यदि $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{x}{\sin x} dx$ और $I_2 = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ है,तो $I_1 : I_2$ क्या है?

मान लीजिए $f: \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ एक सतत फलन है ताकि $f(0)=1$ और $\int_0^{\frac{\pi}{3}} f(t) dt = 0$ हो। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ समीकरण $f(x) - 3 \cos 3x = 0$ का $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ में कम से कम एक हल है।
$(B)$ समीकरण $f(x) - 3 \sin 3x = -\frac{6}{\pi}$ का $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ में कम से कम एक हल है।
$(C)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{1 - e^{x^2}} = -1$
$(D)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \int_0^x f(t) dt}{x^2} = -1$

यदि $m \in Z^{+}$,$n=2m$ और $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \, dx = K(m) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^m x \, dx$ है,तो $\frac{2^{m-1}(m-1)!}{(2m-1)!} K(m) =$

माना $f(x)=(1-x)^2 \sin ^2 x+x^2$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए और $g(x)=\int_1^x \left(\frac{2(t-1)}{t+1}-\ln t\right) f(t) dt$ सभी $x \in (1, \infty)$ के लिए।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $g$,$(1, \infty)$ पर वर्धमान है
$(B)$ $g$,$(1, \infty)$ पर ह्रासमान है
$(C)$ $g$,$(1,2)$ पर वर्धमान और $(2, \infty)$ पर ह्रासमान है
$(D)$ $g$,$(1,2)$ पर ह्रासमान और $(2, \infty)$ पर वर्धमान है
$2.$ कथनों पर विचार करें:
$P$ : ऐसा कोई $x \in \mathbb{R}$ विद्यमान है कि $f(x)+2x=2(1+x^2)$
$Q$ : ऐसा कोई $x \in \mathbb{R}$ विद्यमान है कि $2f(x)+1=2x(1+x)$
तब
$(A)$ $P$ और $Q$ दोनों सत्य हैं
$(B)$ $P$ सत्य है और $Q$ असत्य है
$(C)$ $P$ असत्य है और $Q$ सत्य है
$(D)$ $P$ और $Q$ दोनों असत्य हैं
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए उत्तर दें।

यदि $n(2n+1) \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx = 1177 \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$ है,तो $n \in N$ का मान $\dots\dots$ है।

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8x \cot x \, dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} \right)dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।