જો $1$ ના ઘનમૂળ પૈકીનું એક $\omega$ હોય,તો $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1+\omega^2 & \omega^2 \\ 1-i & -1 & \omega^2-1 \\ -i & -1+\omega & -1\end{array}\right|=$

ધારો કે $z = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$, જ્યાં $i = \sqrt{-1}$, અને $r, s \in \{1, 2, 3\}$. ધારો કે $P = \begin{bmatrix} (-z)^r & z^{2s} \\ z^{2s} & z^r \end{bmatrix}$ અને $I$ એ $2$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે. તો $(r, s)$ ની એવી ક્રમયુક્ત જોડોની કુલ સંખ્યા શોધો જેના માટે $P^2 = -I$ થાય.

ધારો કે $A = [a_{ij}]_{2 \times 2}$ જ્યાં તમામ $i, j$ માટે $a_{ij} \neq 0$ અને $A^2 = I$ છે. ધારો કે $a$ એ $A$ ના તમામ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો છે અને $b = |A|$ છે,તો $3a^2 + 4b^2$ ની કિંમત શોધો:

જો $A$ અને $B$ એ $3 \times 3$ કક્ષાના શ્રેણિકો હોય અને $|A|=5$,$|B|=3$ હોય,તો $|3AB|=$ . . . . . . .

ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ અને $A^3 - 8A^2 + \alpha A + \beta I = O$ છે,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(\alpha, \beta)$ શું છે?

ધારો કે $a, b$ અને $c$ ત્રણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જે $\begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 9 & 7 \\ 8 & 2 & 7 \\ 7 & 3 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ $(E)$ નું સમાધાન કરે છે.
$1.$ જો બિંદુ $P(a, b, c)$, $(E)$ ના સંદર્ભમાં, સમતલ $2x+y+z=1$ પર આવેલું હોય, તો $7a+b+c$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(A) 0$ $(B) 12$ $(C) 7$ $(D) 6$
$2.$ ધારો કે $\omega$ એ $x^3-1=0$ નો ઉકેલ છે જ્યાં $\operatorname{Im}(\omega)>0$ છે. જો $a=2$ હોય અને $b$ તથા $c$ એ $(E)$ નું સમાધાન કરતા હોય, તો $\frac{3}{\omega^a}+\frac{1}{\omega^b}+\frac{3}{\omega^c}$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(A) -2$ $(B) 2$ $(C) 3$ $(D) -3$
$3.$ ધારો કે $b=6$ છે, અને $a$ તથા $c$ એ $(E)$ નું સમાધાન કરે છે. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ હોય, તો $\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right)^n$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(A) 6$ $(B) 7$ $(C) \frac{6}{7}$ $(D) \infty$
પ્રશ્નો $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.