WBJEE 2011 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણો:
$1$) $\log _3 x + \log _3 y = 2 + \log _3 2$
$2$) $\log _3(x+y) = 2$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log _3(xy) = \log _3(3^2) + \log _3 2$
$\log _3(xy) = \log _3 9 + \log _3 2 = \log _3 18$
તેથી,$xy = 18$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી:
$x + y = 3^2 = 9$.
આમ,$x+y=9$ અને $xy=18$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 9t + 18 = 0$ ઉકેલતા,$t=3$ અથવા $t=6$ મળે છે.
તેથી,ઉકેલ $(x=3, y=6)$ અથવા $(x=6, y=3)$ છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $x=3, y=6$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\log _{7} 2 = \lambda$.
આપણે $\log _{49} (28)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log _{a^n} b = \frac{1}{n} \log _{a} b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{49} (28) = \log _{7^2} (28) = \frac{1}{2} \log _{7} (28)$.
કારણ કે $28 = 4 \times 7 = 2^2 \times 7$,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{1}{2} \log _{7} (2^2 \times 7) = \frac{1}{2} [\log _{7} (2^2) + \log _{7} 7]$.
$\log _{a} (x^n) = n \log _{a} x$ અને $\log _{a} a = 1$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} [2 \log _{7} 2 + 1] = \frac{1}{2} (2 \lambda + 1)$.

(B) આપેલ છે કે $\sin \theta$ અને $\cos \theta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 - bx + c = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\sin \theta + \cos \theta = \frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{c}{a}$ થાય.
બીજના સરવાળાનો વર્ગ કરતા,$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{b}{a})^2$ મળે.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{b^2}{a^2}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$1 + 2(\frac{c}{a}) = \frac{b^2}{a^2}$ મળે.
$a^2$ વડે ગુણતા,$a^2 + 2ac = b^2$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$a^2 - b^2 + 2ac = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે સમીકરણ $px^2+qx+r=0$ ના બીજ $a\alpha$ અને $b\alpha$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $a\alpha + b\alpha = (a+b)\alpha = -\frac{q}{p}$
બીજનો ગુણાકાર: $(a\alpha)(b\alpha) = ab\alpha^2 = \frac{r}{p}$
હવે,ગુણોત્તર ધ્યાનમાં લો:
$\frac{ab\alpha^2}{(a+b)^2\alpha^2} = \frac{ab}{(a+b)^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{ab}{(a+b)^2} = \frac{r/p}{(-q/p)^2} = \frac{r}{p} \times \frac{p^2}{q^2} = \frac{pr}{q^2}$

(D) સમીકરણ $x^2+x+1=0$ ના બીજ એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
ધારો કે $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\omega + \omega^2 = -1$.
નવા બીજની ગણતરી:
$\alpha^{19} = \omega^{19} = (\omega^3)^6 \cdot \omega = 1^6 \cdot \omega = \omega$.
$\beta^7 = (\omega^2)^7 = \omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
$\alpha^{19}$ અને $\beta^7$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\alpha^{19} + \beta^7)x + (\alpha^{19} \cdot \beta^7) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x^2 - (\omega + \omega^2)x + (\omega \cdot \omega^2) = 0$.
કારણ કે $\omega + \omega^2 = -1$ અને $\omega^3 = 1$,સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$x^2 - (-1)x + 1 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + x + 1 = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $x+\frac{1}{x}=2 \cos \theta$.
ધારો કે $x = \cos \theta + i \sin \theta$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$x^n = \cos n \theta + i \sin n \theta$.
તેથી,$\frac{1}{x^n} = \cos n \theta - i \sin n \theta$.
બંનેનો સરવાળો કરતા:
$x^n + \frac{1}{x^n} = 2 \cos n \theta$.

(C) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{n(n-3)}{2} = 20$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,$n(n-3) = 40$ મળે.
$n^2 - 3n - 40 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(n-8)(n+5) = 0$.
બાજુઓની સંખ્યા $n$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 8$ મળે.

(B) ધારો કે શ્રેણીના પદો $T_1, T_2, T_3, \ldots$ છે,જ્યાં $T_1 = \log a$,$T_2 = \log \frac{a^2}{b}$,અને $T_3 = \log \frac{a^3}{b^2}$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log \frac{x}{y} = \log x - \log y$ અને $\log x^n = n \log x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_1 = \log a$
$T_2 = 2 \log a - \log b$
$T_3 = 3 \log a - 2 \log b$
હવે,સામાન્ય તફાવત $d = T_2 - T_1 = (2 \log a - \log b) - \log a = \log a - \log b$.
તે જ રીતે $T_3 - T_2 = (3 \log a - 2 \log b) - (2 \log a - \log b) = \log a - \log b$.
અહીં $T_2 - T_1 = T_3 - T_2$ હોવાથી,આ શ્રેણી $d = \log a - \log b$ સામાન્ય તફાવત ધરાવતી $A$.$P$. છે.

(B) આપેલ છે કે $\sin A, \sin B, \sin C$ એ $A.P.$ માં છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,જ્યાં $R$ એ પરિવૃતની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
ધારો કે $p_1, p_2, p_3$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $a, b, c$ ને અનુરૂપ વેધ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$.
આનો અર્થ એ થાય કે $p_1 = \frac{2\Delta}{a}, p_2 = \frac{2\Delta}{b}, p_3 = \frac{2\Delta}{c}$.
જેમ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $H.P.$ માં છે.
તેથી,$\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ એ $H.P.$ માં છે.
આમ,વેધ $p_1, p_2, p_3$ એ $H.P.$ માં છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $S = 1 + 2\omega + 3\omega^2 + \dots + 3n\omega^{3n-1}$ છે.
$\omega$ વડે ગુણતા: $S\omega = \omega + 2\omega^2 + 3\omega^3 + \dots + 3n\omega^{3n}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S(1 - \omega) = 1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{3n-1} - 3n\omega^{3n}$.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,સમગુણોત્તર શ્રેણી $1 + \omega + \dots + \omega^{3n-1}$ નો સરવાળો $\frac{1 - (\omega^3)^n}{1 - \omega} = \frac{1 - 1}{1 - \omega} = 0$ થાય.
તેથી,$S(1 - \omega) = 0 - 3n(1) = -3n$.
આમ,$S = \frac{-3n}{1 - \omega} = \frac{3n}{\omega - 1}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{e^{7x}+e^x}{e^{3x}} = e^{4x} + e^{-2x}$.
$e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ ના ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$e^{4x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n x^n}{n!}$.
$e^{-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n x^n}{n!}$.
આ બંને શ્રેણીઓનો સરવાળો કરતા,$x^n$ નો સહગુણક $\frac{4^n + (-2)^n}{n!}$ મળે છે.

(C) ધારો કે શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n(n+1)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$.
તેથી,$S = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \dots$
$S = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \dots$
$S = 1 - 2(\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{3}) - 2(\frac{1}{4}) + 2(\frac{1}{5}) - \dots$
$S = 1 - 2[\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots]$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\log_{e}(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$
$x=1$ માટે,$\log_{e} 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$
તેથી,$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots = 1 - \log_{e} 2$.
આ કિંમત મૂકતા,$S = 1 - 2(1 - \log_{e} 2) = 1 - 2 + 2 \log_{e} 2 = 2 \log_{e} 2 - 1$.

(B) $(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n}$ નો સહગુણક $A = {}^{2n}C_{n}$ છે.
$(1+x)^{2n-1}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n}$ નો સહગુણક $B = {}^{2n-1}C_{n}$ છે.
હવે,ગુણોત્તર $A / B$ શોધીએ:
$\frac{A}{B} = \frac{{}^{2n}C_{n}}{{}^{2n-1}C_{n}}$
સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n}{r} \times {}^{n-1}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\frac{A}{B} = \frac{\frac{(2n)!}{n!n!}}{\frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!}} = \frac{2n}{n} = 2$.

(A) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $(101)^{100}-1$ ને $(1+100)^{100}-1$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(1+100)^{100}-1 = \left(1 + {}^{100}C_{1}(100) + {}^{100}C_{2}(100)^{2} + {}^{100}C_{3}(100)^{3} + \dots + {}^{100}C_{100}(100)^{100}\right) - 1$.
કારણ કે ${}^{100}C_{1} = 100$,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$100(100) + {}^{100}C_{2}(100)^{2} + {}^{100}C_{3}(100)^{3} + \dots + {}^{100}C_{100}(100)^{100}$.
$= 10^{4} + {}^{100}C_{2}(10^{4}) + {}^{100}C_{3}(10^{6}) + \dots + 10^{200}$.
$= 10^{4} \left(1 + {}^{100}C_{2} + {}^{100}C_{3}(10^{2}) + \dots + 10^{196}\right)$.
આમ,આ પદાવલિ $10^{4}$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$(1+x)^n = {^nC_0} + {^nC_1}x + {^nC_2}x^2 + {^nC_3}x^3 + \dots + {^nC_n}x^n$
કારણ કે ${^nC_0} = 1$ અને ${^nC_1} = n$,આપણે લખી શકીએ:
$(1+x)^n = 1 + nx + {^nC_2}x^2 + {^nC_3}x^3 + \dots + x^n$
હવે,બંને બાજુથી $nx$ અને $1$ બાદ કરતા:
$(1+x)^n - nx - 1 = {^nC_2}x^2 + {^nC_3}x^3 + \dots + x^n$
જમણી બાજુથી $x^2$ સામાન્ય લેતા:
$(1+x)^n - nx - 1 = x^2 ({^nC_2} + {^nC_3}x + \dots + x^{n-2})$
આમ,આ પદાવલિ $x^2$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) આપેલ છે કે ${}^nC_4, {}^nC_5, {}^nC_6$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2({}^nC_5) = {}^nC_4 + {}^nC_6$.
${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \times \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$
$n!$ વડે ભાગતા અને $6!(n-4)!$ વડે ગુણતા:
$2 \times 6(n-4) = 30 + (n-4)(n-5)$
$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$
$n^2 - 21n + 98 = 0$
$(n-7)(n-14) = 0$
આમ,$n = 7$ અથવા $n = 14$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે એકી અનુક્રમણિકા (odd indices) ધરાવતા દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો આ મુજબ છે:
$^{n}C_1 + ^{n}C_3 + ^{n}C_5 + \ldots = 2^{n-1}$.
$n = 15$ માટે,આપણી પાસે છે:
$^{15}C_1 + ^{15}C_3 + ^{15}C_5 + \ldots + ^{15}C_{15} = 2^{15-1} = 2^{14}$.
આપણે $^{15}C_3 + ^{15}C_5 + \ldots + ^{15}C_{15}$ નો સરવાળો શોધવો છે.
આ $2^{14} - ^{15}C_1$ જેટલું થાય છે.
કારણ કે $^{15}C_1 = 15$,તેથી સરવાળો $2^{14} - 15$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{(1+t^2)^2 - 4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 + 2t^2 + t^4 - 4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 - 2t^2 + t^4}{(1+t^2)^2} = \frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$|\cos \theta| = \frac{|1-t^2|}{1+t^2}$.
$\theta$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos \theta$ ઋણ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{|1-t^2|}{1+t^2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin \theta + \cos \theta = 0$
બંને બાજુ $\cos \theta$ વડે ભાગતા ($\cos \theta \neq 0$ ધારીને):
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + 1 = 0$
$\tan \theta = -1$
કારણ કે $0 < \theta < \pi$,$\theta$ ની કિંમત જ્યાં $\tan \theta = -1$ થાય તે બીજા ચરણમાં છે.
તેથી,$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.

(A) આપણે સૂત્ર $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{a}{a+1} + \frac{1}{2a+1}}{1 - \left(\frac{a}{a+1}\right) \left(\frac{1}{2a+1}\right)}$
$= \frac{\frac{a(2a+1) + 1(a+1)}{(a+1)(2a+1)}}{\frac{(a+1)(2a+1) - a}{(a+1)(2a+1)}}$
$= \frac{2a^2 + a + a + 1}{2a^2 + a + 2a + 1 - a}$
$= \frac{2a^2 + 2a + 1}{2a^2 + 2a + 1} = 1$
તેથી,$\tan(\alpha + \beta) = 1$ હોવાથી,$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ મળે.

(B) આપેલ છે કે $\theta + \phi = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા,$\tan(\theta + \phi) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ મળે.
સૂત્ર $\tan(\theta + \phi) = \frac{\tan \theta + \tan \phi}{1 - \tan \theta \tan \phi} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા.
આથી $\tan \theta + \tan \phi = 1 - \tan \theta \tan \phi$,અથવા $\tan \theta + \tan \phi + \tan \theta \tan \phi = 1$ મળે.
હવે,પદ $(1 + \tan \theta)(1 + \tan \phi) = 1 + \tan \phi + \tan \theta + \tan \theta \tan \phi$ ને ધ્યાનમાં લો.
અગાઉના સ્ટેપમાંથી કિંમત મૂકતા: $1 + (\tan \theta + \tan \phi + \tan \theta \tan \phi) = 1 + 1 = 2$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 15^{\circ} = \cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
તે જ રીતે,$\sin 15^{\circ} = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$.
બંનેની બાદબાકી કરતા:
$\cos 15^{\circ} - \sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1 - (\sqrt{3} - 1)}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $a \sin x + b \cos x = c$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $a = 2$,$b = 1$,અને $c = 3$ છે.
સમીકરણ $a \sin x + b \cos x = c$ ને ઉકેલ હોવા માટે,શરત $|c| \leq \sqrt{a^2 + b^2}$ સંતોષાવી જોઈએ.
અહીં,$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ છે.
કારણ કે $\sqrt{5} \approx 2.236$,તેથી $c = 3 > \sqrt{5}$ થાય.
$2 \sin x + \cos x$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{5}$ હોવાથી,તે ક્યારેય $3$ સુધી પહોંચી શકતું નથી.
તેથી,આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(B) ધારો કે રેખા $x+y=4$ પરનું બિંદુ $P(h, 4-h)$ છે.
બિંદુ $P(h, 4-h)$ થી રેખા $4x+3y-10=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|4h + 3(4-h) - 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$ છે.
$d=1$ આપેલ હોવાથી,$\frac{|4h + 12 - 3h - 10|}{5} = 1$.
$|h + 2| = 5$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $h+2 = 5 \implies h = 3$. બિંદુ $(3, 4-3) = (3, 1)$ છે.
કિસ્સો $2$: $h+2 = -5 \implies h = -7$. બિંદુ $(-7, 4-(-7)) = (-7, 11)$ છે.
આમ,યામ $(3, 1)$ અને $(-7, 11)$ છે.

(A) ત્રણ બિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ સમરેખ હોય તે માટે,તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,અથવા $AB$ નો ઢાળ $BC$ ના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ.
નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 3 & -4 & 1 \\ x & y & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(-4 - y) - 6(3 - x) + 1(3y - (-4x)) = 0$
$-4 - y - 18 + 6x + 3y + 4x = 0$
$10x + 2y - 22 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$5x + y - 11 = 0$

(D) આપેલ સમીકરણો:
$x \sin \theta + (1 - \cos \theta) y = a \sin \theta$ $(1)$
$x \sin \theta - (1 + \cos \theta) y = -a \sin \theta$ $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(1 - \cos \theta + 1 + \cos \theta) y = a \sin \theta + a \sin \theta$
$2y = 2a \sin \theta \implies y = a \sin \theta$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2x \sin \theta + (1 - \cos \theta - 1 - \cos \theta) y = 0$
$2x \sin \theta - 2y \cos \theta = 0$
$x \sin \theta = y \cos \theta$
$y = a \sin \theta$ મુકતા:
$x \sin \theta = (a \sin \theta) \cos \theta$
$x = a \cos \theta$
હવે,$x^2 + y^2 = (a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2 = a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = a^2$
આમ,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = a^2$ છે.

(A) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $8 x^2+12 y^2-4 x+4 y-1=0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=8$,$b=12$,અને $h=0$ મળે છે.
શંકુ આકારનો પ્રકાર વિવેચક $h^2-a b$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
અહીં,$h^2-a b = (0)^2 - (8)(12) = -96$.
કારણ કે $h^2-a b < 0$ અને $a \neq b$ છે,તેથી આ સમીકરણ એક ઉપવલય દર્શાવે છે.

(B) છેદબિંદુઓ $A$ અને $B$ શોધવા માટે,$y=x$ ને વર્તુળના સમીકરણ $x^2+y^2-2x=0$ માં મૂકતા.
$x^2+x^2-2x=0$
$2x^2-2x=0$
$2x(x-1)=0$
તેથી,$x=0$ અથવા $x=1$. $y=x$ હોવાથી,બિંદુઓ $A(0,0)$ અને $B(1,1)$ મળે છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ છે.
$(0,0)$ અને $(1,1)$ મૂકતા:
$(x-0)(x-1)+(y-0)(y-1)=0$
$x(x-1)+y(y-1)=0$
$x^2-x+y^2-y=0$
$x^2+y^2-x-y=0$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x-8y+5=0$ છે.
તેને સામાન્ય સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2g=4 \Rightarrow g=2$ અને $2f=-8 \Rightarrow f=-4$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-2, 4)$ છે.
ધારો કે વ્યાસના બીજા અંત્યબિંદુના યામ $(h, k)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{h+2}{2} = -2$ $\Rightarrow h+2 = -4$ $\Rightarrow h = -6$
$\frac{k+1}{2} = 4$ $\Rightarrow k+1 = 8$ $\Rightarrow k = 7$
આમ,બીજા અંત્યબિંદુના યામ $(-6, 7)$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 20y + 90 = 0$ છે.
$y = mx$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + (mx)^2 - 20(mx) + 90 = 0$
$x^2(1 + m^2) - 20mx + 90 = 0$.
રેખા વર્તુળની બહાર રહે તે માટે,વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ:
$D = (-20m)^2 - 4(1 + m^2)(90) < 0$
$400m^2 - 360(1 + m^2) < 0$
$400m^2 - 360 - 360m^2 < 0$
$40m^2 - 360 < 0$
$40m^2 < 360$
$m^2 < 9$
$|m| < 3$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $(a, 0)$ અને $(-a, 0)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(h, k)$ થી બંને બિંદુઓનું અંતર સમાન (ત્રિજ્યા $r$) હશે.
તેથી,$\sqrt{(h-a)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{(h-(-a))^2 + (k-0)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(h-a)^2 + k^2 = (h+a)^2 + k^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$h^2 - 2ah + a^2 + k^2 = h^2 + 2ah + a^2 + k^2$.
આથી,$-2ah = 2ah$,જેનો અર્થ છે કે $4ah = 0$.
અહીં $a \neq 0$ હોવાથી,$h = 0$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,કેન્દ્રનો બિંદુપથ $x = 0$ મળે છે,જે $y$-અક્ષ છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $y^2 + 6x - 2y + 13 = 0$.
$y$ વાળા પદોને એકસાથે ગોઠવતા: $y^2 - 2y = -6x - 13$.
$y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(y^2 - 2y + 1) = -6x - 13 + 1$.
આનું સાદું રૂપ: $(y - 1)^2 = -6x - 12$.
જમણી બાજુથી $-6$ સામાન્ય લેતા: $(y - 1)^2 = -6(x + 2)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $(h, k)$ શિરોબિંદુ છે:
અહીં,$h = -2$ અને $k = 1$.
તેથી,શિરોબિંદુ $(-2, 1)$ છે.

(C) આપેલ છે કે બિંદુ $P$ ના યામ $x = 2t^2 + 4$ અને $y = 4t + 6$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$4t = y - 6$,જેનો અર્થ છે કે $t = \frac{y - 6}{4}$.
$t$ ની આ કિંમતને $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 2\left(\frac{y - 6}{4}\right)^2 + 4$
$x - 4 = 2 \cdot \frac{(y - 6)^2}{16}$
$x - 4 = \frac{(y - 6)^2}{8}$
$(y - 6)^2 = 8(x - 4)$
આ સમીકરણ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સ્વરૂપનું છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.

(B) આપેલ સંકર સંખ્યા $z = (1 - t^2) + i \sqrt{1 + t^2}$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x$ અને $y$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$x = 1 - t^2$
$y = \sqrt{1 + t^2}$
કાલ્પનિક ભાગનો વર્ગ કરતા,$y^2 = 1 + t^2$ મળે છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$t^2 = 1 - x$.
આ કિંમત $y^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 = 1 + (1 - x)$
$y^2 = 2 - x$
$y^2 = -(x - 2)$
આ $Y^2 = -4aX$ પ્રકારના પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે,જેનું શિરોબિંદુ $(2, 0)$ છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
જીવાનું સમીકરણ $y = \frac{k}{h}x$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માં કિંમત મૂકતા,આપણને $k^2 = 2ah$ મળે છે.
તેથી,બિંદુપથ $y^2 = 2ax$ છે,જે એક પરવલય છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $16x^2 + 25y^2 = 400$.
બંને બાજુ $400$ વડે ભાગતા પ્રમાણિત સ્વરૂપ મળે છે: $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ મળે છે.
ઉપવલયના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{2b^2}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{લંબાઈ} = \frac{2 \times 16}{5} = \frac{32}{5}$ એકમ.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ: $4x^2 - 9y^2 = 36$.
બંને બાજુ $36$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$.
તેથી,$a = 3$ અને $b = 2$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = \sqrt{\frac{9 + 4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$.

(C) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+x^2+\ldots+x^n-n}{x-1}$ છે.
અંશને $(x-1) + (x^2-1) + \ldots + (x^n-1)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$L = \lim _{x \rightarrow 1} \left( \frac{x-1}{x-1} + \frac{x^2-1}{x-1} + \ldots + \frac{x^n-1}{x-1} \right)$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^n-a^n}{x-a} = na^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,દરેક પદ $k$ થશે.
તેથી,$L = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$.

(D) આપણે લક્ષના સૂત્ર $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદ: $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{x^2}$.
$\pi \sin^2 x$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left[ \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{\pi \sin^2 x} \times \frac{\pi \sin^2 x}{x^2} \right]$.
જેમ $x \rightarrow 0$ તેમ $\pi \sin^2 x \rightarrow 0$ થાય છે,તેથી પ્રથમ ભાગ $1$ ને અભિસરણ પામે છે.
$= 1 \times \pi \times \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2$.
$= \pi \times (1)^2 = \pi$.

(C) વિધેય $f(x)$ યુગ્મ છે જો $f(-x) = f(x)$ થાય.
ચાલો વિકલ્પ $C$ તપાસીએ: $f(x) = x \cdot \frac{a^x - 1}{a^x + 1}$.
$f(-x) = (-x) \cdot \frac{a^{-x} - 1}{a^{-x} + 1}$
$f(-x) = (-x) \cdot \frac{\frac{1}{a^x} - 1}{\frac{1}{a^x} + 1}$
$f(-x) = (-x) \cdot \frac{\frac{1 - a^x}{a^x}}{\frac{1 + a^x}{a^x}}$
$f(-x) = (-x) \cdot \frac{-(a^x - 1)}{a^x + 1}$
$f(-x) = x \cdot \frac{a^x - 1}{a^x + 1} = f(x)$.
આમ,$f(-x) = f(x)$ હોવાથી,વિકલ્પ $C$ માં આપેલ વિધેય યુગ્મ વિધેય છે.

(A) $\cos(ax)$ નું આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|a|}$ છે. તેથી,$\cos 4x$ નું આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ છે.
$\tan(bx)$ નું આવર્તમાન $\frac{\pi}{|b|}$ છે. તેથી,$\tan 3x$ નું આવર્તમાન $T_2 = \frac{\pi}{3}$ છે.
બે આવર્તી વિધેયોના સરવાળાનું આવર્તમાન તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ હોય છે.
આપણે $\text{LCM}\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}\right)$ શોધવાની જરૂર છે.
અપૂર્ણાંકો $\frac{a}{b}$ અને $\frac{c}{d}$ નો $LCM$ શોધવા માટે,આપણે $\frac{\text{LCM}(a, c)}{\text{HCF}(b, d)}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$\text{LCM}(\pi, \pi) = \pi$ અને $\text{HCF}(2, 3) = 1$ છે.
તેથી,આવર્તમાન $\frac{\pi}{1} = \pi$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ અને શરત $a + 2b + 4c = 0$ છે.
શરત $a + 2b + 4c = 0$ ને $4$ વડે ભાગતા:
$\frac{a}{4} + \frac{2b}{4} + \frac{4c}{4} = 0$
$\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = 0$
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય:
$a(\frac{1}{2})^2 + b(\frac{1}{2}) + c = 0$
આને દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x) = ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $f(\frac{1}{2}) = 0$ થાય છે.
તેથી,$x = \frac{1}{2}$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે.

(C) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $4 + 2 = 6$.
$6$ વ્યક્તિઓને હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $n(S) = 6! = 720$ છે.
બંને છોકરીઓ સાથે બેસે તે માટે,આપણે $2$ છોકરીઓને એક એકમ તરીકે ગણીએ.
હવે,આપણી પાસે $4$ છોકરાઓ અને $1$ એકમ (બે છોકરીઓ) છે,એટલે કે કુલ $5$ એકમો છે.
આ $5$ એકમોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$2$ છોકરીઓ તેમના એકમમાં $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$ છે.
સંભાવના $P = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5! \times 2!}{6!} = \frac{240}{720} = \frac{1}{3}$.

(B) સિક્કો ઉછાળવો એ એક સ્વતંત્ર ઘટના છે.
નિષ્પક્ષ સિક્કાના દરેક ઉછાળમાં બે સમાન સંભવિત પરિણામો હોય છે: છાપ $(H)$ અને કાંટો $(T)$.
કોઈપણ એક ઉછાળમાં કાંટો આવવાની સંભાવના $P(H) = \frac{1}{2}$ છે.
ચોથા ઉછાળનું પરિણામ અગાઉના ત્રણ ઉછાળના પરિણામો પર આધારિત નથી.
તેથી,ચોથા ઉછાળમાં કાંટો આવવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ રહે છે.

(C) સરવાળાના લક્ષના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે સરવાળાને નિશ્ચિત સંકલન તરીકે દર્શાવીએ છીએ: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^3}{r^4+n^4} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n^3(r/n)^3}{n^4((r/n)^4+1)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{(r/n)^3}{(r/n)^4+1}$.
ધારો કે $x = r/n$,તો જેમ $n \rightarrow \infty$,સરવાળો સંકલન $\int_0^1 \frac{x^3}{x^4+1} dx$ બની જાય છે.
આને ઉકેલવા માટે,ધારો કે $u = x^4+1$,તો $du = 4x^3 dx$,અથવા $x^3 dx = \frac{1}{4} du$.
સંકલન $\frac{1}{4} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{4} [\log_e u]_1^2$ બને છે.
$= \frac{1}{4} (\log_e 2 - \log_e 1) = \frac{1}{4} \log_e 2$.

(C) સરવાળો $A+B$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,શ્રેણિક $A$ અને $B$ ની કક્ષા સમાન હોવી જોઈએ,ધારો કે $m \times n$.
ગુણાકાર $AB$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$A$ માં સ્તંભોની સંખ્યા એ $B$ માં હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $m \times n$ હોવાથી,તેમાં $n$ સ્તંભો છે. શ્રેણિક $B$ ની કક્ષા $m \times n$ હોવાથી,તેમાં $m$ હાર છે.
તેથી,$AB$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણી પાસે $n = m$ હોવું જોઈએ.
$m = n$ હોવાથી,બંને શ્રેણિકોની કક્ષા $n \times n$ સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમાન કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો છે.

(C) જો શ્રેણિક $A = A^T$ હોય,તો તેને સંમિત શ્રેણિક કહેવાય,જ્યાં $A^T$ એ શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & x-1 \\ 2x+3 & x+2 \end{bmatrix}$.
પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T$ મેળવવા માટે હાર અને સ્તંભની અદલાબદલી કરતા: $A^T = \begin{bmatrix} 3 & 2x+3 \\ x-1 & x+2 \end{bmatrix}$.
$A = A^T$ હોવાથી,અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા:
$x-1 = 2x+3$.
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા: $-1 = x+3$.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા: $x = -4$.
આમ,$x$ ની કિંમત $-4$ છે.

(A) જો $A = \bar{A}^T$ હોય તો શ્રેણિક $A$ ને હર્મિશિયન શ્રેણિક કહેવાય છે. આપેલ શ્રેણિક $z$ તપાસીએ.
$z$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $z^T = \begin{bmatrix} 1 & 1-2i & 5i \\ 1+2i & -3 & 5-3i \\ -5i & 5+3i & 7 \end{bmatrix}$ છે.
$z$ નો અનુબદ્ધ શ્રેણિક $\bar{z} = \begin{bmatrix} 1 & 1-2i & 5i \\ 1+2i & -3 & 5-3i \\ -5i & 5+3i & 7 \end{bmatrix}$ છે.
કારણ કે $z^T = \bar{z}$,તેથી શ્રેણિક $z$ એ હર્મિશિયન શ્રેણિક છે.
કોઈપણ હર્મિશિયન શ્રેણિક માટે,તેનો નિશ્ચાયક હંમેશા વાસ્તવિક સંખ્યા હોય છે.
ધારો કે $D = \det(z)$. કારણ કે $D$ વાસ્તવિક છે,તેથી $D = \bar{D}$.
આમ,$z$ (નિશ્ચાયકના મૂલ્ય તરીકે) શુદ્ધ વાસ્તવિક છે.

(D) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+\omega^2 & \omega^2 \\ 1-i & -1 & \omega^2-1 \\ -i & -1+\omega & -1\end{array}\right|$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+\omega+\omega^2 = 0$,તેથી $1+\omega^2 = -\omega$.
આ કિંમત મૂકતા,$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & -\omega & \omega^2 \\ 1-i & -1 & \omega^2-1 \\ -i & -1+\omega & -1\end{array}\right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 + C_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1-\omega & \omega^2 \\ 1-i & -i & \omega^2-1 \\ -i & -1 & -1\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકનું સાદું રૂપ આપતા અથવા વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે કે નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{lll} a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{lll} (a-b)+(b-c)+(c-a) & b-c & c-a \\ (b-c)+(c-a)+(a-b) & c-a & a-b \\ (c-a)+(a-b)+(b-c) & a-b & b-c \end{array} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભના ઘટકોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{lll} 0 & b-c & c-a \\ 0 & c-a & a-b \\ 0 & a-b & b-c \end{array} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભના તમામ ઘટકો $0$ હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(D) આપણને અસમતા $\cos ^{-1} x < \sin ^{-1} x$ આપેલી છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x < \sin ^{-1} x$
$\frac{\pi}{2} < 2 \sin ^{-1} x$
$\sin ^{-1} x > \frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ સાઈન (sine) લેતા (કારણ કે $\sin x$ તેના પ્રદેશમાં વધતું વિધેય છે):
$x > \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$x > \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin ^{-1} x$ અને $\cos ^{-1} x$ નો પ્રદેશ $[-1, 1]$ હોવાથી,$x \le 1$ હોવું જોઈએ.
તેથી,ઉકેલ ગણ $x \in \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right]$ છે.

(C) ધારો કે $u = x+2y$ અને $v = x-2y$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $u+v = (x+2y) + (x-2y) = 2x$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{u+v}{2}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $u-v = (x+2y) - (x-2y) = 4y$,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{u-v}{4}$.
આપેલ છે કે $f(x+2y, x-2y) = xy$,તેથી $u$ અને $v$ ની કિંમતો મૂકતા $f(u, v) = \left(\frac{u+v}{2}\right) \left(\frac{u-v}{4}\right)$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $f(u, v) = \frac{u^2-v^2}{8}$.
હવે $u$ ને $x$ અને $v$ ને $y$ વડે બદલતા,આપણને $f(x, y) = \frac{x^2-y^2}{8}$ મળે છે.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x=2$ આગળ સતત હોવા માટે,$x \to 2$ હોય ત્યારે $f(x)$ નું લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવું જોઈએ અને તે $f(2)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(2) = 2$.
આપણે લક્ષની ગણતરી કરીએ: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-(A+2)x+A}{x-2}$.
લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે,અંશ $x=2$ આગળ શૂન્ય હોવો જોઈએ કારણ કે છેદ શૂન્ય છે.
અંશમાં $x=2$ મૂકતા: $2^2 - (A+2)(2) + A = 4 - 2A - 4 + A = -A$.
$-A = 0$ લેતા,આપણને $A = 0$ મળે છે.
હવે,$A=0$ સાથે લક્ષ તપાસીએ: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-2x}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} x = 2$.
અહીં લક્ષ $2$ એ $f(2) = 2$ જેટલું હોવાથી,$A=0$ માટે વિધેય $x=2$ આગળ સતત છે.

(A) જો $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત હોય,તો $x \to 2$ માટે $f(x)$ નું લક્ષ $f(2)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $x \neq 2$ માટે $f(x) = [x] + [-x]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,$[n] + [-n] = 0$,પરંતુ કોઈપણ અપૂર્ણાંક $x$ માટે,$[x] + [-x] = -1$.
જેમ $x \to 2$,તેમ $x$ એ $2$ ની નજીકની કિંમતો લે છે પણ $2$ નથી. $2$ ની આસપાસના વિસ્તારમાં $x$ પૂર્ણાંક ન હોવાથી,$[x] + [-x] = -1$ થાય છે.
તેથી,$\lim_{x \to 2} f(x) = -1$.
વિધેય $x = 2$ આગળ સતત હોવાથી,$f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$ થવું જોઈએ.
આમ,$\lambda = -1$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2=4$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(4)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x + y \frac{dy}{dx} = 0$
તેથી,$y \frac{dy}{dx} + x = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y = A x^{-1} + B x^2$.
પ્રથમ,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = -A x^{-2} + 2 B x$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલિત મેળવવા માટે ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = 2 A x^{-3} + 2 B$.
હવે,$x^2$ વડે ગુણતા:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = x^2 (2 A x^{-3} + 2 B) = 2 A x^{-1} + 2 B x^2$.
$2$ સામાન્ય લેતા:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = 2 (A x^{-1} + B x^2)$.
કારણ કે $y = A x^{-1} + B x^2$ છે,તેથી આપણે $y$ ને પદમાં મૂકતા:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = 2 y$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \tan^{-1} x$.
પ્રથમ વિકલન: $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$.
દ્વિતીય વિકલન: $f''(x) = \frac{d}{dx} (1+x^2)^{-1} = -1(1+x^2)^{-2} \cdot (2x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$.
આપણને આપેલ છે કે $f'(x) + f''(x) = 0$.
વિકલનોની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{1+x^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2} = 0$.
$(1+x^2)^2$ વડે ગુણતા: $(1+x^2) - 2x = 0$.
આ સમીકરણ $x^2 - 2x + 1 = 0$ માં ફેરવાય છે,જે $(x-1)^2 = 0$ છે.
તેથી,$x = 1$.

(A) આપેલ છે: $y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x} \right)$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ છે $\theta = \tan^{-1} x$.
તેથી,$y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+\tan^2 \theta}-1}{\tan \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{2 \sin^2 (\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$.
તેથી,$y = \tan^{-1} (\tan(\theta/2)) = \theta/2 = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $y' = \frac{1}{2(1+x^2)}$ મળે છે.
$x = 1$ માટે,$y'(1) = \frac{1}{2(1+1^2)} = \frac{1}{2(2)} = \frac{1}{4}$.

(B) આપેલ વિધેય $y = 2x^3 - 2x^2 + 3x - 5$ છે.
આશરે ફેરફાર $\Delta y$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \cdot \Delta x$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^3 - 2x^2 + 3x - 5) = 6x^2 - 4x + 3$.
હવે,$x = 2$ આગળ વિકલિતનું મૂલ્ય શોધતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2} = 6(2)^2 - 4(2) + 3 = 6(4) - 8 + 3 = 24 - 8 + 3 = 19$.
આપેલ છે કે $\Delta x = 0.1$,તેથી $\Delta y$ ની ગણતરી કરતા:
$\Delta y \approx 19 \times 0.1 = 1.9$.

(C) ધારો કે $f(x) = x^{1/5}$. આપણે $f(33)$ નું મૂલ્ય શોધવું છે.
ધારો કે $x = 32$ અને $\Delta x = 1$,જેથી $x + \Delta x = 33$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(x) = x^{1/5} \implies f'(x) = \frac{1}{5} x^{-4/5} = \frac{1}{5 x^{4/5}}$.
$x = 32$ માટે,$f(32) = (32)^{1/5} = 2$.
$f'(32) = \frac{1}{5(32)^{4/5}} = \frac{1}{5(2^4)} = \frac{1}{5 \times 16} = \frac{1}{80} = 0.0125$.
વિકલનના આશરે મૂલ્યના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
$f(33) \approx f(32) + f'(32) \times 1$.
$f(33) \approx 2 + 0.0125 = 2.0125$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,પ્રવેગ $a = 8 \text{ m/s}^2$.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,તેથી $S = \frac{1}{2}at^2$.
$1$. પ્રથમ મીટર અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $(S_1 = 1 \text{ m})$:
$1 = \frac{1}{2} \times 8 \times t_1^2 \implies 1 = 4t_1^2 \implies t_1^2 = \frac{1}{4} \implies t_1 = \frac{1}{2} \text{ s}$.
$2$. પ્રથમ બે મીટર અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $(S_2 = 2 \text{ m})$:
$2 = \frac{1}{2} \times 8 \times t_2^2 \implies 2 = 4t_2^2 \implies t_2^2 = \frac{1}{2} \implies t_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ s}$.
$3$. બીજા મીટરનું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય એ $2 \text{ m}$ અને $1 \text{ m}$ અંતર કાપવા માટે લાગતા સમયનો તફાવત છે:
$\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2} \text{ s}$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ x - 3, & x > 0 \end{cases}$ છે.
પ્રથમ,$x = 0$ આગળ સાતત્ય ચકાસીએ.
$f(0) = 0$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x - 3) = -3$.
અહીં $f(0) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$ હોવાથી,વિધેય $x = 0$ આગળ અસતત છે.
હવે,અંતરાલ $x > 0$ ધ્યાનમાં લો. કોઈપણ $x_1, x_2$ માટે જ્યાં $0 < x_1 < x_2$,આપણી પાસે $f(x_1) = x_1 - 3$ અને $f(x_2) = x_2 - 3$ છે. $x_1 < x_2$ હોવાથી,$x_1 - 3 < x_2 - 3$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f(x_1) < f(x_2)$. તેથી,વિધેય $x > 0$ માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
જોકે,વિધેય અંતરાલ $[0, \infty)$ પર વધતું હોય તે માટે તે $[0, \infty)$ પર સતત હોવું જોઈએ. તે $x = 0$ આગળ અસતત હોવાથી,તે $[0, \infty)$ પર વધતું વિધેય નથી.
આમ,વિધેય જ્યારે $x > 0$ હોય ત્યારે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(A) કોઈ વિધેય $f(x)$ ચુસ્ત વધતું વિધેય કહેવાય જો તેના પ્રદેશના તમામ $x$ માટે તેનું વિકલિત $f'(x) > 0$ હોય.
આપેલ વિધેય $f(x) = ax + b$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = \frac{d}{dx}(ax + b) = a$ મળે છે.
વિધેય ચુસ્ત વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જરૂરી છે.
વિકલિતની કિંમત મૂકતા,આપણને $a > 0$ મળે છે.
તેથી,વિધેય $a > 0$ હોય ત્યારે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 e^{-3x}$ છે,જ્યાં $x > 0$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) \cdot e^{-3x} + x^3 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-3x})$
$f'(x) = 3x^2 e^{-3x} + x^3 (-3 e^{-3x})$
$f'(x) = 3x^2 e^{-3x} (1 - x)$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$3x^2 e^{-3x} (1 - x) = 0$
અહીં $x > 0$ અને $e^{-3x} \neq 0$ હોવાથી,$1 - x = 0$ મળે,એટલે કે $x = 1$.
તે મહત્તમ છે તે ચકાસવા માટે,આપણે $x = 1$ ની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ. $x < 1$ માટે $f'(x) > 0$ અને $x > 1$ માટે $f'(x) < 0$ છે.
આમ,$f(x)$ ને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
મહત્તમ કિંમત $f(1) = (1)^3 e^{-3(1)} = e^{-3}$ છે.

(A) રોલનું પ્રમેય જણાવે છે કે વિધેય $f(x)$ માટે અંતરાલ $[a, b]$ પર લાગુ થવા માટે,તેણે ત્રણ શરતો સંતોષવી આવશ્યક છે:
$1$. $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત છે.
$2$. $f(x)$ એ $(a, b)$ પર વિકલનીય છે.
$3$. $f(a) = f(b)$.
$f(x) = e^{\cos x}$ માટે,વિધેય દરેક જગ્યાએ સતત અને વિકલનીય છે.
આપણે આપેલા વિકલ્પો માટે $f(a) = f(b)$ શરત તપાસીએ:
વિકલ્પ $A$ માટે: $f(\frac{\pi}{2}) = e^{\cos(\pi/2)} = e^0 = 1$ અને $f(\frac{3\pi}{2}) = e^{\cos(3\pi/2)} = e^0 = 1$.
કારણ કે $f(\frac{\pi}{2}) = f(\frac{3\pi}{2})$,તેથી રોલનું પ્રમેય અંતરાલ $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ પર લાગુ પડે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int \frac{2 \cos^2 x - 1}{\cos x} dx = \int (2 \cos x - \frac{1}{\cos x}) dx$.
આનું સાદું રૂપ $\int (2 \cos x - \sec x) dx$ થાય છે.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2 \int \cos x dx - \int \sec x dx$.
$\cos x$ નું સંકલન $\sin x$ થાય છે અને $\sec x$ નું સંકલન $\log |\sec x + \tan x|$ થાય છે.
તેથી,અંતિમ જવાબ $2 \sin x - \log |\sec x + \tan x| + C$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sin ^8 x - \cos ^8 x}{1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x} \, dx$.
વર્ગોના તફાવતના સૂત્ર $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંશને આ રીતે લખી શકીએ:
$\sin ^8 x - \cos ^8 x = (\sin ^4 x - \cos ^4 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x) = (\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^2 x + \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)$.
કારણ કે $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$,અંશ $(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)$ બને છે.
વધુમાં,નોંધો કે $\sin ^4 x + \cos ^4 x = (\sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x = 1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$.
આને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x)}{1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x} \, dx$.
$I = \int (\sin ^2 x - \cos ^2 x) \, dx = \int -(\cos ^2 x - \sin ^2 x) \, dx$.
નિત્યસમ $\cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = -\int \cos 2x \, dx = -\frac{\sin 2x}{2} + C$.

(B) સંકલન $I = \int \frac{x^3 \, dx}{1+x^8}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે છેદને $1 + (x^4)^2$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $u = x^4$.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $du = 4x^3 \, dx$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^3 \, dx = \frac{du}{4}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{du/4}{1+u^2} = \frac{1}{4} \int \frac{du}{1+u^2}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{du}{1+u^2} = \tan^{-1}(u) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{4} \tan^{-1}(u) + c$.
$u = x^4$ પાછું મૂકતા,આપણને અંતિમ પરિણામ મળે છે:
$I = \frac{1}{4} \tan^{-1}(x^4) + c$.

(B) ધારો કે $I = \int 2^x (f^{\prime}(x) + f(x) \log 2) \, dx$.
આપણે સંકલ્યને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$I = \int (2^x f^{\prime}(x) + 2^x \log 2 \cdot f(x)) \, dx$.
વિકલન માટે ગુણાકારનો નિયમ યાદ કરો: $\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$.
ધારો કે $u(x) = 2^x$ અને $v(x) = f(x)$.
તો $u^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (2^x) = 2^x \log 2$.
આમ,સંકલ્ય $u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$ સ્વરૂપમાં છે,જે $\frac{d}{dx} [2^x f(x)]$ છે.
તેથી,$I = \int \frac{d}{dx} [2^x f(x)] \, dx = 2^x f(x) + C$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-2}^2(x \cos x+\sin x+1) d x$.
આપણે સંકલનને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ: $I = \int_{-2}^2 x \cos x d x + \int_{-2}^2 \sin x d x + \int_{-2}^2 1 d x$.
નિશ્ચિત સંકલનનો ગુણધર્મ યાદ કરો: જો $f(x)$ અયુગ્મ વિધેય હોય તો $\int_{-a}^a f(x) d x = 0$ અને જો $f(x)$ યુગ્મ વિધેય હોય તો $2 \int_0^a f(x) d x$ થાય.
ધારો કે $f_1(x) = x \cos x$. કારણ કે $f_1(-x) = (-x) \cos(-x) = -x \cos x = -f_1(x)$,તેથી $f_1(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે. આમ,$\int_{-2}^2 x \cos x d x = 0$.
ધારો કે $f_2(x) = \sin x$. કારણ કે $f_2(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -f_2(x)$,તેથી $f_2(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે. આમ,$\int_{-2}^2 \sin x d x = 0$.
તેથી,$I = 0 + 0 + \int_{-2}^2 1 d x = [x]_{-2}^2 = 2 - (-2) = 4$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi \sin^{50} x \cos^{49} x \, dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \sin^{50}(\pi - x) \cos^{49}(\pi - x) \, dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\pi - x) = \sin x$ અને $\cos(\pi - x) = -\cos x$,તેથી:
$I = \int_0^\pi \sin^{50} x (-\cos x)^{49} \, dx$.
$I = -\int_0^\pi \sin^{50} x \cos^{49} x \, dx$.
$I = -I$.
બંને બાજુ $I$ ઉમેરતા,$2I = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $I = 0$.

(C) વિધેય $f(x) = |\sin x|$ એ $\pi$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int_{a}^{a+nT} f(x) dx = n \int_{0}^{T} f(x) dx$,જ્યાં $T$ એ આવર્તમાન છે.
અહીં,અંતરાલની લંબાઈ $16\pi - \pi = 15\pi$ છે.
તેથી,$\int_{\pi}^{16\pi} |\sin x| dx = 15 \int_{0}^{\pi} |\sin x| dx$.
$x \in [0, \pi]$ માટે $\sin x \ge 0$ હોવાથી,$|\sin x| = \sin x$ થાય.
તેથી,$15 \int_{0}^{\pi} \sin x dx = 15 [-\cos x]_{0}^{\pi}$.
$= 15 [-\cos(\pi) - (-\cos(0))] = 15 [-(-1) - (-1)] = 15 [1 + 1] = 15 \times 2 = 30$.

(D) $y^2=x$ અને $y=x$ વક્રો વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$y^2 = y \implies y^2 - y = 0 \implies y(y-1) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $y=0$ અને $y=1$ આગળ મળે છે. અનુરૂપ $x$ ની કિંમતો $x=0$ અને $x=1$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_0^1 (\sqrt{x} - x) \, dx$
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1$
$A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1$
$A = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1}{2}(1)^2 \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલા વક્રો $y^2 = 4x$ અને $x^2 = 4y$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = \frac{x^2}{4}$ ને $y^2 = 4x$ માં મૂકતા:
$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.
આમ,$x = 0$ અથવા $x = 4$. છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(4, 4)$ છે.
વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = 4$ સુધીના ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે:
$A = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$A = \int_0^4 (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$A = [2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3}]_0^4$
$A = [\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$
$A = (\frac{4}{3} \cdot 4^{3/2} - \frac{4^3}{12}) - (0 - 0)$
$A = (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}) = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y = x(\frac{dy}{dx})^2 + \frac{dy}{dx}$ છે.
કક્ષા અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સમીકરણને એવા સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ છીએ જ્યાં વિકલિતો અપૂર્ણાંક કે કરણી મુક્ત હોય.
સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ છે,જેની કક્ષા $1$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $1$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતની ઘાતાંક છે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે.
અહીં,વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
તેથી,ઘાત $2$ છે અને કક્ષા $1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y = ae^{bx} \dots (i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = abe^{bx}$
કારણ કે $y = ae^{bx}$,આપણે લખી શકીએ:
$y_1 = by \dots (ii)$
$y_1 = by$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = by_1 \dots (iii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$b = \frac{y_1}{y}$ મળે છે.
$b$ ની કિંમત સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા:
$y_2 = \left(\frac{y_1}{y}\right)y_1$
$y_2 = \frac{y_1^2}{y}$
તેથી,$yy_2 = y_1^2$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\log_{e}\left(\frac{dy}{dx}\right) = x + y$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ: $\frac{dy}{dx} = e^{x+y}$.
ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y$.
ચલને અલગ કરતા: $e^{-y} dy = e^x dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-y} dy = \int e^x dx$.
આથી મળે છે: $-e^{-y} = e^x + C_1$.
પદોને ગોઠવતા: $e^x + e^{-y} = -C_1$.
ધારો કે $-C_1 = C$,તેથી વ્યાપક ઉકેલ: $e^x + e^{-y} = C$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan \frac{y}{x}$.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v + \tan v$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા: $x \frac{dv}{dx} = \tan v$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{\tan v} = \frac{dx}{x}$,એટલે કે $\cot v \, dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \cot v \, dv = \int \frac{dx}{x}$.
આથી $\ln |\sin v| = \ln |x| + \ln |c|$ મળે.
લઘુગણકના નિયમ મુજબ: $\ln |\sin v| = \ln |cx|$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\sin v = cx$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા: $\sin(\frac{y}{x}) = cx$,અથવા $x = c \sin(\frac{y}{x})$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2}+8 \frac{d y}{d x}+16 y=0$ છે.
સહાયક સમીકરણ $m^2+8m+16=0$ છે.
આને $(m+4)^2=0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આમ,બીજ $m = -4, -4$ મળે છે.
જ્યારે બીજ વાસ્તવિક અને સમાન હોય,ત્યારે વ્યાપક ઉકેલ $y = (A+Bx)e^{mx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m = -4$ મૂકતા,આપણને $y = (A+Bx)e^{-4x}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = -\frac{3x^2}{1+x^3}$ અને $Q = \frac{\sin^2(x)}{1+x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધવાનું સૂત્ર $I.F. = e^{\int P dx}$ છે.
$P$ ની કિંમત મૂકતા:
$I.F. = e^{\int -\frac{3x^2}{1+x^3} dx}$.
ધારો કે $u = 1+x^3$,તો $du = 3x^2 dx$ થાય. તેથી,$\int \frac{3x^2}{1+x^3} dx = \int \frac{1}{u} du = \log|1+x^3|$.
આમ,$I.F. = e^{-\log(1+x^3)} = e^{\log(1+x^3)^{-1}} = (1+x^3)^{-1} = \frac{1}{1+x^3}$.