अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + y g'(x) = g(x) g'( | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + g'(x)y = g(x)g'(x)$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = g'(x

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$g(x) + \log|y - g(x) + 1| = c$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + g'(x)y = g(x)g'(x)$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = g'(x)$ और $Q(x) = g(x)g'(x)$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int g'(x) dx} = e^{g(x)}$ है।व्यापक हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + C$ है।मान रखने पर,$y e^{g(x)} = \int g(x)g'(x) e^{g(x)} dx + C$ प्राप्त होता है।माना $g(x) = t$,तो $g'(x) dx = dt$ होगा।अतः,$y e^{g(x)} = \int t e^t dt + C$।खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int t e^t dt = t e^t - e^t + C = e^t(t - 1) + C$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$y e^{g(x)} = e^{g(x)}(g(x) - 1) + C$।पदों को व्यवस्थित करने पर,$y e^{g(x)} - e^{g(x)}(g(x) - 1) = C$।$e^{g(x)}(y - g(x) + 1) = C$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log(e^{g(x)}) + \log|y - g(x) + 1| = \log(C)$।$g(x) + \log|y - g(x) + 1| = C'$।अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y g'(x) = g(x) g'(x)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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