int_0^1 frac{8 log (1+x)}{1+x^2} dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} dx$. $x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^2 	heta d	heta$. જ્યારે $x = 0$ ત્યારે $	heta = 0$

Vedclass · Accepted Answer

$\pi \log 2$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} dx$. $x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^2 	heta d	heta$. જ્યારે $x = 0$ ત્યારે $	heta = 0$,અને જ્યારે $x = 1$ ત્યારે $	heta = \frac{\pi}{4}$. તેથી $I = 8 \int_0^{\pi/4} \frac{\log(1+	an 	heta)}{1+	an^2 	heta} \sec^2 	heta d	heta = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1+	an 	heta) d	heta$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(	heta) d	heta = \int_0^a f(a-	heta) d	heta$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1+	an(\frac{\pi}{4}-	heta)) d	heta$. $	an(\frac{\pi}{4}-	heta) = \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}$ હોવાથી: $I = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1 + \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}) d	heta = 8 \int_0^{\pi/4} \log(\frac{2}{1+	an 	heta}) d	heta$. $I = 8 \int_0^{\pi/4} (\log 2 - \log(1+	an 	heta)) d	heta = 8 \int_0^{\pi/4} \log 2 d	heta - I$. $2I = 8 \log 2 [	heta]_0^{\pi/4} = 8 \log 2 (\frac{\pi}{4}) = 2\pi \log 2$. તેથી,$I = \pi \log 2$.

$\int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} dx =$

Similar Questions

$\int_{0}^{\infty} \log \left( x + \frac{1}{x} \right) \frac{dx}{1 + x^2}$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_0^{2a} f(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{\pi} \log(\sin^2 x) \, dx = $

સંકલન $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+a^x} dx$ નું મૂલ્ય,જ્યાં $a > 0$,શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module