x frac{d y}{d x} = y(log y - log x + 1) का हल | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x} = y(\log(\frac{y}{x}) + 1)$ है।$x$ से भाग देने पर,$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}(\log(\frac{y}{x}) + 1)$ प

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$y = x e^{c x}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x} = y(\log(\frac{y}{x}) + 1)$ है।$x$ से भाग देने पर,$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}(\log(\frac{y}{x}) + 1)$ प्राप्त होता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = v x$,तब $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$v + x \frac{d v}{d x} = v(\log v + 1)$$v + x \frac{d v}{d x} = v \log v + v$$x \frac{d v}{d x} = v \log v$चरों को अलग करने पर: $\frac{d v}{v \log v} = \frac{d x}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{v \log v} d v = \int \frac{1}{x} d x$.माना $\log v = t$,तब $\frac{1}{v} d v = d t$.$\int \frac{1}{t} d t = \int \frac{1}{x} d x \implies \log t = \log x + \log c$.$\log(\log v) = \log(c x) \implies \log v = c x$.चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\log(\frac{y}{x}) = c x \implies \frac{y}{x} = e^{c x} \implies y = x e^{c x}$.

$x \frac{d y}{d x} = y(\log y - \log x + 1)$ का हल ज्ञात कीजिए।

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