જો ${}^nC_4, {}^nC_5$ અને ${}^nC_6$ એ $A.P.$ માં હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

$52$ પત્તાના ડેકમાંથી $5$ પત્તાના કેટલા સંયોજનો બનાવી શકાય જો દરેક $5$ પત્તાની પસંદગીમાં બરાબર એક રાજા (king) હોય?

એક વિદ્યાર્થીને $2n+1$ પુસ્તકોના સંગ્રહમાંથી વધુમાં વધુ $n$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની છૂટ છે. જો તે ઓછામાં ઓછું એક પુસ્તક પસંદ કરી શકે તેવા કુલ પ્રકારોની સંખ્યા $255$ હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો ${ }^{n-3} C_r + B \cdot { }^{n-3} C_{r-1} + B^{\prime} \cdot { }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3} = { }^n C_r$ એ તમામ $n \geq r \geq 3$ માટે સાચું હોય,તો $(B, B^{\prime}) = $.

$4$ ઓફિસર અને $8$ કોન્સ્ટેબલમાંથી $6$ વ્યક્તિઓને એવી રીતે કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય કે જેમાં ઓછામાં ઓછા એક ઓફિસરનો સમાવેશ થાય?

એક વર્ગમાં દસ છોકરાઓ $B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{10}$ અને પાંચ છોકરીઓ $G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{5}$ છે. જો $B_{1}$ અને $B_{2}$ બંને એકસાથે જૂથના સભ્યો ન હોય,તો ત્રણ છોકરાઓ અને ત્રણ છોકરીઓનું જૂથ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?