अवकल समीकरण cos(x+y) dy = dx का हल ज्ञात कीजि | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\cos(x+y) dy = dx$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} = \sec(x+y)$ के रूप में लिखा जा सकता है।माना $x+y = t$. तब $1 + \frac{dy}{dx} = \f

Vedclass · Accepted Answer

$y = 	an \left(\frac{x+y}{2}ight)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\cos(x+y) dy = dx$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} = \sec(x+y)$ के रूप में लिखा जा सकता है।माना $x+y = t$. तब $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$ प्राप्त होता है।इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dt}{dx} - 1 = \sec(t) \Rightarrow \frac{dt}{dx} = 1 + \sec(t) = \frac{1+\cos(t)}{\cos(t)}$.चरों को अलग करने पर: $\int \frac{\cos(t)}{1+\cos(t)} dt = \int dx$.सर्वसमिका $1+\cos(t) = 2\cos^2(t/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $\int \frac{\cos(t)}{2\cos^2(t/2)} dt = \int dx$ प्राप्त होता है।चूंकि $\cos(t) = 2\cos^2(t/2) - 1$,समाकलन $\int \frac{2\cos^2(t/2)-1}{2\cos^2(t/2)} dt = \int dx$ हो जाता है।इसका सरल रूप $\int (1 - \frac{1}{2}\sec^2(t/2)) dt = \int dx$ है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $t - 	an(t/2) = x + C$.$t = x+y$ रखने पर: $(x+y) - 	an((x+y)/2) = x + C \Rightarrow y - 	an((x+y)/2) = C$.चूंकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$0 - 	an(0/2) = C \Rightarrow C = 0$.अतः,हल $y = 	an \left(\frac{x+y}{2}ight)$ है।

अवकल समीकरण $\cos(x+y) dy = dx$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $y(0) = 0$ दिया गया है।

Similar Questions

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए ($k, c$ स्वेच्छ अचर हैं)

$\frac{dy}{dx} = (\frac{x}{y})^{-1/3}$ का हल है

$(\text{cosec } x \log y) dy + (x^2 y) dx = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।

प्रतिस्थापन $\frac{dy}{dx}=z$ अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}=0$ को एक ऐसे अवकल समीकरण में बदल देता है जिसका हल $z=$ है।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module