AP EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) समुच्चय $X$ बिंदुओं $(a, b)$ का एक ग्रिड दर्शाता है जहाँ $a$,$0$ से $20$ ($21$ बिंदु) तक और $b$,$0$ से $15$ ($16$ बिंदु) तक है।
अक्षों के समानांतर भुजाओं वाले आयत बनाने के लिए,हमें $\{0, 1, 2, \dots, 20\}$ से $a$ के लिए $2$ अलग मान और $\{0, 1, 2, \dots, 15\}$ से $b$ के लिए $2$ अलग मान चुनने होंगे।
$a$ के लिए $2$ मान चुनने के तरीके $\binom{21}{2} = \frac{21 \times 20}{2} = 210$ हैं।
$b$ के लिए $2$ मान चुनने के तरीके $\binom{16}{2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120$ हैं।
ऐसे कुल आयतों की संख्या $210 \times 120 = 25200$ है।

(C) दिया गया है कि $\triangle ABC$ के कोण $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $A+C = 2B$।
चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$ होता है,इसलिए $3B = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$।
$\triangle ABC$ में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC}$
दिए गए मान $AB=6, BC=7, B=60^{\circ}$ रखने पर और $AC=x$ मानने पर:
$\cos 60^{\circ} = \frac{6^2 + 7^2 - x^2}{2 \times 6 \times 7}$
$\frac{1}{2} = \frac{36 + 49 - x^2}{84}$
$42 = 85 - x^2$
$x^2 = 85 - 42 = 43$
$x = \sqrt{43}$
अतः,$AC = \sqrt{43}$।

(B) $(1+x)^n$ के विस्तार में $2^{\text{nd}}$,$3^{\text{rd}}$ और $4^{\text{th}}$ पदों के गुणांक क्रमशः $\binom{n}{1}$,$\binom{n}{2}$ और $\binom{n}{3}$ हैं।
चूँकि ये $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2 \binom{n}{2} = \binom{n}{1} + \binom{n}{3}$ होगा।
द्विपद गुणांकों का विस्तार करने पर: $2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
$n$ से विभाजित करने पर ($n > 0$ है): $n-1 = 1 + \frac{(n-1)(n-2)}{6}$.
$6$ से गुणा करने पर: $6n - 6 = 6 + (n^2 - 3n + 2)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $n^2 - 9n + 14 = 0$.
द्विघात समीकरण के गुणनखंड करने पर: $(n-7)(n-2) = 0$.
अतः,$n = 7$ या $n = 2$.
$4^{\text{th}}$ पद के अस्तित्व के लिए,$n \ge 3$ होना चाहिए,इसलिए $n = 7$।

(B) माना $P = \tan 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \ldots \cdot \tan 89^{\circ}$.
गुणधर्म $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ का उपयोग करने पर:
$P = (\tan 1^{\circ} \cdot \tan 89^{\circ}) \cdot (\tan 2^{\circ} \cdot \tan 88^{\circ}) \cdot \ldots \cdot (\tan 44^{\circ} \cdot \tan 46^{\circ}) \cdot \tan 45^{\circ}$.
चूंकि $\tan \theta \cdot \tan(90^{\circ} - \theta) = 1$,प्रत्येक युग्म का मान $1$ होगा।
अतः,$P = 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 \cdot \tan 45^{\circ} = 1$.
$n$ पदों का गुणोत्तर माध्य $(a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n)^{1/n}$ होता है।
यहाँ $n = 89$ है,इसलिए गुणोत्तर माध्य $(P)^{1/89} = (1)^{1/89} = 1$.
अतः,विकल्प $B$ सही है.

(B) दी गई श्रेणी $x = \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 10} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 10 \cdot 15} + \ldots$ है।
हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार $(1-y)^{-n} = 1 + ny + \frac{n(n+1)}{2!}y^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}y^3 + \ldots$ होता है।
मान लीजिए $1+x = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 10} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 10 \cdot 15} + \ldots$
यह $(1-y)^{-n}$ के रूप से मेल खाता है जहाँ $ny = \frac{1}{5}$ और $\frac{n(n+1)}{2}y^2 = \frac{3}{50}$ है।
$n$ और $y$ के लिए हल करने पर,हमें $n = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$1+x = (1 - \frac{2}{5})^{-1/2} = (\frac{3}{5})^{-1/2} = \sqrt{\frac{5}{3}}$।
इसलिए,$x = \sqrt{\frac{5}{3}} - 1$।
अब,$3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) = 3((x+1)^2 - 1) = 3(x+1)^2 - 3$ की गणना करें।
$x+1 = \sqrt{\frac{5}{3}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3(\frac{5}{3}) - 3 = 5 - 3 = 2$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ वर्गों का योग $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^3+3n^2+n}{6}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया $P(n): 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 = \frac{6(n-1)(n-2) \ldots(n-2020) + 2n^3+3n^2+n}{6}$ है।
दिए गए समीकरण में मानक योग सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = (n-1)(n-2) \ldots(n-2020) + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$।
यह समानता तभी सत्य है जब $(n-1)(n-2) \ldots(n-2020) = 0$ हो।
यह गुणनफल शून्य होता है जब $n \in \{1, 2, 3, \ldots, 2020\}$ हो।
अतः,$P(n)$ सभी $n \leq 2020$ के लिए सत्य है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2 n)^2}{n^3}$ है।
अंश से $2^2 = 4$ को बाहर निकालने पर:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)}{n^3}$.
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$= 4 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$.
$= \frac{4}{6} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n \cdot n(1+\frac{1}{n}) \cdot n(2+\frac{1}{n})}{n^3}$.
$= \frac{2}{3} \lim _{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})$.
जैसे $n \rightarrow \infty$,वैसे $\frac{1}{n} \rightarrow 0$,इसलिए सीमा $\frac{2}{3} \times (1)(2) = \frac{4}{3}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना तीन क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ $(n-1), n, (n+1)$ हैं,जहाँ $n \geq 2$ है।
इन संख्याओं के घनों का योग:
$(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3 = 3n^3 + 6n = 3n(n^2 + 2)$ है।
यदि $n$,$3$ का गुणज है,तो $3n$,$9$ से विभाज्य है।
यदि $n$,$3$ का गुणज नहीं है,तो $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$,इसलिए $n^2 + 2$,$3$ से विभाज्य है।
अतः,$3n(n^2 + 2)$ हमेशा $9$ से विभाज्य है।

(C) दी गई श्रेणी $1+4+7+\cdots+(3n-2)$ है।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 4-1 = 3$ है।
पदों की संख्या $n$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सूत्र में $a=1$ और $d=3$ का मान रखने पर:
$S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)3]$
$S_n = \frac{n}{2}[2 + 3n - 3]$
$S_n = \frac{n(3n-1)}{2}$.

(A) दिया गया है,$P(n): 2+2^2+2^3+\ldots+2^n = 2^{n+1}-2$.
मान लीजिए $P(m)$ सत्य है,अतः $2+2^2+\ldots+2^m = 2^{m+1}-2$.
अब,$P(m+1)$ पर विचार करें:
$P(m+1) = (2+2^2+\ldots+2^m) + 2^{m+1}$
$= (2^{m+1}-2) + 2^{m+1}$
$= 2 \cdot 2^{m+1} - 2 = 2^{m+2}-2$.
चूंकि $P(m+1)$ सत्य है जब भी $P(m)$ सत्य है,इसलिए $P(m) \Rightarrow P(m+1)$ सही है।

(A) हम जानते हैं कि $\sin(180^{\circ} + \theta) = -\sin \theta$ और $\sin(540^{\circ} + \theta) = -\sin \theta$ होता है।
चरण $1$: $\sin 210^{\circ} = \sin(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}$।
चरण $2$: $\sin 585^{\circ} = \sin(540^{\circ} + 45^{\circ}) = -\sin 45^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
चरण $3$: मानों का गुणा करने पर: $(-\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $\sin(\theta) + \operatorname{cosec}(\theta) = 2$।
चूंकि $\operatorname{cosec}(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$,हमारे पास $\sin(\theta) + \frac{1}{\sin(\theta)} = 2$ है।
माना $x = \sin(\theta)$,तो $x + \frac{1}{x} = 2$,जिसका अर्थ है $x^2 - 2x + 1 = 0$,अतः $(x - 1)^2 = 0$।
इस प्रकार,$\sin(\theta) = 1$।
इसलिए,$\sin^{2020}(\theta) + \operatorname{cosec}^{2020}(\theta) = (1)^{2020} + (1)^{2020} = 1 + 1 = 2$।

(B) दिया है,$\sec \theta = m$ और $\tan \theta = n$।
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,इसलिए $m^2 - n^2 = 1$,जिसका अर्थ है $(m - n)(m + n) = 1$।
अतः,$\frac{1}{m + n} = m - n$।
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{m} [m + n + (m - n)] = \frac{1}{m} [2m] = 2$।

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{1-\cos(2x)+\sin(x)}{\sin(2x)+\cos(x)}$
सर्वसमिका $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$ का उपयोग करने पर,अंश: $1 - (1 - 2\sin^2(x)) + \sin(x) = 2\sin^2(x) + \sin(x) = \sin(x)(2\sin(x) + 1)$
सर्वसमिका $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ का उपयोग करने पर,हर: $2\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = \cos(x)(2\sin(x) + 1)$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\frac{\sin(x)(2\sin(x) + 1)}{\cos(x)(2\sin(x) + 1)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$

(A) दिया गया है,$4 \cos x + 3 \sin x = 5$।
दोनों पक्षों को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$4 + 3 \tan x = 5 \sec x$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(4 + 3 \tan x)^2 = (5 \sec x)^2$।
$16 + 9 \tan^2 x + 24 \tan x = 25 \sec^2 x$।
सर्वसमिका $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करने पर:
$16 + 9 \tan^2 x + 24 \tan x = 25(1 + \tan^2 x)$।
$16 + 9 \tan^2 x + 24 \tan x = 25 + 25 \tan^2 x$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$16 \tan^2 x - 24 \tan x + 9 = 0$।
$(4 \tan x - 3)^2 = 0$।
अतः,$4 \tan x = 3$,जिससे $\tan x = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) संबद्ध कोणों के सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sin(\pi+x) = -\sin x$
$\cos(\frac{\pi}{2}+x) = -\sin x$
$\tan(\frac{3\pi}{2}-x) = \cot x$
$\cot(2\pi-x) = -\cot x$
$\sin(2\pi-x) = -\sin x$
$\cos(2\pi+x) = \cos x$
$\operatorname{cosec}(-x) = -\operatorname{cosec} x$
$\sin(\frac{3\pi}{2}+x) = -\cos x$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= \frac{(-\sin x)(-\sin x)(\cot x)(-\cot x)}{(-\sin x)(\cos x)(-\operatorname{cosec} x)(-\cos x)} = 1$
अतः,विकल्प $C$ सही है.

(D) दिया गया है कि $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,जहाँ $\tan \theta$ धनात्मक होता है।
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos \theta = -\frac{3}{5}$ रखने पर,$\sin^2 \theta + (-\frac{3}{5})^2 = 1$.
$\sin^2 \theta + \frac{9}{25} = 1 \implies \sin^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
चूँकि $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में है,$\sin \theta$ ऋणात्मक होगा,अतः $\sin \theta = -\frac{4}{5}$.
अब,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-4/5}{-3/5} = \frac{4}{3}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) हम जानते हैं कि $\tan(2x)$ का सूत्र $\frac{2 \tan(x)}{1-\tan^2(x)}$ होता है।
दी गई असमिका $\frac{2 \tan(x)}{1-\tan^2(x)} > 0$ से,हमें $\tan(2x) > 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $2x \in (0, \pi)$ होगा।
$(0, \pi)$ अंतराल में $\tan(2x) > 0$ होने के लिए,$2x$ को प्रथम चतुर्थांश में होना चाहिए,अर्थात $0 < 2x < \frac{\pi}{2}$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $0 < x < \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ का परिसर $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ है।

(D) दिया गया है कि $\sec \theta + \tan \theta = 2/3$ $(i)$
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,जिसका अर्थ है $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$.
$(i)$ से मान रखने पर,हमें $\sec \theta - \tan \theta = 3/2$ प्राप्त होता है (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $2 \sec \theta = 2/3 + 3/2 = (4 + 9)/6 = 13/6$,अतः $\sec \theta = 13/12$.
$(i)$ में से (ii) घटाने पर: $2 \tan \theta = 2/3 - 3/2 = (4 - 9)/6 = -5/6$,अतः $\tan \theta = -5/12$.
चूँकि $\sec \theta > 0$ और $\tan \theta < 0$,इसलिए $\theta$ चतुर्थ $(IV)$ चतुर्थांश में स्थित है.

(B) हम जानते हैं कि $\tanh \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1 + \tanh \left(\frac{x}{2}\right)}{1 - \tanh \left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1 + \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}{1 - \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}$
$= \frac{\frac{e^{x/2} + e^{-x/2} + e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}{\frac{e^{x/2} + e^{-x/2} - (e^{x/2} - e^{-x/2})}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}$
$= \frac{2e^{x/2}}{2e^{-x/2}}$
$= e^{x/2 - (-x/2)} = e^x$.

(B) दिया गया है $\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = \frac{1}{3}$.
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta = \frac{1}{\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta} = 3$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2 \operatorname{cosec} \theta = \frac{10}{3} \Rightarrow \sin \theta = \frac{3}{5}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2 \cot \theta = -\frac{8}{3}$ $\Rightarrow \cot \theta = -\frac{4}{3}$ $\Rightarrow \cos \theta = -\frac{4}{5}$.
चूँकि $\sin \theta > 0$ और $\cos \theta < 0$ है,इसलिए $\theta$ $2^{\text{nd}}$ चतुर्थांश में स्थित है.

(C) हम जानते हैं कि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए $\cos^2(\pi - \theta) = \cos^2 \theta$.
साथ ही,$\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$,इसलिए $\cos^2(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin^2 \theta$.
दिया गया व्यंजक: $E = \cos^2(\frac{7\pi}{8}) + \cos^2(\frac{5\pi}{8}) + \cos^2(\frac{3\pi}{8}) + \cos^2(\frac{\pi}{8})$.
यहाँ $\frac{7\pi}{8} = \pi - \frac{\pi}{8}$,इसलिए $\cos^2(\frac{7\pi}{8}) = \cos^2(\frac{\pi}{8})$.
यहाँ $\frac{5\pi}{8} = \pi - \frac{3\pi}{8}$,इसलिए $\cos^2(\frac{5\pi}{8}) = \cos^2(\frac{3\pi}{8})$.
अतः,$E = 2\cos^2(\frac{\pi}{8}) + 2\cos^2(\frac{3\pi}{8})$.
चूंकि $\frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$,इसलिए $\cos^2(\frac{3\pi}{8}) = \sin^2(\frac{\pi}{8})$.
इस मान को $E$ में रखने पर: $E = 2\cos^2(\frac{\pi}{8}) + 2\sin^2(\frac{\pi}{8})$.
$E = 2(\cos^2(\frac{\pi}{8}) + \sin^2(\frac{\pi}{8}))$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $E = 2(1) = 2$ प्राप्त होता है।

(A) हम सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करते हैं।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos(2x + \frac{2\pi}{3})}{2} + \frac{1 + \cos(2x - \frac{2\pi}{3})}{2}$
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2x + \cos(2x + \frac{2\pi}{3}) + \cos(2x - \frac{2\pi}{3})]$
सूत्र $\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2\cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2x + 2\cos 2x \cos(\frac{2\pi}{3})]$
चूंकि $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$:
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2x + 2\cos 2x(-\frac{1}{2})]$
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2x - \cos 2x] = \frac{3}{2}$

(D) हम सूत्र $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करते हैं।
$\cos 48^{\circ} \cdot \cos 12^{\circ} = \frac{1}{2} [2 \cos 48^{\circ} \cos 12^{\circ}]$
$= \frac{1}{2} [\cos(48^{\circ}+12^{\circ}) + \cos(48^{\circ}-12^{\circ})]$
$= \frac{1}{2} [\cos 60^{\circ} + \cos 36^{\circ}]$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ और $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$,
$= \frac{1}{2} [\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}+1}{4}]$
$= \frac{1}{2} [\frac{2 + \sqrt{5} + 1}{4}]$
$= \frac{3+\sqrt{5}}{8}$

(B) हम जानते हैं कि $\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin(2\theta)}$.
$\theta = \frac{\pi}{24}$ रखने पर,$\tan \frac{\pi}{24} + \cot \frac{\pi}{24} = \frac{2}{\sin(\frac{\pi}{12})}$.
चूंकि $\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{1}{2} \left(\tan \frac{\pi}{24} + \cot \frac{\pi}{24}\right) = \frac{1}{\sin(15^\circ)} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$.
दिए गए समीकरण $\sqrt{a^2+a} + \sqrt{a} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ से तुलना करने पर,$a = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin(2x) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin(18^\circ) = \sin(\frac{\pi}{10}) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ होता है।
अतः,$\sin(2x) = \sin(\frac{\pi}{10})$ है।
$\sin(\theta) = \sin(\alpha)$ के लिए व्यापक हल $\theta = n\pi + (-1)^n\alpha$ होता है।
इसे $2x = \frac{\pi}{10}$ पर लागू करने पर:
$2x = n\pi + (-1)^n(\frac{\pi}{10})$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर:
$x = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n(\frac{\pi}{20})$ प्राप्त होता है।
दिए गए रूप $x = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n(m)$ से तुलना करने पर,हमें $m = \frac{\pi}{20}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) दी गई व्यंजक: $\tan 81^{\circ} + \tan 9^{\circ} - \tan 63^{\circ} - \tan 27^{\circ}$ है।
$\tan(90^{\circ}-\theta) = \cot \theta$ का उपयोग करते हुए:
$= (\cot 9^{\circ} + \tan 9^{\circ}) - (\cot 27^{\circ} + \tan 27^{\circ})$.
$\cot \theta + \tan \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$= \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$.
$= 2 \left( \frac{\sin 54^{\circ} - \sin 18^{\circ}}{\sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right)$.
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$= 2 \left( \frac{2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}}{\sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right) = 4 \frac{\cos 36^{\circ}}{\sin 54^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 54^{\circ} = \cos 36^{\circ}$ है,इसलिए उत्तर $4$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A - B)}{\cos A \cos B}$.
अंश में इसे लागू करने पर: $\tan 52^{\circ} - \tan 38^{\circ} = \frac{\sin(52^{\circ} - 38^{\circ})}{\cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ}} = \frac{\sin 14^{\circ}}{\cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ}}$.
अब,व्यंजक $\frac{\sin 14^{\circ}}{\cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ} \tan 14^{\circ}} = \frac{\sin 14^{\circ}}{\cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ} \frac{\sin 14^{\circ}}{\cos 14^{\circ}}} = \frac{\cos 14^{\circ}}{\cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ}}$ हो जाता है।
$2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B)$ का उपयोग करते हुए,$2 \cos 52^{\circ} \cos 38^{\circ} = \cos(52^{\circ} + 38^{\circ}) + \cos(52^{\circ} - 38^{\circ}) = \cos 90^{\circ} + \cos 14^{\circ} = 0 + \cos 14^{\circ} = \cos 14^{\circ}$.
अतः,व्यंजक $\frac{\cos 14^{\circ}}{\frac{1}{2} \cos 14^{\circ}} = 2$ है।

(B) हमें $\tanh(x) = \frac{1}{3}$ दिया गया है।
$\tanh(3x) = \frac{3\tanh(x) + \tanh^3(x)}{1 + 3\tanh^2(x)}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tanh(x) = \frac{1}{3}$ का मान रखने पर:
$\tanh(3x) = \frac{3(\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3})^3}{1 + 3(\frac{1}{3})^2}$
$\tanh(3x) = \frac{1 + \frac{1}{27}}{1 + 3(\frac{1}{9})}$
$\tanh(3x) = \frac{\frac{28}{27}}{1 + \frac{1}{3}}$
$\tanh(3x) = \frac{\frac{28}{27}}{\frac{4}{3}}$
$\tanh(3x) = \frac{28}{27} \times \frac{3}{4} = \frac{7}{9}$

(B) हम जानते हैं कि $\tanh^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\cosh(\theta) - 1}{\cosh(\theta) + 1}$ होता है।
दिया गया है कि $\cosh(\theta) = \sec(x)$,अतः:
$\tanh^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sec(x) - 1}{\sec(x) + 1}$.
$\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ रखने पर:
$\frac{\frac{1}{\cos(x)} - 1}{\frac{1}{\cos(x)} + 1} = \frac{1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)}$.
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1 - \cos(x) = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$ और $1 + \cos(x) = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \tan^2\left(\frac{x}{2}\right)$.

(A) हमारे पास व्यंजक $\operatorname{cosec} 750^{\circ} - 2 \cot 765^{\circ}$ है।
त्रिकोणमितीय फलनों की आवर्तकता का उपयोग करते हुए,$\operatorname{cosec}(n \times 360^{\circ} + \theta) = \operatorname{cosec} \theta$ और $\cot(n \times 360^{\circ} + \theta) = \cot \theta$.
$\operatorname{cosec} 750^{\circ} = \operatorname{cosec}(2 \times 360^{\circ} + 30^{\circ}) = \operatorname{cosec} 30^{\circ} = 2$.
$\cot 765^{\circ} = \cot(2 \times 360^{\circ} + 45^{\circ}) = \cot 45^{\circ} = 1$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2 - 2(1) = 2 - 2 = 0$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है कि $\tan \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{m}{n}$.
हम अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हैं: $\sin (x) = \frac{2 \tan (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)}$ और $\cos (x) = \frac{1 - \tan^2 (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)}$.
इन मानों को $m \sin (x) + n \cos (x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$m \left( \frac{2 \tan (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)} \right) + n \left( \frac{1 - \tan^2 (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)} \right)$
$= m \left( \frac{2(m/n)}{1 + (m^2/n^2)} \right) + n \left( \frac{1 - (m^2/n^2)}{1 + (m^2/n^2)} \right)$
$= \frac{2m^2 n + n^3 - nm^2}{m^2 + n^2} = \frac{n(m^2 + n^2)}{m^2 + n^2} = n$.

(B) दिया गया है $\sin A + \sin B = \frac{1}{2}$ और $\cos A + \cos B = 1$.
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin A + \sin B)^2 + (\cos A + \cos B)^2 = (\frac{1}{2})^2 + (1)^2$
$\sin^2 A + \sin^2 B + 2 \sin A \sin B + \cos^2 A + \cos^2 B + 2 \cos A \cos B = \frac{1}{4} + 1$
$(\sin^2 A + \cos^2 A) + (\sin^2 B + \cos^2 B) + 2(\cos A \cos B + \sin A \sin B) = \frac{5}{4}$
$1 + 1 + 2 \cos(A-B) = \frac{5}{4}$
$2 + 2 \cos(A-B) = \frac{5}{4}$
$2 \cos(A-B) = \frac{5}{4} - 2 = -\frac{3}{4}$
$\cos(A-B) = -\frac{3}{8}$
सर्वसमिका $\cos \theta = 1 - 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$1 - 2 \sin^2(\frac{A-B}{2}) = -\frac{3}{8}$
$2 \sin^2(\frac{A-B}{2}) = 1 + \frac{3}{8} = \frac{11}{8}$
$\sin^2(\frac{A-B}{2}) = \frac{11}{16}$
$\sin(\frac{A-B}{2}) = \pm \frac{\sqrt{11}}{4}$

(D) दिया गया है,$\cos(\theta_1) + \cos(\theta_2) + \cos(\theta_3) + \cos(\theta_4) = -4$।
चूंकि कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ होता है,इसलिए उनका योग $-4$ तभी संभव है जब प्रत्येक पद $-1$ के बराबर हो।
अतः,$\cos(\theta_1) = \cos(\theta_2) = \cos(\theta_3) = \cos(\theta_4) = -1$।
इसका अर्थ है $\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \theta_4 = \pi$।
अतः,$\cot(\frac{\theta_i}{2}) = \cot(\frac{\pi}{2}) = 0$।
इसलिए,$\cot(\frac{\theta_1}{2}) + \cot(\frac{\theta_2}{2}) + \cot(\frac{\theta_3}{2}) + \cot(\frac{\theta_4}{2}) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$।

(C) यह व्यंजक $A \cos \theta + B \sin \theta$ के रूप में है,जहाँ $\theta = x + \frac{\pi}{3}$,$A = 1$,और $B = 2 \sqrt{2}$ है।
$A \cos \theta + B \sin \theta$ का परिसर $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$ होता है।
यहाँ,$A^2 + B^2 = (1)^2 + (2 \sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9$ है।
अतः,$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{9} = 3$ है।
न्यूनतम मान $-3$ और अधिकतम मान $3$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $3 \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1$
$\cos^4 \theta = (1 - \sin^2 \theta)^2 = 1 - 2\sin^2 \theta + \sin^4 \theta$ का उपयोग करने पर:
$3 \sin^4 \theta + (1 - 2\sin^2 \theta + \sin^4 \theta) = 1$
$4 \sin^4 \theta - 2\sin^2 \theta = 0$
$2 \sin^2 \theta (2 \sin^2 \theta - 1) = 0$
इसका अर्थ है $\sin^2 \theta = 0$ या $\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$।
स्थिति $1$: $\sin^2 \theta = 0$ $\Rightarrow \sin \theta = 0$ $\Rightarrow \theta = n\pi$.
स्थिति $2$: $\sin^2 \theta = \frac{1}{2} = \sin^2(\frac{\pi}{4}) \Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,व्यापक हल $\theta = n\pi, n\pi \pm \frac{\pi}{4}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(C) दिया गया समीकरण $\cos(x) - \sin(x) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\cos(x) = \sin(x)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\cos(x)$ से विभाजित करने पर,हमें $\tan(x) = 1$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\tan(x) = 1 = \tan(\frac{\pi}{4})$।
$\tan(x) = \tan(\alpha)$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + \alpha$ होता है,जहाँ $n \in Z$।
अतः,व्यापक हल $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ है,जहाँ $n \in Z$।

(D) दिया गया समीकरण: $(\sin x)(\cos x) = \frac{1}{4}$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \sin x \cos x = \frac{2}{4}$
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर: $\sin 2x = \frac{1}{2}$
चूंकि $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $2x \in (0, \pi)$।
$\sin 2x = \frac{1}{2}$ के लिए $2x$ के मान $2x = \frac{\pi}{6}$ और $2x = \frac{5\pi}{6}$ हैं।
अतः,$x = \frac{\pi}{12}$ और $x = \frac{5\pi}{12}$ प्राप्त होते हैं।
दोनों मान $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ अंतराल में स्थित हैं।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$\frac{\pi}{12}$ सही उत्तर है।

(D) दिया गया है कि $\sin \alpha = \sin \beta$ और $\cos \alpha = \cos \beta$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = (\sin \beta)^2 + (\cos \beta)^2$
$1 = 1$।
वैकल्पिक रूप से,सम्मिश्र संख्याओं $z_1 = \cos \alpha + i \sin \alpha$ और $z_2 = \cos \beta + i \sin \beta$ पर विचार करें।
चूंकि $\cos \alpha = \cos \beta$ और $\sin \alpha = \sin \beta$ है,इसलिए $z_1 = z_2$ है।
इसका अर्थ है $e^{i \alpha} = e^{i \beta}$,जिसका अर्थ है $e^{i(\alpha - \beta)} = 1$।
अतः,किसी पूर्णांक $n$ के लिए $\alpha - \beta = 2 n \pi$ होगा।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(C) हमें व्यंजक दिया गया है: $\frac{\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta}{\sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)}$.
सूत्र $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करके हर का विस्तार करने पर:
$\sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \sin \theta \cos \frac{\pi}{6} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{6}$.
चूंकि $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$,हर होगा:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta = \frac{1}{2} (\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta)$.
इस मान को मूल व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta}{\frac{1}{2} (\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta)} = \frac{1}{1/2} = 2$.
अतः,विकल्प $C$ सही है.

(D) दिया गया समीकरण: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x$
पदों को समूहित करने पर: $(\sin 3x + \sin x) + \sin 2x = (\cos 3x + \cos x) + \cos 2x$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर: $2\sin 2x \cos x + \sin 2x = 2\cos 2x \cos x + \cos 2x$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर: $\sin 2x(2\cos x + 1) = \cos 2x(2\cos x + 1)$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\sin 2x - \cos 2x)(2\cos x + 1) = 0$
स्थिति $1$: $\sin 2x - \cos 2x = 0 \implies \tan 2x = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
$2x = n\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$
स्थिति $2$: $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2\pi}{3}$
$x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$
अतः,व्यापक हल $x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$ और $x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$,जहाँ $n \in Z$ है।
इसलिए,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) हमारे पास व्यंजक है: $\tan \left(-\frac{23 \pi}{3}\right)-\cot \left(\theta-\frac{13 \pi}{3}\right)$
चूँकि $\tan(-x) = -\tan(x)$,हमारे पास $\tan \left(-\frac{23 \pi}{3}\right) = -\tan \left(\frac{23 \pi}{3}\right) = -\tan \left(8 \pi - \frac{\pi}{3}\right) = -(-\tan \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ है।
दूसरे पद के लिए,$\cot \left(\theta-\frac{13 \pi}{3}\right) = \cot \left(\theta - (4 \pi + \frac{\pi}{3})\right) = \cot \left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = -\cot \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{3} - (-\cot \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)) = \sqrt{3} + \cot \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $4 \sin^2(x) - 4 \sin(x) + 1 = 0$
यह $\sin(x)$ के रूप में एक द्विघात समीकरण है,जिसे $(2 \sin(x) - 1)^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $2 \sin(x) - 1 = 0$
$\sin(x) = \frac{1}{2}$
हम जानते हैं कि $\sin(x) = \sin(\frac{\pi}{6})$ होता है।
$\sin(x) = \sin(\alpha)$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
अतः,$x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}, n \in \mathbb{Z}$।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) दिया गया है,$\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2}$.
हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज $ABC$ के लिए,$\cos A + \cos B + \cos C$ का अधिकतम मान $\frac{3}{2}$ होता है,जो केवल तभी संभव है जब $A = B = C = 60^{\circ}$ या $\frac{\pi}{3}$ रेडियन हो।
चूंकि $A = B = C = \frac{\pi}{3}$,तीनों कोण बराबर हैं।
इसलिए,$\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) हमारे पास $\sin \left(\frac{5 \pi}{3}\right) + \sec \left(\frac{13 \pi}{3}\right)$ है।
पहले,$\sin \left(\frac{5 \pi}{3}\right) = \sin \left(2 \pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ को सरल करें।
फिर,$\sec \left(\frac{13 \pi}{3}\right) = \sec \left(4 \pi + \frac{\pi}{3}\right) = \sec \left(\frac{\pi}{3}\right) = 2$ को सरल करें।
इन मानों को जोड़ने पर,हमें $-\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है कि, $\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$.
इसका तात्पर्य है कि $\tan \alpha + \tan \beta = -\tan \gamma (1 - \tan \alpha \tan \beta)$.
$(1 - \tan \alpha \tan \beta)$ से विभाजित करने पर, हमें $\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \tan(-\gamma)$ प्राप्त होता है।
अतः, $\tan(\alpha + \beta) = \tan(-\gamma)$, जिसका अर्थ है कि किसी पूर्णांक $n \in \mathbb{Z}$ के लिए $\alpha + \beta = n\pi - \gamma$ है।
इसलिए, $\alpha + \beta + \gamma = n\pi$.
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए, $x = e^{i\alpha}$, $y = e^{i\beta}$, और $z = e^{i\gamma}$.
तब $xyz = e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} \cdot e^{i\gamma} = e^{i(\alpha + \beta + \gamma)} = e^{in\pi}$.
चूंकि $e^{in\pi} = \cos(n\pi) + i\sin(n\pi) = \cos(n\pi)$, और $\cos(n\pi)$ का मान $1$ होता है यदि $n$ सम है और $-1$ होता है यदि $n$ विषम है।
अतः, $xyz = \pm 1$.

(B) हम बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करते हैं।
माना $a = \sin^2 \theta$ और $b = \cos^2 \theta$ है।
तब $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (\sin^2 \theta)^3 + (\cos^2 \theta)^3$ होगा।
$= (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)((\sin^2 \theta)^2 - \sin^2 \theta \cos^2 \theta + (\cos^2 \theta)^2)$।
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$= 1 \cdot (\sin^4 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta + \cos^4 \theta)$।
हम जानते हैं कि $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$ होता है।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$।
अतः,$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = (1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1$।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan(x) + \sec(x) = \sqrt{3}$.
हम जानते हैं कि $\sec^2(x) - \tan^2(x) = 1$,जिसका अर्थ है $(\sec(x) - \tan(x))(\sec(x) + \tan(x)) = 1$.
मान प्रतिस्थापित करने पर: $(\sec(x) - \tan(x))(\sqrt{3}) = 1$,अतः $\sec(x) - \tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2\sec(x) = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow \sec(x) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow \cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$x \in [0, 2\pi]$ के लिए,हल $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \frac{11\pi}{6}$ हैं।
मूल समीकरण में जाँच करने पर,$x = \frac{\pi}{6}$ सही हल है।

(B) दिया गया है कि,$\cos(x) + \cos^2(x) = 1$।
चूंकि $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$,हम $\sin^2(x) = \cos(x)$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\sin^4(x) = \cos^2(x)$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $\sin^2(x) + \sin^4(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos(x) + \cos^2(x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos(x) + \cos^2(x) = 1$,इसलिए व्यंजक का मान $1$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) माना $\frac{x}{\cos \alpha} = \frac{y}{\cos \left(\frac{2 \pi}{3} - \alpha\right)} = \frac{z}{\cos \left(\frac{2 \pi}{3} + \alpha\right)} = k$.
अतः,$x = k \cos \alpha$,$y = k \cos \left(\frac{2 \pi}{3} - \alpha\right)$,और $z = k \cos \left(\frac{2 \pi}{3} + \alpha\right)$.
अब,$x + y + z = k \left[ \cos \alpha + \cos \left(\frac{2 \pi}{3} - \alpha\right) + \cos \left(\frac{2 \pi}{3} + \alpha\right) \right]$.
सूत्र $\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$x + y + z = k \left[ \cos \alpha + 2 \cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right) \cos \alpha \right]$.
चूंकि $\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$,इसलिए:
$x + y + z = k \left[ \cos \alpha + 2 \left(-\frac{1}{2}\right) \cos \alpha \right] = k [\cos \alpha - \cos \alpha] = 0$.

(B) दिया गया समीकरण: $\log(x+y) - 2xy = 0$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x+y} \cdot (1 + y') - 2(x y' + y) = 0$.
$y'$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{x+y} + \frac{y'}{x+y} - 2xy' - 2y = 0$.
$y' \left( \frac{1}{x+y} - 2x \right) = 2y - \frac{1}{x+y}$.
$y' = \frac{2y - \frac{1}{x+y}}{\frac{1}{x+y} - 2x}$.
अब,$x = 0$ पर मान ज्ञात करने पर:
$x = 0$ रखने पर,मूल समीकरण $\log(y) - 0 = 0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\log(y) = 0$,इसलिए $y = e^0 = 1$.
$y'$ के समीकरण में $x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:
$y'(0) = \frac{2(1) - \frac{1}{0+1}}{\frac{1}{0+1} - 2(0)} = \frac{2 - 1}{1 - 0} = 1$.
नोट: दिए गए विकल्प $y$ के रूप में हैं। व्यंजक $\frac{2y - \frac{1}{y}}{\frac{1}{y}} = 2y^2 - 1$ होता है।
अतः,$y'(0) = 2y^2 - 1$.

(D) दिया गया है,$y = \frac{e^x \log x}{x^2}$.
अवकलन के लिए भागफल नियम का उपयोग करने पर,$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$.
यहाँ,$u = e^x \log x$ और $v = x^2$.
$\frac{du}{dx} = e^x \log x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x \left( \log x + \frac{1}{x} \right)$.
$\frac{dv}{dx} = 2x$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 \left[ e^x \left( \log x + \frac{1}{x} \right) \right] - (e^x \log x)(2x)}{(x^2)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 e^x \log x + x e^x - 2x e^x \log x}{x^4}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{x e^x \log x + e^x - 2 e^x \log x}{x^3}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x [x \log x + 1 - 2 \log x]}{x^3}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x [1 + (x - 2) \log x]}{x^3}$.
इस प्रकार,विकल्प $D$ सही है.

(A) दिया गया है $y = \log(\cosh x)$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cosh x} \cdot \frac{d}{dx}(\cosh x)$
चूंकि $\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x$
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\tanh x)$
चूंकि $\frac{d}{dx}(\tanh x) = \operatorname{sech}^2 x$,इसलिए:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \operatorname{sech}^2 x$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \log_{x^2} (\ln x)$.
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{\ln x^2} = \frac{\ln(\ln x)}{2 \ln x}$.
अब,भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{(\frac{1}{x \ln x})(\ln x) - (\ln(\ln x))(\frac{1}{x})}{(\ln x)^2} \right]$.
$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{x} - \frac{\ln(\ln x)}{x}}{(\ln x)^2} \right] = \frac{1 - \ln(\ln x)}{2x(\ln x)^2}$.
$x = e$ पर,$\ln x = 1$ और $\ln(\ln x) = \ln(1) = 0$.
$f'(e) = \frac{1 - 0}{2e(1)^2} = \frac{1}{2e}$.

(C) माना $y = \tan ^{-1}\left(\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\right)$ और $u = \sec ^{-1}\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)$.
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sqrt{1-x^2} = \cos \theta$ प्राप्त होता है।
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}{2 \cos^2(\theta/2)}\right) = \tan ^{-1}(\tan(\theta/2)) = \frac{\theta}{2}$.
अब,$u = \sec ^{-1}\left(\frac{1}{2 \sin^2 \theta - 1}\right) = \sec ^{-1}\left(\frac{1}{-(1-2 \sin^2 \theta)}\right) = \sec ^{-1}\left(\frac{1}{-\cos 2 \theta}\right) = \sec ^{-1}(-\sec 2 \theta) = \sec ^{-1}(\sec(\pi - 2 \theta)) = \pi - 2 \theta$.
चूँकि $x = \sin \theta$,इसलिए $\theta = \sin^{-1} x$.
अतः,$y = \frac{1}{2} \sin^{-1} x$ और $u = \pi - 2 \sin^{-1} x$.
अब $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}}$ और $\frac{du}{dx} = \frac{-2}{\sqrt{1-x^2}}$.
इसलिए,$\frac{dy}{du} = \frac{dy/dx}{du/dx} = \frac{1/(2 \sqrt{1-x^2})}{-2/\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{4}$.

(C) माना $y = \cos ^{-1}\left(\frac{4 x^3}{27}-x\right)$.
हम व्यंजक को $y = \cos ^{-1}\left(4\left(\frac{x}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{x}{3}\right)\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $\frac{x}{3} = \cos A$,तो $A = \cos ^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$.
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = \cos ^{-1}(4 \cos ^3 A - 3 \cos A)$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(3A) = 4 \cos ^3 A - 3 \cos A$ का उपयोग करते हुए,$y = \cos ^{-1}(\cos 3A) = 3A$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = 3 \cos ^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - (x/3)^2}}\right) \times \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{3}\right)$.
$\frac{dy}{dx} = 3 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{(9-x^2)/9}}\right) \times \frac{1}{3} = 3 \times \left(-\frac{3}{\sqrt{9-x^2}}\right) \times \frac{1}{3} = -\frac{3}{\sqrt{9-x^2}}$.

(C) दिया गया है,$f(x) = \cos ^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right)+x^x$.
सर्वसमिका $\cos ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}(y)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right) + x^x$.
दिए गए अंतराल के लिए $\sin ^{-1}(\sin \theta) = \theta$ होने के कारण:
$f(x) = \frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}} + x^x$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 0 - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}} + x^x(1 + \ln x)$.
$x=1$ रखने पर:
$f'(1) = -\frac{1}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} + 1^1(1 + \ln 1) = -\frac{1}{4} + 1(1+0) = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(D) दिया गया है कि $y = \tan^{-1} \left[ \frac{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}} \right]$.
हम जानते हैं कि $1 + \sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ और $1 - \sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$.
अतः,$\sqrt{1 + \sin x} = |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}|$ और $\sqrt{1 - \sin x} = |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}|$.
इन मानों को $y$ के समीकरण में रखने पर:
$y = \tan^{-1} \left[ \frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) + (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) - (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})} \right]$ (मान लीजिए $0 < x < \frac{\pi}{2}$).
$y = \tan^{-1} \left( \frac{2 \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2}} \right) = \tan^{-1} (\cot \frac{x}{2}) = \tan^{-1} \left( \tan (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) \right) = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) = -\frac{1}{2}$.
$x$ के अंतराल के आधार पर,अवकलन $\pm \frac{1}{2}$ हो सकता है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) $y = \operatorname{cosec}^{-1}(x)$ का अवकलज $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|x| \sqrt{x^2-1}}$ द्वारा दिया जाता है।
अवकलज को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $x^2 - 1 > 0$,जिसका अर्थ है $|x| > 1$।
हालाँकि,$y = \operatorname{cosec}^{-1}(x)$ का परिसर $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \setminus \{0\}$ है।
चूंकि अवकलज $\frac{dy}{dx}$ फलन के प्रांत में सभी $x$ के लिए परिभाषित है,उन अंतिम बिंदुओं को छोड़कर जहाँ अवकलज मौजूद नहीं हो सकता है या अपरिभाषित है,इसलिए हम $y$ के लिए विवृत अंतराल पर विचार करते हैं।
अवकलज के प्रांत के अनुरूप $y$ के मान $y \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ हैं।

(B) दिया गया है,$y=\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)$.
माना $x=\tan \theta$,तो $\theta = \tan ^{-1} x$.
व्यंजक में $x$ का मान रखने पर:
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan ^2 \theta}-1}{\tan \theta}\right)$
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{\sec \theta-1}{\tan \theta}\right)$
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\cos \theta}-1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1-\cos \theta = 2\sin ^2(\theta/2)$ और $\sin \theta = 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{2\sin ^2(\theta/2)}{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}\right) = \tan ^{-1}(\tan(\theta/2)) = \theta/2$.
चूंकि $\theta = \tan ^{-1} x$,इसलिए $y = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)}$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिया गया है,$\cos ^{-1}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)=\sin ^{-1}(a)$.
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर,$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \cos(\sin^{-1} a)$ प्राप्त होता है।
माना $\cos(\sin^{-1} a) = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अतः,$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k$.
$x^2 - y^2 = k(x^2 + y^2) \Rightarrow x^2(1-k) = y^2(1+k)$.
$y^2 = x^2 \left(\frac{1-k}{1+k}\right)$.
माना $C = \sqrt{\frac{1-k}{1+k}}$,जो एक स्थिरांक है।
अतः $y^2 = C^2 x^2 \Rightarrow y = Cx$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = C$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y = Cx$,इसलिए $C = \frac{y}{x}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(D) $y = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{2}\right)$
माना $x = \cos 2\theta$,तब $2\theta = \cos^{-1} x$ या $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$।
व्यंजक में $x$ का मान रखने पर:
$y = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2\theta} - \sqrt{1-\cos 2\theta}}{2}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1+\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta$ और $1-\cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$y = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos \theta - \sqrt{2}\sin \theta}{2}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{\cos \theta - \sin \theta}{\sqrt{2}}\right)$
$y = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta\right)$
$y = \sin^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{4} \cos \theta - \cos \frac{\pi}{4} \sin \theta\right)$
$y = \sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)\right) = \frac{\pi}{4} - \theta$
$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x$ रखने पर:
$y = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1} x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया गया समीकरण: $\log \sqrt{x^2+y^2}=\tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+y^2}) = \frac{1}{1+(\frac{x}{y})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{x}{y})$
$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (2x + 2y \frac{dy}{dx}) = \frac{y^2}{x^2+y^2} \cdot \frac{y - x \frac{dy}{dx}}{y^2}$
$\frac{2(x + y \frac{dy}{dx})}{2(x^2+y^2)} = \frac{y - x \frac{dy}{dx}}{x^2+y^2}$
$x + y \frac{dy}{dx} = y - x \frac{dy}{dx}$
$y \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} = y - x$
$\frac{dy}{dx}(x + y) = y - x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{x+y}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) गुणनफल $(1+x^2) \tan^{-1}(x)$ का अवकलन ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{d}{dx}(u \cdot v) = u \cdot \frac{dv}{dx} + v \cdot \frac{du}{dx}$.
मान लीजिए $u = (1+x^2)$ और $v = \tan^{-1}(x)$.
तब,$\frac{du}{dx} = 2x$ और $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$.
गुणन नियम लागू करने पर:
$\frac{d}{dx} \left\{ (1+x^2) \tan^{-1}(x) \right\} = (1+x^2) \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(x)) + \tan^{-1}(x) \cdot \frac{d}{dx}(1+x^2)$
$= (1+x^2) \cdot \frac{1}{1+x^2} + \tan^{-1}(x) \cdot (2x)$
$= 1 + 2x \tan^{-1}(x)$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1} \left( \frac{5x - x}{1 + 5x^2} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{2/3 + x}{1 - (2/3)x} \right)$.
सूत्र $\tan^{-1} a - \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left( \frac{a - b}{1 + ab} \right)$ का उपयोग करने पर,पहला पद $\tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x)$ है।
सूत्र $\tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left( \frac{a + b}{1 - ab} \right)$ का उपयोग करने पर,दूसरा पद $\tan^{-1}(2/3) + \tan^{-1}(x)$ है।
अतः,$y = \tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(2/3) + \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}(5x) + \tan^{-1}(2/3)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan^{-1}(5x)) + \frac{d}{dx} (\tan^{-1}(2/3))$.
चूंकि $\tan^{-1}(2/3)$ एक स्थिरांक है,इसका अवकलज $0$ है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (5x)^2} \times \frac{d}{dx}(5x) + 0 = \frac{5}{1 + 25x^2}$.

(C) दिया गया है $y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{4+5 \sin x}{5+4 \sin x}\right)$.
माना $f(x) = \frac{4+5 \sin x}{5+4 \sin x}$.
$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हैं: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - [f(x)]^2}} \cdot f'(x)$.
सबसे पहले,भागफल नियम (quotient rule) $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके $f'(x)$ ज्ञात करें:
$u = 4+5 \sin x \implies u' = 5 \cos x$
$v = 5+4 \sin x \implies v' = 4 \cos x$
$f'(x) = \frac{(5 \cos x)(5+4 \sin x) - (4+5 \sin x)(4 \cos x)}{(5+4 \sin x)^2} = \frac{9 \cos x}{(5+4 \sin x)^2}$.
अब,$1 - [f(x)]^2 = \frac{9 \cos^2 x}{(5+4 \sin x)^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{1 - [f(x)]^2} = \frac{3 |\cos x|}{5+4 \sin x}$.
मान रखने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{5+4 \sin x}{3 |\cos x|} \cdot \frac{9 \cos x}{(5+4 \sin x)^2} = \frac{3 \cos x}{|\cos x| (5+4 \sin x)}$.
इस प्रकार,$\cos x > 0$ के लिए $\frac{3}{5+4 \sin x}$ और $\cos x < 0$ के लिए $\frac{-3}{5+4 \sin x}$ प्राप्त होता है। विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $\frac{\pm 3}{5+4 \sin x}$ है।

(A) माना $y = \sin^{-1} \left( \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{4}{5} \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)$ है।
माना $\cos \alpha = \frac{3}{5}$,तो $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ होगा।
साथ ही,माना $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$,तो $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$y = \sin^{-1} (\cos \alpha \cos \theta + \sin \alpha \sin \theta) = \sin^{-1} (\cos(\alpha - \theta)) = \sin^{-1} (\sin(\frac{\pi}{2} - (\alpha - \theta))) = \frac{\pi}{2} - \alpha + \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\theta = \tan^{-1} x$ है,इसलिए $y = \frac{\pi}{2} - \alpha + \tan^{-1} x$ होगा।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 0 - 0 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $3 f(x)-2 f\left(\frac{1}{x}\right)=x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3 f^{\prime}(x)-2 f^{\prime}\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)=1$
$3 f^{\prime}(x)+\frac{2}{x^2} f^{\prime}\left(\frac{1}{x}\right)=1$
$x=2$ के लिए:
$3 f^{\prime}(2)+\frac{2}{4} f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=1 \Rightarrow 3 f^{\prime}(2)+\frac{1}{2} f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ...$(i)$
$x=\frac{1}{2}$ के लिए:
$3 f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{(1/4)} f^{\prime}(2)=1 \Rightarrow 3 f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)+8 f^{\prime}(2)=1$ ...(ii)
$(i)$ से,$f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=2-6 f^{\prime}(2)$ प्राप्त होता है।
इस मान को (ii) में रखने पर:
$3(2-6 f^{\prime}(2))+8 f^{\prime}(2)=1$
$6-18 f^{\prime}(2)+8 f^{\prime}(2)=1$
$-10 f^{\prime}(2)=-5$
$f^{\prime}(2)=\frac{1}{2}$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dt}{dx} = \frac{t}{x + t e^{-2x/t}}$.
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dx}{dt} = \frac{x + t e^{-2x/t}}{t}$.
अंश के प्रत्येक पद को $t$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dx}{dt} = \frac{x}{t} + \frac{t e^{-2x/t}}{t}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{x}{t} + e^{-2(x/t)}$.
यह $\frac{dx}{dt} = \phi\left(\frac{x}{t}\right)$ के रूप में है,जहाँ $\phi(v) = v + e^{-2v}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है,$f(x)=x^4-x^3+7x^2+14$।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x^4-x^3+7x^2+14) = 4x^3-3x^2+14x$।
इसके बाद,$f^{\prime}(x)$ का अवकलन करके द्वितीय अवकलज $f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx}(4x^3-3x^2+14x) = 12x^2-6x+14$।
अब,$f^{\prime \prime}(x)$ के व्यंजक में $x=5$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime \prime}(5) = 12(5)^2 - 6(5) + 14$।
$f^{\prime \prime}(5) = 12(25) - 30 + 14$।
$f^{\prime \prime}(5) = 300 - 30 + 14 = 284$।
अतः,मान $284$ है,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(A) दिया गया है,$y = \sqrt{\frac{1+\tan x}{1-\tan x}} = \sqrt{\tan(\frac{\pi}{4}+x)}$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\tan(\frac{\pi}{4}+x)}} \cdot \sec^2(\frac{\pi}{4}+x) \cdot \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{4}+x)$.
चूंकि $\frac{d}{dx}(\frac{\pi}{4}+x) = 1$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\tan(\frac{\pi}{4}+x)}} \cdot \sec^2(\frac{\pi}{4}+x)$.
$\sqrt{\tan(\frac{\pi}{4}+x)} = \sqrt{\frac{1+\tan x}{1-\tan x}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1-\tan x}{1+\tan x}} \sec^2(\frac{\pi}{4}+x)$.
अतः,विकल्प $A$ सही है.

(A) दिया गया समीकरण $2x^2 - 3xy + y^2 + x + 2y - 8 = 0$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(3xy) + \frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(2y) - \frac{d}{dx}(8) = 0$
$4x - 3(y + x \frac{dy}{dx}) + 2y \frac{dy}{dx} + 1 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$
$4x - 3y - 3x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} + 1 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक साथ रखने पर:
$(2y - 3x + 2) \frac{dy}{dx} = 3y - 4x - 1$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{3y - 4x - 1}{2y - 3x + 2}$।
इस प्रकार,विकल्प $A$ सही है।

(B) दिया गया है $f(x) = 3 e^{x^2}$।
सबसे पहले,चेन नियम का उपयोग करके अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x) = 3 \cdot e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 3 e^{x^2} \cdot 2x = 6x e^{x^2}$।
अब,पदों की गणना करें:
$2x f(x) = 2x(3 e^{x^2}) = 6x e^{x^2}$।
$f(0) = 3 e^{0^2} = 3(1) = 3$।
$f^{\prime}(0) = 6(0) e^{0^2} = 0$।
इन मानों को व्यंजक $f^{\prime}(x) - 2x f(x) + \frac{1}{3} f(0) - f^{\prime}(0)$ में रखें:
$= 6x e^{x^2} - 6x e^{x^2} + \frac{1}{3}(3) - 0$
$= 0 + 1 - 0 = 1$।

(D) दिया गया है,$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$.
सारणिक के अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$f'(x)$ तीन सारणिकों का योग है जहाँ प्रत्येक पंक्ति का बारी-बारी से अवकलन किया जाता है:
$f'(x) = \left| \begin{array}{ccc} -\sin x & 1 & 0 \\ 2 \sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \cos x & 2x & 2 \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^2 & 2x \\ \sec^2 x & 1 & 0 \end{array} \right|$.
$x = 0$ पर:
$f'(0) = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right|$.
प्रथम सारणिक में,दूसरी पंक्ति के सभी अवयव शून्य हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
द्वितीय सारणिक में,पहला और तीसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
तृतीय सारणिक में,दूसरी पंक्ति के सभी अवयव शून्य हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
अतः,$f'(0) = 0 + 0 + 0 = 0$.

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $\left(\frac{x}{31}\right)^n + \left(\frac{y}{1209}\right)^n = 2$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{n}{31} \left(\frac{x}{31}\right)^{n-1} + \frac{n}{1209} \left(\frac{y}{1209}\right)^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{n}{31} \left(\frac{x}{31}\right)^{n-1}}{\frac{n}{1209} \left(\frac{y}{1209}\right)^{n-1}} = -\frac{1209}{31} \left(\frac{x}{31}\right)^{n-1} \left(\frac{1209}{y}\right)^{n-1}$
चूंकि $1209 / 31 = 39$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = -39 \left(\frac{x}{31}\right)^{n-1} \left(\frac{1209}{y}\right)^{n-1}$
बिंदु $(31, 1209)$ पर,$x = 31$ और $y = 1209$ रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = -39 \left(\frac{31}{31}\right)^{n-1} \left(\frac{1209}{1209}\right)^{n-1} = -39(1)^{n-1}(1)^{n-1} = -39$
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल $-39$ है।

(C) दिया गया वक्र समीकरण: $y=5x^2-3x+7$ है।
सबसे पहले,स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलज $\frac{dy}{dx}$ निकालते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(5x^2-3x+7) = 10x-3$।
बिंदु $(-1, 4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_T$ है:
$m_T = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=-1} = 10(-1)-3 = -10-3 = -13$।
अब,रेखा के बिंदु-ढाल रूप $y-y_1 = m(x-x_1)$ का उपयोग करते हुए:
$y-4 = -13(x-(-1))$
$y-4 = -13(x+1)$
$y-4 = -13x-13$
$13x+y-4+13 = 0$
$13x+y+9 = 0$।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $3y^2 = 2ax^2 + 6b$ है . . . $(i)$
चूंकि वक्र बिंदु $P(3, -1)$ से होकर गुजरता है,हम समीकरण $(i)$ में $x = 3$ और $y = -1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(-1)^2 = 2a(3)^2 + 6b$
$3 = 18a + 6b$
$3$ से भाग देने पर,हमें $6a + 2b = 1$ प्राप्त होता है . . . $(ii)$
अब,प्रवणता ज्ञात करने के लिए समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$6y \frac{dy}{dx} = 4ax$
$P(3, -1)$ पर प्रवणता $-1$ दी गई है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -1$,$x = 3$,और $y = -1$ रखने पर:
$6(-1)(-1) = 4a(3)$
$6 = 12a$
$a = 1/2$
$a = 1/2$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$6(1/2) + 2b = 1$
$3 + 2b = 1$
$2b = -2$
$b = -1$
अतः,$a = 1/2$ और $b = -1$ प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया वक्र $y = \frac{x-7}{(x-2)(x-3)}$ है। वक्र $X$-अक्ष को वहाँ काटता है जहाँ $y = 0$ होता है। $y = 0$ रखने पर,हमें $x - 7 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 7$ है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $P(7, 0)$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{[(x-2)(x-3)] \cdot 1 - (x-7) \cdot \frac{d}{dx}[(x-2)(x-3)]}{[(x-2)(x-3)]^2}$
$x = 7$ पर,हर $(7-2)^2(7-3)^2 = 5^2 \cdot 4^2 = 400$ है। अंश $(49 - 35 + 6) - (0) = 20$ है।
इसलिए,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=7} = \frac{20}{400} = \frac{1}{20}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -20$ है।
बिंदु $(7, 0)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 0 = -20(x - 7)$ है,जिसे सरल करने पर $y = -20x + 140$ या $20x + y - 140 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) वक्र का समीकरण $y^n = ax$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$n y^{n-1} \frac{dy}{dx} = a$
$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{n} y^{1-n}$
सबनॉर्मल की लंबाई $|y \frac{dy}{dx}|$ के रूप में परिभाषित होती है।
$\frac{dy}{dx}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{सबनॉर्मल की लंबाई} = |y \cdot \frac{a}{n} y^{1-n}| = |\frac{a}{n} y^{2-n}|$
सबनॉर्मल को स्थिर होने के लिए,इसे $y$ से स्वतंत्र होना चाहिए।
यह तब होता है जब $y$ का घातांक $0$ हो,अर्थात $2 - n = 0$।
अतः,$n = 2$।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया वक्र $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ है ...$(i)$
माना वक्र पर एक बिंदु $P(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ है।
वक्र $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2}{3} x^{-1/3} + \frac{2}{3} y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{1/3}$.
बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m$:
$m = -\left(\frac{a \sin^3 \theta}{a \cos^3 \theta}\right)^{1/3} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\tan \theta$.
बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - a \sin^3 \theta = -\tan \theta (x - a \cos^3 \theta)$.
$x \sin \theta + y \cos \theta = a \sin \theta \cos \theta$.
बिंदु $A$ के लिए ($y=0$ रखने पर),$x = a \cos \theta$,अतः $A = (a \cos \theta, 0)$.
बिंदु $B$ के लिए ($x=0$ रखने पर),$y = a \sin \theta$,अतः $B = (0, a \sin \theta)$.
दूरी $AB = \sqrt{(a \cos \theta - 0)^2 + (0 - a \sin \theta)^2} = \sqrt{a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = a$.
अतः,$AB = a$.

(A) वक्र का समीकरण $y=ax^3+bx^2+cx+5$ है ...$(i)$
चूंकि वक्र $P(-2,0)$ पर $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,यह $P(-2,0)$ से गुजरता है,इसलिए $-8a+4b-2c+5=0$ ...(ii)
साथ ही,चूंकि यह $x=-2$ पर $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,$x=-2$ पर अवकलज $\frac{dy}{dx} = 0$ होगा।
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2+2bx+c$. $x=-2$ पर,$12a-4b+c=0$ ...(iii)
वक्र $Y$-अक्ष को $Q(0,5)$ पर काटता है जहाँ प्रवणता $3$ है,इसलिए $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = 3$,जिससे $c=3$ प्राप्त होता है।
$c=3$ को (ii) और (iii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$-8a+4b-6+5=0 \Rightarrow -8a+4b=1$ ...(iv)
$12a-4b+3=0 \Rightarrow 12a-4b=-3$ ...$(v)$
(iv) और $(v)$ को जोड़ने पर: $4a = -2 \Rightarrow a=-\frac{1}{2}$.
$a=-\frac{1}{2}$ को (iv) में रखने पर: $-8(-\frac{1}{2})+4b=1 \Rightarrow 4+4b=1 \Rightarrow 4b=-3 \Rightarrow b=-\frac{3}{4}$.
अतः,$a=-\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{4}, c=3$.

(C) दिया गया वक्र $y = \sin x$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = \cos x$।
बिंदु $(0, 0)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)} = \cos(0) = 1$ है।
बिंदु $(0, 0)$ पर अभिलंब की ढाल $m = -\frac{1}{\text{स्पर्श रेखा की ढाल}} = -\frac{1}{1} = -1$ होगी।
बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली और $m = -1$ ढाल वाली अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $y - 0 = -1(x - 0)$।
यह सरल होकर $y = -x$ या $x + y = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया बिंदु $P=(1,2)$ है।
स्पर्शक की ढाल $\frac{dy}{dx} = \tan(\theta) = \tan(\tan^{-1}(2x+3y)) = 2x+3y$ द्वारा दी गई है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} - 3y = 2x$।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -3 dx} = e^{-3x}$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर: $y e^{-3x} = \int 2x e^{-3x} dx + c$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int 2x e^{-3x} dx = 2x \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) - \int 2 \left(\frac{e^{-3x}}{-3}\right) dx = -\frac{2}{3}x e^{-3x} - \frac{2}{9} e^{-3x} + c$।
अतः,$y e^{-3x} = -\frac{2}{3}x e^{-3x} - \frac{2}{9} e^{-3x} + c$।
$e^{3x}$ से गुणा करने पर: $y = -\frac{2}{3}x - \frac{2}{9} + c e^{3x}$।
चूंकि वक्र $(1,2)$ से गुजरता है: $2 = -\frac{2}{3}(1) - \frac{2}{9} + c e^3 \implies 2 = -\frac{8}{9} + c e^3 \implies c e^3 = \frac{26}{9} \implies c = \frac{26}{9} e^{-3}$।
$c$ का मान रखने पर: $y = -\frac{2}{3}x - \frac{2}{9} + \frac{26}{9} e^{-3} e^{3x} \implies 9y = -6x - 2 + 26 e^{3x-3} \implies 6x + 9y + 2 = 26 e^{3x-3}$।

(C) दी गई रेखा $2x+18y=9$ है। इस रेखा की प्रवणता $m = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$ है।
दिया गया वक्र $y=x^3-3x$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 3x^2-3$ प्राप्त होता है।
अभिलंब की प्रवणता $-\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = -\frac{1}{3x^2-3}$ होती है।
चूंकि अभिलंब दी गई रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी प्रवणताएँ समान होंगी:
$-\frac{1}{9} = -\frac{1}{3(x^2-1)} \Rightarrow 3(x^2-1) = 9 \Rightarrow x^2-1 = 3 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
स्थिति $1$: यदि $x=2$,तो $y = (2)^3 - 3(2) = 8-6 = 2$। बिंदु $(2, 2)$ है।
अभिलंब का समीकरण $y-2 = -\frac{1}{9}(x-2) \Rightarrow 9y-18 = -x+2 \Rightarrow x+9y = 20$ है।
स्थिति $2$: यदि $x=-2$,तो $y = (-2)^3 - 3(-2) = -8+6 = -2$। बिंदु $(-2, -2)$ है।
अभिलंब का समीकरण $y-(-2) = -\frac{1}{9}(x-(-2)) \Rightarrow 9(y+2) = -(x+2) \Rightarrow 9y+18 = -x-2 \Rightarrow x+9y = -20$ है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,अभीष्ट समीकरण $x+9y = \pm 20$ है।

(C) दिया गया वक्र $y = e^{2x}$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}$।
बिंदु $(0, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 1)} = 2e^{2(0)} = 2(1) = 2$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (0, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ होता है।
मान रखने पर,$y - 1 = 2(x - 0)$,जिसे सरल करने पर $y = 2x + 1$ प्राप्त होता है।
यह ज्ञात करने के लिए कि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को कहाँ मिलती है,हम $y = 0$ रखते हैं।
$0 = 2x + 1 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$।
अतः,स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $(-\frac{1}{2}, 0)$ बिंदु पर मिलती है।

(C) दिया गया वक्र $y = x + \frac{2}{x}$ है।
$x = 2$ पर,$y = 2 + \frac{2}{2} = 3$ है। अतः,बिंदु $(2, 3)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{2}{x^2}$ प्राप्त होता है।
$x = 2$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -2$ है।
$(2, 3)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 3 = -2(x - 2)$ है,जो $y - 3 = -2x + 4$ या $2x + y = 7$ में सरल हो जाता है।
उन बिंदुओं $A$ और $B$ को ज्ञात करने के लिए जहाँ अभिलंब निर्देशांक अक्षों को मिलता है:
$x$-अंतःखंड $(y = 0)$ के लिए,$2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}$। अतः,$A = (\frac{7}{2}, 0)$।
$y$-अंतःखंड $(x = 0)$ के लिए,$y = 7$। अतः,$B = (0, 7)$।
$AB$ की लंबाई $= \sqrt{(\frac{7}{2} - 0)^2 + (0 - 7)^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + 49} = \sqrt{49(\frac{1}{4} + 1)} = 7 \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{7\sqrt{5}}{2}$।

(B) मान लीजिए कि $t$ समय पर बैक्टीरिया की संख्या $N(t)$ है। वृद्धि $N(t) = t^3$ द्वारा दी गई है।
बैक्टीरिया के विकास की दर अवकलन $\frac{dN}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3) = 3t^2$ द्वारा दी जाती है।
हमें दिया गया है कि विकास की दर $1200 \ \text{per } s$ है।
इसलिए,$3t^2 = 1200$.
$3$ से विभाजित करने पर,हमें $t^2 = 400$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$t = \sqrt{400} = 20 \ s$.
अतः,लगा हुआ समय $20 \ s$ है।

(A) एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A$ जिसकी भुजा $a$ है,इस प्रकार दिया जाता है:
$A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2a \cdot \frac{da}{dt}$
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \cdot \frac{da}{dt}$
यहाँ दिया गया है कि भुजा के बढ़ने की दर $\frac{da}{dt} = 2 \text{ cm s}^{-1}$ है और भुजा की लंबाई $a = 10 \text{ cm}$ है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 \times 2$
$\frac{dA}{dt} = 10 \sqrt{3} \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1}$
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $10 \sqrt{3} \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1}$ की दर से बढ़ रहा है।

(D) दिया गया है, त्रिज्या $(r) = 7 \text{ m}$ और त्रिज्या में त्रुटि $(dr) = 0.02 \text{ m}$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ प्राप्त होता है।
आयतन में अनुमानित त्रुटि $(dV)$, $dV = \frac{dV}{dr} \times dr$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर, $dV = 4 \pi (7)^2 \times 0.02$।
$dV = 4 \pi (49) \times 0.02$।
$dV = 196 \pi \times 0.02 = 3.92 \pi \text{ m}^3$।
अतः, आयतन की गणना में अनुमानित त्रुटि $3.92 \pi \text{ m}^3$ है। इसलिए, विकल्प $(D)$ सही है।

(A) माना मूलधन $P$ है। यह दिया गया है कि मूलधन $6 \%$ प्रति वर्ष की दर से निरंतर बढ़ता है,इसलिए अवकल समीकरण है:
$\frac{dP}{dt} = \frac{6}{100} P = 0.06 P$
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dP}{P} = 0.06 dt$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dP}{P} = \int 0.06 dt$
$\log P = 0.06 t + C$
प्रारंभ में,$t = 0$ पर,$P = 6000$ है। अतः,$\log 6000 = C$ है।
इस प्रकार,$\log P = 0.06 t + \log 6000$,जिसका अर्थ है $\log(\frac{P}{6000}) = 0.06 t$।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब मूलधन दोगुना हो जाए,अर्थात $P = 12000$।
$\log(\frac{12000}{6000}) = 0.06 t$
$\log 2 = \frac{6}{100} t$
$t = \frac{100}{6} \log 2 = \frac{50}{3} \log 2$
अतः,आवश्यक समय $\frac{50}{3} \log 2$ वर्ष है। विकल्प $(A)$ सही है।

(D) दिया गया फलन $y = \ln(\ln(x))$ है,जहाँ $x > 1$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x \ln(x)}$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$\frac{dy}{dx} < 0$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{1}{x \ln(x)} < 0$.
चूँकि डोमेन $x > 1$ दिया गया है,हम जानते हैं कि $\ln(x) > 0$ और $x > 1$ है।
इसलिए,$x > 1$ के लिए $x \ln(x)$ का गुणनफल हमेशा धनात्मक होता है।
चूँकि $x > 1$ के लिए $\frac{1}{x \ln(x)}$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए ऐसा कोई अंतराल नहीं है जहाँ फलन ह्रासमान हो।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) मान लीजिए कि प्रारंभिक जनसंख्या $P_0$ है। $3 \%$ की वार्षिक वृद्धि दर पर $5 \text{ yr}$ के बाद जनसंख्या $P = P_0(1 + \frac{3}{100})^5$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत वृद्धि की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\frac{P - P_0}{P_0} \times 100 = [ (1 + 0.03)^5 - 1 ] \times 100$
$= [ (1.03)^5 - 1 ] \times 100$
$(1.03)^5 \approx 1.15927$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\approx [1.15927 - 1] \times 100 = 15.927 \% \approx 15.9 \%$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) माना कि फलन $f(x) = \sqrt{x}$ है।
हम $x = 196$ और $\Delta x = 3$ चुनते हैं क्योंकि $196$,$199$ के निकटतम पूर्ण वर्ग है।
अवकलन सूत्र $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \times \Delta x$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$x = 196$ पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{196}} = \frac{1}{2 \times 14} = \frac{1}{28}$.
अब,$\Delta y \approx \frac{1}{28} \times 3 = \frac{3}{28} \approx 0.10714$.
अतः,$\sqrt{199} = \sqrt{196} + \Delta y \approx 14 + 0.1071 = 14.1071$.

(C) माना $y = f(x) = x^{1/3}$ है।
हम $x = 27$ चुनते हैं ताकि $x + \Delta x = 26$ हो।
अतः $\Delta x = 26 - 27 = -1$ है।
हम जानते हैं कि $y + \Delta y \approx f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^{1/3}$ होता है।
अवकल $\Delta y$ को $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $y = x^{1/3}$ है,हमारे पास $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}}$ है।
$x = 27$ पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(27)^{2/3}} = \frac{1}{3(9)} = \frac{1}{27}$ होता है।
अतः,$\Delta y \approx \frac{1}{27} \times (-1) = -\frac{1}{27} \approx -0.037037$ है।
इसलिए,$\sqrt[3]{26} = y + \Delta y = 27^{1/3} - 0.037037 = 3 - 0.037037 = 2.962963$ है।
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $2.963$ प्राप्त होता है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों के आधार पर,$2.962$ सबसे निकटतम मान है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2$ है।
स्थिर बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम फलन का $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज (derivative) निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 2) = 3x^2 + 6x$.
स्थिर बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ प्रथम अवकलज शून्य के बराबर होता है:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 + 6x = 0$.
व्यंजक का गुणनखंड करने पर हमें प्राप्त होता है:
$3x(x + 2) = 0$.
इससे $x = 0$ और $x = -2$ प्राप्त होते हैं।
अतः,स्थिर बिंदुओं पर $x$ के मान $0$ और $-2$ हैं।

(A) माना $f(x) = (1/2)^x$,जहाँ $x \in R$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( (1/2)^x \right) = (1/2)^x \ln(1/2)$.
चूँकि $\ln(1/2) = \ln(1) - \ln(2) = 0 - \ln(2) = -\ln(2)$,इसलिए:
$f'(x) = -(1/2)^x \ln(2)$.
चूँकि $(1/2)^x > 0$ और $\ln(2) > 0$ है,इसलिए $f'(x) < 0$ प्राप्त होता है।
अतः,चूँकि $f'(x) < 0$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $R$ पर निरंतर ह्रासमान है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = k(x + \sin x) + k$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}[k(x + \sin x) + k] = k(1 + \cos x)$।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
अतः,$k(1 + \cos x) \geq 0$।
हम जानते हैं कि सभी वास्तविक $x$ के लिए,$-1 \leq \cos x \leq 1$,जिसका अर्थ है कि $0 \leq 1 + \cos x \leq 2$।
चूंकि $(1 + \cos x)$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है,इसलिए गुणनफल $k(1 + \cos x) \geq 0$ होने के लिए $k > 0$ होना आवश्यक है।
अतः,$k > 0$।

(B) दिया गया है,$y = \frac{ax - b}{(x - 1)(x - 4)} . . . . . . (i)$ का एक टर्निंग पॉइंट $P(2, -1)$ है।
चूंकि बिंदु $P$ वक्र पर स्थित है,यह समीकरण $(i)$ को संतुष्ट करेगा:
$-1 = \frac{2a - b}{(2 - 1)(2 - 4)} = \frac{2a - b}{-2}$
$2a - b = 2 . . . . . . (ii)$
टर्निंग पॉइंट पर,अवकलज $\frac{dy}{dx} = 0$ होता है।
समीकरण $(i)$ से,$y(x^2 - 5x + 4) = ax - b$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y(2x - 5) + (x^2 - 5x + 4) \frac{dy}{dx} = a$।
$x = 2$ और $y = -1$ पर,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर:
$-1(2(2) - 5) + (2^2 - 5(2) + 4)(0) = a$
$-1(4 - 5) = a$
$a = 1$।
समीकरण $(ii)$ में $a = 1$ रखने पर:
$2(1) - b = 2$
$b = 0$।
अतः,$a = 1$ और $b = 0$ है।

(B) माना $R = 22 \ cm$ गोले की त्रिज्या है और $h$ बेलन की ऊँचाई है। माना $r$ बेलन की त्रिज्या है।
गोले की ज्यामिति से,$r^2 + (h/2)^2 = R^2$,जिसका अर्थ है $r^2 = R^2 - h^2/4$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2\pi rh = 2\pi h \sqrt{R^2 - h^2/4} = \pi h \sqrt{4R^2 - h^2}$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $A^2 = \pi^2 h^2 (4R^2 - h^2) = \pi^2 (4R^2h^2 - h^4)$ को अधिकतम करते हैं।
माना $f(h) = 4R^2h^2 - h^4$. $h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(h) = 8R^2h - 4h^3$ प्राप्त होता है।
$f'(h) = 0$ रखने पर,$4h(2R^2 - h^2) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $h > 0$,इसलिए $h^2 = 2R^2$,अतः $h = R\sqrt{2}$ होगा।
यहाँ $R = 22 \ cm$ दिया गया है,इसलिए ऊँचाई $h = 22\sqrt{2} \ cm$ होगी।

(A) दिया गया फलन $f(x) = -x + \sin 2x$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ पर है।
सबसे पहले,$f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें।
$f'(x) = -1 + 2 \cos 2x = 0$
$\cos 2x = \frac{1}{2}$
चूंकि $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए $2x \in [-\pi, \pi]$ है।
अतः,$2x = \pm \frac{\pi}{3}$,जिससे $x = \pm \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(-\frac{\pi}{2}) = -(-\frac{\pi}{2}) + \sin(-\pi) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$
$f(-\frac{\pi}{6}) = -(-\frac{\pi}{6}) + \sin(-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f(\frac{\pi}{6}) = -(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f(\frac{\pi}{2}) = -(\frac{\pi}{2}) + \sin(\pi) = -\frac{\pi}{2} + 0 = -\frac{\pi}{2}$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $M = \frac{\pi}{2}$ और न्यूनतम मान $m = -\frac{\pi}{2}$ है।
अतः अंतर $M - m = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$ है।