જો $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{x}{\sin x} dx$ અને $I_2 = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ હોય,તો $I_1 : I_2$ શું થાય?

$x, t \in R$ માટે,ધારો કે $p_t(x) = (\sin t) x^2 - (2 \cos t) x + \sin t$ એ $x$ માં ચલ સહગુણકો ધરાવતી દ્વિઘાત બહુપદીઓનું કુટુંબ છે. ધારો કે $A(t) = \int_0^1 p_t(x) dx$. નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$I$. બધા $t$ માટે $A(t) < 0$.
$II$. $A(t)$ ને અનંત સંખ્યામાં નિર્ણાયક બિંદુઓ છે.
$III$. અનંત સંખ્યામાં $t$ માટે $A(t) = 0$.
$IV$. બધા $t$ માટે $A'(t) < 0$.

$ 6\int_{0}^{\pi}|(\sin 3x+\sin 2x+\sin x)| dx $ ની કિંમત .... છે.

જો $A_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ અને $B_n = \int_{0}^{\pi /2} \left( \frac{\sin(nx)}{\sin x} \right)^2 dx$ જ્યાં $n \in N$,તો:

ધારો કે $\{x\}$ અને $[x]$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ અને $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. જો $\int_{0}^{n}\{x\} dx$,$\int_{0}^{n}[x] dx$ અને $10(n^{2}-n)$ $(n \in N, n > 1)$ એ $G.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

જો $m \in Z^{+}$,$n=2m$ અને $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \, dx = K(m) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^m x \, dx$ હોય,તો $\frac{2^{m-1}(m-1)!}{(2m-1)!} K(m) =$