x frac{dy}{dx} + 3y = x^2 का समाकलन गुणक (Int | vedclass

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Question

(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 3y = x^2$ है। दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{3}

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$x^3$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 3y = x^2$ है। दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{3}{x} y = x$. इसे मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के साथ तुलना करने पर,$P = \frac{3}{x}$ प्राप्त होता है। समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P dx}$ है। $IF = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = e^{\ln x^3} = x^3$. अतः,समाकलन गुणक $x^3$ है।

$x \frac{dy}{dx} + 3y = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{1 + x e^y \cos(x^2)}$ का हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है):

अवकल समीकरण $(x+2y^3) \frac{dy}{dx} = y$ का हल है

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x y^{\prime}-y=x^{2}(x \cos x+\sin x), x>0$ का हल है। यदि $y(\pi)=\pi$ है,तो $y^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)+y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $y^2 dx + \left( x - \frac{1}{y} \right) dy = 0$ के लिए,यदि $y(1) = 1$ है,तो $x = $ ज्ञात कीजिए।

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