જો વિધેય f(x)=x^3+ax^2+bx+40 એ અંતરાલ [-5,4] | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 40$. $-5$ અને $4$ એ $f(x) = 0$ ના બીજ હોવાથી,$f(-5) = 0$ અને $f(4) = 0$ થાય. $f(-5) = (-5)^3 + a(-5)^2 + b(-5

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1+\sqrt{67}}{3}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 40$. $-5$ અને $4$ એ $f(x) = 0$ ના બીજ હોવાથી,$f(-5) = 0$ અને $f(4) = 0$ થાય. $f(-5) = (-5)^3 + a(-5)^2 + b(-5) + 40 = -125 + 25a - 5b + 40 = 25a - 5b - 85 = 0 \Rightarrow 5a - b = 17$ $(i)$. $f(4) = (4)^3 + a(4)^2 + b(4) + 40 = 64 + 16a + 4b + 40 = 16a + 4b + 104 = 0 \Rightarrow 4a + b = -26$ $(ii)$. $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$9a = -9 \Rightarrow a = -1$ મળે. $(i)$ માં $a = -1$ મૂકતા,$5(-1) - b = 17 \Rightarrow -5 - b = 17 \Rightarrow b = -22$ મળે. આમ,$f(x) = x^3 - x^2 - 22x + 40$. રોલના પ્રમેય મુજબ,એવો $c \in (-5, 4)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય. $f'(x) = 3x^2 - 2x - 22$. $f'(c) = 0$ લેતા,$3c^2 - 2c - 22 = 0$ મળે. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $c = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-22)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 264}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{268}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{67}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{67}}{3}$. $c \in (-5, 4)$ હોવાથી,$\frac{1+\sqrt{67}}{3} \approx 3.06$ એ અંતરાલમાં છે. તેથી,$c$ ની એક કિંમત $\frac{1+\sqrt{67}}{3}$ છે.

Similar Questions

અંતરાલ $[1, 3]$ માં વિધેય $f(x) = x^{3} - 5x^{2} - 3x$ માટે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) ચકાસો. $c \in (1, 3)$ શોધો જેના માટે $f^{\prime}(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1}$ થાય.

ધારો કે $f$ એ $[0,2]$ પર સતત અને $(0,2)$ પર બે વાર વિકલનીય વિધેય છે. જો $f(0)=0, f(1)=1$ અને $f(2)=2$ હોય,તો

ધારો કે $f:[a, b] \rightarrow R$ એ $[a, b]$ પર વિકલનીય છે અને $k \in R$ છે. ધારો કે $f(a)=0=f(b)$. વળી ધારો કે $J(x)=f'(x)+k f(x)$. તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module