाती है,क्योंकि $2$ का घातांक हमेशा $5$ के घातांक से अधिक या उसके बराबर होता है।
$n!$ में $5$ का घातांक लेजेंड्रे के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $E_5(n!) = \lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{25} \rfloor + \lfloor \frac{n}{125} \rfloor + \dots = 13$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$n = 57$ के लिए: $E_5(57!) = \lfloor \frac{57}{5} \rfloor + \lfloor \frac{57}{25} \rfloor = 11 + 2 = 13$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) मान लीजिए कि बहुभुज की भुजाओं की संख्या $n$ है। $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-3)}{2}$ है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $54$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 54$
$n(n-3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
$(n-12)(n+9) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 12$ है।
अतः,बहुभुज में $12$ भुजाएँ हैं।

(B) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या $\frac{n(n-3)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि विकर्णों की संख्या $170$ है,इसलिए:
$\frac{n(n-3)}{2} = 170$
$n(n-3) = 340$
$n^2 - 3n - 340 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$(n - 20)(n + 17) = 0$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 20$ है।
नियमित बहुभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप $\frac{(n-2) \pi}{n}$ होता है।
$n = 20$ के लिए,आंतरिक कोण $\frac{(20-2) \pi}{20} = \frac{18 \pi}{20} = \frac{9 \pi}{10}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) मान लीजिए समतल पर $n$ बिंदु हैं। $n$ बिंदुओं को युग्मों में जोड़ने पर बनने वाले रेखाखंडों की संख्या ${}^nC_2$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि कुल रेखाखंडों की संख्या $15$ है,इसलिए:
${}^nC_2 = 15$
$\frac{n(n - 1)}{2} = 15$
$n(n - 1) = 30$
$n^2 - n - 30 = 0$
$(n - 6)(n + 5) = 0$
चूंकि बिंदुओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 6$।

(C) एक बहुभुज $10$ बिंदुओं में से $n$ बिंदुओं को चुनकर बनता है,जहाँ $n \ge 3$ है।
$10$ में से $n$ बिंदुओं को चुनने के तरीकों की संख्या $\binom{10}{n}$ है।
चूँकि वृत्त पर किन्हीं $n$ बिंदुओं $(n \ge 3)$ का चयन एक अद्वितीय उत्तल बहुभुज बनाता है,इसलिए ऐसे बहुभुजों की कुल संख्या $n = 3, 4, \dots, 10$ के लिए संयोजनों का योग है।
कुल बहुभुज = $\binom{10}{3} + \binom{10}{4} + \binom{10}{5} + \binom{10}{6} + \binom{10}{7} + \binom{10}{8} + \binom{10}{9} + \binom{10}{10}$.
हम जानते हैं कि $\sum_{n=0}^{10} \binom{10}{n} = 2^{10} = 1024$.
अतः,$\sum_{n=3}^{10} \binom{10}{n} = 2^{10} - \binom{10}{0} - \binom{10}{1} - \binom{10}{2}$.
$= 1024 - 1 - 10 - 45 = 968$.

(B) दिया गया आव्यूह समीकरण $AX = D$ है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $D = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ है।
हल की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम आव्यूह $A$ का सारणिक $\Delta = |A|$ ज्ञात करते हैं।
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$
$\Delta = 1 \cdot (2(1) - (-1)(1)) = 1 \cdot (2 + 1) = 3$.
चूँकि $\Delta = 3 \neq 0$ है,इसलिए आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय (non-singular) है।
अतः,निकाय $AX = D$ का एक अद्वितीय हल है जो $X = A^{-1}D$ द्वारा प्राप्त होता है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{x-3}{2}\right) - \log_{10}(4-x)$ है।
लघुगणकीय फलन $\log_{10}(4-x)$ के परिभाषित होने के लिए,इसका तर्क (argument) धनात्मक होना चाहिए:
$4 - x > 0 \implies x < 4$.
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\cos^{-1}\left(\frac{x-3}{2}\right)$ के परिभाषित होने के लिए,इसका तर्क $[-1, 1]$ अंतराल में होना चाहिए:
$-1 \leq \frac{x-3}{2} \leq 1$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $-2 \leq x - 3 \leq 2$ प्राप्त होता है।
सभी पदों में $3$ जोड़ने पर,$1 \leq x \leq 5$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ का प्रांत दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन (intersection) है:
$x < 4$ और $1 \leq x \leq 5$.
अतः,प्रांत $x \in [1, 4)$ है।

(A) दिया गया है कि $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
हम जानते हैं कि $\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$.
इसलिए,$\cos^{-1}(\sin \theta) = \cos^{-1} \left[ \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) \right]$.
चूंकि $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$,इसलिए $-\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$,और इस प्रकार $\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) \in [0, \pi]$.
$\cos^{-1} x$ के मुख्य मान शाखा का परिसर $[0, \pi]$ है।
चूंकि $\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) \in [0, \pi]$,इसलिए $\cos^{-1} \left[ \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) \right] = \frac{\pi}{2} - \theta$ होगा।

(B) दिया गया है कि,$\theta = \cot^{-1}(7) + \cot^{-1}(8) + \cot^{-1}(18)$.
गुणधर्म $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ ($x > 0$ के लिए) का उपयोग करने पर:
$\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{7}) + \tan^{-1}(\frac{1}{8}) + \tan^{-1}(\frac{1}{18})$.
पहले दो पदों के लिए सूत्र $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}(\frac{1}{7}) + \tan^{-1}(\frac{1}{8}) = \tan^{-1}(\frac{\frac{1}{7} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{7 \times 8}}) = \tan^{-1}(\frac{\frac{15}{56}}{\frac{55}{56}}) = \tan^{-1}(\frac{15}{55}) = \tan^{-1}(\frac{3}{11})$.
अब,तीसरा पद जोड़ने पर:
$\theta = \tan^{-1}(\frac{3}{11}) + \tan^{-1}(\frac{1}{18}) = \tan^{-1}(\frac{\frac{3}{11} + \frac{1}{18}}{1 - \frac{3}{11 \times 18}}) = \tan^{-1}(\frac{\frac{54+11}{198}}{\frac{198-3}{198}}) = \tan^{-1}(\frac{65}{195}) = \tan^{-1}(\frac{1}{3})$.
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{3}$,जिसका अर्थ है कि $\cot \theta = 3$.

(D) हम जानते हैं कि $\operatorname{Tan}^{-1} x - \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$.
श्रेणी के प्रत्येक पद को $\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)} \right) = \operatorname{Tan}^{-1}(k+1) - \operatorname{Tan}^{-1}(k)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S = \sum_{k=1}^{n} (\operatorname{Tan}^{-1}(k+1) - \operatorname{Tan}^{-1}(k))$
$S = (\operatorname{Tan}^{-1} 2 - \operatorname{Tan}^{-1} 1) + (\operatorname{Tan}^{-1} 3 - \operatorname{Tan}^{-1} 2) + \cdots + (\operatorname{Tan}^{-1}(n+1) - \operatorname{Tan}^{-1} n)$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे:
$S = \operatorname{Tan}^{-1}(n+1) - \operatorname{Tan}^{-1}(1)$
सूत्र $\operatorname{Tan}^{-1} x - \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करने पर:
$S = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{n}{1+n+1} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{n}{n+2} \right)$.
इसकी तुलना $\operatorname{Tan}^{-1} \theta$ से करने पर,हमें $\theta = \frac{n}{n+2}$ प्राप्त होता है।

(B) फलन $f(x) = ([x]^2 - [x] - 2)^{-1/2}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए:
$[x]^2 - [x] - 2 > 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$([x] - 2)([x] + 1) > 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब $[x] < -1$ या $[x] > 2$ हो।
स्थिति $1$: यदि $[x] < -1$,तो $x < -1$।
स्थिति $2$: यदि $[x] > 2$,तो $[x] \geq 3$,जिसका अर्थ है $x \geq 3$।
इन दोनों को मिलाने पर,प्रांत $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$ प्राप्त होता है।
इसे $R - [-1, 3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) फलन $f(x) = \frac{\sin \pi[x]}{1+[x]} + \frac{x}{2+3x}$ है।
प्रथम पद के लिए,हर $1+[x] \neq 0$,जिसका अर्थ है $[x] \neq -1$। चूँकि $x \in [-1, 0)$ के लिए $[x] = -1$ होता है,इसलिए हमें इस अंतराल को प्रांत से बाहर करना होगा।
दूसरे पद के लिए,हर $2+3x \neq 0$,जिसका अर्थ है $x \neq -\frac{2}{3}$। चूँकि $-\frac{2}{3} \in [-1, 0)$,यह पहले से ही बाहर है।
अतः,प्रांत $D(f) = R - [-1, 0)$ है।
इस प्रकार,विकल्प $(d)$ सही है।

(B) फलन के प्रांत का एक बिंदु जहाँ फलन की सीमा का अस्तित्व न हो या वह फलन के मान के बराबर न हो,और उस बिंदु पर फलन को पुनः परिभाषित करके उसे संतत नहीं बनाया जा सकता,तो उसे न हटाने योग्य असंततता कहा जाता है।
इसे आवश्यक या जंप असंततता के रूप में भी जाना जाता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{|x|-x}$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$|x| - x \geq 0$
$|x| \geq x$
हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,निरपेक्ष मान $|x|$ हमेशा $x$ से बड़ा या उसके बराबर होता है (अर्थात,$|x| \geq x$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य है)।
यदि $x \geq 0$ है,तो $|x| = x$,इसलिए $x - x = 0 \geq 0$।
यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$,इसलिए $-x - x = -2x > 0$ (चूंकि $x$ ऋणात्मक है)।
अतः,यह असमिका सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य है।
इसलिए,प्रांत $(-\infty, \infty)$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \sin \left(\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}\right)$ है।
प्रांत के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए: $x^2 - 1 > 0$,जिसका अर्थ है $x^2 > 1$,अतः $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$,या $x \in R - [-1, 1]$।
हर शून्य नहीं होना चाहिए: $|x| \sqrt{x^2 - 1} \neq 0$,जो $R - [-1, 1]$ के सभी $x$ के लिए सत्य है।
अतः,प्रांत $R - [-1, 1]$ है।
जैसे-जैसे $x$ अपने प्रांत में बदलता है,तर्क $\theta = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}$ का मान $(0, \infty)$ में कुछ भी हो सकता है,इसलिए $\sin(\theta)$ फलन $-1$ और $1$ के बीच दोलन करेगा।
अतः,परिसर $[-1, 1]$ है।

(B) माना $y = \frac{x+2}{2x^2+3x+6}$.
चूंकि $x \in \mathbb{R}$,हमारे पास $2yx^2 + 3xy + 6y = x + 2$ है,जो $2yx^2 + (3y-1)x + (6y-2) = 0$ में सरल हो जाता है।
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (3y-1)^2 - 4(2y)(6y-2) \geq 0$.
$9y^2 - 6y + 1 - 48y^2 + 16y \geq 0$.
$-39y^2 + 10y + 1 \geq 0$.
$39y^2 - 10y - 1 \leq 0$.
गुणनखंड करने पर: $(13y+1)(3y-1) \leq 0$.
इससे परिसर $y \in [-\frac{1}{13}, \frac{1}{3}]$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = -\frac{1}{13}$ और $b = \frac{1}{3}$ है।
चूंकि $a < 0$ और $b > 0$,सही विकल्प $B$ है।

(B) फलन को $f(x) = \operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^x + e^{-x} \geq 2$ होता है,जहाँ न्यूनतम मान $2$ पर $x = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $0 < \frac{2}{e^x + e^{-x}} \leq \frac{2}{2} = 1$ है।
अतः,फलन का अधिकतम मान $1$ है और जैसे-जैसे $x \to \pm \infty$ होता है,यह $0$ के करीब पहुँचता है।
इसलिए,फलन का परिसर $(0, 1]$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x^6}{x^6+2020}$ है।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $x^6 \ge 0$ है,$f(x)$ का न्यूनतम मान $x = 0$ पर प्राप्त होता है,जो $f(0) = \frac{0}{0+2020} = 0$ है।
जैसे $x \rightarrow \pm \infty$,$f(x) = \frac{1}{1 + \frac{2020}{x^6}} \rightarrow \frac{1}{1+0} = 1$ होता है।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $x^6 < x^6 + 2020$ है,इसलिए भिन्न का मान हमेशा $1$ से कम रहता है।
अतः,$f$ का परिसर $[0, 1)$ है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) माना $y = x^2 + \frac{1}{x^2+1}$.
माना $t = x^2$. चूँकि $x \in \mathbb{R}$,इसलिए $t \geq 0$.
तब $y = t + \frac{1}{t+1} = (t+1) + \frac{1}{t+1} - 1$.
चूँकि $t \geq 0$,इसलिए $t+1 \geq 1$.
$t+1$ और $\frac{1}{t+1}$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(t+1) + \frac{1}{t+1}}{2} \geq \sqrt{(t+1) \cdot \frac{1}{t+1}} = 1$.
अतः,$(t+1) + \frac{1}{t+1} \geq 2$.
इसलिए,$y = (t+1) + \frac{1}{t+1} - 1 \geq 2 - 1 = 1$.
न्यूनतम मान $t=0$ (अर्थात $x=0$) पर प्राप्त होता है,जहाँ $f(0) = 0 + \frac{1}{0+1} = 1$.
अतः,फलन का परिसर $[1, \infty)$ है.

(B) एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरम (Extreme Value Theorem) के अनुसार,यदि एक फलन $f$ एक बंद और परिबद्ध अंतराल $[a, b]$ पर सतत है,तो $f$ उस अंतराल पर न्यूनतम और अधिकतम दोनों मान प्राप्त करता है।
अतः,फलन $f$ का परिसर बंद अंतराल $[\text{न्यूनतम } f, \text{अधिकतम } f]$ होता है।

(D) दो फलनों $f$ और $g$ को समान तब कहा जाता है यदि और केवल यदि:
$(i)$ $f$ का प्रांत $g$ के प्रांत के बराबर हो।
(ii) $f$ का सह-प्रांत $g$ के सह-प्रांत के बराबर हो (आमतौर पर निहित)।
(iii) उनके उभयनिष्ठ प्रांत में प्रत्येक $x$ के लिए $f(x) = g(x)$ हो।
चूँकि परिभाषा के अनुसार प्रांत समान होने चाहिए और उस प्रांत के सभी $x$ के लिए फलन के मान समान होने चाहिए,इसलिए सूचीबद्ध तीनों शर्तें फलनों की समानता के लिए आवश्यक हैं।

(C) दिया गया फलन $f(x) = 3 \sinh(x) - 2 \cosh(x)$ है,जहाँ $x \in R$ है।
परिभाषाओं $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ और $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 3 \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right) - 2 \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right)$
$f(x) = \frac{3e^x - 3e^{-x} - 2e^x - 2e^{-x}}{2} = \frac{e^x - 5e^{-x}}{2}$
अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} e^x - \frac{5}{2} e^{-x} \right) = \frac{1}{2} e^x + \frac{5}{2} e^{-x}$
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $e^x > 0$ और $e^{-x} > 0$ होता है,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
अतः,फलन $f$ $R$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(C) दिया गया फलन $f : R \rightarrow R$,$f(x) = x - [x] + 3$ द्वारा परिभाषित है।
हम जानते हैं कि भिन्नात्मक भाग फलन को $\{x\} = x - [x]$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस मान को $f(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = \{x\} + 3$ प्राप्त होता है।
भिन्नात्मक भाग फलन $\{x\}$ एक आवर्ती फलन है जिसका मूल आवर्तकाल $1$ है।
चूंकि किसी आवर्ती फलन में एक स्थिरांक जोड़ने से उसके आवर्तकाल में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए $f(x) = \{x\} + 3$ भी $1$ आवर्तकाल वाला एक आवर्ती फलन है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है,$(g \circ f)^{-1}(t) = t-2$।
दोनों पक्षों का प्रतिलोम लेने पर,हमें $(g \circ f)(t) = (t-2)^{-1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h(t) = t-2$ का प्रतिलोम $h^{-1}(t) = t+2$ है,इसलिए $(g \circ f)(t) = t+2$ होगा।
इसका अर्थ है कि $g(f(t)) = t+2$।
$f(t) = 3t-2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g(3t-2) = t+2$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $u = 3t-2$ है। तो $3t = u+2$,जिसका अर्थ है कि $t = \frac{u+2}{3}$।
इसे $g(u)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$g(u) = \frac{u+2}{3} + 2 = \frac{u+2+6}{3} = \frac{u+8}{3}$।
$u$ को $t$ से बदलने पर,हमें $g(t) = \frac{t+8}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$f(x) = (2020 - x^{2019})^{1 / 2019}$.
सबसे पहले,हम $f \circ f(x) = f(f(x))$ ज्ञात करते हैं।
$f(f(x)) = (2020 - (f(x))^{2019})^{1 / 2019}$.
$f(x)$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(f(x)) = (2020 - ((2020 - x^{2019})^{1 / 2019})^{2019})^{1 / 2019}$.
$f(f(x)) = (2020 - (2020 - x^{2019}))^{1 / 2019} = (x^{2019})^{1 / 2019} = x$.
चूंकि $f \circ f(x) = x$,फलन $f$ अपना स्वयं का प्रतिलोम है।
इसलिए,$(f \circ f \circ f \circ f)(x) = (f \circ f)(f \circ f(x)) = f \circ f(x) = x$.
अतः,$(f \circ f \circ f \circ f) \left( \frac{2019}{2020} \right) = \frac{2019}{2020}$.

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y)$ है,जहाँ $x, y \in Z$ है।
यह पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ पर कॉची का फलन समीकरण है।
इसका सामान्य हल $f(x) = kx$ है,जहाँ $k \in Z$ एक स्थिरांक है।
$f$ के बाइजेक्शन होने के लिए,इसे एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों होना चाहिए।
यदि $f(x) = kx$ है,तो $f$ एकैकी है यदि $kx_1 = kx_2 \implies x_1 = x_2$ हो,जो $k \neq 0$ के लिए सत्य है।
$f$ के आच्छादक होने के लिए,प्रत्येक $y \in Z$ के लिए एक ऐसा $x \in Z$ होना चाहिए कि $f(x) = y$,अर्थात $kx = y$ हो।
इसका अर्थ है $x = y/k$। प्रत्येक $y \in Z$ के लिए $x$ का पूर्णांक होने हेतु $k$ को $1$ का विभाजक होना चाहिए।
अतः,$k = 1$ या $k = -1$ है।
इसलिए,संभावित फलन $f(x) = x$ और $f(x) = -x$ हैं।
इस प्रकार,कुल $2$ बाइजेक्शन संभव हैं।

(D) दिया गया है कि $x \in [1, \infty)$ के लिए $f(x)=e^x$ और $g(x)=\ln(x)$ है।
हम संयुक्त फलन $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ को परिभाषित करते हैं।
फलनों का मान रखने पर,हमें $(f \circ g)(x) = e^{\ln(x)}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x > 0$ के लिए $e^{\ln(x)} = x$ होता है,इसलिए $x \in [1, \infty)$ के लिए $(f \circ g)(x) = x$ प्राप्त होता है।
प्रांत $[1, \infty)$ पर परिभाषित फलन $h(x) = x$ एक तत्समक फलन है।
एक तत्समक फलन अपने प्रांत और परिसर पर एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों होता है।
इसलिए,यह फलन एकैकी आच्छादक (bijective) है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) एक परिमित समुच्चय $S$ के लिए,फलन $f: S \rightarrow S$ एक परिमित समुच्चय से स्वयं पर एक प्रतिचित्रण है।
यदि $f$ एकैकी है,तो इसे आच्छादक भी होना चाहिए (परिमित समुच्चयों के लिए पिजनहोल सिद्धांत के अनुसार),और इसके विपरीत भी सत्य है।
चूंकि $f$ एक गैर-तत्समक फलन है,यह तत्समक के अलावा कोई क्रमचय (एकैकी और आच्छादक) हो सकता है,या यह न तो एकैकी हो सकता है और न ही आच्छादक।
चूंकि प्रश्न में $f$ के गैर-तत्समक होने के अलावा कोई अन्य गुण नहीं दिए गए हैं,इसलिए इसका विशिष्ट प्रकार निर्धारित करना असंभव है।
अतः,यह निष्कर्ष निकालने के लिए आंकड़े अपर्याप्त हैं कि क्या यह एकैकी,आच्छादक,एकैकी और आच्छादक है या इनमें से कोई नहीं।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(D) फलन $f: N \times N \rightarrow N$ को $f(m, n) = 2^{m-1}(2n-1)$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
एकैकी की जाँच के लिए: मान लीजिए $f(m_1, n_1) = f(m_2, n_2)$ है।
तब $2^{m_1-1}(2n_1-1) = 2^{m_2-1}(2n_2-1)$ होगा।
चूँकि किसी भी प्राकृतिक संख्या $k$ को अद्वितीय रूप से $2^{m-1}(2n-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $2n-1$ संख्या $k$ का विषम भाग है और $2^{m-1}$ संख्या $k$ को विभाजित करने वाली $2$ की उच्चतम घात है,इसलिए $m_1-1 = m_2-1$ और $2n_1-1 = 2n_2-1$ होगा।
इसका अर्थ है $m_1 = m_2$ और $n_1 = n_2$। अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक की जाँच के लिए: किसी भी $k \in N$ के लिए,यदि $k$ विषम है,तो $k = 2^{1-1}(2n-1)$ जहाँ $m=1$ है। यदि $k$ सम है,तो $k = 2^p \cdot q$ जहाँ $q$ विषम है,इसलिए $m-1 = p$ और $2n-1 = q$ है।
चूँकि प्रत्येक $k \in N$ के लिए इस रूप में एक अद्वितीय निरूपण है,इसलिए $f$ आच्छादक है।
अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(D) माना $f(x) = \frac{e^{|x|} - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} + \cos^3\left(\frac{x}{2}\right)$.
जब $x \ge 0$,तब $|x| = x$,इसलिए $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} + \cos^3\left(\frac{x}{2}\right) = \tanh(x) + \cos^3\left(\frac{x}{2}\right)$.
जब $x < 0$,तब $|x| = -x$,इसलिए $f(x) = \frac{e^{-x} - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} + \cos^3\left(\frac{x}{2}\right) = 0 + \cos^3\left(\frac{x}{2}\right) = \cos^3\left(\frac{x}{2}\right)$.
चूंकि $f(x)$,$y$-अक्ष के सापेक्ष सममित नहीं है $(f(x) \neq f(-x))$,इसलिए यह एक सम फलन नहीं है.
चूंकि $f(x)$,मूलबिंदु के सापेक्ष सममित नहीं है $(f(-x) \neq -f(x))$,इसलिए यह एक विषम फलन नहीं है.
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to 1 + 0 = 1$. जैसे $x \to -\infty$,$f(x) = \cos^3(x/2)$,जो $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है.
चूंकि फलन एकदिष्ट नहीं है और इसका परिसर $R$ नहीं है,इसलिए यह आच्छादक नहीं है.
चूंकि यह आच्छादक नहीं है,इसलिए यह बायजेक्टिव नहीं हो सकता. अतः,फलन बायजेक्टिव नहीं है.

(C) $n$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ से $m$ अवयवों वाले समुच्चय $B$ तक आच्छादक फलनों की संख्या $m^n - \binom{m}{1}(m-1)^n + \binom{m}{2}(m-2)^n - \ldots$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$m = 2$ और $n = n$ है। आच्छादक फलनों की संख्या $2^n - \binom{2}{1}(2-1)^n = 2^n - 2$ है।
दिया गया है कि $2^n - 2 = 62$,इसलिए $2^n = 64$,जिसका अर्थ है कि $n = 6$ है।
$A$ के ठीक तीन अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या $\binom{n}{3} = \binom{6}{3}$ द्वारा दी जाती है।
इसकी गणना करने पर,$\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि दो वक्र $y_1 = 4x^2+2x-8$ और $y_2 = x^3-x+13$ हैं।
वक्रों के एक-दूसरे को स्पर्श करने के लिए,उन्हें एक उभयनिष्ठ बिंदु $(x, y)$ साझा करना चाहिए और उस बिंदु पर समान ढाल $\frac{dy}{dx}$ होनी चाहिए।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{dy_1}{dx} = 8x+2$
$\frac{dy_2}{dx} = 3x^2-1$
ढालों की तुलना करने पर:
$8x+2 = 3x^2-1$
$3x^2-8x-3 = 0$
$(3x+1)(x-3) = 0$
इससे $x = 3$ या $x = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,इन $x$-मानों के लिए $y$-निर्देशांक की जाँच करें:
$x = 3$ के लिए:
$y_1 = 4(3)^2 + 2(3) - 8 = 34$
$y_2 = (3)^3 - 3 + 13 = 37$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $(3,37)$ है।

(C) फलन $f(x) = |x| + \frac{|x|}{x}$ के रूप में परिभाषित है।
$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ और दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$x < 0$ के लिए,$|x| = -x$,इसलिए $f(x) = -x + \frac{-x}{x} = -x - 1$।
$\text{LHL} = \lim_{x \rightarrow 0^-} (-x - 1) = -1$।
$x > 0$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $f(x) = x + \frac{x}{x} = x + 1$।
$\text{RHL} = \lim_{x \rightarrow 0^+} (x + 1) = 1$।
चूँकि $\text{LHL} \neq \text{RHL}$,फलन $x = 0$ पर असंतत है।
ध्यान दें कि $|x|$,$x = 0$ पर संतत है,लेकिन $\frac{|x|}{x}$ (सिग्नम फलन) $x = 0$ पर असंतत है।
इसलिए,फलन मूल बिंदु पर असंतत है क्योंकि $\frac{|x|}{x}$ वहाँ असंतत है।
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2020^x}{2020^x + \sqrt{2020}}$.
ध्यान दें कि $f(1-x) = \frac{2020^{1-x}}{2020^{1-x} + \sqrt{2020}} = \frac{2020}{2020 + \sqrt{2020} \cdot 2020^x} = \frac{\sqrt{2020}}{\sqrt{2020} + 2020^x}$.
अतः,$f(x) + f(1-x) = \frac{2020^x + \sqrt{2020}}{2020^x + \sqrt{2020}} = 1$.
हमें $S = \sum_{r=1}^{4039} 2 f\left(\frac{r}{4040}\right) = 2 \sum_{r=1}^{4039} f\left(\frac{r}{4040}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
पदों $f\left(\frac{r}{4040}\right)$ और $f\left(\frac{4040-r}{4040}\right)$ को जोड़ने पर,हमें $f\left(\frac{r}{4040}\right) + f\left(1 - \frac{r}{4040}\right) = 1$ प्राप्त होता है।
$r=1$ से $2019$ तक ऐसी $2019$ जोड़ियाँ हैं,और मध्य पद $f\left(\frac{2020}{4040}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)$ है।
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{2020}}{\sqrt{2020} + \sqrt{2020}} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\sum_{r=1}^{4039} f\left(\frac{r}{4040}\right) = 2019 \times 1 + \frac{1}{2} = 2019.5$.
अतः,$S = 2 \times 2019.5 = 4039$.

(A) दिया गया समीकरण: $2 f(\sin x) + f(\cos x) = x$ ...$(i)$
$x$ को $\frac{\pi}{2} - x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 f(\cos x) + f(\sin x) = \frac{\pi}{2} - x$ ...(ii)
$f(\cos x)$ को हटाने के लिए,समीकरण (ii) को $2$ से गुणा करने पर:
$4 f(\cos x) + 2 f(\sin x) = \pi - 2x$ ...(iii)
समीकरण (iii) में से $(i)$ को घटाने पर:
$4 f(\cos x) - f(\cos x) = \pi - 2x - x$
$3 f(\cos x) = \pi - 3x$
$f(\cos x) = \frac{\pi}{3} - x$
माना $t = \cos x$,तब $x = \cos^{-1} t$. इसे समीकरण में रखने पर:
$f(t) = \frac{\pi}{3} - \cos^{-1} t$
अतः,$f(x) = \frac{\pi}{3} - \cos^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = 0 - \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया फलन संबंध: $(f(x))^2 = f(x^2) + f(1)$ है।
हम समीकरण में $f(x) = x + \frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करके विकल्पों की जाँच करते हैं।
दाएँ पक्ष $(RHS)$ के लिए: $f(x^2) + f(1) = (x^2 + \frac{1}{x^2}) + (1 + \frac{1}{1}) = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$ है।
इसे $(x + \frac{1}{x})^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि $(f(x))^2 = (x + \frac{1}{x})^2$,इसलिए बायाँ पक्ष $(LHS)$ दाएँ पक्ष $(RHS)$ के बराबर है।
अतः,$f(x) = x + \frac{1}{x}$ सही उत्तर है।

(D) दिए गए फलन $f: N \times N \rightarrow N$ के लिए शर्तें:
$f(1,1) = 2$
$f(m+1, n) = f(m, n) + 2(m+n)$
$f(m, n+1) = f(m, n) + 2(m+n-1)$
$f(2,2)$ ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए पुनरावृत्ति संबंधों का उपयोग करेंगे:
सबसे पहले,$m=1, n=1$ लेकर पहले संबंध का उपयोग करके $f(2,1)$ ज्ञात करें:
$f(2,1) = f(1,1) + 2(1+1) = 2 + 2(2) = 2 + 4 = 6$
इसके बाद,$m=2, n=1$ लेकर दूसरे संबंध का उपयोग करके $f(2,2)$ ज्ञात करें:
$f(2,2) = f(2,1) + 2(2+1-1) = 6 + 2(2) = 6 + 4 = 10$
वैकल्पिक रूप से,दूसरे मार्ग का उपयोग करते हुए:
$f(1,2) = f(1,1) + 2(1+1-1) = 2 + 2(1) = 4$
$f(2,2) = f(1,2) + 2(1+2) = 4 + 2(3) = 4 + 6 = 10$
अतः,$f(2,2) = 10$.

(B) दिया गया है कि,$f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन है,इस प्रकार कि $|f(x)-f(y)| \leq 10|x-y|^{201}$ है।
दोनों पक्षों को $|x-y|$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x \neq y$):
$\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \leq 10|x-y|^{200}$.
जब $y \rightarrow x$ हो,तब सीमा (limit) लेने पर:
$\lim_{y \rightarrow x} \left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \right| \leq \lim_{y \rightarrow x} 10|x-y|^{200}$.
$|f'(x)| \leq 0$.
चूंकि निरपेक्ष मान कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|f'(x)| = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) = 0$ है।
अतः,$f(x) = C$ (एक अचर फलन है)।
चूंकि $f(x)$ एक अचर फलन है,इसलिए $f(2019) = f(2020) = f(2021) = f(2022) = C$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$f(2019) + f(2022) = C + C = 2C$.
$2f(2021) = 2C$.
इस प्रकार,$f(2019) + f(2022) = 2f(2021)$ सत्य है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) दी गई शर्तें $f(x+y) = f(x) + f(y)$ और $f(xy) = f(x)f(y)$ हैं।
$x, y \in \mathbb{Q}$ के लिए,इन समीकरणों के केवल दो ही हल हैं: तत्समक फलन $f(x) = x$ और शून्य फलन $f(x) = 0$।
$1$. यदि $f(1) = 0$ है,तो $f(x) = 0$ प्राप्त होता है।
$2$. यदि $f(1) \neq 0$ है,तो $f(1) = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $f(x) = x$ सिद्ध होता है।
अतः,ऐसे कुल $2$ फलन हैं।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(C) एक संबंध को दो समुच्चयों के कार्तीय गुणन $A \times B$ के उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है।
फलन,संबंध का एक विशिष्ट प्रकार है जहाँ प्रांत के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत में केवल एक ही प्रतिबिंब होता है।
इसलिए,प्रत्येक फलन एक संबंध है,लेकिन प्रत्येक संबंध एक फलन नहीं है।
अतः,कथन $(ii)$ सत्य है,जबकि $(i)$ और $(iii)$ असत्य हैं।

(D) दिया गया समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y)$ पूर्णांकों के समुच्चय $\mathbb{Z}$ पर परिभाषित कौशी का कार्यात्मक समीकरण है।
किसी भी $x \in \mathbb{Z}$ के लिए,हम लिख सकते हैं $f(nx) = nf(x)$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
विशेष रूप से,$x = 1$ के लिए,हमें $f(n) = f(n \cdot 1) = n \cdot f(1)$ प्राप्त होता है।
माना $f(1) = c$,जहाँ $c$ कोई भी पूर्णांक स्थिरांक है क्योंकि सह-प्रांत $\mathbb{Z}$ है।
इस प्रकार,किसी भी $c \in \mathbb{Z}$ के लिए $f(n) = cn$ होता है।
चूँकि पूर्णांक $c$ के लिए अनंत विकल्प हैं,इसलिए ऐसे अनंत फलन संभव हैं।

(A) दिया गया फलन:
$f(x) = \begin{cases} \frac{x-4}{|x-4|} + a, & x < 4 \\ a+b, & x=4 \\ \frac{x-4}{|x-4|} + b, & x > 4 \end{cases}$
$x < 4$ के लिए,$|x-4| = -(x-4)$,इसलिए $\frac{x-4}{|x-4|} = -1$. अतः,$f(x) = -1 + a$.
$x > 4$ के लिए,$|x-4| = (x-4)$,इसलिए $\frac{x-4}{|x-4|} = 1$. अतः,$f(x) = 1 + b$.
चूंकि फलन $x=4$ पर सतत है,इसलिए बायां सीमा $(LHL)$,दायां सीमा $(RHL)$ और फलन का मान $f(4)$ समान होने चाहिए:
$\text{LHL} = \lim_{x \to 4^-} f(x) = -1 + a$
$\text{RHL} = \lim_{x \to 4^+} f(x) = 1 + b$
$f(4) = a + b$
इन्हें बराबर करने पर: $-1 + a = a + b = 1 + b$.
$-1 + a = a + b$ से,हमें $b = -1$ प्राप्त होता है।
$a + b = 1 + b$ से,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a=1$ और $b=-1$।

(D) फलन $y = \sin^{-1}(\cos x)$ तब परिभाषित होता है जब $-1 \le \cos x \le 1$ हो। हालाँकि,$\sin^{-1} u$ का अवकलज $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ है,जो $u = \pm 1$ होने पर अपरिभाषित हो जाता है।
अतः,फलन $y = \sin^{-1}(\cos x)$ वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ $\cos x = 1$ या $\cos x = -1$ हो।
$\cos x = -1$ के लिए,$x = (2n+1)\pi$ जहाँ $n$ कोई भी पूर्णांक है। $n=0$ के लिए,$x = \pi$ है।
$\cos x = 1$ के लिए,$x = 2n\pi$ जहाँ $n$ कोई भी पूर्णांक है। $n=1$ के लिए $x = 2\pi$ और $n=-1$ के लिए $x = -2\pi$ है।
चूँकि फलन $x = \pi$,$x = 2\pi$ और $x = -2\pi$ पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए सभी दिए गए विकल्प सही हैं।

(D) फलन $f(x) = |\log_e |x||$ के रूप में परिभाषित है।
सबसे पहले,फलन के प्रांत (domain) पर विचार करें। फलन $x = 0$ पर अपरिभाषित है क्योंकि $\log_e 0$ अपरिभाषित है।
इसके बाद,उन बिंदुओं की जाँच करें जहाँ फलन अवकलनीय नहीं हो सकता है। फलन $f(x)$ में लघुगणक का मापांक (absolute value) शामिल है,जो तीक्ष्ण कोने (cusps) बनाता है जहाँ मापांक के अंदर का मान शून्य होता है।
$\log_e |x| = 0$ रखने पर,हमें $|x| = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$ या $x = -1$।
$x = 1$ और $x = -1$ पर,ग्राफ में तीक्ष्ण मोड़ हैं,जिसका अर्थ है कि इन बिंदुओं पर अवकलज का अस्तित्व नहीं है।
$x = 0$ पर,फलन का एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (vertical asymptote) है,इसलिए यह सतत नहीं है,और इसलिए अवकलनीय भी नहीं है।
अतः,फलन $f(x)$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए अवकलनीय है सिवाय $x = 0, 1, -1$ के।
इसे $R - \{0, 1, -1\}$ या $R - \{0, \pm 1\}$ के रूप में दर्शाया जाता है।
इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) दिया गया है $y = \sin^{98} x \cdot \cos^{39} x$।
गुणन नियम $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \sin^{98} x \cdot \frac{d}{dx}(\cos^{39} x) + \cos^{39} x \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{98} x)$
$\frac{dy}{dx} = \sin^{98} x \cdot (39 \cos^{38} x \cdot (-\sin x)) + \cos^{39} x \cdot (98 \sin^{97} x \cdot \cos x)$
$\frac{dy}{dx} = -39 \sin^{99} x \cdot \cos^{38} x + 98 \sin^{97} x \cdot \cos^{40} x$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 98 \sin^{97} x \cdot \cos^{40} x - 39 \sin^{99} x \cdot \cos^{38} x$।

(C) दिया गया समीकरण: $x^{2019} \cdot y^{2020} = (x+y)^{4039}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$2019 \ln(x) + 2020 \ln(y) = 4039 \ln(x+y)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2019}{x} + \frac{2020}{y} \frac{dy}{dx} = 4039 \cdot \frac{1}{x+y} \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$.
सरल बनाने के लिए $x(x+y)y$ से गुणा करने पर:
$2019(x+y)y + 2020x(x+y) \frac{dy}{dx} = 4039xy(1 + \frac{dy}{dx})$.
$2019xy + 2019y^2 + 2020x^2 \frac{dy}{dx} + 2020xy \frac{dy}{dx} = 4039xy + 4039xy \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} (2020x^2 + 2020xy - 4039xy) = 4039xy - 2019xy - 2019y^2$.
$\frac{dy}{dx} (2020x^2 - 2019xy) = 2020xy - 2019y^2$.
$\frac{dy}{dx} [x(2020x - 2019y)] = y(2020x - 2019y)$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(A) दिया गया फलन $y = 5x^2 + 6x + 6$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(5x^2 + 6x + 6) = 10x + 6$.
परिभाषा के अनुसार,अवकल $dy$ को $dy = (\frac{dy}{dx}) dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$dx = \Delta x = 0.001$ और $x = 2$ है।
इन मानों को $dy$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$dy = (10(2) + 6) \times 0.001$.
$dy = (20 + 6) \times 0.001$.
$dy = 26 \times 0.001$.
$dy = 0.026$.

(A) दिया गया है,$y=\sqrt{2 x+\cos ^2\left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2=2 x+\cos ^2\left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 y \frac{d y}{d x} = 2 + 2 \cos \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(-\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)\right) \cdot 2$.
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ का उपयोग करने पर:
$2 y \frac{d y}{d x} = 2 - 2 \sin \left(4 x+\frac{\pi}{2}\right) = 2 - 2 \cos(4x)$.
अतः,$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \cos(4x)}{y}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$y = \sqrt{2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4})} = \sqrt{\frac{\pi}{2} + \sin^2(\frac{\pi}{4})} = \sqrt{\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{\pi+1}{2}}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left. \frac{d y}{d x} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = \frac{1 - \cos(\pi)}{\sqrt{\frac{\pi+1}{2}}} = \frac{1 - (-1)}{\frac{\sqrt{\pi+1}}{\sqrt{2}}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{\pi+1}}$.

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^4 - x^3 + 7x^2 + 14$ है।
अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ का उपयोग करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x^4) - \frac{d}{dx}(x^3) + 7 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(14)$
$f^{\prime}(x) = 4x^3 - 3x^2 + 7(2x) + 0$
$f^{\prime}(x) = 4x^3 - 3x^2 + 14x$
अब,अवकलज में $x = 5$ रखने पर:
$f^{\prime}(5) = 4(5)^3 - 3(5)^2 + 14(5)$
$f^{\prime}(5) = 4(125) - 3(25) + 70$
$f^{\prime}(5) = 500 - 75 + 70$
$f^{\prime}(5) = 495$.

(A) दिया गया है,$f(x) = \sqrt{x + 2 \sqrt{2x - 4}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{2x - 4}}$.
हम $u = \sqrt{x-2}$ मान सकते हैं,जिससे $x-2 = u^2$ और $x = u^2 + 2$ प्राप्त होता है।
तब $2x-4 = 2(x-2) = 2u^2$,अर्थात $\sqrt{2x-4} = \sqrt{2}u$.
इन मानों को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \sqrt{u^2 + 2 + 2\sqrt{2}u} + \sqrt{u^2 + 2 - 2\sqrt{2}u}$
$f(x) = \sqrt{(u + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(u - \sqrt{2})^2}$
$f(x) = |u + \sqrt{2}| + |u - \sqrt{2}| = |\sqrt{x-2} + \sqrt{2}| + |\sqrt{x-2} - \sqrt{2}|$.
$x \geq 4$ के लिए,$\sqrt{x-2} \geq \sqrt{2}$ होता है,इसलिए $|\sqrt{x-2} - \sqrt{2}| = \sqrt{x-2} - \sqrt{2}$.
अतः,$f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{2} + \sqrt{x-2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{x-2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = \frac{1}{\sqrt{x-2}}$.
इसलिए,$10 \times f^{\prime}(102) = 10 \times \frac{1}{\sqrt{102-2}} = 10 \times \frac{1}{\sqrt{100}} = 10 \times \frac{1}{10} = 1$.

(C) हम जानते हैं कि $e^{\log _e f(x)} = f(x)$ होता है।
दी गई अभिव्यक्ति $\frac{d}{d x}\left(e^{\log _e \sqrt{1+\tan ^2 x}}\right)$ है।
इस गुणधर्म का उपयोग करने पर,यह $\frac{d}{d x}\left(\sqrt{1+\tan ^2 x}\right)$ में सरल हो जाती है।
चूंकि $1+\tan ^2 x = \sec ^2 x$,इसलिए $\sqrt{1+\tan ^2 x} = \sqrt{\sec ^2 x} = |\sec x|$ होता है।
मान लीजिए $\sec x > 0$,तो हम $x$ के सापेक्ष $\sec x$ का अवकलन करते हैं।
$\frac{d}{d x}(\sec x) = \sec x \tan x$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{d}{dx} \left( \frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 + x + 1} \right)$ है।
सबसे पहले,अवकलन के अंदर के भिन्न को सरल करने पर:
$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 + x + 1} = \frac{(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)}{x^2 + x + 1} = x^2 - x + 1$.
अब,सरल किए गए व्यंजक का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} (x^2 - x + 1) = 2x - 1$.
$2x - 1$ की तुलना $ax + b$ से करने पर,हमें $a = 2$ और $b = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a - b = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$.

(B) दिया गया है कि समय $t$ पर कण का विस्थापन $s = \frac{t^3}{3} - 6t$ है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^3}{3} - 6t) = t^2 - 6$।
जब वेग शून्य हो जाता है,तो $v = 0$,इसलिए $t^2 - 6 = 0$,जिससे $t = \sqrt{6} \text{ s}$ प्राप्त होता है ($t > 0$ मानते हुए)।
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग के परिवर्तन की दर है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 6) = 2t$।
त्वरण के समीकरण में $t = \sqrt{6} \text{ s}$ रखने पर,हमें $a = 2(\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} \text{ m/s}^2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया विस्थापन $s = 5 \sin(2t)$ है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$v = \frac{d}{dt} [5 \sin(2t)] = 5 \cdot \cos(2t) \cdot 2 = 10 \cos(2t)$.
अब,वेग समीकरण में $t = \frac{\pi}{3}$ रखने पर:
$v = 10 \cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 10 \cos(\frac{2\pi}{3})$.
चूंकि $\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$ है,
$v = 10 \cdot (-\frac{1}{2}) = -5$.
अतः,वेग $-5$ है। सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया फलन दो बहुपदों का गुणनफल है,$f(x) = (x^2-5x+8)(x^3+7x+9)$.
$1$. गुणन नियम: हम गुणन नियम $\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ का उपयोग कर सकते हैं,जहाँ $u(x) = x^2-5x+8$ और $v(x) = x^3+7x+9$ है।
$2$. विस्तार: हम गुणनफल का विस्तार करके $5$ घात वाला एक एकल बहुपद प्राप्त कर सकते हैं और फिर घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ का उपयोग करके प्रत्येक पद का अवकलन कर सकते हैं।
$3$. लघुगणकीय अवकलन: चूंकि फलन कारकों का गुणनफल है,हम दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) ले सकते हैं,$\ln(y) = \ln(x^2-5x+8) + \ln(x^3+7x+9)$,और फिर अवकलन कर सकते हैं।
चूंकि तीनों विधियाँ मान्य और लागू करने योग्य हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।