अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{1+y^2}{(tan^{ | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{	an^{-1} y - x}$ है।व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dx}{dy} = \frac{	an^{-1} y - x}{1+y^2}$ प्राप्त

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$x e^{	an^{-1} y} = e^{	an^{-1} y} ((	an^{-1} y) - 1) + c$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{	an^{-1} y - x}$ है।व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dx}{dy} = \frac{	an^{-1} y - x}{1+y^2}$ प्राप्त होता है।पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{	an^{-1} y}{1+y^2}$ प्राप्त होता है,जो $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।यहाँ,$P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{	an^{-1} y}{1+y^2}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{	an^{-1} y}$ है।हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + c$ द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर: $x e^{	an^{-1} y} = \int \frac{	an^{-1} y}{1+y^2} e^{	an^{-1} y} dy + c$.माना $t = 	an^{-1} y$,तो $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$.समाकलन $\int t e^t dt + c$ बन जाता है।खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t + c = e^t(t - 1) + c$.$t = 	an^{-1} y$ वापस रखने पर,$x e^{	an^{-1} y} = e^{	an^{-1} y}(	an^{-1} y - 1) + c$ प्राप्त होता है।अतः,विकल्प $B$ सही है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{(\tan^{-1} y) - x}$ को हल कीजिए।

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अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}$ का हल है

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