int_0^1 frac{8 log (1+x)}{1+x^2} dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} dx$. $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = \sec^2 	heta d	heta$. जब $x = 0$ तब $	heta = 0$,

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$\pi \log 2$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} dx$. $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = \sec^2 	heta d	heta$. जब $x = 0$ तब $	heta = 0$,और जब $x = 1$ तब $	heta = \frac{\pi}{4}$. अतः $I = 8 \int_0^{\pi/4} \frac{\log(1+	an 	heta)}{1+	an^2 	heta} \sec^2 	heta d	heta = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1+	an 	heta) d	heta$. गुणधर्म $\int_0^a f(	heta) d	heta = \int_0^a f(a-	heta) d	heta$ का उपयोग करने पर: $I = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1+	an(\frac{\pi}{4}-	heta)) d	heta$. चूँकि $	an(\frac{\pi}{4}-	heta) = \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}$,इसलिए: $I = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1 + \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}) d	heta = 8 \int_0^{\pi/4} \log(\frac{2}{1+	an 	heta}) d	heta$. $I = 8 \int_0^{\pi/4} (\log 2 - \log(1+	an 	heta)) d	heta = 8 \int_0^{\pi/4} \log 2 d	heta - I$. $2I = 8 \log 2 [	heta]_0^{\pi/4} = 8 \log 2 (\frac{\pi}{4}) = 2\pi \log 2$. अतः,$I = \pi \log 2$.

$\int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} dx =$

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$\int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} d x=$

यदि $I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n x \, dx$ है,तो $\frac{1}{I_2 + I_4} + \frac{1}{I_3 + I_5} + \frac{1}{I_4 + I_6} = $

$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x=$

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यदि $\int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = k \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

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