WBJEE 2011 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$1$) $\log _3 x + \log _3 y = 2 + \log _3 2$
$2$) $\log _3(x+y) = 2$
समीकरण $(1)$ से,$\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log _3(xy) = \log _3(3^2) + \log _3 2$
$\log _3(xy) = \log _3 9 + \log _3 2 = \log _3 18$
अतः,$xy = 18$.
समीकरण $(2)$ से:
$x + y = 3^2 = 9$.
इस प्रकार,$x+y=9$ और $xy=18$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $t^2 - 9t + 18 = 0$ को हल करने पर,$t=3$ या $t=6$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $(x=3, y=6)$ या $(x=6, y=3)$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $x=3, y=6$ है।

(A) दिया गया है कि $\log _{7} 2 = \lambda$ है।
हमें $\log _{49} (28)$ का मान ज्ञात करना है।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log _{a^n} b = \frac{1}{n} \log _{a} b$ का उपयोग करने पर:
$\log _{49} (28) = \log _{7^2} (28) = \frac{1}{2} \log _{7} (28)$।
चूंकि $28 = 4 \times 7 = 2^2 \times 7$,हम लिख सकते हैं:
$\frac{1}{2} \log _{7} (2^2 \times 7) = \frac{1}{2} [\log _{7} (2^2) + \log _{7} 7]$।
गुणधर्म $\log _{a} (x^n) = n \log _{a} x$ और $\log _{a} a = 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} [2 \log _{7} 2 + 1] = \frac{1}{2} (2 \lambda + 1)$।

(B) दिया गया है कि $\sin \theta$ और $\cos \theta$ द्विघात समीकरण $ax^2 - bx + c = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,मूलों का योग $\sin \theta + \cos \theta = \frac{b}{a}$ और मूलों का गुणनफल $\sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{c}{a}$ है।
मूलों के योग का वर्ग करने पर,$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{b}{a})^2$ प्राप्त होता है।
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{b^2}{a^2}$।
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $1 + 2(\frac{c}{a}) = \frac{b^2}{a^2}$।
$a^2$ से गुणा करने पर,$a^2 + 2ac = b^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$a^2 - b^2 + 2ac = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना समीकरण $px^2+qx+r=0$ के मूल $a\alpha$ और $b\alpha$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $a\alpha + b\alpha = (a+b)\alpha = -\frac{q}{p}$
मूलों का गुणनफल: $(a\alpha)(b\alpha) = ab\alpha^2 = \frac{r}{p}$
अब,अनुपात पर विचार करें:
$\frac{ab\alpha^2}{(a+b)^2\alpha^2} = \frac{ab}{(a+b)^2}$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{ab}{(a+b)^2} = \frac{r/p}{(-q/p)^2} = \frac{r}{p} \times \frac{p^2}{q^2} = \frac{pr}{q^2}$

(D) समीकरण $x^2+x+1=0$ के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
माना $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है।
हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है कि $\omega + \omega^2 = -1$ है।
नए मूलों की गणना:
$\alpha^{19} = \omega^{19} = (\omega^3)^6 \cdot \omega = 1^6 \cdot \omega = \omega$.
$\beta^7 = (\omega^2)^7 = \omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
$\alpha^{19}$ और $\beta^7$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (\alpha^{19} + \beta^7)x + (\alpha^{19} \cdot \beta^7) = 0$ है।
मान रखने पर:
$x^2 - (\omega + \omega^2)x + (\omega \cdot \omega^2) = 0$.
चूंकि $\omega + \omega^2 = -1$ और $\omega^3 = 1$ है,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$x^2 - (-1)x + 1 = 0$,जो सरल होकर $x^2 + x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $x+\frac{1}{x}=2 \cos \theta$.
माना $x = \cos \theta + i \sin \theta$.
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$x^n = \cos n \theta + i \sin n \theta$.
अतः,$\frac{1}{x^n} = \cos n \theta - i \sin n \theta$.
दोनों को जोड़ने पर:
$x^n + \frac{1}{x^n} = 2 \cos n \theta$.

(C) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र है: $\frac{n(n-3)}{2} = 20$।
$2$ से गुणा करने पर,$n(n-3) = 40$ प्राप्त होता है।
$n^2 - 3n - 40 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(n-8)(n+5) = 0$।
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 8$ है।

(B) मान लीजिए अनुक्रम के पद $T_1, T_2, T_3, \ldots$ हैं,जहाँ $T_1 = \log a$,$T_2 = \log \frac{a^2}{b}$,और $T_3 = \log \frac{a^3}{b^2}$ है।
लघुगणक के गुणधर्म $\log \frac{x}{y} = \log x - \log y$ और $\log x^n = n \log x$ का उपयोग करते हुए:
$T_1 = \log a$
$T_2 = 2 \log a - \log b$
$T_3 = 3 \log a - 2 \log b$
अब,सार्व अंतर $d = T_2 - T_1 = (2 \log a - \log b) - \log a = \log a - \log b$ की जाँच करें।
इसी प्रकार $T_3 - T_2 = (3 \log a - 2 \log b) - (2 \log a - \log b) = \log a - \log b$ है।
चूँकि $T_2 - T_1 = T_3 - T_2$ है,इसलिए यह अनुक्रम $d = \log a - \log b$ के सार्व अंतर के साथ एक $A$.$P$. है।

(B) दिया गया है कि $\sin A, \sin B, \sin C$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
अतः,$a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
मान लीजिए $p_1, p_2, p_3$ क्रमशः भुजाओं $a, b, c$ के संगत शीर्षलंब हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ है।
इसका अर्थ है कि $p_1 = \frac{2\Delta}{a}, p_2 = \frac{2\Delta}{b}, p_3 = \frac{2\Delta}{c}$ है।
चूँकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में होंगे।
अतः,$\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
इस प्रकार,शीर्षलंब $p_1, p_2, p_3$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(A) दी गई श्रेणी $S = 1 + 2\omega + 3\omega^2 + \dots + 3n\omega^{3n-1}$ है।
$\omega$ से गुणा करने पर: $S\omega = \omega + 2\omega^2 + 3\omega^3 + \dots + 3n\omega^{3n}$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S(1 - \omega) = 1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{3n-1} - 3n\omega^{3n}$।
चूंकि $\omega^3 = 1$,गुणोत्तर श्रेणी $1 + \omega + \dots + \omega^{3n-1}$ का योग $\frac{1 - (\omega^3)^n}{1 - \omega} = \frac{1 - 1}{1 - \omega} = 0$ है।
अतः,$S(1 - \omega) = 0 - 3n(1) = -3n$।
इसलिए,$S = \frac{-3n}{1 - \omega} = \frac{3n}{\omega - 1}$।

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{e^{7x}+e^x}{e^{3x}} = e^{4x} + e^{-2x}$.
$e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए:
$e^{4x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n x^n}{n!}$.
$e^{-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n x^n}{n!}$.
इन दोनों श्रेणियों को जोड़ने पर,$x^n$ का गुणांक $\frac{4^n + (-2)^n}{n!}$ प्राप्त होता है।

(C) माना श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n(n+1)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$।
अतः,$S = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + \dots$
$S = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \dots$
$S = 1 - 2(\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{3}) - 2(\frac{1}{4}) + 2(\frac{1}{5}) - \dots$
$S = 1 - 2[\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots]$
हम जानते हैं कि $\log_{e}(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$
$x=1$ के लिए,$\log_{e} 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$
अतः,$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots = 1 - \log_{e} 2$।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर,$S = 1 - 2(1 - \log_{e} 2) = 1 - 2 + 2 \log_{e} 2 = 2 \log_{e} 2 - 1$।

(B) $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में $x^{n}$ का गुणांक $A = {}^{2n}C_{n}$ है।
$(1+x)^{2n-1}$ के विस्तार में $x^{n}$ का गुणांक $B = {}^{2n-1}C_{n}$ है।
अब,अनुपात $A / B$ की गणना करते हैं:
$\frac{A}{B} = \frac{{}^{2n}C_{n}}{{}^{2n-1}C_{n}}$
सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n}{r} \times {}^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करते हुए,
$\frac{A}{B} = \frac{\frac{(2n)!}{n!n!}}{\frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!}} = \frac{2n}{n} = 2$.

(A) द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम $(101)^{100}-1$ को $(1+100)^{100}-1$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर:
$(1+100)^{100}-1 = \left(1 + {}^{100}C_{1}(100) + {}^{100}C_{2}(100)^{2} + {}^{100}C_{3}(100)^{3} + \dots + {}^{100}C_{100}(100)^{100}\right) - 1$.
चूंकि ${}^{100}C_{1} = 100$,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$100(100) + {}^{100}C_{2}(100)^{2} + {}^{100}C_{3}(100)^{3} + \dots + {}^{100}C_{100}(100)^{100}$.
$= 10^{4} + {}^{100}C_{2}(10^{4}) + {}^{100}C_{3}(10^{6}) + \dots + 10^{200}$.
$= 10^{4} \left(1 + {}^{100}C_{2} + {}^{100}C_{3}(10^{2}) + \dots + 10^{196}\right)$.
अतः,यह व्यंजक $10^{4}$ से विभाज्य है।

(C) द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$(1+x)^n = {^nC_0} + {^nC_1}x + {^nC_2}x^2 + {^nC_3}x^3 + \dots + {^nC_n}x^n$
चूँकि ${^nC_0} = 1$ और ${^nC_1} = n$,हम लिख सकते हैं:
$(1+x)^n = 1 + nx + {^nC_2}x^2 + {^nC_3}x^3 + \dots + x^n$
अब,दोनों पक्षों से $nx$ और $1$ घटाने पर:
$(1+x)^n - nx - 1 = {^nC_2}x^2 + {^nC_3}x^3 + \dots + x^n$
दाईं ओर से $x^2$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$(1+x)^n - nx - 1 = x^2 ({^nC_2} + {^nC_3}x + \dots + x^{n-2})$
अतः,यह व्यंजक $x^2$ से विभाज्य है।

(A) दिया गया है कि ${}^nC_4, {}^nC_5, {}^nC_6$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$2({}^nC_5) = {}^nC_4 + {}^nC_6$।
${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$2 \times \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$
$n!$ से भाग देने और $6!(n-4)!$ से गुणा करने पर:
$2 \times 6(n-4) = 30 + (n-4)(n-5)$
$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$
$n^2 - 21n + 98 = 0$
$(n-7)(n-14) = 0$
अतः,$n = 7$ या $n = 14$।

(B) हम जानते हैं कि विषम अनुक्रमणिका (odd indices) वाले द्विपद गुणांकों का योग इस प्रकार है:
$^{n}C_1 + ^{n}C_3 + ^{n}C_5 + \ldots = 2^{n-1}$.
$n = 15$ के लिए,हमारे पास है:
$^{15}C_1 + ^{15}C_3 + ^{15}C_5 + \ldots + ^{15}C_{15} = 2^{15-1} = 2^{14}$.
हमें $^{15}C_3 + ^{15}C_5 + \ldots + ^{15}C_{15}$ का योग ज्ञात करना है।
यह $2^{14} - ^{15}C_1$ के बराबर है।
चूंकि $^{15}C_1 = 15$,इसलिए योग $2^{14} - 15$ है।

(C) दिया गया है $\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}$.
हम जानते हैं कि $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{(1+t^2)^2 - 4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 + 2t^2 + t^4 - 4t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 - 2t^2 + t^4}{(1+t^2)^2} = \frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}$.
वर्गमूल लेने पर,$|\cos \theta| = \frac{|1-t^2|}{1+t^2}$.
चूंकि $\theta$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\cos \theta$ ऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,$\cos \theta = -\frac{|1-t^2|}{1+t^2}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\sin \theta + \cos \theta = 0$
दोनों पक्षों को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर ($\cos \theta \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + 1 = 0$
$\tan \theta = -1$
चूंकि $0 < \theta < \pi$,$\theta$ का वह मान जहाँ $\tan \theta = -1$ होता है,वह द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
अतः,$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.

(A) हम सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करते हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{a}{a+1} + \frac{1}{2a+1}}{1 - \left(\frac{a}{a+1}\right) \left(\frac{1}{2a+1}\right)}$
$= \frac{\frac{a(2a+1) + 1(a+1)}{(a+1)(2a+1)}}{\frac{(a+1)(2a+1) - a}{(a+1)(2a+1)}}$
$= \frac{2a^2 + a + a + 1}{2a^2 + a + 2a + 1 - a}$
$= \frac{2a^2 + 2a + 1}{2a^2 + 2a + 1} = 1$
चूंकि $\tan(\alpha + \beta) = 1$,इसलिए $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ है।

(B) दिया गया है कि $\theta + \phi = \frac{\pi}{4}$।
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर,$\tan(\theta + \phi) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\tan(\theta + \phi) = \frac{\tan \theta + \tan \phi}{1 - \tan \theta \tan \phi} = 1$ का उपयोग करने पर।
इससे $\tan \theta + \tan \phi = 1 - \tan \theta \tan \phi$,या $\tan \theta + \tan \phi + \tan \theta \tan \phi = 1$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $(1 + \tan \theta)(1 + \tan \phi) = 1 + \tan \phi + \tan \theta + \tan \theta \tan \phi$ पर विचार करें।
पिछले चरण से मान प्रतिस्थापित करने पर: $1 + (\tan \theta + \tan \phi + \tan \theta \tan \phi) = 1 + 1 = 2$।

(B) हम जानते हैं कि $\cos 15^{\circ} = \cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
इसी प्रकार,$\sin 15^{\circ} = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$.
दोनों का अंतर लेने पर:
$\cos 15^{\circ} - \sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1 - (\sqrt{3} - 1)}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) दिया गया समीकरण $a \sin x + b \cos x = c$ के रूप में है,जहाँ $a = 2$,$b = 1$,और $c = 3$ है।
समीकरण $a \sin x + b \cos x = c$ का हल होने के लिए,शर्त $|c| \leq \sqrt{a^2 + b^2}$ पूरी होनी चाहिए।
यहाँ,$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ है।
चूँकि $\sqrt{5} \approx 2.236$,इसलिए $c = 3 > \sqrt{5}$ है।
चूँकि $2 \sin x + \cos x$ का अधिकतम मान $\sqrt{5}$ है,यह कभी भी $3$ के मान तक नहीं पहुँच सकता है।
अतः,समीकरण का कोई हल नहीं है।

(B) माना रेखा $x+y=4$ पर स्थित बिंदु $P(h, 4-h)$ है।
बिंदु $P(h, 4-h)$ से रेखा $4x+3y-10=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|4h + 3(4-h) - 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$ है।
चूंकि $d=1$ दिया गया है,इसलिए $\frac{|4h + 12 - 3h - 10|}{5} = 1$ है।
$|h + 2| = 5$ प्राप्त होता है।
इससे दो स्थितियाँ मिलती हैं:
स्थिति $1$: $h+2 = 5 \implies h = 3$. बिंदु $(3, 4-3) = (3, 1)$ है।
स्थिति $2$: $h+2 = -5 \implies h = -7$. बिंदु $(-7, 4-(-7)) = (-7, 11)$ है।
अतः,निर्देशांक $(3, 1)$ और $(-7, 11)$ हैं।

(A) तीन बिंदुओं $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ के संरेख होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए,या $AB$ की ढाल $BC$ की ढाल के बराबर होनी चाहिए।
सारणिक विधि का उपयोग करते हुए:
$\begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 3 & -4 & 1 \\ x & y & 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(-4 - y) - 6(3 - x) + 1(3y - (-4x)) = 0$
$-4 - y - 18 + 6x + 3y + 4x = 0$
$10x + 2y - 22 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर:
$5x + y - 11 = 0$

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x \sin \theta + (1 - \cos \theta) y = a \sin \theta$ $(1)$
$x \sin \theta - (1 + \cos \theta) y = -a \sin \theta$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(1 - \cos \theta + 1 + \cos \theta) y = a \sin \theta + a \sin \theta$
$2y = 2a \sin \theta \implies y = a \sin \theta$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2x \sin \theta + (1 - \cos \theta - 1 - \cos \theta) y = 0$
$2x \sin \theta - 2y \cos \theta = 0$
$x \sin \theta = y \cos \theta$
$y = a \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x \sin \theta = (a \sin \theta) \cos \theta$
$x = a \cos \theta$
अब,$x^2 + y^2 = (a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2 = a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = a^2$
अतः,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = a^2$ है।

(A) द्विघात वक्र का सामान्य समीकरण $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $8 x^2+12 y^2-4 x+4 y-1=0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $a=8$,$b=12$,और $h=0$ प्राप्त होता है।
शंकु परिच्छेद की प्रकृति का निर्धारण विविक्तकर $h^2-a b$ द्वारा किया जाता है।
यहाँ,$h^2-a b = (0)^2 - (8)(12) = -96$ है।
चूंकि $h^2-a b < 0$ और $a \neq b$ है,इसलिए यह समीकरण एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।

(B) प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ और $B$ ज्ञात करने के लिए,$y=x$ को वृत्त के समीकरण $x^2+y^2-2x=0$ में प्रतिस्थापित करें।
$x^2+x^2-2x=0$
$2x^2-2x=0$
$2x(x-1)=0$
अतः,$x=0$ या $x=1$। चूँकि $y=x$,बिंदु $A(0,0)$ और $B(1,1)$ हैं।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ होता है।
$(0,0)$ और $(1,1)$ रखने पर:
$(x-0)(x-1)+(y-0)(y-1)=0$
$x(x-1)+y(y-1)=0$
$x^2-x+y^2-y=0$
$x^2+y^2-x-y=0$.

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+4x-8y+5=0$ है।
इसे सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $2g=4 \Rightarrow g=2$ और $2f=-8 \Rightarrow f=-4$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-2, 4)$ है।
मान लीजिए कि व्यास के दूसरे सिरे के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
चूंकि वृत्त का केंद्र व्यास का मध्य-बिंदु होता है,इसलिए:
$\frac{h+2}{2} = -2$ $\Rightarrow h+2 = -4$ $\Rightarrow h = -6$
$\frac{k+1}{2} = 4$ $\Rightarrow k+1 = 8$ $\Rightarrow k = 7$
अतः,दूसरे सिरे के निर्देशांक $(-6, 7)$ हैं।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 20y + 90 = 0$ है।
$y = mx$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + (mx)^2 - 20(mx) + 90 = 0$
$x^2(1 + m^2) - 20mx + 90 = 0$।
रेखा के वृत्त के बाहर स्थित होने के लिए,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए:
$D = (-20m)^2 - 4(1 + m^2)(90) < 0$
$400m^2 - 360(1 + m^2) < 0$
$400m^2 - 360 - 360m^2 < 0$
$40m^2 - 360 < 0$
$40m^2 < 360$
$m^2 < 9$
$|m| < 3$.

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त $(a, 0)$ और $(-a, 0)$ बिंदुओं से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र $(h, k)$ से दोनों बिंदुओं की दूरी समान (त्रिज्या $r$) होगी।
अतः,$\sqrt{(h-a)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{(h-(-a))^2 + (k-0)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(h-a)^2 + k^2 = (h+a)^2 + k^2$.
सरल करने पर,$h^2 - 2ah + a^2 + k^2 = h^2 + 2ah + a^2 + k^2$.
इससे $-2ah = 2ah$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4ah = 0$.
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $h = 0$ होगा।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,केंद्र का बिंदु पथ $x = 0$ है,जो कि $y$-अक्ष है।

(B) दिए गए परवलय का समीकरण: $y^2 + 6x - 2y + 13 = 0$.
$y$ वाले पदों को व्यवस्थित करने पर: $y^2 - 2y = -6x - 13$.
$y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y^2 - 2y + 1) = -6x - 13 + 1$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $(y - 1)^2 = -6x - 12$.
दाहिनी ओर से $-6$ कॉमन लेने पर: $(y - 1)^2 = -6(x + 2)$.
इसे मानक रूप $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ से तुलना करने पर,जहाँ $(h, k)$ शीर्ष है:
यहाँ,$h = -2$ और $k = 1$.
अतः,शीर्ष $(-2, 1)$ है।

(C) दिया गया है कि बिंदु $P$ के निर्देशांक $x = 2t^2 + 4$ और $y = 4t + 6$ हैं।
दूसरे समीकरण से,$4t = y - 6$,जिसका अर्थ है $t = \frac{y - 6}{4}$।
$t$ के इस मान को $x$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = 2\left(\frac{y - 6}{4}\right)^2 + 4$
$x - 4 = 2 \cdot \frac{(y - 6)^2}{16}$
$x - 4 = \frac{(y - 6)^2}{8}$
$(y - 6)^2 = 8(x - 4)$
यह समीकरण $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।

(B) दी गई सम्मिश्र संख्या $z = (1 - t^2) + i \sqrt{1 + t^2}$ है।
माना $z = x + iy$,जहाँ $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = 1 - t^2$
$y = \sqrt{1 + t^2}$
काल्पनिक भाग का वर्ग करने पर,$y^2 = 1 + t^2$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण से,$t^2 = 1 - x$ है।
इस मान को $y^2$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 1 + (1 - x)$
$y^2 = 2 - x$
$y^2 = -(x - 2)$
यह $Y^2 = -4aX$ के रूप का परवलय का मानक समीकरण है,जिसका शीर्ष $(2, 0)$ पर है।

(C) माना शीर्ष $(0, 0)$ से गुजरने वाली जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
जीवा का समीकरण $y = \frac{k}{h}x$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ में मान रखने पर,हमें $k^2 = 2ah$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $y^2 = 2ax$ है,जो एक परवलय है।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $16x^2 + 25y^2 = 400$ है।
दोनों पक्षों को $400$ से विभाजित करने पर मानक रूप प्राप्त होता है: $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई का सूत्र $\frac{2b^2}{a}$ है।
मान रखने पर: $\text{लंबाई} = \frac{2 \times 16}{5} = \frac{32}{5}$ इकाई।

(C) अतिपरवलय का समीकरण: $4x^2 - 9y^2 = 36$ है।
दोनों पक्षों को $36$ से विभाजित करने पर: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
अतः,$a = 3$ और $b = 2$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a^2}}$ है।
मान रखने पर: $e = \sqrt{\frac{9 + 4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$।

(C) दिया गया सीमा $L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+x^2+\ldots+x^n-n}{x-1}$ है।
अंश को $(x-1) + (x^2-1) + \ldots + (x^n-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$L = \lim _{x \rightarrow 1} \left( \frac{x-1}{x-1} + \frac{x^2-1}{x-1} + \ldots + \frac{x^n-1}{x-1} \right)$।
मानक सीमा सूत्र $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^n-a^n}{x-a} = na^{n-1}$ का उपयोग करने पर,प्रत्येक पद $k$ हो जाता है।
इसलिए,$L = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$।

(D) हम सीमा सूत्र $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{x^2}$।
$\pi \sin^2 x$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left[ \frac{\sin(\pi \sin^2 x)}{\pi \sin^2 x} \times \frac{\pi \sin^2 x}{x^2} \right]$।
चूंकि $x \rightarrow 0$ होने पर $\pi \sin^2 x \rightarrow 0$ होता है,इसलिए पहला भाग $1$ की ओर अग्रसर होता है।
$= 1 \times \pi \times \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2$।
$= \pi \times (1)^2 = \pi$.

(C) एक फलन $f(x)$ सम होता है यदि $f(-x) = f(x)$ हो।
आइए विकल्प $C$ की जाँच करें: $f(x) = x \cdot \frac{a^x - 1}{a^x + 1}$।
$f(-x) = (-x) \cdot \frac{a^{-x} - 1}{a^{-x} + 1}$
$f(-x) = (-x) \cdot \frac{\frac{1}{a^x} - 1}{\frac{1}{a^x} + 1}$
$f(-x) = (-x) \cdot \frac{\frac{1 - a^x}{a^x}}{\frac{1 + a^x}{a^x}}$
$f(-x) = (-x) \cdot \frac{-(a^x - 1)}{a^x + 1}$
$f(-x) = x \cdot \frac{a^x - 1}{a^x + 1} = f(x)$।
चूंकि $f(-x) = f(x)$,इसलिए विकल्प $C$ में दिया गया फलन एक सम फलन है।

(A) $\cos(ax)$ का आवर्तनांक $\frac{2\pi}{|a|}$ होता है। अतः,$\cos 4x$ का आवर्तनांक $T_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
$\tan(bx)$ का आवर्तनांक $\frac{\pi}{|b|}$ होता है। अतः,$\tan 3x$ का आवर्तनांक $T_2 = \frac{\pi}{3}$ है।
दो आवर्ती फलनों के योग का आवर्तनांक उनके व्यक्तिगत आवर्तनांकों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
हमें $\text{LCM}\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}\right)$ ज्ञात करना है।
भिन्नों $\frac{a}{b}$ और $\frac{c}{d}$ का $LCM$ ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{\text{LCM}(a, c)}{\text{HCF}(b, d)}$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$\text{LCM}(\pi, \pi) = \pi$ और $\text{HCF}(2, 3) = 1$ है।
अतः,आवर्तनांक $\frac{\pi}{1} = \pi$ है।

(C) दिया गया समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है और शर्त $a + 2b + 4c = 0$ है।
शर्त $a + 2b + 4c = 0$ को $4$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a}{4} + \frac{2b}{4} + \frac{4c}{4} = 0$
$\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$a(\frac{1}{2})^2 + b(\frac{1}{2}) + c = 0$
इसे द्विघात समीकरण $f(x) = ax^2 + bx + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $f(\frac{1}{2}) = 0$ है।
इसलिए,$x = \frac{1}{2}$ समीकरण का एक मूल है।

(C) कुल व्यक्तियों की संख्या = $4 + 2 = 6$.
$6$ व्यक्तियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $n(S) = 6! = 720$ हैं।
दोनों लड़कियों के एक साथ बैठने के अनुकूल परिणामों के लिए,हम $2$ लड़कियों को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास $4$ लड़के और $1$ इकाई (लड़कियों का समूह) है,यानी कुल $5$ इकाइयाँ हैं।
इन $5$ इकाइयों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$2$ लड़कियाँ अपनी इकाई के भीतर $2!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$ है।
प्रायिकता $P = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5! \times 2!}{6!} = \frac{240}{720} = \frac{1}{3}$.

(B) सिक्का उछालना एक स्वतंत्र घटना है।
एक निष्पक्ष सिक्के के प्रत्येक उछाल में दो समान रूप से संभावित परिणाम होते हैं: चित $(H)$ और पट $(T)$।
किसी भी एक उछाल में चित आने की प्रायिकता $P(H) = \frac{1}{2}$ होती है।
चौथे उछाल का परिणाम पिछले तीन उछालों के परिणामों पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,चौथे उछाल में चित आने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ ही रहती है।

(C) योगफल की सीमा के सूत्र का उपयोग करके हम योग को एक निश्चित समाकल के रूप में व्यक्त करते हैं: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^3}{r^4+n^4} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{n^3(r/n)^3}{n^4((r/n)^4+1)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{(r/n)^3}{(r/n)^4+1}$.
मान लीजिए $x = r/n$,तो जैसे $n \rightarrow \infty$,योग समाकल $\int_0^1 \frac{x^3}{x^4+1} dx$ बन जाता है।
इसे हल करने के लिए,मान लीजिए $u = x^4+1$,तो $du = 4x^3 dx$,या $x^3 dx = \frac{1}{4} du$.
समाकल $\frac{1}{4} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{4} [\log_e u]_1^2$ हो जाता है।
$= \frac{1}{4} (\log_e 2 - \log_e 1) = \frac{1}{4} \log_e 2$.

(C) योग $A+B$ को परिभाषित होने के लिए,आव्यूह $A$ और $B$ का क्रम समान होना चाहिए,मान लीजिए $m \times n$ है।
गुणनफल $AB$ को परिभाषित होने के लिए,$A$ में स्तंभों की संख्या $B$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
चूंकि $A$ का क्रम $m \times n$ है,इसमें $n$ स्तंभ हैं। चूंकि $B$ का क्रम $m \times n$ है,इसमें $m$ पंक्तियाँ हैं।
इसलिए,$AB$ के परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $n = m$ होना चाहिए।
चूंकि $m = n$ है,इसलिए दोनों आव्यूहों का क्रम $n \times n$ समान है,जिसका अर्थ है कि वे समान क्रम के वर्ग आव्यूह हैं।

(C) एक आव्यूह $A$ सममित होता है यदि $A = A^T$,जहाँ $A^T$ आव्यूह $A$ का परिवर्त (transpose) है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & x-1 \\ 2x+3 & x+2 \end{bmatrix}$.
परिवर्त $A^T$ पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जाता है: $A^T = \begin{bmatrix} 3 & 2x+3 \\ x-1 & x+2 \end{bmatrix}$.
चूँकि $A = A^T$,हम संगत अवयवों की तुलना करते हैं:
$x-1 = 2x+3$.
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर: $-1 = x+3$.
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर: $x = -4$.
अतः,$x$ का मान $-4$ है।

(A) एक आव्यूह $A$ हर्मिटी (Hermitian) होता है यदि $A = \bar{A}^T$ हो। आइए दिए गए आव्यूह $z$ की जाँच करें।
$z$ का परिवर्त आव्यूह $z^T = \begin{bmatrix} 1 & 1-2i & 5i \\ 1+2i & -3 & 5-3i \\ -5i & 5+3i & 7 \end{bmatrix}$ है।
$z$ का संयुग्मी आव्यूह $\bar{z} = \begin{bmatrix} 1 & 1-2i & 5i \\ 1+2i & -3 & 5-3i \\ -5i & 5+3i & 7 \end{bmatrix}$ है।
चूँकि $z^T = \bar{z}$,इसलिए आव्यूह $z$ एक हर्मिटी आव्यूह है।
किसी भी हर्मिटी आव्यूह के लिए,उसका सारणिक हमेशा एक वास्तविक संख्या होता है।
मान लीजिए $D = \det(z)$। चूँकि $D$ वास्तविक है,इसलिए $D = \bar{D}$।
अतः,$z$ (सारणिक के मान के रूप में) शुद्ध वास्तविक है।

(D) माना सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1+\omega^2 & \omega^2 \\ 1-i & -1 & \omega^2-1 \\ -i & -1+\omega & -1\end{array}\right|$ है।
हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^2 = 0$,इसलिए $1+\omega^2 = -\omega$.
यह मान रखने पर,$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & -\omega & \omega^2 \\ 1-i & -1 & \omega^2-1 \\ -i & -1+\omega & -1\end{array}\right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 + C_1$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1-\omega & \omega^2 \\ 1-i & -i & \omega^2-1 \\ -i & -1 & -1\end{array}\right|$.
सारणिक का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है कि इसका मान $0$ है।

(A) माना $\Delta = \left| \begin{array}{lll} a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{lll} (a-b)+(b-c)+(c-a) & b-c & c-a \\ (b-c)+(c-a)+(a-b) & c-a & a-b \\ (c-a)+(a-b)+(b-c) & a-b & b-c \end{array} \right|$.
प्रथम स्तंभ के अवयवों को सरल करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{lll} 0 & b-c & c-a \\ 0 & c-a & a-b \\ 0 & a-b & b-c \end{array} \right|$.
चूँकि प्रथम स्तंभ के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(D) हमें असमिका $\cos ^{-1} x < \sin ^{-1} x$ दी गई है।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$.
इस मान को असमिका में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x < \sin ^{-1} x$
$\frac{\pi}{2} < 2 \sin ^{-1} x$
$\sin ^{-1} x > \frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों का साइन (sine) लेने पर (चूंकि $\sin x$ अपने प्रांत में एक वर्धमान फलन है):
$x > \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$x > \frac{1}{\sqrt{2}}$
चूंकि $\sin ^{-1} x$ और $\cos ^{-1} x$ का प्रांत $[-1, 1]$ है,इसलिए $x \le 1$ होना चाहिए।
अतः,हल समुच्चय $x \in \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right]$ है।

(C) माना $u = x+2y$ और $v = x-2y$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $u+v = (x+2y) + (x-2y) = 2x$,जिसका अर्थ है $x = \frac{u+v}{2}$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $u-v = (x+2y) - (x-2y) = 4y$,जिसका अर्थ है $y = \frac{u-v}{4}$।
दिया गया है कि $f(x+2y, x-2y) = xy$,इसलिए $u$ और $v$ का मान रखने पर $f(u, v) = \left(\frac{u+v}{2}\right) \left(\frac{u-v}{4}\right)$।
इस व्यंजक को सरल करने पर: $f(u, v) = \frac{u^2-v^2}{8}$।
अब $u$ को $x$ और $v$ को $y$ से बदलने पर,हमें $f(x, y) = \frac{x^2-y^2}{8}$ प्राप्त होता है।

(A) फलन $f(x)$ के $x=2$ पर सतत होने के लिए,$x \to 2$ पर $f(x)$ की सीमा का अस्तित्व होना चाहिए और यह $f(2)$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है कि $f(2) = 2$ है।
हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-(A+2)x+A}{x-2}$।
सीमा के अस्तित्व के लिए,अंश का मान $x=2$ पर शून्य होना चाहिए क्योंकि हर शून्य है।
अंश में $x=2$ रखने पर: $2^2 - (A+2)(2) + A = 4 - 2A - 4 + A = -A$।
$-A = 0$ रखने पर,हमें $A = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$A=0$ के साथ सीमा की जाँच करते हैं: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-2x}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} x = 2$।
चूंकि सीमा $2$,$f(2) = 2$ के बराबर है,इसलिए $A=0$ पर फलन $x=2$ पर सतत है।

(A) यदि $f(x)$,$x = 2$ पर सतत है,तो $x \to 2$ पर $f(x)$ की सीमा $f(2)$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है कि $x \neq 2$ के लिए $f(x) = [x] + [-x]$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$[n] + [-n] = 0$,लेकिन किसी भी गैर-पूर्णांक $x$ के लिए,$[x] + [-x] = -1$ होता है।
जैसे-जैसे $x \to 2$,$x$ का मान $2$ के निकट होता है लेकिन $2$ नहीं होता है। $2$ के पड़ोस में $x$ पूर्णांक नहीं है,इसलिए $[x] + [-x] = -1$ होता है।
अतः,$\lim_{x \to 2} f(x) = -1$।
चूंकि फलन $x = 2$ पर सतत है,इसलिए $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$ होना चाहिए।
इस प्रकार,$\lambda = -1$।

(B) दिया गया समीकरण $x^2+y^2=4$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(4)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + y \frac{dy}{dx} = 0$
अतः,$y \frac{dy}{dx} + x = 0$.

(A) दिया गया समीकरण: $y = A x^{-1} + B x^2$ है।
सबसे पहले,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = -A x^{-2} + 2 B x$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,द्वितीय अवकलज प्राप्त करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = 2 A x^{-3} + 2 B$ प्राप्त होता है।
अब,$x^2$ से गुणा करने पर:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = x^2 (2 A x^{-3} + 2 B) = 2 A x^{-1} + 2 B x^2$ प्राप्त होता है।
$2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = 2 (A x^{-1} + B x^2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y = A x^{-1} + B x^2$ है,इसलिए $y$ का मान रखने पर:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = 2 y$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f(x) = \tan^{-1} x$।
प्रथम अवकलज: $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$।
द्वितीय अवकलज: $f''(x) = \frac{d}{dx} (1+x^2)^{-1} = -1(1+x^2)^{-2} \cdot (2x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$।
हमें दिया गया है $f'(x) + f''(x) = 0$।
अवकलजों का मान रखने पर: $\frac{1}{1+x^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2} = 0$।
$(1+x^2)^2$ से गुणा करने पर: $(1+x^2) - 2x = 0$।
यह समीकरण $x^2 - 2x + 1 = 0$ में बदल जाता है,जो $(x-1)^2 = 0$ है।
अतः,$x = 1$।

(A) दिया गया है: $y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x} \right)$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\theta = \tan^{-1} x$.
अतः,$y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+\tan^2 \theta}-1}{\tan \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} \right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,$\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{2 \sin^2 (\theta/2)}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$.
अतः,$y = \tan^{-1} (\tan(\theta/2)) = \theta/2 = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $y' = \frac{1}{2(1+x^2)}$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर,$y'(1) = \frac{1}{2(1+1^2)} = \frac{1}{2(2)} = \frac{1}{4}$.

(B) दिया गया फलन $y = 2x^3 - 2x^2 + 3x - 5$ है।
सन्निकट परिवर्तन $\Delta y$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \cdot \Delta x$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^3 - 2x^2 + 3x - 5) = 6x^2 - 4x + 3$.
अब,$x = 2$ पर अवकलज का मान ज्ञात करने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2} = 6(2)^2 - 4(2) + 3 = 6(4) - 8 + 3 = 24 - 8 + 3 = 19$.
दिया गया है कि $\Delta x = 0.1$,इसलिए $\Delta y$ की गणना करने पर:
$\Delta y \approx 19 \times 0.1 = 1.9$.

(C) माना $f(x) = x^{1/5}$ है। हमें $f(33)$ का मान ज्ञात करना है।
माना $x = 32$ और $\Delta x = 1$,ताकि $x + \Delta x = 33$ हो।
हम जानते हैं कि $f(x) = x^{1/5} \implies f'(x) = \frac{1}{5} x^{-4/5} = \frac{1}{5 x^{4/5}}$ है।
$x = 32$ पर,$f(32) = (32)^{1/5} = 2$ है।
$f'(32) = \frac{1}{5(32)^{4/5}} = \frac{1}{5(2^4)} = \frac{1}{5 \times 16} = \frac{1}{80} = 0.0125$ है।
अवकलज के सन्निकटन सूत्र का उपयोग करते हुए: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$।
$f(33) \approx f(32) + f'(32) \times 1$।
$f(33) \approx 2 + 0.0125 = 2.0125$।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0$,त्वरण $a = 8 \text{ m/s}^2$ है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,चूँकि $u = 0$,हमारे पास $S = \frac{1}{2}at^2$ है।
$1$. पहले मीटर की दूरी तय करने में लगा समय $(S_1 = 1 \text{ m})$:
$1 = \frac{1}{2} \times 8 \times t_1^2 \implies 1 = 4t_1^2 \implies t_1^2 = \frac{1}{4} \implies t_1 = \frac{1}{2} \text{ s}$।
$2$. पहले दो मीटर की दूरी तय करने में लगा समय $(S_2 = 2 \text{ m})$:
$2 = \frac{1}{2} \times 8 \times t_2^2 \implies 2 = 4t_2^2 \implies t_2^2 = \frac{1}{2} \implies t_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ s}$।
$3$. दूसरे मीटर की दूरी तय करने में लगा समय $2 \text{ m}$ और $1 \text{ m}$ की दूरी तय करने में लगे समय का अंतर है:
$\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2} \text{ s}$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ x - 3, & x > 0 \end{cases}$ है।
सबसे पहले,$x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं।
$f(0) = 0$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x - 3) = -3$.
चूँकि $f(0) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$,इसलिए फलन $x = 0$ पर असंतत है।
अब,अंतराल $x > 0$ पर विचार करें। किसी भी $x_1, x_2$ के लिए जहाँ $0 < x_1 < x_2$,हमारे पास $f(x_1) = x_1 - 3$ और $f(x_2) = x_2 - 3$ है। चूँकि $x_1 < x_2$,इसलिए $x_1 - 3 < x_2 - 3$ होगा,जिसका अर्थ है कि $f(x_1) < f(x_2)$। अतः,फलन $x > 0$ के लिए निरंतर वर्धमान है।
हालाँकि,फलन के अंतराल $[0, \infty)$ पर वर्धमान होने के लिए,इसे $[0, \infty)$ पर संतत होना चाहिए। चूँकि यह $x = 0$ पर असंतत है,इसलिए यह $[0, \infty)$ पर वर्धमान नहीं है।
इस प्रकार,फलन जब $x > 0$ हो तो निरंतर वर्धमान है।

(A) एक फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान (strictly increasing) होता है यदि उसके प्रांत के सभी $x$ के लिए उसका अवकलज $f'(x) > 0$ हो।
दिया गया फलन $f(x) = ax + b$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = \frac{d}{dx}(ax + b) = a$ प्राप्त होता है।
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
अवकलज का मान रखने पर,हमें $a > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन $a > 0$ होने पर निरंतर वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^3 e^{-3x}$ है,जहाँ $x > 0$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) \cdot e^{-3x} + x^3 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-3x})$
$f'(x) = 3x^2 e^{-3x} + x^3 (-3 e^{-3x})$
$f'(x) = 3x^2 e^{-3x} (1 - x)$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$3x^2 e^{-3x} (1 - x) = 0$
चूंकि $x > 0$ और $e^{-3x} \neq 0$ है,इसलिए $1 - x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$।
यह पुष्टि करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम $x = 1$ के आसपास $f'(x)$ का चिह्न जाँचते हैं। $x < 1$ के लिए $f'(x) > 0$ और $x > 1$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
अतः,$f(x)$ का स्थानीय अधिकतम मान $x = 1$ पर है।
अधिकतम मान $f(1) = (1)^3 e^{-3(1)} = e^{-3}$ है।

(A) रोले का प्रमेय बताता है कि किसी फलन $f(x)$ के अंतराल $[a, b]$ पर लागू होने के लिए,उसे तीन शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है।
$2$. $f(x)$ अंतराल $(a, b)$ पर अवकलनीय है।
$3$. $f(a) = f(b)$।
$f(x) = e^{\cos x}$ के लिए,फलन हर जगह सतत और अवकलनीय है।
हम दिए गए विकल्पों के लिए शर्त $f(a) = f(b)$ की जाँच करते हैं:
विकल्प $A$ के लिए: $f(\frac{\pi}{2}) = e^{\cos(\pi/2)} = e^0 = 1$ और $f(\frac{3\pi}{2}) = e^{\cos(3\pi/2)} = e^0 = 1$।
चूँकि $f(\frac{\pi}{2}) = f(\frac{3\pi}{2})$,इसलिए रोले का प्रमेय अंतराल $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ पर लागू होता है।

(C) हम जानते हैं कि $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int \frac{2 \cos^2 x - 1}{\cos x} dx = \int (2 \cos x - \frac{1}{\cos x}) dx$.
यह सरल होकर $\int (2 \cos x - \sec x) dx$ हो जाता है।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 \int \cos x dx - \int \sec x dx$.
$\cos x$ का समाकलन $\sin x$ होता है और $\sec x$ का समाकलन $\log |\sec x + \tan x|$ होता है।
अतः,अंतिम उत्तर $2 \sin x - \log |\sec x + \tan x| + C$ है।

(A) माना $I = \int \frac{\sin ^8 x - \cos ^8 x}{1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x} \, dx$.
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करके,हम अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\sin ^8 x - \cos ^8 x = (\sin ^4 x - \cos ^4 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x) = (\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^2 x + \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)$.
चूंकि $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$,अंश $(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)$ हो जाता है।
साथ ही,ध्यान दें कि $\sin ^4 x + \cos ^4 x = (\sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x = 1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x)}{1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x} \, dx$.
$I = \int (\sin ^2 x - \cos ^2 x) \, dx = \int -(\cos ^2 x - \sin ^2 x) \, dx$.
सर्वसमिका $\cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = -\int \cos 2x \, dx = -\frac{\sin 2x}{2} + C$.

(B) समाकलन $I = \int \frac{x^3 \, dx}{1+x^8}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर को $1 + (x^4)^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $u = x^4$ है।
तब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $du = 4x^3 \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x^3 \, dx = \frac{du}{4}$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{du/4}{1+u^2} = \frac{1}{4} \int \frac{du}{1+u^2}$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{1+u^2} = \tan^{-1}(u) + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{4} \tan^{-1}(u) + c$।
$u = x^4$ वापस रखने पर,हमें अंतिम परिणाम प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{4} \tan^{-1}(x^4) + c$।

(B) माना $I = \int 2^x (f^{\prime}(x) + f(x) \log 2) \, dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int (2^x f^{\prime}(x) + 2^x \log 2 \cdot f(x)) \, dx$.
अवकलन के लिए गुणन नियम याद करें: $\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$.
माना $u(x) = 2^x$ और $v(x) = f(x)$.
तब $u^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (2^x) = 2^x \log 2$.
अतः,समाकल्य $u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$ के रूप में है,जो $\frac{d}{dx} [2^x f(x)]$ है।
इसलिए,$I = \int \frac{d}{dx} [2^x f(x)] \, dx = 2^x f(x) + C$.

(D) माना $I = \int_{-2}^2(x \cos x+\sin x+1) d x$.
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-2}^2 x \cos x d x + \int_{-2}^2 \sin x d x + \int_{-2}^2 1 d x$.
निश्चित समाकलन का गुणधर्म याद करें: यदि $f(x)$ एक विषम फलन है तो $\int_{-a}^a f(x) d x = 0$ और यदि $f(x)$ एक सम फलन है तो $2 \int_0^a f(x) d x$ होता है।
माना $f_1(x) = x \cos x$. चूंकि $f_1(-x) = (-x) \cos(-x) = -x \cos x = -f_1(x)$,इसलिए $f_1(x)$ एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-2}^2 x \cos x d x = 0$.
माना $f_2(x) = \sin x$. चूंकि $f_2(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -f_2(x)$,इसलिए $f_2(x)$ एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-2}^2 \sin x d x = 0$.
इसलिए,$I = 0 + 0 + \int_{-2}^2 1 d x = [x]_{-2}^2 = 2 - (-2) = 4$.

(A) माना $I = \int_0^\pi \sin^{50} x \cos^{49} x \, dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \sin^{50}(\pi - x) \cos^{49}(\pi - x) \, dx$.
चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi \sin^{50} x (-\cos x)^{49} \, dx$.
$I = -\int_0^\pi \sin^{50} x \cos^{49} x \, dx$.
$I = -I$.
दोनों पक्षों में $I$ जोड़ने पर,$2I = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $I = 0$.

(C) फलन $f(x) = |\sin x|$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\pi$ है।
हम जानते हैं कि $\int_{a}^{a+nT} f(x) dx = n \int_{0}^{T} f(x) dx$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
यहाँ,अंतराल की लंबाई $16\pi - \pi = 15\pi$ है।
अतः,$\int_{\pi}^{16\pi} |\sin x| dx = 15 \int_{0}^{\pi} |\sin x| dx$.
चूँकि $x \in [0, \pi]$ के लिए $\sin x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin x| = \sin x$ होगा।
अतः,$15 \int_{0}^{\pi} \sin x dx = 15 [-\cos x]_{0}^{\pi}$.
$= 15 [-\cos(\pi) - (-\cos(0))] = 15 [-(-1) - (-1)] = 15 [1 + 1] = 15 \times 2 = 30$.

(D) $y^2=x$ और $y=x$ वक्रों के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$y^2 = y \implies y^2 - y = 0 \implies y(y-1) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $y=0$ और $y=1$ पर हैं। तदनुसार $x=0$ और $x=1$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_0^1 (\sqrt{x} - x) \, dx$
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1$
$A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1$
$A = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1}{2}(1)^2 \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिए गए वक्र $y^2 = 4x$ और $x^2 = 4y$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{x^2}{4}$ को $y^2 = 4x$ में प्रतिस्थापित करें:
$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = 4$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(4, 4)$ हैं।
वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = 4$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:
$A = \int_0^4 (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$A = \int_0^4 (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$A = [2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3}]_0^4$
$A = [\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_0^4$
$A = (\frac{4}{3} \cdot 4^{3/2} - \frac{4^3}{12}) - (0 - 0)$
$A = (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}) = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y = x(\frac{dy}{dx})^2 + \frac{dy}{dx}$ है।
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम पहले समीकरण को उस रूप में व्यक्त करते हैं जहाँ अवकलज करणी और भिन्नों से मुक्त हों।
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,जिसकी कोटि $1$ है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में लिखा जाता है।
यहाँ,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ की अधिकतम घात $2$ है।
इसलिए,घात $2$ है और कोटि $1$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $y = ae^{bx} \dots (i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = abe^{bx}$
चूंकि $y = ae^{bx}$,हम लिख सकते हैं:
$y_1 = by \dots (ii)$
$y_1 = by$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = by_1 \dots (iii)$
समीकरण $(ii)$ से,$b = \frac{y_1}{y}$ प्राप्त होता है।
$b$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$y_2 = \left(\frac{y_1}{y}\right)y_1$
$y_2 = \frac{y_1^2}{y}$
अतः,$yy_2 = y_1^2$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\log_{e}\left(\frac{dy}{dx}\right) = x + y$.
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,हम इसे लिख सकते हैं: $\frac{dy}{dx} = e^{x+y}$.
घातांक के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y$.
चरों को अलग करने पर: $e^{-y} dy = e^x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-y} dy = \int e^x dx$.
इससे प्राप्त होता है: $-e^{-y} = e^x + C_1$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $e^x + e^{-y} = -C_1$.
माना कि $-C_1 = C$,अतः व्यापक हल है: $e^x + e^{-y} = C$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan \frac{y}{x}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।
माना $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v + \tan v$।
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = \tan v$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{\tan v} = \frac{dx}{x}$,जो कि $\cot v \, dv = \frac{dx}{x}$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cot v \, dv = \int \frac{dx}{x}$।
इससे $\ln |\sin v| = \ln |x| + \ln |c|$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर: $\ln |\sin v| = \ln |cx|$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\sin v = cx$।
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\sin(\frac{y}{x}) = cx$,या $x = c \sin(\frac{y}{x})$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2}+8 \frac{d y}{d x}+16 y=0$ है।
सहायक समीकरण $m^2+8m+16=0$ है।
इसे $(m+4)^2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,मूल $m = -4, -4$ हैं।
चूँकि मूल वास्तविक और समान हैं,इसलिए व्यापक हल $y = (A+Bx)e^{mx}$ द्वारा दिया जाता है।
$m = -4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = (A+Bx)e^{-4x}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = -\frac{3x^2}{1+x^3}$ और $Q = \frac{\sin^2(x)}{1+x}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ का सूत्र $I.F. = e^{\int P dx}$ है।
$P$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$I.F. = e^{\int -\frac{3x^2}{1+x^3} dx}$.
माना $u = 1+x^3$,तो $du = 3x^2 dx$ होगा। अतः,$\int \frac{3x^2}{1+x^3} dx = \int \frac{1}{u} du = \log|1+x^3|$.
इसलिए,$I.F. = e^{-\log(1+x^3)} = e^{\log(1+x^3)^{-1}} = (1+x^3)^{-1} = \frac{1}{1+x^3}$.