WBJEE 2011 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) વાહન ઘર્ષણરહિત ઢળતા સમતલ પર $a = g\sin \alpha$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે.
વાહનના ફ્રેમમાં,લોલકના ગોળા પર ઉપરની દિશામાં સ્યુડો બળ $F_p = ma = mg\sin \alpha$ લાગે છે.
અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $\vec{g}$ અને વાહનના પ્રવેગના વિરોધી સદિશ $-\vec{a}$ નો સદિશ સરવાળો છે.
ઘટકોને વિભાજિત કરતા,ઢળતા સમતલને લંબ $g$ નો ઘટક $g\cos \alpha$ છે અને ઢળતા સમતલને સમાંતર $g$ નો ઘટક $g\sin \alpha$ છે. સ્યુડો બળ $g\sin \alpha$ ઘટકને રદ કરે છે.
આમ,અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g\cos \alpha$ થાય છે.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g\cos \alpha}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$r = R$,તેથી $U_i = -\frac{GMm}{R}$.
સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈ પર,કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = R + R = 2R$ થાય છે.
આમ,$h$ ઊંચાઈ પર સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{2R}$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,$GM = gR^2$ મળે છે.
આ કિંમત $\Delta U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$\Delta U = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{mgR}{2}$ મળે છે.

(B) પાત્રની અંદરનું કુલ દબાણ એ સૂકી હવાનું આંશિક દબાણ $(p)$ અને પાણીનું સંતૃપ્ત બાષ્પ દબાણ $(\bar{p})$ નો સરવાળો છે,તેથી $P_{total} = p + \bar{p}$.
જ્યારે તાપમાન અચળ રાખીને કદને અડધું $(V' = V/2)$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સૂકી હવાનું આંશિક દબાણ બોઈલના નિયમ $(P_1V_1 = P_2V_2)$ ને અનુસરે છે.
આમ,સૂકી હવાનું નવું દબાણ $p' = p \times (V / (V/2)) = 2p$ થાય છે.
તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,પાણીનું સંતૃપ્ત બાષ્પ દબાણ $(\bar{p})$ બદલાતું નથી કારણ કે તે માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તેથી,નવું કુલ દબાણ $P'_{total} = p' + \bar{p} = 2p + \bar{p}$ થશે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 0.25 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \,m/s$, અંતિમ વેગ $v = -10 \,m/s$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં પાછો ફરે છે), અને સમયગાળો $\Delta t = 0.01 \,s$.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta P = m(v - u) = 0.25 \times (-10 - 10) = 0.25 \times (-20) = -5 \,kg \cdot m/s$.
વેગમાનમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta P| = 5 \,kg \cdot m/s$ છે.
બેટ દ્વારા દડા પર લાગતું બળ $F = \frac{\Delta P}{\Delta t} = \frac{5}{0.01} = 500 \,N$.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, દડા દ્વારા બેટ પર લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન એટલે કે $500 \,N$ હશે।

(C) ધારો કે પથ્થરનું કદ $V$ છે,પથ્થરની ઘનતા $\sigma$ છે અને પાણીની ઘનતા $\rho$ છે.
પથ્થરની સાપેક્ષ ઘનતા $K$ એ $K = \frac{\sigma}{\rho}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\sigma = K\rho$.
પથ્થર જ્યારે ડૂબે છે ત્યારે તેના પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. પથ્થરનું વજન નીચેની તરફ લાગે છે: $W = V\sigma g = V(K\rho)g$.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ ઉપરની તરફ લાગે છે: $F_B = V\rho g$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,ચોખ્ખું બળ $F_{net} = W - F_B = ma$,જ્યાં $m = V\sigma$ એ પથ્થરનું દળ છે.
$V\sigma g - V\rho g = (V\sigma)a$
$V\sigma$ વડે ભાગતા:
$a = g - \frac{V\rho g}{V\sigma} = g - \frac{\rho}{\sigma}g$
કારણ કે $K = \frac{\sigma}{\rho}$,તેથી $\frac{\rho}{\sigma} = \frac{1}{K}$.
તેથી,પ્રવેગ $a = g - \frac{g}{K} = g\left(1 - \frac{1}{K}\right)$.

(D) ધારો કે પદાર્થનું કદ $V$ છે અને તેની ઘનતા $d$ છે. પ્રવાહીમાં પદાર્થનું આભાસી વજન એ વાસ્તવિક વજનમાંથી ઉત્પ્લાવક બળ બાદ કરવાથી મળે છે.
પ્રથમ પ્રવાહીમાં: $m_1 g = V d g - V d_1 g = V g (d - d_1) \implies m_1 = V(d - d_1) \quad (1)$
બીજા પ્રવાહીમાં: $m_2 g = V d g - V d_2 g = V g (d - d_2) \implies m_2 = V(d - d_2) \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{d - d_1}{d - d_2}$
$m_1(d - d_2) = m_2(d - d_1)$
$m_1 d - m_1 d_2 = m_2 d - m_2 d_1$
$d(m_1 - m_2) = m_1 d_2 - m_2 d_1$
$d = \frac{m_1 d_2 - m_2 d_1}{m_1 - m_2}$

(D) ધારો કે પદાર્થનું કુલ કદ $V$ છે અને તેની ઘનતા $\rho$ છે.
પ્લવનના નિયમ મુજબ,પદાર્થનું વજન તે પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
કિસ્સો $1$: પાણીમાં (ઘનતા $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$):
પાણીની અંદરનું કદ = $V - 0.4V = 0.6V$.
પદાર્થનું વજન = વિસ્થાપિત પાણીનું વજન $\implies V \rho g = (0.6V) \rho_w g \implies \rho = 0.6 \rho_w = 0.6 \text{ g/cm}^3$.
કિસ્સો $2$: તેલમાં (ઘનતા $\rho_o$):
તેલની અંદરનું કદ = $V - 0.6V = 0.4V$.
પદાર્થનું વજન = વિસ્થાપિત તેલનું વજન $\implies V \rho g = (0.4V) \rho_o g \implies \rho = 0.4 \rho_o$.
બંને કિસ્સાઓમાંથી પદાર્થની ઘનતાને સરખાવતા: $0.6 \rho_w = 0.4 \rho_o$.
તેલની સાપેક્ષ ઘનતા = $\frac{\rho_o}{\rho_w} = \frac{0.6}{0.4} = 1.5$.

(A) જ્યારે શૂન્યાવકાશમાં બે સાબુના પરપોટા જોડાય છે,ત્યારે હવાના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે. જો પ્રક્રિયા સમતાપી (isothermal) હોય,તો આપણે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અહીં $n$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$PV$ અચળ રહેશે.
સાબુના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $P_{ex} = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે. શૂન્યાવકાશમાં,પરપોટાની અંદરનું કુલ દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ છે.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
પ્રારંભિક બે પરપોટા માટે,$P_1 V_1 = (\frac{4T}{x})(\frac{4}{3}\pi x^3) = \frac{16}{3}\pi T x^2$ અને $P_2 V_2 = (\frac{4T}{y})(\frac{4}{3}\pi y^3) = \frac{16}{3}\pi T y^2$.
અંતિમ પરપોટા માટે,$P V = (\frac{4T}{z})(\frac{4}{3}\pi z^3) = \frac{16}{3}\pi T z^2$.
હવાનું કુલ પ્રમાણ જળવાઈ રહેતું હોવાથી,$P_1 V_1 + P_2 V_2 = PV$.
$\frac{16}{3}\pi T x^2 + \frac{16}{3}\pi T y^2 = \frac{16}{3}\pi T z^2$.
બંને બાજુ $\frac{16}{3}\pi T$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 + y^2 = z^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $z = \sqrt{x^2 + y^2}$.

(D) રેખીય વિકૃતિ $\epsilon_L = 2 \times 10^{-3}$ આપેલ છે.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ $\epsilon_d$ અને રેખીય વિકૃતિ $\epsilon_L$ નો ગુણોત્તર છે,એટલે કે $\sigma = -\frac{\epsilon_d}{\epsilon_L}$.
તેથી,પાર્શ્વ વિકૃતિ $\epsilon_d = -\sigma \epsilon_L = -0.50 \times (2 \times 10^{-3}) = -1 \times 10^{-3}$ થાય.
કદ વિકૃતિ $\frac{\Delta V}{V}$ એ રેખીય વિકૃતિ અને બે પાર્શ્વ વિકૃતિઓના સરવાળા જેટલી હોય છે: $\frac{\Delta V}{V} = \epsilon_L + 2\epsilon_d$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta V}{V} = (2 \times 10^{-3}) + 2(-1 \times 10^{-3}) = 2 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3} = 0$.
કદ વિકૃતિ $0$ હોવાથી,કદમાં થતો પ્રતિશત ફેરફાર $0$ છે.

(C) જ્યારે પથ્થરને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{u^2}{2g}$
આના પરથી,આપણે પ્રારંભિક વેગના વર્ગને આ રીતે દર્શાવી શકીએ:
$u^2 = 2gh$
જ્યારે તે જ પથ્થરને સમક્ષિતિજ દિશામાં (પ્રક્ષિપ્ત ગતિ તરીકે) મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{\max}$ પ્રાપ્ત કરવા માટે ફેંકવામાં આવે,ત્યારે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$ હોવો જોઈએ. મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર છે:
$R_{\max} = \frac{u^2}{g}$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $u^2$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$R_{\max} = \frac{2gh}{g}$
$R_{\max} = 2h$
આમ,વ્યક્તિ પથ્થરને જે મહત્તમ સમક્ષિતિજ અંતરે ફેંકી શકે છે તે $2h$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x = 4(\cos \pi t + \sin \pi t)$ છે.
આપણે આને $x = A \sin(\omega t + \phi)$ અથવા $x = A \cos(\omega t + \phi)$ ના સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
$\sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા.
$x = 4\sqrt{2} \left( \frac{4}{4\sqrt{2}} \cos \pi t + \frac{4}{4\sqrt{2}} \sin \pi t \right)$.
$x = 4\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \pi t + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \pi t \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ:
$x = 4\sqrt{2} \sin(\pi t + \frac{\pi}{4})$.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A = 4\sqrt{2}$ મળે છે.

(B) ગોઠવણી $(a)$ માટે, સ્પ્રિંગો શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_1$ એ $\frac{1}{k_1} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k}$ દ્વારા મળે છે, તેથી $k_1 = \frac{k}{2}$.
આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{k}} = 2 \,s$ છે.
ગોઠવણી $(b)$ માટે, સ્પ્રિંગો સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_2$ એ $k_2 = k + k = 2k$ છે.
આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ છે.
બંને આવર્તકાળનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi \sqrt{2m/k}}{2\pi \sqrt{m/2k}} = \sqrt{\frac{2m}{k} \cdot \frac{2k}{m}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી, $T_2 = \frac{T_1}{2} = \frac{2 \,s}{2} = 1 \,s$ મળે છે.

(B) સ્થિતિ ઊર્જા $V(x) = A(1 - \cos px)$ છે.
કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dV}{dx}$ છે.
$F = -\frac{d}{dx} [A(1 - \cos px)] = -A(p \sin px) = -Ap \sin px$.
નાના દોલનો માટે,$x$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$\sin px \approx px$ લઈ શકાય.
તેથી,$F \approx -Ap(px) = -Ap^2 x$.
આને પુનઃસ્થાપક બળના સમીકરણ $F = -kx$ સાથે સરખાવતા,આપણને અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = Ap^2$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{Ap^2}{m}} = p \sqrt{\frac{A}{m}}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{Ap^2}}$ થાય છે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વી પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે: $L_1 = L_2$.
$L = I\omega$ હોવાથી,આપણી પાસે $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ છે.
ઘન ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
ધારો કે $R_1 = R$ અને $R_2 = \frac{R}{n}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{2}{5}MR^2 \left(\frac{2\pi}{T_1}\right) = \frac{2}{5}M\left(\frac{R}{n}\right)^2 \left(\frac{2\pi}{T_2}\right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $R^2 \left(\frac{1}{T_1}\right) = \frac{R^2}{n^2} \left(\frac{1}{T_2}\right)$.
તેથી,$T_2 = \frac{T_1}{n^2}$.
દિવસનો પ્રારંભિક સમયગાળો $T_1 = 24 \text{ hr}$ આપેલ હોવાથી,નવો સમયગાળો $T_2 = \frac{24}{n^2} \text{ hr}$ થશે.

(B) ઉષ્મા વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta T}{x}$
આપેલ છે:
ઉષ્મા $Q = 1.56 \times 10^5 \ J$
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \ m^2$
જાડાઈ $x = 12 \ cm = 0.12 \ m$
સમય $t = 1 \ hour = 3600 \ s$
તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 20^{\circ} C$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.56 \times 10^5}{3600} = \frac{K \times 2 \times 20}{0.12}$
$K = \frac{1.56 \times 10^5 \times 0.12}{3600 \times 40}$
$K = \frac{1.56 \times 10^5 \times 12 \times 10^{-2}}{3600 \times 40}$
$K = \frac{1.56 \times 10^3 \times 12}{3600 \times 40} = \frac{1.56 \times 12000}{144000} = \frac{1.56}{12} = 0.13 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$

(C) બે તાપમાનના માપક્રમ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{A-42}{110} = \frac{B-72}{220}$ આપેલ છે.
જે તાપમાને બંને માપક્રમ સમાન વાંચન ધરાવે છે તે શોધવા માટે,આપણે $A = B = T$ લઈએ છીએ.
સમીકરણમાં $T$ મૂકતા: $\frac{T-42}{110} = \frac{T-72}{220}$.
છેદને $110$ વડે ભાગતા સમીકરણ સરળ બને છે: $\frac{T-42}{1} = \frac{T-72}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2(T-42) = T-72$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $2T - 84 = T - 72$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $2T - T = 84 - 72$.
આમ,$T = 12$.
તેથી,બંને માપક્રમ $12^{\circ}$ તાપમાને સમાન વાંચન ધરાવે છે.

(A) ધારો કે વાયુની પ્રારંભિક અવસ્થા $(P_i, V, T)$ છે.
પગલું $1$: સમતાપી સંકોચન.
વાયુને ત્યાં સુધી સંકોચવામાં આવે છે જ્યાં સુધી દબાણ બમણું ન થાય. પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,$P_i V = P_f V_f$. આપેલ છે કે $P_f = 2P_i$,તેથી $P_i V = (2P_i) V_f$,જે આપણને $V_f = V/2$ આપે છે.
સમતાપી સંકોચન પછીની અવસ્થા $(2P_i, V/2, T)$ છે.
પગલું $2$: સમોષ્મી વિસ્તરણ.
વાયુ સમોષ્મી રીતે વિસ્તરણ પામીને તેનું મૂળ કદ $V$ પાછું મેળવે છે. ધારો કે અંતિમ દબાણ $P_f'$ છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયાના સમીકરણ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(2P_i) (V/2)^\gamma = P_f' V^\gamma$
$P_f' = (2P_i) \left(\frac{V/2}{V}\right)^\gamma = (2P_i) \left(\frac{1}{2}\right)^\gamma = 2P_i \times 2^{-\gamma}$
$P_f' = P_i \times 2^{1-\gamma}$
અહીં $\gamma = 1.4$ આપેલ છે,તેથી $P_f' = 2P_i \times 2^{-1.4}$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $P_f' = 2P_i \times 0.38 = 0.76 P_i$.
તેથી,અંતિમ અને પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર $P_f'/P_i = 0.76: 1$ છે.

(A) સમતલ પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \cos(2\pi(\nu t - \frac{x}{\lambda}))$ છે,જ્યાં $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
આપેલ સમીકરણ: $y = 2 \cos 6.284(330t - x)$.
અહીં $6.284 \approx 2\pi$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $y = 2 \cos 2\pi(330t - x)$ તરીકે લખી શકીએ.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આવૃત્તિ $\nu = 330 \text{ Hz}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ આવૃત્તિનો વ્યસ્ત છે,એટલે કે $T = \frac{1}{\nu}$.
તેથી,$T = \frac{1}{330} \text{ s}$.

(B) પાત્રમાંથી પાણી બહાર કાઢવા માટે, આપણે પાણીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને પાત્રની ઉપરની સપાટી સુધી ઊંચકવું પડે.
ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $L = 1 \,m$ છે.
પાણીનું કદ $V = L^3 = 1^3 = 1 \,m^3$ છે.
પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \,kg/m^3$ છે.
પાણીનું દળ $m = \rho V = 1000 \times 1 = 1000 \,kg$ છે.
પૂર્ણ ભરેલા સમઘન પાત્રમાં પાણીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તળિયેથી $h_{cm} = L/2 = 0.5 \,m$ ની ઊંચાઈએ હોય છે.
પાણીને બહાર કાઢવા માટે, દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને પાત્રની ટોચ સુધી ઊંચકવું પડે, જે પ્રારંભિક દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સ્થિતિથી $h = L/2 = 0.5 \,m$ ની ઊંચાઈએ છે.
કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = mgh = 1000 \times 10 \times 0.5 = 5000 \,J$ છે.

(C) આપેલ છે કે પાવર $P$ અચળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P = F \cdot v = m \cdot a \cdot v = m \cdot \frac{dv}{dt} \cdot v$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $v \cdot dv = \frac{P}{m} \cdot dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int v \cdot dv = \int \frac{P}{m} \cdot dt$,જે $\frac{v^2}{2} = \frac{P}{m} \cdot t$ આપે છે.
આમ,$v = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot t^{\frac{1}{2}}$.
કારણ કે $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot t^{\frac{1}{2}}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$x = \int \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot t^{\frac{1}{2}} \cdot dt = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}$.
તેથી,$x = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot t^{\frac{3}{2}}$.
અહીં $P$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$x \propto t^{\frac{3}{2}}$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 6 \,kg$,સ્થાનાંતર $x = \frac{t^2}{4} \,m$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^2}{4}) = \frac{2t}{4} = \frac{t}{2} \,m/s$.
$t = 0 \,s$ સમયે,વેગ $v_i = \frac{0}{2} = 0 \,m/s$.
$t = 2 \,s$ સમયે,વેગ $v_f = \frac{2}{2} = 1 \,m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta K$ જેટલું હોય છે.
$W = K_f - K_i = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$.
$W = \frac{1}{2} \times 6 \times (1)^2 - \frac{1}{2} \times 6 \times (0)^2$.
$W = 3 - 0 = 3 \,J$.

(B) પડદા પરના કોઈ બિંદુ $P$ પર,જે કેન્દ્રથી $y$ અંતરે છે,ત્યાં પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d \left( \frac{y}{D} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અપ્રકાશિત શલાકા માટે,પથ તફાવત એ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ: $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા માટે $n = 1$ લેતા,$\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ મળે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા એક સ્લિટની બરાબર સામે જોવા મળે છે. કેન્દ્રથી સ્લિટનું અંતર $d/2$ છે. તેથી,$y = d/2$.
આ કિંમતોને પથ તફાવતના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{d}{2} \cdot \frac{d}{D} = \frac{\lambda}{2}$
$\frac{d^2}{D} = \lambda$
તેથી,પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{d^2}{D}$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધરા-સ્થિતિ $(n=1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \ eV$.
$M$-કોષ $(n=3)$ માટે,ઉર્જા $E_3 = -\frac{13.6 \ eV}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \ eV \approx -1.51 \ eV$ છે.
$M$-સ્થિતિમાંથી હાઇડ્રોજન પરમાણુનું આયનીકરણ કરવા માટે,પરમાણુને આયનીકરણ મર્યાદા $(E_{\infty} = 0 \ eV)$ સુધી પહોંચવા માટે પૂરતી ઉર્જા આપવી આવશ્યક છે.
જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = E_{\infty} - E_3 = 0 - (-1.51 \ eV) = +1.51 \ eV$ છે.
તેથી,બીજા ઇલેક્ટ્રોને પરમાણુને ઓછામાં ઓછી $+1.51 \ eV$ ઉર્જા આપવી જ પડે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ફક્ત અવરોધ $R_2$ અને બેટરીના આંતરિક અવરોધ $r$ ધરાવતી શાખામાંથી વહે છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_2 + r}$ છે.
કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ અવરોધ $R_2$ ના બે છેડા વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ હોય છે,કારણ કે તેઓ સમાંતર જોડાણમાં છે.
આમ,$V = I R_2 = \frac{E R_2}{R_2 + r}$.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $Q = C \left( \frac{E R_2}{R_2 + r} \right) = \frac{C E R_2}{R_2 + r}$ મળે છે.

(C) શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કોષોનું કુલ e.m.f. $E + E = 2E$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R + r_1 + r_2$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{2E}{R + r_1 + r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કોષ (જેનો આંતરિક અવરોધ $r_1$ છે) ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E - Ir_1$ છે.
આપણને આપેલ છે કે પ્રથમ કોષના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે,તેથી $E - Ir_1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $E = Ir_1$.
આ સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1$
$1 = \frac{2r_1}{R + r_1 + r_2}$
$R + r_1 + r_2 = 2r_1$
$R = 2r_1 - r_1 - r_2$
$R = r_1 - r_2$

(C) ધારો કે નોડ્સને નામ આપવામાં આવ્યા છે. પ્રથમ નોડ $A$ છે. વાયર પ્રથમ અવરોધના શરૂઆતના બિંદુને બીજા અવરોધના અંતિમ બિંદુ સાથે જોડે છે. બીજો વાયર બીજા અવરોધના શરૂઆતના બિંદુને ત્રીજા અવરોધના અંતિમ બિંદુ (બિંદુ $B$) સાથે જોડે છે.
સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $R$ અવરોધ ધરાવતા ત્રણેય અવરોધો બિંદુ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા અવરોધો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$
તેથી,$R_{eq} = \frac{R}{3}$.

(C) પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે અવરોધકો બ્રિજ જેવી રચનામાં ગોઠવાયેલા છે.
સમાનતાને કારણે,બિંદુ $F$ અને બિંદુ $E$ પરના સ્થિતિમાનનું વિશ્લેષણ કરી શકાય છે.
જ્યારે $A$ અને $B$ વચ્ચે $V$ વોલ્ટેજ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ એવી રીતે સરળ બને છે કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R$ થાય છે.
આમ,બેટરીમાંથી ખેંચાયેલ કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R}$ છે.
પરિપથની સપ્રમાણ પ્રકૃતિને કારણે,આ પ્રવાહ $F$ સાથે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,અવરોધ $FC$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{FC} = \frac{I}{2} = \frac{V}{2R}$ થશે.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. કેન્દ્રથી દરેક ખૂણાનું અંતર $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,કોઈપણ ખૂણા પરના વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
એક ખૂણા પરના $-Q$ વિદ્યુતભારને ધ્યાનમાં લો. તેના પર લાગતા બળો:
$1$. અન્ય ત્રણ $-Q$ વિદ્યુતભારો દ્વારા લાગતું અપાકર્ષી બળ.
ધારો કે $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^2}{a^2}$.
બે બાજુઓ પરના બળોનું પરિણામી બળ $F_{res} = \sqrt{F^2 + F^2} = \sqrt{2} F$ છે.
વિકર્ણ પરના વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ $F_{diag} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{F}{2}$ છે.
કુલ અપાકર્ષી બળ $F_{total} = \sqrt{2} F + \frac{F}{2} = F(\sqrt{2} + \frac{1}{2})$.
$2$. કેન્દ્રમાં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા લાગતું આકર્ષી બળ: $F_q = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q Q}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q Q}{(a/\sqrt{2})^2} = \frac{2 q Q}{4 \pi \epsilon_0 a^2}$.
સંતુલન માટે,$F_q = F_{total} \implies \frac{2 q Q}{4 \pi \epsilon_0 a^2} = \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 a^2} (\sqrt{2} + \frac{1}{2})$.
$2q = Q(\sqrt{2} + 0.5) = Q(\frac{2\sqrt{2}+1}{2})$.
$q = \frac{Q}{4}(1 + 2\sqrt{2})$.
બળ આકર્ષી હોવું જોઈએ,તેથી $q$ ની સંજ્ઞા $-Q$ થી વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ,એટલે કે $q$ ધન છે.

(B) $P$ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $BC$ અને $B^{\prime} C^{\prime}$ વિભાગો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
$AB$ અને $A^{\prime} B^{\prime}$ વિભાગો $P$ ધરાવતી અક્ષ તરફ અને તેનાથી દૂર જાય છે,તેથી આ વિભાગોને કારણે $P$ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે કારણ કે $P$ આ પ્રવાહ ઘટકોની રેખા પર આવેલું છે.
અર્ધ-અનંત તાર $BC$ માટે,છેડા $B$ થી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે.
તે જ રીતે,અર્ધ-અનંત તાર $B^{\prime} C^{\prime}$ માટે,છેડા $B^{\prime}$ થી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P$ પર બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં (કાગળની અંદરની તરફ) છે.
તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \left( \frac{2 I}{r} \right)$ થાય છે.

(D) સીમિત લંબાઈના સીધા તારને કારણે લંબ અંતર $r$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ બાજુ ધરાવતા ચોરસ લૂપ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર $r = L/2$ છે.
દરેક બાજુના છેડાઓ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતા ખૂણા $\theta_1 = 45^{\circ}$ અને $\theta_2 = 45^{\circ}$ છે.
ત્યાં $4$ સમાન બાજુઓ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total}$ એ એક બાજુને કારણે મળતા ક્ષેત્ર કરતા $4$ ગણું હશે:
$B_{total} = 4 \times \left[ \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) \right]$
$B_{total} = 4 \times \left[ \frac{\mu_0 I}{2 \pi L} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) \right]$
$B_{total} = 4 \times \left[ \frac{\mu_0 I}{2 \pi L} (\frac{2}{\sqrt{2}}) \right]$
$B_{total} = 4 \times \left[ \frac{\mu_0 I}{\pi L} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times 2 \right] = \frac{8 \mu_0 I}{2 \sqrt{2} \pi L} = \frac{4 \mu_0 I}{\sqrt{2} \pi L} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi L}$.

(D) પરમાણુ પ્રક્રિયામાં,સમીકરણની બંને બાજુએ કુલ પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ અને કુલ દળ ક્રમાંક $(A)$ નું સંરક્ષણ થવું જોઈએ.
ધારો કે $X$ ને ${ }_{Z'}^{A'} X$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: ${ }_{7}^{14} N + { }_{Z'}^{A'} X \rightarrow { }_{6}^{14} C + { }_{1}^{1} H$.
દળ ક્રમાંક $(A)$ નું સંરક્ષણ: $14 + A' = 14 + 1 \Rightarrow A' = 1$.
પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ નું સંરક્ષણ: $7 + Z' = 6 + 1 \Rightarrow 7 + Z' = 7 \Rightarrow Z' = 0$.
$1$ દળ ક્રમાંક અને $0$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતો કણ એ ન્યુટ્રોન છે,જેને ${ }_{0}^{1} n$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે કારણ કે ન્યુક્લિયસ શરૂઆતમાં સ્થિર છે.
ધારો કે પિતૃ ન્યુક્લિયસનું દળ $M$ છે,જે દળ-સંખ્યા $A$ ના પ્રમાણમાં છે. તેથી,$M = kA$.
$\alpha$-કણનું દળ $4$ (પરમાણ્વીય દળ એકમમાં) છે અને ડોટર ન્યુક્લિયસનું દળ $(A-4)$ છે.
ધારો કે ડોટર ન્યુક્લિયસની રિકોઈલ ઝડપ $V_r$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણ મુજબ: $P_{\text{initial}} = P_{\text{final}}$
$0 = m_{\alpha} v + m_{\text{daughter}} V_r$
$0 = 4v + (A-4) V_r$
$V_r = -\frac{4v}{A-4}$
રિકોઈલ ઝડપનું મૂલ્ય $\frac{4v}{A-4}$ છે.

(C) જ્યારે ડ્રાઈવર પાણીની અંદર હોય છે,ત્યારે તે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની ઘટનાને કારણે બહારની દુનિયાને પ્રકાશના શંકુ દ્વારા જુએ છે.
આ શંકુનો અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો પાણી-હવા ઈન્ટરફેસ માટેના ક્રાંતિકોણ $c$ જેટલો હોય છે.
ક્રાંતિકોણનું સૂત્ર $\sin c = \frac{1}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{4}{3}$ આપેલ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\sin c = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
તેથી,અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો $c = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ છે.

(A) લેન્સનો પાવર $P = \frac{100}{f}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ $cm$ માં છે.
પ્રથમ લેન્સ માટે,$P_1 = \frac{100}{20} = 5 \ D$.
બીજા લેન્સ માટે,$P_2 = \frac{100}{25} = 4 \ D$.
જ્યારે બે પાતળા લેન્સ સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનનો અસરકારક પાવર $P_{eff}$ એ તેમના વ્યક્તિગત પાવરનો સરવાળો છે: $P_{eff} = P_1 + P_2$.
તેથી,$P_{eff} = 5 \ D + 4 \ D = 9 \ D$.

(A) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = +30 \,cm$ (બહિર્ગોળ લેન્સ માટે).
મોટવણી $m = -5$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે).
આપણે જાણીએ છીએ કે મોટવણી $m = \frac{v}{u}$, તેથી $v = mu = -5u$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{30} = \frac{1}{-5u} - \frac{1}{u}$.
$\frac{1}{30} = \frac{-1 - 5}{5u} = \frac{-6}{5u}$.
$5u = -180$.
$u = -36 \,cm$.
વસ્તુ અંતરનું મૂલ્ય $36 \,cm$ છે.

(B) લેન્સનો પાવર $P$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
પ્લેનો-કોન્કેવ લેન્સ માટે, વક્ર સપાટી પ્રથમ સપાટી છે $(R_1 = -1 \,m)$ અને બીજી સપાટી સમતલ છે $(R_2 = \infty)$.
આપેલ વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{-1} - \frac{1}{\infty} \right)$.
$P = (0.5) (-1 - 0) = -0.5 \,D$.

(C) સામાન્ય ગોઠવણમાં ખગોળીય ટેલિસ્કોપની મોટવણી $(m)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $m = -\frac{f_o}{f_e}$,જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
જો આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ બમણી કરવામાં આવે,તો નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f_e' = 2f_e$ થશે.
નવી મોટવણી $(m')$ આ મુજબ હશે: $m' = -\frac{f_o}{f_e'} = -\frac{f_o}{2f_e} = \frac{1}{2} \left( -\frac{f_o}{f_e} \right) = \frac{m}{2}$.
તેથી,મોટવણી તેના મૂળ મૂલ્ય કરતા અડધી થઈ જશે.

(D) આપેલ સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
| ઇનપુટ $A$ | ઇનપુટ $B$ | આઉટપુટ $Q$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
સત્યતા કોષ્ટકનું વિશ્લેષણ:
$1$. જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $1$ હોય, ત્યારે આઉટપુટ $Q$ $0$ મળે છે.
$2$. અન્ય તમામ ઇનપુટ સંયોજનો ($0,0$; $0,1$; $1,0$) માટે, આઉટપુટ $Q$ $1$ મળે છે.
આ વર્તણૂક $NAND$ ગેટને અનુરૂપ છે, જે $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટના જોડાણ સમાન છે. આ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Q = \overline{A \cdot B}$ છે.