int_{-pi / 4}^{pi / 4} x^3 sin ^4(x) d x= | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} x^3 \sin^4(x) dx$ है। हम जानते हैं कि निश्चित समाकलन के लिए,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,अर्थात $f(-x) = -f(x)$,त

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(A) माना $I = \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} x^3 \sin^4(x) dx$ है। हम जानते हैं कि निश्चित समाकलन के लिए,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,अर्थात $f(-x) = -f(x)$,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है। यहाँ,$f(x) = x^3 \sin^4(x)$ है। $f(-x)$ की गणना करने पर: $f(-x) = (-x)^3 \sin^4(-x) = -x^3 (\sin(x))^4 = -x^3 \sin^4(x) = -f(x)$। चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए सममित अंतराल $[-\pi/4, \pi/4]$ पर इसका समाकलन $0$ होगा। अतः,$I = 0$।

$\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} x^3 \sin ^4(x) d x=$

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$\int_0^{2 \pi} \theta \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$ \int_{0}^{\pi / 4} \log \left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right) d x $

$\int_0^{2 \pi} \sin ^3 x \cos ^2 x \, dx = $ . . . . . . .

समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cos x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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